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文档简介
专题05尺规作图(分层训练)
\J
分层训练
【基础训练】
一、解答题
1.(2023・江苏无锡•校联考二模)如图,已知E1ABC(AC<AB<BC),请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列
要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
(1)在边BC上确定一点P,使得PA+PC=BC;
(2)作出一个I3DEF,使得:①I3DEF是直角三角形;②I3DEF的周长等于边BC的长.
【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析
【分析】(1)作AB的垂直平分线交于点P,点P即为所求作;
(2)①在上取点D过点。作2C的垂线,
②在垂线上取点E使。乐。2,连接EC,
③作EC的垂直平分线交8c于点F-,
RtlBDE尸即为所求.
【详解】解:(1)作的垂直平分线交8c于点P即为所求作;
(2)①在BC上取点D过点。作BC的垂线,
②在垂线上取点E使DE=DB,连接EC,
③作EC的垂直平分线交8c于点尸;
EIRtElOEF即为所求.
点睛:本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法.解题的关键是熟练掌握基本作图.
2.(2023・江苏无锡•统考中考真题)(1)如图1,RtAABC中,配=90。,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半
径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证:祭=当二.(这个比值与叫做
AE与AB的黄金比.)
(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2
中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC.
(注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注)
【答案】(1)证明见解析;(2)作图见解析.
【分析】(1)利用位置数表示出AB,AC,BC的长,进而得出AE的长,进而得出答案.
(2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,画图即可.
【详解】解:(1)证明:ISRtAABC中,配=90°,AB=2BC,
团设AB=2x,BC=x,贝ijAC=V5x.
0AD=AE=(V5-1)北武=超二h=旦.
17AB2x2
(2)底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如答图,AABC即为所求.
考点:1.新定义;2.作图(应用与设计作图);3.勾股定理;4.等腰三角形的性质;5.待定系数法的应用.
3.(2023•福建福州•福建省福州华侨中学校考模拟预测)如图,△ABC,AADE均为等腰直角三角形,NC4B=
/.EAD=90°,AC=AB,AD=AE,反为BC的中点,连接BD.
A
E
H
⑴尺规作图:求作点R使得BD=BF,BD1BF,点尸在8。下方;
(2)在(1)的条件下,求证:E,H,B三点共线.
【答案】⑴见解析
(2)见解析
【分析】(1)延长DB,在其延长线上取BD=BG,作线段DG的垂直平分线,在BM上且在BD下方截取BD=BF,
即可求得答案;
⑵连接CE,EH,FH,可证ACAESABAD(SAS),可得CE=BD=BF,^ACE=^ABD=a,再证NEC"=
乙FBH,CH=BH,即可证得八ECHSAFBH(SAS),可知4EHC=乙FHB,由NEHC+Z.EHB=180°,可知
Z.FHB+Z.EHB=180°,即可证得E,H,F三点共线.
【详解】(1)解:延长CB,在其延长线上取BD=BG,以点。,点G为圆心,适当长为半径画弧交于一点M,
连接可知为线段DG的垂直平分线,在上且在BD下方截取BO=8/,
如图,点尸即为所求;
(2)证明:连接CE,EH,FH,
^\Z.CAB=/.EAD=90°,AC=AB,AD=AE,
贝U/CAB-^CAD=/LEAD-ACAD,AACB=^ABC=45°,
0ZCXE=Z-BAD,
0ACAE三△BAO(SAS),
团CE=BD=BF,Z,ACE=乙ABD=a,
^AECH=/.ACE+乙ACB=45。+a,乙DBC=乙ABC-4ABD=45°-a,
SBD1BF,
EINDBF=90°,贝ijNFBH=乙DBF-乙DBC=90°-(45°一a)=45°+a,
EINECH=乙FBH,
又回“为CB的中点,
EICH=BH,
0AECH三△FBH(SAS),
0ZEWC=乙FHB,
X13ZEHC+Z.EHB=180°,
EINFHB+乙EHB=180°,
fflf,H,F三点共线.
【点睛】本题考查尺规作图,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定及性质,作出图形,掌握相关性
质是解决问题的关键.
4.(2023下•浙江台州•八年级台州市书生中学校考阶段练习)如图1,E,4分另2在团2BCD的边BC,20上.
C1)若BE=DF,求证:四边形4ECF是平行四边形;
(2)请在图2中用圆规和无刻度的直尺画出四边形4ECF,使得四边形4ECF是菱形.(不写作法,保留作
图痕迹)
图1图2
【答案】(1)证明见解析;(2)作图见解析.
【分析】(])通过平行四边形的判定定理"有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论:四边形
AECT为平行四边形;
(2)作线段AC的垂直平分线MN,交于凡交BC于E,连接E4、CF,四边形AECF即为所求;
【详解】解:(1)因四边形A2CZ)是平行四边形,
0AO=BC,AD^BC,
又团
0AF=CE,
团四边形AEC厂为平行四边形;
(2)如图,四边形AECb就是所求作的菱形.
^EF是线段AC的垂直平分线
团购二尸C
团团丛C二团尸CA
^AD/7BC
mACE=^\FAC
^\OCE=BOCF
幽0。£盟0。尸
^\EC=CF=FA,EC^AF
回四边形AECF是菱形
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定,线段垂直平行线的性质,全等三角形的性质与判定,
以及菱形的判定,关键是掌握①平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相,对角线互相平分,
②菱形的判定定理:①菱形定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形.
5.(2022下•福建龙岩•八年级校联考期中)如图A4BC中,0ACB=9O°,AC=V5-1,BC=V5+1
⑴尺规作图(保留作图痕迹,不写作法)
在线段AB上取一点。,使49=8。,并连结C。
(2)求线段C。的长度
【答案】⑴见解析
(2)线段C。的长度为1.
【分析】。)作线段AB的垂直平分线即可得到结论;
(2)根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】(1)解:如图,点。为所作;
(2)解:在R/AA3C中,AC=V5-1,BC=V5+1,
0AB=Vi4C2+BC2=J(V5-l)2+(V5+1)2=2,
0Ao=B0,
0CO=-AB=-X2=1.
22
【点睛】本题考查了作图-基本作图,勾股定理,直角三角形的性质,正确地作出图形是解题的关键.
6.(2022•陕西西安•校考模拟预测)如图,在△力BC中,AB=AC,4。1BC于点。,点E在8c上,请利用尺
规作图法,求作NBEF,使得乙BEF=4BAD,EF与边交于点F.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图即可.
【详解】解:如图所示,NBEF即为所求.
【点睛】本题主要考查作图一基本作图,解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤.
7.(2023下•江苏常州•七年级统考期中)如图,已知AABC.
A
⑴在图中先画AaBC的中线a。,再画△ac。的中线CE(不需要写画法);
⑵在(1)的条件下,若ACDE的面积是3,则AABC的面积是
【答案】⑴作图见解析
(2)12
【分析】(1)画8c的中垂线,交BC于点0,连接2D,画2。的中垂线,交AD于点E,连接CE;
(2)利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解.
【详解】(1)解:如图,
(2)回CE是△4CD的中线,AaDE的面积是3,
EIA4CD的面积是:3x2=6,
EL40是A48C的中线,
EIAABC的面积是:6X2=12.
故答案为:12.
【点睛】本题考查尺规作图一画线段的中垂线,三角形中线的性质.掌握尺规作图和三角形中线的性质是解
题的关键.
8.(2023•湖南长沙•统考中考真题)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平
分线的方法:
已知:Z.AOB
求作:乙40B的平分线
做法:(1)以。为圆心,适当长为半径画弧,交0A于点M,交0B于点N,
(2)分别以点M,N为圆心,大于^MN的长为半径画弧,两弧在N40B的内部相交于点C
(3)画射线0C,射线0C即为所求.
请你根据提供的材料完成下面问题:
(1)这种作已知角平分线的方法的依据是(填序号).
①SSS②SAS@AAS@ASA
(2)请你证明0C为乙40B的平分线.
【答案】(1)①;(2)证明见解析
【分析】(1)根据作图的过程知道:0M=0N,OC=OC,CM=CM,由"SSS"可以证得EIEOCEHDOC;
(2)根据作图的过程知道:0M=0N,OC=OC,CM=CM,由全等三角形的判定定理SSS可以证得回EOCE0DOC,
从而得到0C为乙40B的平分线.
【详解】(1)根据作图的过程知道:0M=0N,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理SSS可以证
得回EOCEHDOC,从而得至【J0C为的平分线;
故答案为:①;
(2)如图,
连接MC、NC.
根据作图的过程知,
在IBMOC与回NOC中,
OM=ON
OC=OC,
CM=CN
00MOC00NOC(SSS),
0AOC=0BOC,
EIOC为乙40B的平分线.
【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用,注意:三角形全等的判定定理有SAS,
ASA,AAS,SSS,HL.
9.(2023・广东广州・统考一模)己知。。为△ABC的外接圆,的半径为6.
(1)如图,48是。。的直径,点C是脑的中点.
①尺规作图:作N2CB的角平分线CD,交O0于点。,连接BD(保留作图痕迹,不写作法):
②求BD的长度.
(2)如图,2B是O。的非直径弦,点C在AB上运动,^ACD=Z.BCD=60°,点C在运动的过程中,四边形4DBC
的面积是否存在最大值,若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】⑴①见解析;@6V2
(2)存在,最大值为36g
【分析】(1)①根据角平分线的作图方法画出CD,在连接BD即可;②由点C是脑的中点,得出=根
据等腰三角形的性质得出CD14B.结合力B是O。的直径,即得出CO经过圆心0,即NBOD=90。,最后根
据勾股定理求解即可.
(2)连接48,过点。作DC4B于点E,交O。于点C',过点C作CF1AB.由题意易证△4D8为等边三
角形.根据DC'IAB,即得出DC,为。。直径,L是脑的中点.根据AADB为等边三角形,可得出4B和4B
边上的高都为定值,再根据根据S四边形ADBC=[4B・(DE+CF),即得出当C尸最大时,S四边形ABCD最大,此
时点C与点C'重合,即当点C为脑中点时,S四边形4DBC最大,此时DC为O。直径,得出此时乙4=48=90。.易
求出乙4DC=90°-乙4co=30。,结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出AC=孑。。=6,4。=
y/CD2-AC2=6V3,进而可求出S-CD=|^C-AD=18>/3,又易证△BCD三AACD(SSS),得出S4BCD=
S
SAACD=18V3,从而可求出s四边形4BCD=^BCD+ShACD=36聪,即点C在运动过程中,四边形2D8C的面
积存在最大值,最大值为36次.
【详解】(1)解:①如图1,即为所作图形;
D
图1
②团点C是脑的中点,
EL4C=BC.
[BCD是乙4c8的平分线,
SCD1AB.
EL4B是。。的直径,
EICC经过圆心O,
^BOD=90°.
回。。的半径为6,
回。8=OD=6,
EIBD=VOB2+OD2=6V2;
(2)点C在运动过程中,四边形8c的面积存在最大值.
理由:如图,连接2B,过点。作DL1AB于点E,交O。于点C',过点C作
C'C
图2
0ZXCO=乙BCD=60°,
EIAS=RD,/.ACB=2乙BCD=120°,
EL4D=BD.
回四边形ADBC为O。内接四边形,
0ZXPB=1800-AACB=60°,
0A力DB为等边三角形.
0£)C,rAB,
SDL为。。直径,。是脑的中点.
回S四边形4DBC=S^ABD+SAABC,
11-1
圈四边形4DBC=5AB-DE+-AB•CF=-AB•(DE+CF).
0A力DB为等边三角形,
团48和28边上的高都为定值,
团当CF最大时,S四边形"Be最大,此时点C与点C'重合,
回当点C为脑中点时,S四边形最大,此时为。。直径,
0ZX=ZB=90°,如图3.
图3
EIO。的半径为6,
团CD=12.
^ADC=90°一"CD=30°,
^AC=-CD=6,
2
团4Q=yJCD2-AC2=6V3,
团SMCD=|>4C-AD=|x6x6A/3=18A/3.
0BD=AD,BC=AC,CD=CD,
SABCD三△ZCO(SSS),
国SABCD~SMCD=18V3,
团S四边形ABCD=SABCD+SAACD=36V5,
团点C在运动过程中,四边形4DBC的面积存在最大值,最大值为36百.
【点睛】本题考查作图一角平分线,勾股定理,圆周角定理的推论,垂径定理,弧、弦、圆心角的关系,圆
内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,三角形全等的判定和性质,
综合性强.正确作出辅助线,并利用数形结合的思想是解题关键.
10.(2023•福建福州•统考二模)如图,已知NMON,A,B分别是射线。M,。。上的点.
(1)尺规作图:在NM0N的内部确定一点C,使得8c〃。4且BC=卷。4;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)中,连接0C,用无刻度直尺在线段0C上确定一点。,使得。。=2CD,并证明0D=2CD.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)画法一:根据作一个角等于已知角,得到0M的平行线,在平行线上截取0A的长度,再作线
段垂直平分线即可,点C即为所求作的点;
画法二:根据作一个角等于已知角,得到0M的平行线,作0A的垂直平分线,在平行线上截取BC^OA的
长度,点C即为所求作的点;
(2)连接OC,AB交于点D,点D即为所求作的点;利用相似三角形的性质证明即可.
【详解】解:画法一:
M
oBN
画法二:
如图,点C,。分别为(1),(2)所求作的点.
(2)证明如下:由(1)得BC〃oa,BC=[oa,
也乙DBC=Z-DAO,Z.DCB=Z-DOA,
MDBC-ADAO,
BOD=2CD.
【点睛】本题考查复杂作图,熟练掌握基本作图步骤是解题的关键.
11.(2023•山东淄博・统考二模)(1)已知如图1:BABC.求作:00,使它经过点B和点C,并且圆心。在
她的平分线上(保留作图痕迹).
(2)如图2,点尸在线段A8上,ADSBC,AC交DF于点、E,SBAC^SADF,AE=BC.求证:0AC。是等
腰三角形.
【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析
【分析】(1)分别作出/A的角平分线和线段BC的垂直平分线,它们的交点即为圆心O,再以0C为半径
画圆即可;
(2)利用"A4S”证明0AQ£H3c48,即可得至l」AD=CA,即可求证.
【详解】解:(1)如图所示:回。即为所求.
(2)证明:0AD0BC,
00CA£)=0BCA,gP0EA£)=0BCA.
又EGA。尸=EICAB,AE=BC,
00ADEEIEICAB(44S),
0AD=AC;
ElEIACD是等腰三角形.。
【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定与性质,涉及到作一个角的平分线和线段的垂直平分线、
平行线的性质、证明三角形全等以及利用全等三角形的性质证明线段相等等内容,解决本题的关键是牢记
尺规作图的原理和方法、牢记相关概念等.
12.(2023・重庆九龙坡・重庆市育才中学校考一模)如图,四边形48CD是菱形,连接AC,点E在
线段4C上,连接BE,BE的延长线交力。于点F.
⑴用尺规完成以下基本作图:在ABAC内部作NC4G,使得NC4G="BE"G交BE边于点M,交BC于点N,
交DC的延长线于点G.(保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,求证:AF=CG.完成下列填空.
证明:•・•四边形/BCD是菱形;
团AB=AD=CB=CD,AB\\DC,^BAC=^DAC;
vAD=AC;
・•.△ABC与—均为等边三角形;
AB=_,Z-D—Z-ACD—60°;
・••Z.BAF=_=120°;
在△4FB与中,
2BAF=^LACG
AB=CA
./-ABF=Z.CAG
AFB三△CGA(ASA);
【答案】⑴见解析
(2)^ADC;AC;Z.ACG;AF=CG
【分析】(1)根据题意作NC/G=乙48£,4G交BE边于点M,交BC于点N,交。C的延长线于点G;
(2)根据菱形的性质,结合条件4)=4?得出△ABC与△4DC均为等边三角形;进而证明
CG4(ASA);根据全等三角形的性质即可求解.
【详解】(1)解:如图所示,
(2)证明:•・•四边形/BCD是菱形;
^AB=AD=CB=CD,AB\\DC,^BAC=Z.DAC;
vAD=AC;
・•.△ADC均为等边三角形;
AB=AC,=乙4co=60°;
•••Z.BAF=AACG=120°;
在△AFgACGA中,
ABAF=乙4CG
AB=CA
ZABF=MAG
:.AAFB=△CGA(ASA);
AF=CG.
故答案为:AADC;AC;^ACG;AF=CG.
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角,菱形的性质,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与
判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
13.(2023•广东汕头•统考一模)在A48C中,AB=AC,ZA=36°.
(1)作ZABC的平分线BZ),交AC于点。(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)条件下,比较线段与BC的大小关系,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)DA=BC,理由详见解析.
【分析】(1)利用基本作图(作已知角的角平分线)作出BD;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出回ABC=®C=72。,再利用角平分线的定义得到
0ABD=0CBD=36°,然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB,DB=DC,所以BD=AD.
【详解】解:(1)如图所示,8。为所作;
(2)DA=BC.
理由如下:
^\AB=AC,
1
0ZJ1BC=ZC=)180。-36°)=72°,
团3。平分
m\BD=^CBD=36°,
回财50二她,
SDA=DB,
00Br>C=EL4+EL4B£>=72°,
EH8£)C=[2C,
^\BD=BC,
SDA^BC.
【点睛】本题考查了基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作
已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
14.(2023•浙江嘉兴•统考一模)如图,在A42c中,Z.B=25°,ZBXC=115°.
B
(1)尺规作图:作边4B的中垂线交边BC于点。,再以点。为圆心,OB长为半径作回。.
(2)判断:在(1)所作图形中,直线4C与国。的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)相切,理由见解析.
【分析】(1)按照线段垂直平分线的作图步骤规范作图即可;
(2)连接。4,证明IBOAC=90唧可.
【详解】(1)分别以A、8为圆心,以大于长为半径,画弧,二弧交于点点N,
设直线与2C交点为。,以。为圆心,以02为半径作圆,则回。即为所求;
(2)直线AC与回。相切.理由如下:
连接。4,
038=25°,OA=OB,
回团&10=25°,
a3BAC=115°,
fflOAC=90°,
El直线AC与团。相切.
【点睛】本题考查了线段中垂线的基本作图,画圆,切线的判定,熟练掌握线段中垂线的作图,灵活证明
直线是圆的切线是解题的关键.
15.(2022,黑龙江绥化•统考二模)如图,△ABC是直角二角形,^ACB=90°.
⑴利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作△ABC的外接圆。0;
②以线段4C为一边,在4C的右侧作等边三角形2CD;
③连接BD,交。。于点E,连接AE;
⑵在(1)中所作的图中,若AB=4,BC=2,则线段2E的长为.
【答案】(1)作图见解析;
(2)^vn.
【分析】(1)利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点,先做A2的垂直平分线,找出圆心。,以。
为圆心,04为半径画圆即可,再分别以A,8为圆心,A3为半径画弧交于点。,连接A£),CD,即可做出
等边三角形力CD;
(2)证明勖AD=90。,利用勾股定理求出BD=+力"=2上,再利用等面积法即可求出线段AE的长.
【详解】(1)解:作图如下:
(2)解:EAB=4,BC=2,MCD是等边三角形,
00BAZ)=0BAC+0CAZ)=3OO+6OO=9OO,
EL40=AC=ABx^-=2A/3,
EIBD=7AB2+4£)2=2小,
-ABAD4,——
EL4E=%一=-A/21,
|BC7
故线段AE的长为三国
【点睛】本题考查三角形的外接圆,垂直平分线的作法,等边三角形的性质,勾股定理,(1)的关键是掌
握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点,(2)的关键是证明回84。=90。.
16.(2022上•贵州贵阳•九年级统考阶段练习)数学课上,老师提出一个问题:已知:RtAABC,AABC=90°.求
作:矩形4BCD.小红的作法如下:作线段4C的垂直平分线交4C于点0,过。点作射线8M,在射线OM上截
取。。=。8,连接04DC,则四边形4BCD即为所求.
⑴请根据小红的作法,利用尺规作图完成作图(保留作图痕迹)保留作图痕迹;
⑵求证:四边形力BCD是矩形.
【答案】⑴见解析
(2)见解析
【分析】(1)分别以点4C为圆点,以、48长为半径作弧,两弧相较于点£»,再连接ZM、DC,四
边形力BCD即为所求;
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可.
【详解】(1)解:如图,以点2为圆点,BC长为半径作弧,以点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧相较
于点D;连接D4、DC,四边形4BCD即为矩形.
(2)证明:由作法得=CD=AB
二四边形4BCD为平行四边形
•••4ABC=90°
••・四边形4BCD为矩形.
【点睛】本题考查了作图一一复杂作图,矩形的判定等知识,解题的关键是掌握矩形的判定方法,属于中考
常考题型.
17.(2022•福建福州•福建省福州延安中学校考模拟预测)如图,回。是AABC的外接圆,A3为直径.
⑴在至上求作点。,使得乙4BD=NC4D;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AB=10,BC=6,求8。的长.
【答案】⑴见解析
(2)475
【分析】(1)利用尺规作图做出0ABC的平分线,角平分线与圆的交点即为所求;
(2)首先利用勾股定理求得AC=8,然后利用圆周角定理得到等角,证明△DOfMABC求出。f和。尸的长,
最后利用勾股定理求出结果.
【详解】(1)如图,作0ABe的角平分线,交弧AC于。,
则A®=CD,
^\ABD=^CAD,
点。就是所求作的图形.
(2)连接A。,OD,过。作。R3AB于点尸
EL4B是直径,
EIZC=90°.
囿48=10,BC=6,
EL4c=7AB2-BC2=Vio2-62=8,
国乙4。。=2Z.ABD=/.ABC,乙DFB=90°=Z.ACB,
^SiDOFSEABC,
DF_OF_OD
'AC~BC~AB
「DFOF5
0-=—=—
8610
0DF=4,OF=3,
回=8。+。尸=8,
团在Rf^BDF中,80=VBF2+DF2=V42+82=4V5.
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理及推论,在圆中利用弧确定角之间关
系是解决问题的关键.
18.(2023,广东广州•广州市番禺区市桥星海中学校考一模)如图,在菱形2BCD中,对角线AC,BD相交于
点O;
⑴尺规作图:过点C作4B的垂线,垂足为民(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若4C=4,BD=2,求COSNBCE的值.
【答案】⑴见解析
此
【分析】本题考查了尺规作图,线段垂直平分线的判定定理,菱形的性质,勾股定理等;
(1)延长2B,以C为圆心,适当的长度为半径画弧交4B的延长线两点,再以此两点为圆心,大于此两点连
线段一半为半径画弧交于一点并连接C与此点,交4B的延长线于E,即可求解;
(2)由菱形的性质可求。4=2,OB=1,再由勾股定理可求4B=西,由AB=14即可求解;
掌握"过直线外一点作已知直线的垂线"的作法,面积转换:=是解题的关键.
【详解】(1)解:如图,CE为所作;
(2)解:•四边形4BCD为菱形,
0A=-AC=2,
2
OB=-BD=1,
2
AC1BD,AB=BC,
在Rt△中,
AB=yjOA2+OB2
="+P
=V5,
•••AB-CE-AC-BD,
2
—2X44V5
・•・CE=?产=—,
V55
•・•BC=AB=V5,
CE
•••cos乙BCE=——
BC
4V5
_I-
F
_4
-5,
19.(2023•浙江温州•校联考一模)(1)如图,已知AABC,请你作出AB边上的高CD,AC边上的中
线BE,角平分线AF(不写作法,保留痕迹)
(2)如图,直线I表示一条公路,点A,点B表示两个村庄.现要在公路上造一个车站,并使
车站到两个村庄A,B的距离之和最短,问车站建在何处?请在图上标明地点,并说明理由.(要
求尺规作图,不写作法)
【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析.
【分析】(1)延长瓦1,按照过直线外一点作直线的垂线步骤作CD1力屏作AC的垂直平分线交AC于E,
连接BE即是AC边上的中线;作0A的平分线,按照作一个角的平分线的作法来做即可.
(2)画出点A关于直线/的对称点4,连接4B交/于点C,连接AC,由对称的性质可知AC=4C,由两
点之间线段最短可知点C即为所求点.
【详解】解:(1)所画图形如下所示:
(2)画出点A关于直线I的对称点4,连接48交/于点C,连接AC,
0A,A关于直线/对称,
胤4c=A'C,
回AC+BC=A'B,
由两点之间线段最短可知,线段AB的长即为2C+BC的最小值,故C点即为所求点.
【点睛】(1)主要考查三角形的角平分线,中线和高的作法;(2)熟知对称的性质以及两点之间线段最短的
知识是解答此题的关键.
20.(2022•广东韶关•统考一模)如图,在0ABe中,已知AB=5,AC=9,BC=7.
(1)尺规作图:作AC的垂直平分线QE,与AC交于点。,与BC交于点E,连接AE;
(2)求0A8E的周长.
【答案】(1)详见解析;(2)12
【分析】(1)分别以点A、C为圆心,以大于(AC长为半径画.弧,在AC的两侧两弧分别相交于一点,过这
两点作直线即可;
(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE,从而得到AABE的周长等于AB与
BC的和,代入数据进行计算即可.
【详解】解:(1)作图如图所示.
(2)0£)E垂直平分AC,0AE=EC,
^AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC.
EL4B=5,BC=1,
0AB+BE+AE=5+7=12,即HABE的周长为12.
【点睛】本题考查了基本作图,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,主要是线段垂直
平分线的作法,是基本作图,需熟练掌握.
【能力提升】
21.(2023・上海普陀・统考二模)如图,在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中,A、B为格点,M为
4B与网格横线的交点,请仅用无刻度直尺,在给定的网格中依次完成下列画图,过程线用虚线,结果线用
实线.
图1图2
(1)在图1中找格点C、D,使四边形力BCD是菱形;
⑵在图1中画点M关于直线AC的对称点M,;
⑶在图2中找格点C,使四边形BCNM为矩形;
⑷在图2中画MN的垂直平分线.
【答案】⑴见解析
⑵见解析
⑶见解析
⑷见解析
【分析】(1)根据勾股定理求出4B的长,将线段2B向右平移5个单位长度的到线段CD,连接4D,BC,即
可得到菱形4BCD;
(2)连接DM交4c于点P,连接BP并延长,交4D于点M',点即为所求;
(3)作以4B,8c为边的正方形,再构造矩形8CNM即可;
(4)取正方形的边BC和4。的中点,连接两个中点形成的直线即为MN的垂直平分线.
【详解】(1)解:由勾股定理得:=,32+52=5,
将线段2B向右平移5个单位长度的到线段CD,连接即可得到菱形4BCD,如图所示:
(2)解:连接。M交4C于点P,连接BP并延长,交2。于点点AT即为所求,如图所示:
回菱形4BCD,
EL4D=AB,Z.BAC=Z.DAC,
EL4P=AP,
团△力PBmAdPD(SAS),
BZ.ABP-Z.ADP,
EL4B=AD,/.BAD=4DAB,
0ABAM'三△DAM(ASA),
SIAM=AM',
又4MAC=^M'AC,
EL4c垂直平分MM',
即:点/关于直线AC的对称点为点M)
(3)解:作以48,BC为边的正方形4BCD,过点M作MN||BC,交CD于点N,则矩形BCNM,即为所求,
如图所示:
图2
(4)如图,取格点E,F,连接EF交力。于点P,取格点K,L,连接KL交BC于点Q,则P,Q为正方形的边4D和
BC的中点,连接PQ形成的直线即为MN的垂直平分线.如图所示:
图2
EL4E=DF=3,AE||DF,
0Z.E=Z.F,Z.EAD=乙FDP,
[?]△APEDP尸(ASA),
团AP=PD,
ap为力。的中点,
同法可得:Q为BC的中点,
11
^\AP=-AD=-BC=BQ,
团/PIIPQ/ABC=90°,
团四边形/P8Q为矩形,
回PQ1BC,
回||MN,
团PQ1MN,
设PQ与MN交于点”,贝IJ:四边形BQHM为矩形,
SMH=BQ=-BC=-MN,
<22
EIPQ是MN的中垂线.
【点睛】本题考查无刻度直尺作图.同时考查了菱形的判定和性质,正方形的判定和性质,全等三角形的
判定和性质,矩形判定和性质.熟练掌握相关知识点,是解题的关键.
22.(2022•湖北武汉•校考模拟预测)网格中每个小正方形的顶点称为格点,图中4B,C,D,E均为格点,
仅用无刻度直尺依次完成下列画图,画图过程用虚线,画图结果用实线.
图1图2
⑴在图1中,先在CD上画点M,使BE1EM,再在BC上画点N,使得使△DEM八CMN;
(2)在图2中,先在2。上画点F,使平分N4BE,再在BE上画点使得=HF.
【答案】⑴见解析
⑵见解析
【分析】(1)取点P,连接EP交CD于M,取点Q,连接BQ交网格线于点/,连接M/,交BC于点N,点M、点
M即为所求;
(2)取格点M、N,连接MN交网格线于点K,取格点T,连接TK交4。于点F,在BC上取一点R,使4F=BR,
连接RF交BE于点H,点尸、点H即为所求.
【详解】(1)解:如图,点M、点M即为所求,
j一.<….和…4v卜1
图
(2)解:如图,点F、点H即为所求,
T
AE_
113
BR、、
【点睛】本题考查了作图一复杂作图,相似三角形的判定与性质,矩形的性质,等腰三角形的判定与性质,
解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识点.
23.(2023•湖北武汉•武汉市卓刀泉中学统考模拟预测)如图是由小正方形组成的9X9网格,每个小正方形
的顶点叫作格点.已知点4B,C都在格点上,仅用无刻度的直尺在网格中画图,画图过程用虚线表示,画
图结果用实线表示.
图1图2
(1)如图1,在BC上找一点E使NBAE=45。,再在4B上找一点F,使EF14B;
(2)如图2,。为BC上一点,作C关于4B的对称点,过。作DP14B于点P.
【答案】(1)见解析
⑵见解析
【分析】(1)取格点G,连接4G并延长,交BC于点E,取格点D,连接2D,连接点E与4D,BG的交点并延长,
交力B于点F,点瓦F即为所求;
(2)倍长C4,C8于点M,N,连接MN,取格点G,连接CG并延长,交MN于点C',点C'即为点C关于4B的对
称点,连接B。,连接C'D交4B于点K,连接CK并延长,交BC'于点/,连接D/交4B于点P,点P即为所求.
【详解】(])取格点G,连接4G并延长,交BC于点E,取格点D,连接2。,连接点E与力。,8G的交点并延长,
交48于点F,点E,尸即为所求,如图所示:
由勾股定理,得:AG=BG=V32+I2=V10,AB=V22+42=2痘,
SAG2+BG2=AB2,
团△力GB为等腰直角三角形,
EINBAE=45°,
根据三角形的三条高线交于一点,可知:EFLAB,
回点E,尸即为所求;
(2)倍长C4c8于点M,N,连接用N,取格点G,连接CG交28于点E,延长CG,交MN于点C,点C'即为点
C关于的对称点,连接BC,,连接C'。交于点K,连接CK并
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