中考数学一轮复习强化训练：尺规作图（分层训练）解析版

专题05尺规作图（分层训练）

\J

分层训练

【基础训练】

一、解答题

1.（2023・江苏无锡•校联考二模）如图，已知E1ABC（AC<AB<BC）,请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列

要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）在边BC上确定一点P,使得PA+PC=BC；

（2）作出一个I3DEF,使得：①I3DEF是直角三角形；②I3DEF的周长等于边BC的长.

【答案】（1）作图见解析（2）答案见解析

【分析】（1）作AB的垂直平分线交于点P,点P即为所求作;

（2）①在上取点D过点。作2C的垂线，

②在垂线上取点E使。乐。2,连接EC,

③作EC的垂直平分线交8c于点F-,

RtlBDE尸即为所求.

【详解】解：（1）作的垂直平分线交8c于点P即为所求作；

（2）①在BC上取点D过点。作BC的垂线，

②在垂线上取点E使DE=DB,连接EC,

③作EC的垂直平分线交8c于点尸；

EIRtElOEF即为所求.

点睛：本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法.解题的关键是熟练掌握基本作图.

2.（2023・江苏无锡•统考中考真题）（1）如图1,RtAABC中，配=90。，AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半

径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证：祭=当二.（这个比值与叫做

AE与AB的黄金比.）

（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2

中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.

（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.

【分析】（1）利用位置数表示出AB,AC,BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案.

（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可.

【详解】解：（1）证明：ISRtAABC中，配=90°,AB=2BC,

团设AB=2x,BC=x,贝ijAC=V5x.

0AD=AE=（V5-1）北武=超二h=旦.

17AB2x2

（2）底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，AABC即为所求.

考点：1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用.

3.（2023•福建福州•福建省福州华侨中学校考模拟预测）如图，△ABC,AADE均为等腰直角三角形，NC4B=

/.EAD=90°,AC=AB,AD=AE,反为BC的中点，连接BD.

A

E

H

⑴尺规作图：求作点R使得BD=BF,BD1BF,点尸在8。下方;

(2)在(1)的条件下，求证：E,H,B三点共线.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)延长DB,在其延长线上取BD=BG,作线段DG的垂直平分线，在BM上且在BD下方截取BD=BF,

即可求得答案；

⑵连接CE,EH,FH,可证ACAESABAD(SAS),可得CE=BD=BF,^ACE=^ABD=a,再证NEC"=

乙FBH,CH=BH,即可证得八ECHSAFBH(SAS),可知4EHC=乙FHB,由NEHC+Z.EHB=180°,可知

Z.FHB+Z.EHB=180°,即可证得E,H,F三点共线.

【详解】(1)解：延长CB,在其延长线上取BD=BG,以点。，点G为圆心，适当长为半径画弧交于一点M,

连接可知为线段DG的垂直平分线，在上且在BD下方截取BO=8/，

如图，点尸即为所求；

(2)证明：连接CE,EH,FH,

^\Z.CAB=/.EAD=90°,AC=AB,AD=AE,

贝U/CAB-^CAD=/LEAD-ACAD,AACB=^ABC=45°,

0ZCXE=Z-BAD,

0ACAE三△BAO(SAS),

团CE=BD=BF,Z,ACE=乙ABD=a,

^AECH=/.ACE+乙ACB=45。+a,乙DBC=乙ABC-4ABD=45°-a,

SBD1BF,

EINDBF=90°,贝ijNFBH=乙DBF-乙DBC=90°-（45°一a）=45°+a,

EINECH=乙FBH,

又回“为CB的中点，

EICH=BH,

0AECH三△FBH（SAS）,

0ZEWC=乙FHB,

X13ZEHC+Z.EHB=180°,

EINFHB+乙EHB=180°,

fflf,H,F三点共线.

【点睛】本题考查尺规作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，作出图形，掌握相关性

质是解决问题的关键.

4.（2023下•浙江台州•八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图1,E,4分另2在团2BCD的边BC,20上.

C1）若BE=DF,求证：四边形4ECF是平行四边形；

（2）请在图2中用圆规和无刻度的直尺画出四边形4ECF,使得四边形4ECF是菱形.（不写作法，保留作

图痕迹）

图1图2

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.

【分析】（］）通过平行四边形的判定定理"有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论：四边形

AECT为平行四边形；

（2）作线段AC的垂直平分线MN,交于凡交BC于E,连接E4、CF,四边形AECF即为所求；

【详解】解：（1）因四边形A2CZ）是平行四边形，

0AO=BC,AD^BC,

又团

0AF=CE,

团四边形AEC厂为平行四边形；

(2)如图，四边形AECb就是所求作的菱形.

^EF是线段AC的垂直平分线

团购二尸C

团团丛C二团尸CA

^AD/7BC

mACE=^\FAC

^\OCE=BOCF

幽0。£盟0。尸

^\EC=CF=FA,EC^AF

回四边形AECF是菱形

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，线段垂直平行线的性质，全等三角形的性质与判定，

以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分,

②菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形.

5.(2022下•福建龙岩•八年级校联考期中)如图A4BC中，0ACB=9O°,AC=V5-1,BC=V5+1

⑴尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)

在线段AB上取一点。，使49=8。，并连结C。

(2)求线段C。的长度

【答案】⑴见解析

(2)线段C。的长度为1.

【分析】。）作线段AB的垂直平分线即可得到结论；

（2）根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）解：如图，点。为所作；

（2）解：在R/AA3C中，AC=V5-1,BC=V5+1,

0AB=Vi4C2+BC2=J（V5-l）2+（V5+1）2=2,

0Ao=B0,

0CO=-AB=-X2=1.

22

【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键.

6.（2022•陕西西安•校考模拟预测）如图，在△力BC中，AB=AC,4。1BC于点。，点E在8c上，请利用尺

规作图法，求作NBEF,使得乙BEF=4BAD,EF与边交于点F.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图即可.

【详解】解：如图所示，NBEF即为所求.

【点睛】本题主要考查作图一基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤.

7.（2023下•江苏常州•七年级统考期中）如图，已知AABC.

A

⑴在图中先画AaBC的中线a。，再画△ac。的中线CE（不需要写画法）；

⑵在（1）的条件下，若ACDE的面积是3,则AABC的面积是

【答案】⑴作图见解析

(2)12

【分析】（1）画8c的中垂线，交BC于点0,连接2D,画2。的中垂线，交AD于点E,连接CE；

（2）利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解.

【详解】（1）解：如图，

（2）回CE是△4CD的中线，AaDE的面积是3,

EIA4CD的面积是：3x2=6,

EL40是A48C的中线，

EIAABC的面积是：6X2=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查尺规作图一画线段的中垂线，三角形中线的性质.掌握尺规作图和三角形中线的性质是解

题的关键.

8.（2023•湖南长沙•统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平

分线的方法：

已知：Z.AOB

求作：乙40B的平分线

做法：（1）以。为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M,交0B于点N,

（2）分别以点M,N为圆心，大于^MN的长为半径画弧，两弧在N40B的内部相交于点C

（3）画射线0C,射线0C即为所求.

请你根据提供的材料完成下面问题：

（1）这种作已知角平分线的方法的依据是（填序号）.

①SSS②SAS@AAS@ASA

（2）请你证明0C为乙40B的平分线.

【答案】（1）①；（2）证明见解析

【分析】（1）根据作图的过程知道：0M=0N,OC=OC,CM=CM,由"SSS"可以证得EIEOCEHDOC；

（2）根据作图的过程知道：0M=0N,OC=OC,CM=CM,由全等三角形的判定定理SSS可以证得回EOCE0DOC,

从而得到0C为乙40B的平分线.

【详解】（1）根据作图的过程知道：0M=0N,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理SSS可以证

得回EOCEHDOC,从而得至【J0C为的平分线；

故答案为：①；

（2）如图，

连接MC、NC.

根据作图的过程知，

在IBMOC与回NOC中，

OM=ON

OC=OC，

CM=CN

00MOC00NOC(SSS),

0AOC=0BOC,

EIOC为乙40B的平分线.

【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS,HL.

9.(2023・广东广州・统考一模)己知。。为△ABC的外接圆，的半径为6.

(1)如图，48是。。的直径，点C是脑的中点.

①尺规作图：作N2CB的角平分线CD,交O0于点。，连接BD(保留作图痕迹，不写作法)：

②求BD的长度.

(2)如图，2B是O。的非直径弦，点C在AB上运动，^ACD=Z.BCD=60°,点C在运动的过程中，四边形4DBC

的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴①见解析；@6V2

(2)存在，最大值为36g

【分析】(1)①根据角平分线的作图方法画出CD,在连接BD即可；②由点C是脑的中点，得出=根

据等腰三角形的性质得出CD14B.结合力B是O。的直径，即得出CO经过圆心0,即NBOD=90。，最后根

据勾股定理求解即可.

(2)连接48,过点。作DC4B于点E,交O。于点C',过点C作CF1AB.由题意易证△4D8为等边三

角形.根据DC'IAB,即得出DC，为。。直径，L是脑的中点.根据AADB为等边三角形，可得出4B和4B

边上的高都为定值，再根据根据S四边形ADBC=[4B・(DE+CF),即得出当C尸最大时，S四边形ABCD最大，此

时点C与点C'重合，即当点C为脑中点时,S四边形4DBC最大，此时DC为O。直径，得出此时乙4=48=90。.易

求出乙4DC=90°-乙4co=30。，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出AC=孑。。=6,4。=

y/CD2-AC2=6V3,进而可求出S-CD=|^C-AD=18>/3,又易证△BCD三AACD(SSS),得出S4BCD=

S

SAACD=18V3,从而可求出s四边形4BCD=^BCD+ShACD=36聪,即点C在运动过程中，四边形2D8C的面

积存在最大值，最大值为36次.

【详解】(1)解：①如图1,即为所作图形；

D

图1

②团点C是脑的中点，

EL4C=BC.

[BCD是乙4c8的平分线,

SCD1AB.

EL4B是。。的直径，

EICC经过圆心O,

^BOD=90°.

回。。的半径为6,

回。8=OD=6,

EIBD=VOB2+OD2=6V2；

(2)点C在运动过程中，四边形8c的面积存在最大值.

理由：如图，连接2B,过点。作DL1AB于点E,交O。于点C',过点C作

C'C

图2

0ZXCO=乙BCD=60°,

EIAS=RD,/.ACB=2乙BCD=120°,

EL4D=BD.

回四边形ADBC为O。内接四边形，

0ZXPB=1800-AACB=60°,

0A力DB为等边三角形.

0£)C,rAB,

SDL为。。直径，。是脑的中点.

回S四边形4DBC=S^ABD+SAABC，

11-1

圈四边形4DBC=5AB-DE+-AB•CF=-AB•(DE+CF).

0A力DB为等边三角形，

团48和28边上的高都为定值，

团当CF最大时，S四边形"Be最大，此时点C与点C'重合，

回当点C为脑中点时，S四边形最大，此时为。。直径，

0ZX=ZB=90°,如图3.

图3

EIO。的半径为6,

团CD=12.

^ADC=90°一"CD=30°,

^AC=-CD=6,

2

团4Q=yJCD2-AC2=6V3,

团SMCD=|>4C-AD=|x6x6A/3=18A/3.

0BD=AD,BC=AC,CD=CD,

SABCD三△ZCO（SSS）,

国SABCD~SMCD=18V3,

团S四边形ABCD=SABCD+SAACD=36V5,

团点C在运动过程中，四边形4DBC的面积存在最大值，最大值为36百.

【点睛】本题考查作图一角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆

内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，

综合性强.正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键.

10.（2023•福建福州•统考二模）如图,已知NMON,A,B分别是射线。M,。。上的点.

（1）尺规作图：在NM0N的内部确定一点C,使得8c〃。4且BC=卷。4；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）中，连接0C,用无刻度直尺在线段0C上确定一点。，使得。。=2CD,并证明0D=2CD.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）画法一：根据作一个角等于已知角，得到0M的平行线，在平行线上截取0A的长度，再作线

段垂直平分线即可，点C即为所求作的点；

画法二：根据作一个角等于已知角，得到0M的平行线，作0A的垂直平分线，在平行线上截取BC^OA的

长度，点C即为所求作的点；

（2）连接OC,AB交于点D,点D即为所求作的点；利用相似三角形的性质证明即可.

【详解】解：画法一：

M

oBN

画法二：

如图，点C,。分别为（1）,（2）所求作的点.

（2）证明如下：由（1）得BC〃oa,BC=[oa,

也乙DBC=Z-DAO,Z.DCB=Z-DOA,

MDBC-ADAO,

BOD=2CD.

【点睛】本题考查复杂作图，熟练掌握基本作图步骤是解题的关键.

11.（2023•山东淄博・统考二模）（1）已知如图1：BABC.求作：00,使它经过点B和点C,并且圆心。在

她的平分线上（保留作图痕迹）.

（2）如图2,点尸在线段A8上，ADSBC,AC交DF于点、E,SBAC^SADF,AE=BC.求证：0AC。是等

腰三角形.

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【分析】(1)分别作出/A的角平分线和线段BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心O,再以0C为半径

画圆即可；

(2)利用"A4S”证明0AQ£H3c48,即可得至l」AD=CA,即可求证.

【详解】解：(1)如图所示：回。即为所求.

(2)证明：0AD0BC,

00CA£)=0BCA,gP0EA£)=0BCA.

又EGA。尸=EICAB,AE=BC,

00ADEEIEICAB(44S),

0AD=AC；

ElEIACD是等腰三角形.。

【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定与性质，涉及到作一个角的平分线和线段的垂直平分线、

平行线的性质、证明三角形全等以及利用全等三角形的性质证明线段相等等内容，解决本题的关键是牢记

尺规作图的原理和方法、牢记相关概念等.

12.(2023・重庆九龙坡・重庆市育才中学校考一模)如图，四边形48CD是菱形，连接AC,点E在

线段4C上，连接BE,BE的延长线交力。于点F.

⑴用尺规完成以下基本作图：在ABAC内部作NC4G,使得NC4G="BE"G交BE边于点M,交BC于点N,

交DC的延长线于点G.(保留作图痕迹)

(2)在(1)所作的图中，求证：AF=CG.完成下列填空.

证明：•・•四边形/BCD是菱形;

团AB=AD=CB=CD,AB\\DC,^BAC=^DAC；

vAD=AC；

・•.△ABC与—均为等边三角形；

AB=_,Z-D—Z-ACD—60°；

・••Z.BAF=_=120°；

在△4FB与中，

2BAF=^LACG

AB=CA

./-ABF=Z.CAG

AFB三△CGA(ASA)；

【答案】⑴见解析

(2)^ADC；AC；Z.ACG；AF=CG

【分析】(1)根据题意作NC/G=乙48£,4G交BE边于点M,交BC于点N,交。C的延长线于点G；

(2)根据菱形的性质，结合条件4)=4?得出△ABC与△4DC均为等边三角形；进而证明

CG4(ASA)；根据全等三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

(2)证明：•・•四边形/BCD是菱形;

^AB=AD=CB=CD,AB\\DC,^BAC=Z.DAC；

vAD=AC；

・•.△ADC均为等边三角形;

AB=AC,=乙4co=60°；

•••Z.BAF=AACG=120°；

在△AFgACGA中，

ABAF=乙4CG

AB=CA

ZABF=MAG

:.AAFB=△CGA（ASA）；

AF=CG.

故答案为：AADC；AC；^ACG；AF=CG.

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与

判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

13.（2023•广东汕头•统考一模）在A48C中，AB=AC,ZA=36°.

（1）作ZABC的平分线BZ）,交AC于点。（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）条件下，比较线段与BC的大小关系，请说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）DA=BC,理由详见解析.

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作出BD；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出回ABC=®C=72。，再利用角平分线的定义得到

0ABD=0CBD=36°,然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB,DB=DC,所以BD=AD.

【详解】解：（1）如图所示，8。为所作；

(2)DA=BC.

理由如下：

^\AB=AC,

1

0ZJ1BC=ZC=)180。-36°)=72°,

团3。平分

m\BD=^CBD=36°,

回财50二她,

SDA=DB,

00Br>C=EL4+EL4B£>=72°,

EH8£）C=[2C,

^\BD=BC,

SDA^BC.

【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作

已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.

14.（2023•浙江嘉兴•统考一模）如图，在A42c中,Z.B=25°,ZBXC=115°.

B

（1）尺规作图：作边4B的中垂线交边BC于点。，再以点。为圆心，OB长为半径作回。.

（2）判断：在（1）所作图形中，直线4C与国。的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）相切，理由见解析.

【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图步骤规范作图即可；

（2）连接。4,证明IBOAC=90唧可.

【详解】（1）分别以A、8为圆心，以大于长为半径，画弧，二弧交于点点N,

设直线与2C交点为。，以。为圆心，以02为半径作圆，则回。即为所求;

（2）直线AC与回。相切.理由如下：

连接。4,

038=25°,OA=OB,

回团&10=25°,

a3BAC=115°,

fflOAC=90°,

El直线AC与团。相切.

【点睛】本题考查了线段中垂线的基本作图，画圆，切线的判定，熟练掌握线段中垂线的作图，灵活证明

直线是圆的切线是解题的关键.

15.（2022,黑龙江绥化•统考二模）如图，△ABC是直角二角形，^ACB=90°.

⑴利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）.

①作△ABC的外接圆。0；

②以线段4C为一边，在4C的右侧作等边三角形2CD；

③连接BD,交。。于点E,连接AE；

⑵在（1）中所作的图中，若AB=4,BC=2,则线段2E的长为.

【答案】（1）作图见解析；

（2）^vn.

【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做A2的垂直平分线，找出圆心。，以。

为圆心，04为半径画圆即可，再分别以A,8为圆心，A3为半径画弧交于点。，连接A£）,CD,即可做出

等边三角形力CD;

（2）证明勖AD=90。，利用勾股定理求出BD=+力"=2上,再利用等面积法即可求出线段AE的长.

【详解】（1）解：作图如下：

（2）解：EAB=4,BC=2,MCD是等边三角形,

00BAZ）=0BAC+0CAZ）=3OO+6OO=9OO,

EL40=AC=ABx^-=2A/3,

EIBD=7AB2+4£）2=2小,

-ABAD4,——

EL4E=%一=-A/21,

|BC7

故线段AE的长为三国

【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是掌

握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明回84。=90。.

16.（2022上•贵州贵阳•九年级统考阶段练习）数学课上,老师提出一个问题：已知：RtAABC,AABC=90°.求

作：矩形4BCD.小红的作法如下：作线段4C的垂直平分线交4C于点0,过。点作射线8M,在射线OM上截

取。。=。8,连接04DC,则四边形4BCD即为所求.

⑴请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）保留作图痕迹;

⑵求证：四边形力BCD是矩形.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）分别以点4C为圆点，以、48长为半径作弧，两弧相较于点£»,再连接ZM、DC,四

边形力BCD即为所求；

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可.

【详解】（1）解：如图，以点2为圆点，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相较

于点D;连接D4、DC,四边形4BCD即为矩形.

（2）证明：由作法得=CD=AB

二四边形4BCD为平行四边形

•••4ABC=90°

••・四边形4BCD为矩形.

【点睛】本题考查了作图一一复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是掌握矩形的判定方法，属于中考

常考题型.

17.（2022•福建福州•福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，回。是AABC的外接圆，A3为直径.

⑴在至上求作点。，使得乙4BD=NC4D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）若AB=10,BC=6,求8。的长.

【答案】⑴见解析

（2）475

【分析】（1）利用尺规作图做出0ABC的平分线，角平分线与圆的交点即为所求；

（2）首先利用勾股定理求得AC=8,然后利用圆周角定理得到等角，证明△DOfMABC求出。f和。尸的长,

最后利用勾股定理求出结果.

【详解】（1）如图，作0ABe的角平分线，交弧AC于。，

则A®=CD,

^\ABD=^CAD,

点。就是所求作的图形.

(2)连接A。，OD,过。作。R3AB于点尸

EL4B是直径,

EIZC=90°.

囿48=10,BC=6,

EL4c=7AB2-BC2=Vio2-62=8,

国乙4。。=2Z.ABD=/.ABC,乙DFB=90°=Z.ACB,

^SiDOFSEABC,

DF_OF_OD

'AC~BC~AB

「DFOF5

0-=—=—

8610

0DF=4,OF=3,

回=8。+。尸=8,

团在Rf^BDF中，80=VBF2+DF2=V42+82=4V5.

【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理及推论，在圆中利用弧确定角之间关

系是解决问题的关键.

18.(2023,广东广州•广州市番禺区市桥星海中学校考一模)如图，在菱形2BCD中，对角线AC,BD相交于

点O；

⑴尺规作图：过点C作4B的垂线，垂足为民(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若4C=4,BD=2,求COSNBCE的值.

【答案】⑴见解析

此

【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，菱形的性质，勾股定理等；

(1)延长2B,以C为圆心，适当的长度为半径画弧交4B的延长线两点，再以此两点为圆心，大于此两点连

线段一半为半径画弧交于一点并连接C与此点，交4B的延长线于E,即可求解；

(2)由菱形的性质可求。4=2,OB=1,再由勾股定理可求4B=西，由AB=14即可求解；

掌握"过直线外一点作已知直线的垂线"的作法，面积转换：=是解题的关键.

【详解】(1)解：如图，CE为所作；

(2)解：•四边形4BCD为菱形,

0A=-AC=2,

2

OB=-BD=1,

2

AC1BD,AB=BC,

在Rt△中，

AB=yjOA2+OB2

="+P

=V5,

•••AB-CE-AC-BD,

2

—2X44V5

・•・CE=?产=—,

V55

•・•BC=AB=V5,

CE

•••cos乙BCE=——

BC

4V5

_I-

F

_4

-5,

19.（2023•浙江温州•校联考一模）（1）如图，已知AABC,请你作出AB边上的高CD,AC边上的中

线BE,角平分线AF（不写作法，保留痕迹）

（2）如图，直线I表示一条公路，点A,点B表示两个村庄.现要在公路上造一个车站，并使

车站到两个村庄A,B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由.（要

求尺规作图，不写作法）

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【分析】（1）延长瓦1,按照过直线外一点作直线的垂线步骤作CD1力屏作AC的垂直平分线交AC于E,

连接BE即是AC边上的中线；作0A的平分线，按照作一个角的平分线的作法来做即可.

（2）画出点A关于直线/的对称点4,连接4B交/于点C,连接AC,由对称的性质可知AC=4C,由两

点之间线段最短可知点C即为所求点.

【详解】解：（1）所画图形如下所示：

（2）画出点A关于直线I的对称点4,连接48交/于点C,连接AC,

0A,A关于直线/对称,

胤4c=A'C,

回AC+BC=A'B,

由两点之间线段最短可知，线段AB的长即为2C+BC的最小值，故C点即为所求点.

【点睛】（1）主要考查三角形的角平分线，中线和高的作法；（2）熟知对称的性质以及两点之间线段最短的

知识是解答此题的关键.

20.（2022•广东韶关•统考一模）如图，在0ABe中，已知AB=5,AC=9,BC=7.

（1）尺规作图：作AC的垂直平分线QE,与AC交于点。，与BC交于点E,连接AE；

（2）求0A8E的周长.

【答案】（1）详见解析；（2）12

【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于（AC长为半径画.弧，在AC的两侧两弧分别相交于一点，过这

两点作直线即可；

（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE,从而得到AABE的周长等于AB与

BC的和，代入数据进行计算即可.

【详解】解：（1）作图如图所示.

(2)0£)E垂直平分AC,0AE=EC,

^AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC.

EL4B=5,BC=1,

0AB+BE+AE=5+7=12,即HABE的周长为12.

【点睛】本题考查了基本作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，主要是线段垂直

平分线的作法，是基本作图，需熟练掌握.

【能力提升】

21.（2023・上海普陀・统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为

4B与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用

实线.

图1图2

（1）在图1中找格点C、D,使四边形力BCD是菱形;

⑵在图1中画点M关于直线AC的对称点M，；

⑶在图2中找格点C,使四边形BCNM为矩形；

⑷在图2中画MN的垂直平分线.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶见解析

⑷见解析

【分析】（1）根据勾股定理求出4B的长，将线段2B向右平移5个单位长度的到线段CD,连接4D,BC,即

可得到菱形4BCD；

（2）连接DM交4c于点P,连接BP并延长，交4D于点M',点即为所求；

（3）作以4B,8c为边的正方形，再构造矩形8CNM即可；

(4)取正方形的边BC和4。的中点，连接两个中点形成的直线即为MN的垂直平分线.

【详解】(1)解：由勾股定理得：=，32+52=5,

将线段2B向右平移5个单位长度的到线段CD,连接即可得到菱形4BCD,如图所示:

(2)解：连接。M交4C于点P,连接BP并延长，交2。于点点AT即为所求，如图所示:

回菱形4BCD,

EL4D=AB,Z.BAC=Z.DAC,

EL4P=AP,

团△力PBmAdPD(SAS),

BZ.ABP-Z.ADP,

EL4B=AD,/.BAD=4DAB,

0ABAM'三△DAM(ASA),

SIAM=AM',

又4MAC=^M'AC,

EL4c垂直平分MM',

即：点/关于直线AC的对称点为点M)

(3)解：作以48,BC为边的正方形4BCD,过点M作MN||BC,交CD于点N,则矩形BCNM,即为所求,

如图所示:

图2

（4）如图，取格点E,F,连接EF交力。于点P,取格点K,L,连接KL交BC于点Q,则P,Q为正方形的边4D和

BC的中点，连接PQ形成的直线即为MN的垂直平分线.如图所示：

图2

EL4E=DF=3,AE||DF,

0Z.E=Z.F,Z.EAD=乙FDP,

[?]△APEDP尸(ASA),

团AP=PD,

ap为力。的中点，

同法可得：Q为BC的中点，

11

^\AP=-AD=-BC=BQ,

团/PIIPQ/ABC=90°,

团四边形/P8Q为矩形，

回PQ1BC,

回||MN,

团PQ1MN,

设PQ与MN交于点”，贝IJ：四边形BQHM为矩形,

SMH=BQ=-BC=-MN,

<22

EIPQ是MN的中垂线.

【点睛】本题考查无刻度直尺作图.同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的

判定和性质，矩形判定和性质.熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

22.（2022•湖北武汉•校考模拟预测）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中4B,C,D,E均为格点,

仅用无刻度直尺依次完成下列画图,画图过程用虚线，画图结果用实线.

图1图2

⑴在图1中，先在CD上画点M,使BE1EM,再在BC上画点N,使得使△DEM八CMN；

（2）在图2中，先在2。上画点F,使平分N4BE,再在BE上画点使得=HF.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）取点P,连接EP交CD于M,取点Q,连接BQ交网格线于点/,连接M/,交BC于点N,点M、点

M即为所求；

（2）取格点M、N,连接MN交网格线于点K,取格点T,连接TK交4。于点F,在BC上取一点R,使4F=BR,

连接RF交BE于点H,点尸、点H即为所求.

【详解】（1）解：如图，点M、点M即为所求，

j一.<….和…4v卜1

图

(2)解：如图,点F、点H即为所求,

T

AE_

113

BR、、

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点.

23.(2023•湖北武汉•武汉市卓刀泉中学统考模拟预测)如图是由小正方形组成的9X9网格，每个小正方形

的顶点叫作格点.已知点4B,C都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画

图结果用实线表示.

图1图2

(1)如图1,在BC上找一点E使NBAE=45。，再在4B上找一点F,使EF14B；

(2)如图2,。为BC上一点，作C关于4B的对称点，过。作DP14B于点P.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)取格点G,连接4G并延长，交BC于点E,取格点D,连接2D,连接点E与4D,BG的交点并延长，

交力B于点F,点瓦F即为所求；

(2)倍长C4,C8于点M,N,连接MN,取格点G,连接CG并延长，交MN于点C',点C'即为点C关于4B的对

称点，连接B。，连接C'D交4B于点K,连接CK并延长，交BC'于点/,连接D/交4B于点P,点P即为所求.

【详解】(])取格点G,连接4G并延长，交BC于点E,取格点D,连接2。，连接点E与力。,8G的交点并延长，

交48于点F,点E,尸即为所求，如图所示：

由勾股定理，得：AG=BG=V32+I2=V10,AB=V22+42=2痘,

SAG2+BG2=AB2,

团△力GB为等腰直角三角形，

EINBAE=45°,

根据三角形的三条高线交于一点，可知：EFLAB,

回点E,尸即为所求；

(2)倍长C4c8于点M,N,连接用N,取格点G,连接CG交28于点E,延长CG,交MN于点C,点C'即为点

C关于的对称点，连接BC，，连接C'。交于点K,连接CK并