中考数学难点突破与训练：相似三角形中的母子型相似模型（含答案及解析）

专题13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

AQ

特点当NABD=NACB时

AABD^AACB

性质：AB2=A£>・AC

其中：

ZA是公共角

AB是公共边

BD与BC是对应边

结论AB2^AD»AC

【模型证明】

特殊母子型—射影定理

在RtAACB与RtAADC中，当ZABC=ZACD时，有

解决方案RtAACBsRtAADCRtACDB

射影定理：AC?=AO・AB

BC2=BD»AB

CD2=AD»BD

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步;

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在RfAABC中，8是斜边A3上的高，则图中的相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

2.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD,AD±,BELCF于点G,若BC=4,AF=1,则CE的长

为（）

3.如图，Rt—ABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,点P,。分别在3C,AC上，CP=3尤，

CQ=4x（0<x<3）.把△PCQ绕点/>旋转，得到上叫,点。落在线段P2上.若点。在NBAC的平分线

上，则CP的长为（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.如图，R3ABC中，AC_LBC,AD平分/BAC交BC于点D,DE_LAD交AB于点E,M为AE的中

DE3

点，BFLBC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①NAED=NADC；②一=-；③AC«BE=12；

DA4

@3BF=4AC,其中结论正确的个数有（）

2

2个C.3个D.4个

5.如图，在吊AABC中，ZBAC=90°,8A=CA=6ji。，。为BC边的中点，点E是CA延长线上一点,

FA4

把ACDE沿DE翻折，点C落在C处,EC与A3交于点尸，连接3C.当元=1时，8c的长为（）

A.|A/5

B.65L.—D.672

5

二、填空题

6.如图，在「ABC中，点。在AB上,请再添一个适当的条件，使△AZ5CS2X4CB,那么可添加的条件是

94

7.如图，在氏公ABC中，ZACB=90°,CD_LA3于点。，已知AO=13£>=彳，那么BC=

8.如图，在ABC中，NABC=45。，AB=26,AD=AE,NDAE=90。，CE=迷，则CD的长为

3

9.如图，在，ABC中，AB=AC,点。在3C边上，/氏位）=90。一：/（7,点尸在AC上，BFLAD,垂足

为E,若CD=2,AD=4下,则线段EF的长为.

10.如图，在11ABe中，相=47,2。平分442€；石在54延长线上，且DE=BD,若BC=8,AE=2,则

。的长为

三、解答题

11.【基础巩固】（1）如图1,在AABC中，。为A8上一点，ZACD=ZB.求证：AC2=AD-AB.

【尝试应用】（2）如图2,在口ABC。中，E为BC上一点，尸为C。延长线上一点，ZBFE^ZA.若BP=

4,BE=3,求A。的长.

图1图2

12.如图，在AABC中，。为BC边上的一点，且AC=26,CD=4,BD=2,求证：AACDs/^CA.

4

c

13.如图，在RtAABC中，NACB=90。，点D在A3上，且一=—

ACAB

(1)求证△ACOS^ABC；

(2)若A£>=3,BD=2,求C£>的长.

14.ABC中，ZABC=90°,瓦)，AC,点E为8。的中点，连接AE并延长交3c于点且有AF=CP,

过厂点作我LAC于点H.

(1)求证：ADEs-CDB；

(2)求证：AE=2EF；

(3)若尸H=JL求BC的长.

4DAr)

15.如图，在AABC中，。是BC上的点，石是A。上一点，且一=——,ZBAD=ZECA.

ACCE

(1)求证：AC2=BC,CD；

(2)若AO是△ABC的中线，求差CF的值.

16.如图，已知矩形ABC。的两条对角线相交于点。，过点A作AGL8。分别交3D、3C于点G、E.

(1)求证：EB2=EGEA；

5

(2)连接CG,若BE=CE.求证：ZCGE=ZDBC.

17.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,NDEC=NB.

(1)求证：AAEDS/\ADC；

(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.

18.如图，锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，垂足为D,E.

(1)求证：AACDs^ABE；

(2)若将点D,E连接起来，则4AED和^ABC能相似吗？说说你的理由.

19.如图，43是＜。的直径，AD、3D是fO的弦，BC是,O的切线，切点为8,OC//AD,BA.CD的

延长线相交于点E.

(1)求证：CD是:。的切线;

6

(2)若0的半径为4,ED=3AE,求AE的长.

20.如图1,在菱形ABC。中，AC是对角线，AB=AC=6,点E、尸分别是边AB、BC上的动点，且满足

AE=BF,连接4尸与CE相交于点G.

(1)求NCGP的度数.

(2)如图2,作DHLCE交CE于点H,若CF=4,AF=2币,求GH的值.

(3)如图3,点。为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60。得到线段EM,当AM4c构成等腰三

角形时，请直接写出AE的长.

21.在放△ABC中，ZACB=90°,点。为AB上一点.

(1)如图1,若CD_LA8,求证：AC2=ADAB；

FH4AD

(2)如图2,若AC=BC,EFLCD交CD于H,交AC于F,且一=-,求一的值；

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点〃在CD上，ZAHD=45°,CH=3DH,贝l|tan/ACH的值为

22.如图，在AA8C中，ZACB=9Q°,AB=10,AC=8,CO是边A8的中线.动点P从点C出发，以每秒5

个单位长度的速度沿折线CZXDB向终点8运动.过点尸作PQLAC于点Q,以PQ为边作矩形PQMN,使

2

点C、N始终在尸。的异侧，且PN=§P。.设矩形PQMV与△AC。重叠部分图形的面积是S,点尸的运动

时间为f(s)(t>0).

(1)当点尸在边CO上时，用含r的代数式表示PQ的长.

(2)当点N落在边上时，求r的值.

(3)当点P在CD上时，求S与/之间的函数关系式.

(4)连结。。，当直线。。将矩形尸QMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出/的值.

7

c

8

专题13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

AD

特点当NABD=NACB时

△ABD^AACB

性质：AB^=ADtAC

其中：

ZA是公共角

AB是公共边

________BD与BC是对应边

结论AB2=AD»AC

【模型证明】

特殊母子型——射影定理

A

入

'曲

解决方在RtAACB与RtAADC中,当ZABC=ZACD时，有

案RtAACBsRtAADC^RtACDB

射影定理：AC?=A£>・48

BC~=BD»AB

CD?=AD・BD

母子相似证明题一般思路方法：

⑤由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

@分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

⑦第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

⑧第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第

三步；

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在加AABC中，8是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）

9

c

A.1对B.2对C.3对D.4对

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【详解】：/ACB=90。，CD±AB

.,.△ABC^AACD,△ACD^ACBD,AABC^ACBD

所以有三对相似三角形，

故选：C.

【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应

成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似.

2.如图，正方形ABCD中，E、F分另！］在边CD,AD上，鹿，中于点6,若BC=4,AF=1,

则CE的长为（）

【答案】A

【分析】过D做。"_LPC于点H,由正方形ABCD的性质，通过证明和

△FDHs^CBG计算得到GC,再通过证明AECGsACDF从而求得CE的长.

【详解】如下图，过D做于点H

/.NDHF=90

正方形ABCD

：•NFDC=90B.AD=CD=BC=4

10

u：AF=1

：.FD=AD-AF=4-1=3

•*-FC=dFlf+C»=132+42=5

又ZDHF=ZFDC=90

J△FDCsMHD

.FHFD_3

FD~FC

9：FD=3

9

FH=-

5

又•・•正方形ABCD

・•・AD//BC

：.ZDFH=NBCG

•；BE1CF于点、G

ZBGC=ZCGE=90

：.AFDH^ACBG

.GCBC_4

**FH-FD-3

ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90

，△ECGsMDF

12

・・.ECGC3

~FC~^D~4-5

33

・・.EC=-FC=-x5=3

55

故选：A.

方法二：

ZBEC+ZFCD=90°,

ZDFC+ZFCD=90°,

・・・NBEC=NDFC,

XVZCDF=ZBCE,

BC=CD,

AABCE^ACDF,

.'.CE=DF=4-1=3;

【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握

11

正方形、相似三角形的性质，从而完成求解.

3.如图，RtABC中，NC=90°,AB=15,BC=9,点尸，。分另！］在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PC。绕点尸旋转，得到△FDE,点。落在线段PQ上.若点。在

N54C的平分线上，则CP的长为()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知名=5=空，结合定理两边成比

BCJAC

例且夹角相等的三角形相似证明△PQC^/\BAC,再根据相似三角形的性质得出

NCPQ=/B,由此可得出PQ〃AB；连接AD根据PQ〃A2和点D在4BAC的平分线上可

vEZADQ=ZDAQ,由此可得4。=。。，分别表示A。和。。由此可得方程12-4x=2x,解

出x,即可求出CP.

【详解】解：：在R/AA8C中，AB=15,BC=9,

'-AC=7AB2-BC2=4152-92=12.

..PC_3x_xQC_x

*BC~~9~3"AC-12-i，

.PC_QC

**BC-AC,

vzc=zc,

.,.△PeC^ABAC,

工NCPQ=NB,

：.PQ//AB；

连接AD,

■:PQI/AB,

12

/.ZADQ=ZDAB.

•.•点D在NR4c的平分线上，

.\ZDAQ=ZDAB,

：.ZADQ=ZDAQ,

：.AQ=DQ.

,:PD=PC=3x,QC=4x

在RtLCPQ中，根据勾股定理PQ=5x.

,'.DQ—2x.

'：AQ=i2-4x,

：.12-4x=2x,解得x=2,

：.CP=3x=6.

故选C.

【点睛】本题考查几何变换一旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线

的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键.

4.如图，R3ABC中，AC±BC,AD平分/BAC交BC于点D,DE_LAD交AB于点E,

M为AE的中点,BFLBC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①NAED=NADC；

DE3

②——=-；③AOBE=12；④3BF=4AC,其中结论正确的个数有（）

DA4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】①/AED=90。-NEAD,ZADC=90°-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

.-.ZAED=ZADC.故本选项正确；

ABBD4

②AD平分NBAC,----=-----=—,・••设AB=4x,则AC=3x,

ACCD3

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2,贝iJ(3x)2+49=(4x)2,

解得：x=币,

:ZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90°,

.,.△ADE^AACD,得DE：DA=DC：AC=3：布,故不正确；

③由①知NAED=/ADC,

；./BED=/BDA,

又：/DBE=/ABD,

13

/.△BED^ABDA,

/.DE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,

.,.BE：BD=DC：AC,

.,.AC«BE=BD«DC=12.

故本选项正确；

④连接DM,

在RtAADE中，MD为斜边AE的中线，

则DM=MA.

ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃:BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs^CMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,

.,.3BF=4AC.

故本选项正确.

综上所述，①③④正确，共有3个.

5.如图，在RM.A8C中，ZBAC=90°,BA=CA=6y/io,。为边的中点，点E是CA

延长线上一点，把ACOE沿翻折，点C落在C处，EC'与AB交于点F,连接BC'.当

等FA时4，5c的长为（）

EA3

A.|>/5B.6710C.手D.60

【答案】D

【分析】如图，连接CC,过点。作C归，EC于"设交DE于N,过点"作"7,所

于T,过点。作DMLEC于证明NCUB=90。，求出CC,BC即可解决问题.

【详解】解：如图，连接CC',过点C作C归，EC于X.设AB交DE于N,过点N作N7UEF

14

于T,过点。作于M.

FA4

,：ZFAE=ZCAB=90°,一=-,

EA3

：.EF：AF：AE=5：4：3,

CH//AF,

:.△EAFsXEHC,

:.EC：CHEH=EF：AFtAE=5：4：3,

设EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,贝！JCH=2左,

由翻折可知，ZAEN=ZTEN,

9

：NA±EAfNTLET,

：./NAE=/NTE,

■:NE=NE,

:•△NEAQANET(AAS),

：.AN=NT,EA=ET,

设AE=3M,AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,贝!JAE=ET=3m,TF=2m,

在RtAFNT中,FN2=NT2+FT2,

(4m-x)2=x2+(2m)2,

3

解得：x=-m,

u：AC=AB=6y/i0,ZCAB=90°,

：.BC=^AC=12下,

CD=BD-6A/5,

*：DM±CM,ZZ)CM=45°,

・・・CM=OM=3亚，

'JAN//DM,

.AN_EA

3

：.ANDM2m_1,

EA~EM~3m~2

：.EM=6y/10,

15

:.EC=9M=5k,

.,9710

••K=-------,

5

18M36710

•・C/7---------，Cn-------，

55

22

cc=^CH+CH=^(1^0)2+(36^0)2=18后，

•；DC=DC=DB,

：.ZCCB=90°,

・，・BC=7(BC)2-CC2=7(12A/5)2-(18V2)2=6近，

故选：D.

【点睛】本题考查翻折变换，解直角二角形，等腰直角二角形的性质，相似二角形的性质，

全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，学会利用参数构建方程解决问题.

二、填空题

6.如图，在一ABC中，点。在A8上，请再添一个适当的条件，使△ADCs/vlcB,那么

可添加的条件是.

【答案】NACD=NABC(答案不唯一，也可以增加条件：NADC=NACB或AC?=AO.AB).

【分析】题目中相似的两个三角形己经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角

相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等

判定两三角形相似.

【详解】若增加条件：ZACD=ZABC,

•：ZACD=ZABC,且NA=NA,

：.NADC:VACB.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解

题的关键.

94

7.如图，在MAABC中，ZACB=90°,CZ)_LAB于点。，已知AD=丁2£>=彳，那么8c

16

DB

【答案】李

【分析】证明△BCOS^BAC,根据相似三角形的性质列式计算即可.

【详解】解：,•,NACB=90。，CDLAB,

：.ZACB=ZCDB=90°,

'：ZB=ZB,

：./\BCD^/\BAC,

/.BC2=—,

25

,?BC>0

5

故答案为：2叵.

5

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题

关键.

8.如图，在，ABC中，ZABC=45°,A3=2夜，AD=AE,NDAE=90。，CE=5则

CD的长为.

【分析】在CD上取点F,使NDEF=/ADB,证明▲4)/^^£尸，求解£)尸=4,再证明

CEFs.CDE,利用相似三角形的性质求解CF即可得到答案.

【详解】解：在CD上取点F,使ZDEF=/ADB,

17

AD=AE,/DAE=90。，

由jM+e=[DE2，

/.DE=0AD=0AE，

/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=NADE+^EDC=ZABD+ABAD,

.,./AD=4DC,

^BDA=^DEF，

ADBs二DEF,

DFDF/—

=72,ZEFD=ZABD=45°,

ABAD

AB=2^/2，

.-.DF=4,

又・ZAED=45°=^CDE+ZC,ZEFD=ZCEF+ZC=45°,

.,./CEF=/CDE,

,NC=NC,

CEFsCDE,

.CEDC

,CF-CE'

X.DF=4,CE=5

百_CF+4

・石=方’

.•.CF=1或CF=5（舍去），

经检验：C/=l符合题意，

.-.CD=CF+4=5.

故答案为：5.

本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法,

相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

9.如图，在ABC中，AB=AC,点。在8C边上，ZBAD=90°--ZC,点尸在AC上,

2

BFLAD,垂足为E,若CD=2,AD=4布,则线段斯的长为.

18

【答案】递

11

【分析】过A作AHLBC于H,根据已知条件得到NABE=g/ACB,求得/ABE=NDBE,

根据全等三角形的性质得到AE=DE,AB=BD,设AB=BD=AC=x,根据相似三角形的性质

得到AH=8,过C作CGXAD交AD的延长线于G,再根据相似三角形的性质即可得到结

论.

【详解】解：过A作AHLBC于H,

VBFXAD,

.\ZABE+ZBAD=90°,

ZBAD=90°-ZABE,

VZBAD=90°-yZACB,

.•.ZABE=1-ZACB,

VAB=AC,

/.ZABC=ZACB,

.\ZABE=1-ZABD,

ZABE=ZDBE,

VZAEB=ZDEB=90°,BE=BE,

19

/.△ABE^ADBE(ASA),

；.AE=DE,AB=BD,

设AB=BD=AC=x,

，BC=x+2,BH=CH=^^,DH=^^-2,

22

VZAHD=ZBED=90°,ZADH=ZBDE,

.'.△ADH^ABDE,

ADPHPH

；•BD~DE~AD,

F

厂x+2_2

•••4⑹:2,

x2A/5

.•・x=10或x=-8(不符题意，舍去),

.*.AB=BD=AC=10,DH=4,

・・・AH=8,

过C作CG1AD交AD的延长线于G,

.*.ZG=ZAHD=90°,

VZADH=ZCDG,

AAADH^ACDG,

.ADAHPH

''~CD~~CG~~DG'

・46—84

•♦丁一蕊—岳'

20

・・・CG=拽，DG=^-

55

VEF1AD,DG±AD,

・・・EF〃CG,

.'.△AEF^AAGC,

AD

EF_AE_，

CG~AG~^G

EF2也

w，

解得：EF二递,

11

故答案为：逑.

11

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判

定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

10.如图，在,ABC中，4?=4(7,a)平分448。,£在氏1延长线上，且DE=BD,若BC=8,

AE=2,则CD的长为.

【答案】757-3

【分析】通过证△AEEXZXFBD(SAS),得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,进

而求出CF的长，进而得到NBAD=NDFC,从而证二CFDs工CAB,得到与=用，将证

CABC

得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

【详解】解：；BD平分/ABC,DE=BD

21

.'.ZABD=ZDBC,ZAED=ZABD

.,.ZDBC=ZAED

如图，在BC上取点，使BF=AE

则在与，FBD中,

AE=FB

<NAED=ZDBC

DE=BD

：.AAED^AFBD(SAS)

・・・AE=BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF

.\CF=BC-BF=8-2=6

VZBAD=18O°-Z2ME,ZDFC=1800-ZDFB

：.ZBAD=ZDFC

XVZC=ZC

・•・4CFDs4CAB

.CFCD

"~CA~~BC

VAB=AC

・•・ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

・・・ZFDC=180°-ZDFC-ZC=ISO°-ZBAD-ZABC

;ZC=1SO°-ZBAD-ZABC

・•・ZFDC=ZC

.\DF=FC=6,贝IAD=DF=6

・・・CA=6+CD

XVCF=6,BC=8

.6CD

•・6+c。-

解得。。=扃-3.

故答案为：历-3.

【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质

等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题.解答此

22

题的关键是利用性质找到边与边之间的关系.

三、解答题

11.【基础巩固】（1）如图1,在AABC中，。为AB上一点，ZACD=ZB.求证：AC2=

AD-AB.

【尝试应用】（2）如图2,在口中，£为BC上一点，尸为CD延长线上一点，ZBFE

=ZA.若BF=4,BE=3,求的长.

【分析】（1）证明即可得出结论；

（2）证明△BFES/VBCR得出2产求出BC,则可求出AD

【详解】（1）证明：：NACZ）=NB,/A=NA,

...△ADCs-CB,

.ADAC

"AC-AB；

：.AC2=AD-AB.

（2）•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又；NBFE=NA,

：.ZBFE=ZC,

又：NFBE=/CBF,

:.△BFEsABCF,

,BFBE

•,法一茄’

:.BF2=BE-BC,

.“BF24216

・・BC=-----=——=——,

BE33

：.AD=—.

3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确

掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

23

12.如图，在△ABC中，。为边上的一点，且AC=2"，8=4,BD=2,求证:

△ACD^ABCA.

【答案】证明见解析.

\rrr\

【分析】根据AC=2面，CD=4,BD=2,可得==力，根据/C=/C,即可证明结论.

nCAC

【详解】解：；4。=2及，8=4,BD=2

.AC276A/6CD4二二指

"BC-4+2-V'AC-2击一3

.ACCD

"BC-AC

vzc=zc

AACD^ABCA.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键.

AnAC

13.如图，在RSABC中，NACB=90。，点。在AB上，且一=—.

ACAB

(1)求证△ACDs^ABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求。的长.

【答案】(1)见解析；(2)展

【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出

ACD-ABC

(2)由ACD~ABC得ZADC=ZACB=90。，ZACD=ZB,推出_ACDCBD,由相似三

角形的性质得隼=黑，即可求出CD的长.

【详解】(1)＜A嘿D=A£C，NA=NA,

ACAB

・•・_ACD〜一ABC；

(2)VACD-.ABC,

ZADC=ZACB=90°,ZACD=ZB9

：.ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

・•・J^CD_CBD,

24

.CDBD

即m=ADBD=3x2=6,

"AZ?"CD

/.CD=娓.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关

键.

14.ABC中，ZABC=90°,AC,点E为的中点，连接AE并延长交8c于点R

且有AF=CF,过/点作由，AC于点H.

（1）求证：ADEs^CDB；

（2）求证：AE=2EF;

（3）若FH=6,求BC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.

【分析】（1）先根据垂直的定义可得ZADE=NCD3=90。，再根据等腰三角形的性质可得

ZDAE=ZDCB,然后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）先根据相似三角形的性质可得些=养=1,再根据等腰三角形的三线合一可得

CL）Do2

Ar）

AH=CH,从而可得二7=2,然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；

DH

DEAF

（3）先根据相似三角形的判定与性质可得辔=笠，从而可得。瓦BD的长，再根据相似

三角形的判定可得ABDBCD,然后利用相似三角形的性质可求出8的长，最后在

RtZ\BCD中，利用勾股定理即可得.

【详解】证明：（1）BD.LAC,FH.LAC,

ZADE=ZCDB=90°,BDFH,

AF=CF,

:.ZDAE=ZDCB,

ZADE=ZCDB

在VADE和△CDS中,

ZDAE=ZDCB

ADE.CDB；

(2).,点E为BD的中点，

:.DE=BE=~BD,

2

25

由（1）已证：ADECDB,

ADDE_1

,CD~DB~2"

设AD=a（a>0）,则CD=2a,AC=AD+CD=3a,

.FH±AC,AF=CF,

13

：.AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三线合一）,

22

:.DH=AH-AD=-a,

2

又，BDFH,

AEADa

.••/=丽=/=2,

一a

2

即AE=2EF；

（3）由（2）已证：AE=2EF,

AE=-AF,

3

BDFH,

:.^ADE_AHF,

DEAEnnDE2

FHAF百3

解得。E=g百，

:.BD=2DE=-y/3f

3

ZABC=90。,RD_LAC,

ZBAC+ZABD=ABAC+AC=90°,

・•.ZABD=NC,

在△加和△砂中，][“ZAD入B=”ZBDC=90°’

・•.ABDBCD,

.ADBD

,•茄一而‘

由（2）可知，设AD=Z?S>0）,则CD=2b,

解得6=3但或。=一2西（不符题意，舍去），

33

26

CD=2b=^-

3

则在RtZXBCD中，BC=^BD2+CD2==4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

15.如图，在△ABC中，。是8C上的点，E是上一点，K—,ZBAD=ZECA.

（1）求证：AC2=BC-CD；

（2）若是AABC的中线，求笠CF的值.

AC

【答案】（1）证明见解析；（2）显

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出ACE-得ZB=NEAC,进而求出

AABC^ADAC,再利用相似三角形的性质得出答案即可；

（2）由ACE可证NCD^=NC£D,进而得出CD=C石，再由（1）可证AC=0C。，

由此即可得出线段之间关系.

【详解】（1）证明：——=——,ZBAD=ZECA,

ACCE

.-.ABAD^AACEf

：.ZB=AEAC,

ZACB=NDCA,

:.AABC^ADAC,

.ACBC

"~CD~~AC'

AC2=BC.CD.

(2)解：BAD^ACE,

\ZBDA=ZAEC,

..NCDE=NCED,

:.CD=CE,

AO是△ABC的中线,

:.BC=2BD=2CD,

27

:.AC2=BC.CD=2CD2,即：AC=yflCD，

.CECD女

"AC0CD2'

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出

BAD^ACE是解题关键.

16.如图，已知矩形A3C。的两条对角线相交于点。，过点A作AGL3。分别交3D、BC

于点G、E.

(1)求证：EB2=EGEA；

(2)连接CG,若BE=CE.求证：ZCGE=ZDBC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）易证ABEGS^AEB,利用对应边成比例即可解决；

（2）由（1）的结论及8E=CE,易证明ACEGsAAEC,从而可得/CGE=/ACE,由OB=OC,

oi^ZCGE=ZDBC.

【详解】（1）•••四边形ABC。是矩形

ZABE=9Q°

：.ZABG+ZEBG=90°

'：AG±BD

：.ZABG+ZBAG=90°

：./EBG=/BAG

:・RtABEGsRtAAEB

.EBEG

•・瓦一商

EB2=EG.EA

（2）由（1）有：EB2=EGEA

;BE=CE

CE2=EGEA

,CEEA

"~EG~~CE

'：ZCEG=ZAEC

:.ACEGsLAEC

：.ZCGE=ZACE

:四边形ABC。是矩形

28

：.AC=BD

：.OB=OC

：./DBC=NACE

：.ZCGE=ZDBC

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

17.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

（1）求证：AAEDs^ADC；

（2）若AE=1,EC=3,求AB的长.

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性质及/DEC=/ADB可得出NADE=NC,结合

ZDAE=ZCAD即可证出4AED^AADC；

（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长.

【详解】解：（1）证明：:/DECn/DAE+NADE,ZADB=ZDAE+ZC,ZDEC=ZADB,

；.NADE=NC.

又；/DAE=NCAD,

.•.△AED^AADC.

（2）VAAED^AADC,

.ADAEAD1

••=,艮nnI）=,

ACAD1+3AD

；.AD=2或AD=-2（舍去）.

又：AD=AB,

/.AB=2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等,

两三角形相似”证出△AEDs^ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长.

18.如图，锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，垂足为D,E.

A

（1）求证：△ACD^AABE；

（2）若将点D,E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由.

29

【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解；

【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论；

（2）连接DE,根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论.

【详解】证明：（1）VCD,BE分别是AB,AC边上的高，

ZADC=ZAEB=90°.

.'.△ACD^AABE

（2）连接DE,

VAACD^AABE,

AAD：AE=AC：AB.

AAD：AC=AE：AB.

VZA=ZA.

/.△AED^AABC,

【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进

行证明是解题的关键.

19.如图，43是（。的直径，AD.BD是O的弦，2C是《。的切线，切点为3,OC//AD,

BA、CD的延长线相交于点E.

⑵若。的半径为4,ED=3AE,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）AE=1.

【分析】（1）连接OD,由题意易证△CDOgaCBO,然后根据三角形全等的性质可求证;

（2）由题意易得△EDAs/^EBD,然后根据相似三角形的性质及ED=3AE可求解.

【详解】（1）证明：连接OD,如图所示：

30

ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD,

X-OA=OD,

ZDAO=ZADO,

ZCOD=ZCOB,

OD=OB,OC=OC,

CDO^ACBO,

AZCDO=ZCBO,

BC是。的切线，

ZCBO=ZCDO=90°,

点D在。。上，

・'•CD是。的切线；

(2)由(1)图可得：

ZADO+ZEDA=90°,NODB=NDBO,

A8是。的直径，

•••ZADB=90°,即NADO+NODB=90°,

ZEDA=ZODB=ZDBO,

XZE=ZE,

AEDA0°AEBD,

ED?=AE-EB，

31

。的半径为4,ED=3AE,

AB=8,EB=AE+8,

9AE2=A£-(AE+8),

解得：AE=1.

【点睛】本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的

切线定理及判定定理是解题的关键.

20.如图1,在菱形ABC。中，AC是对角线，A2=AC=6,点、E、歹分别是边A3、BC上的

动点，且满足连接A尸与CE相交于点G.

(1)求NCG尸的度数.

(2)如图2,作DHLCE交CE于点H,若CT=4,AF=2币,求G8的值.

(3)如图3,点。为线段CE中点,将线段E。绕点E顺时针旋转60。得到线段EM,当AMAC

构成等腰三角形时，请直接写出AE的长.

【答案】(1)60°；(2)蛀；(3)2或3指一3

7

【分析】(1