浙江中考数学二轮复习题型专练：反比例函数的图象及性质（解析版）

题型二反比例函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【反比例函数的概念】

一般地，函数y=±（k是常数，kwo）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

X

了=心3的形式。自变量x的取值范围是xwo的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、【反比例函数的图象】

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四

象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数yWO,所以，它的图象与x轴、y

轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

三、【反比例函数k的几何意义】

下列图形中反比例函数表达式为y=勺，其中涉及两个反比例函数的，较大的k用人大表示，较

=§2

^kABO=S梯ADCB

差量图形

y1Vt\\'eg

位0\X

nD1

北大-勺、

S二&_k大-k小s=k大-k小

kJ

2

综合图形

4

>0

oojAX01C

$阴=s矩-闷5=纲S=k大-k小

四、【反比例函数的性质】

反比例

函数

k的符号k>0

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是XWO,

v的取值范围是ywo；v的取值范围是ywo；

性质②当k>o时，函数图象的两个分支分别②当k<o时，函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

【专题训练】

选择题(共10小题)

1.(2020•兰州)已知点A(xi,yi),B(垃，")在反比例函数y=—三的图象上，若"<打<0，则

下列结论正确的是()

A.Xl<X2<0B.X2<Xl<0C.0<Xl<X2D.0<X2<Xl

【解答】解：

...图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，

又：yi<y2<0，

；•图象在第四象限，

.'.0<%1<%2>

故选：C.

2.(2020•阜新)若A(2,4)与8(-2,a)都是反比例函数丁=右(^0)图象上的点，则。的值

是()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解：:A(2,4)与5(-2,a)都是反比例函数y=((ZW0)图象上的点，

・,・%=2义4=-2a,

-4,

故选：B.

7

3.(2020•宁夏)如图，函数”=尤+1与函数”=亍的图象相交于点M(1,/Ji),N(-2,n).若yi

>72,则X的取值范围是()

A.工＜-2或0＜%＜1B.%＜-2或彳＞1

C.-2＜尤＜0或0＜尤＜1D.-2＜尤＜0或无＞1

【答案】D

【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时,

所对应的龙的取值范围为-2Vx<0或x>1,

4.(2020•潍坊)如图，函数y=fcv+6(kWO)与y=?(m#0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,

-6)两点，则不等式依+。>千的解集为(

B.-2<x<0或x>l

C.尤>1D.x<-2或0<尤<1

【答案】D

【解析】解::函数尸fcv+b(6#0)与丫=?(爪。0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)

两点,

•二不等式"+的解集为：元<-2或0«1,

故选：D.

5.(2020•徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y=](x>0)与y=x-1的图象交于点尸Q,6),

11

则代数式——工的值为()

ab

y

ii1

A.-4B.-C.—D.-

224

【答案】c

【解析】解:

法一：由题意得,

-_4

y=x,解得,

y=x—1

1+717V17-1

•••点P(---------,-----------)

22

即：北尹,V17-1

b=

-2-

.11221

9ab~1+V17-V17-14

法二：由题意得,

函数（x>0）与y=x-1的图象交于点P（a,b）,

••ab=4,b〃-1,

.11b—a1

*abab4

故选：C.

6.（2020•山西）已知点A（处，yi）,B（孙”），C（孙”）都在反比例函数y=（k<0）的图

象上，且XlVx2Vo<13，则yi，>2，》3的大小关系是（）

A.y2>yi>y?,B.y?,>y2>yiC.yi>y2>y?,D.y?,>yi>y2

【答案】A

【解析】解：：反比例函数y=9（左<0）的图象分布在第二、四象限，

在每一象限y随x的增大而增大,

而Xl<X2<0<X3,

Ay3<0<yi<y2.

即yi>y\>yi.

故选：A.

417

7.（2020•滨州）如图，点A在双曲线y=3上，点8在双曲线>=?上，且&8〃彳轴，点C、。在x

轴上，若四边形ABC。为矩形，则它的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】解：延长R4交y轴于E,则轴，

:点A在双曲线上，

四边形AEO。的面积为4,

17

•.,点8在双曲线线产茎上，且A3〃x轴，

四边形BEOC的面积为12,

矩形ABCO的面积为12-4=8.

8.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的对角线AC的中点与坐标原点重合，点

E是x轴上一点，连接AE.若AO平分/OAE,反比例函数y=[*>0,x>0）的图象经过AE

上的两点A,F,且AF=EF,ZkABE的面积为18,则%的值为（

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：如图，连接BD,OF,过点A作ANLOE于N,过点尸作于M.

：.MN=ME,

:.FM=^AN,

VA,歹在反比例函数的图象上,

k

S^AON=S^FOM=29

1i

：.—ON*AN=*OM・FM,

22

.・・ON=

：・ON=MN=EM,

1

：.ME=!(?E,

・o1。

••3AFME=W3△尸。E，

,：AD平分NOAE,

：.ZOAD=ZEAD,

•四边形A3CO是矩形,

.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=/DAE,

：.AE//BD,

••S/\ABE=S/^AOEf

••S/\AOE=18，

VAF=EF,

.1_

••S^EOF=)SAAOE=9，

.1_

••SAFME=3,

k

-

:♦S/\FOM=S^FOE-SAFME=9-2

・•・左=12.

故选：B.

9.（2020•黔东南州）如图，点A是反比例函数（x>0）上的一点，过点A作轴，垂足

为点C,AC交反比例函数y=3的图象于点B,点尸是X轴上的动点，则△抬8的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：如图，连接。4、OB、PC.

：AC_Ly轴，

*'•5△APC—SAAOC=3X|6|=3,S^BPC=S^BOC=1x|2|=l,

•^S^R\B=S^APC-S/\BPC=2.

故选：A,

,在菱形ABOC中，AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函

)

D.y=—

yX

【答案】B

【解析】解：：在菱形A80C中，ZA=60°,菱形边长为2,

；.0C=2,ZCOB=60°,

过C作CELOB于E,

则NOCE=30°,

1

：.OE=^OC=1,C£=V3,

.♦.点C的坐标为（-1,V3）,

k

•.•顶点C在反比例函数L的图象上,

V3-得上一百,

一1

即尸

二.填空题（共5小题）

11.（2020•大连）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与。在函数（尤>0）的

图象上，轴，垂足为C,点2的坐标为（0,2）,则左的值为8.

【答案】8

【解析】解：连接80,与AC交于点0'

:四边形ABC。是正方形，4CJ_尤轴，

：.BD所在对角线平行于x轴，

VB（0,2）,

：.O'C=2=BO'=AO'=DO',

.♦.点A的坐标为（2,4）,

"=2X4=8,

故答案为：8.

12.（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数（x>0）的图象上，点3在x轴负半轴上，直线

AC1

AB交y轴于点C,若荔=1△AOB的面积为6,则4的值为6.

BC2

【答案】6

【解析】解：过点A作轴于£>,则△ADCS/^BOC,

"OC~BC~2

24c1

—=一，△AO3的面积为6,

BC2

.1

♦°S〉AOC=3=2，

._1_

••S^ACD~2S^AOC~1，

・・・△AO0的面积=3,

根据反比例函数上的几何意义得，||/c|=3,

・・・因=6,

9：k>0,

:・k=6・

故答案为：6.

13.（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系尤Oy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x

轴、y轴上，点2在函数与=［（x>0,左为常数且左>2）的图象上，边AB与函数（尤>0）

的图象交于点。，则阴影部分ODBC的面积为一.（结果用含上的式子表示）

【解析】解：•••。是反比例函数丫2=［（%＞。）图象上一点

1

・・・根据反比例函数%的几何意义可知：△AOD的面积为5X2=1.

•.•点2在函数%=［（比＞0,左为常数且左＞2）的图象上，四边形OA3c为矩形，

...根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.

阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△40。的面积=k-1.

故答案为：k-1.

14.（2020•辽阳）如图，在△ABC中，A3=A。，点A在反比例函数产/（女〉0,x＞0）的图象上，

点、B,C在x轴上，OC=豺,延长AC交y轴于点。，连接3D,若△BCD的面积等于1,则左

的值为3.

【答案】3

【解析】解：作于E,连接04,

*：AB=AC,

：.CE=BE,

1

・.・OC=亏08,

1

・・・OC=今CE,

*：AE//OD,

：.ACOD^/\CEA,

SbCEA=(C_E)°2=4,

S^CODOC

1

•・,ABCD的面积等于1,OC=考OB,

・11

••SACOD=4s△BCO=4,

.1

・・SZ\CE4=4X4=1,

OC=^CE,

・11

•・S丛AOC=2sACEA=2，

S^AOE=I+1=I，

,**S/^AOE=2^(%>0)，

•・k='3,

故答案为3.

15.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形A5CD的边A5在y轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且AO：80=1：2,点。在函数y=g（尤＞0）的图象上，则:的值为2.

【答案】2

【解析】解：如图，•••点C坐标为（2,-2）,

:•矩形OBCE的面积=2义2=4,

VAO：BO=1：2,

；•矩形AOE。的面积=2,

:点。在函数y=?（尤>0）的图象上,

：.k=2,

三.解答题（共6小题）

16.（2020•济南）如图，矩形OABC的顶点A,C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点8（2,2百），

反比例函数（x>0）的图象与BC,AB分别交于。，E,BD=

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；

（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；

（3）点尸在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形8CFG为菱形时，求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

【解析】解：(1)"B(2,2V3),则BC=2,

1

而BD=

1Q3L

ACD=2-4=5，故点。(一，2V3),

222

k

--

将点。的坐标代入反比例函数表达式得：2V33解得

-k=3\3f

2

故反比例函数表达式为y=竽，

当％=2时，y=故点E(2,--)；

22

,入3=-3.3-「

(2)由(1)知，D(-,2V3),点E(2,—),点、B(2,2V3),

22

则8£>=看BE=吟,

1V3

BD21EB-y1BD

寺BC-2-4'AB~2V3-4-BC'

：.DE//AC；

(3)①当点尸在点C的下方时，

当点G在点尸的右方时，如下图,

过点尸作尸轴于点X,

,/四边形BCFG为菱形，则BC=CF=FG=BG=2,

在RtZ\OAC中，0A=BC=2,OC=AB=2y/3,

则tan/OCA=—母＞故NOCA=30°,

则FH=|FC=1,CH=CF-cosZ0CA=2x*=百，

故点尸(1,V3),则点G(3,V3),

当x=3时，y=¥=B,故点G在反比例函数图象上;

②当点/在点C的上方时，

同理可得，点G（1,3V3）,

同理可得，点G在反比例函数图象上；

综上，点G的坐标为（3,V3）或（1,3V3）都在反比例函数图象上.

17.（2020•盘锦）如图，4、3两点的坐标分别为（-2,0）,（0,3）,将线段绕点2逆时针旋

转90。得到线段BC,过点c作era。？，垂足为D,反比例函数＞=（的图象经过点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

（2）点P在反比例函数的图象上，当△PC。的面积为3时，求点P的坐标.

【解析】解：(1)二.将线段绕点2逆时针旋转90°得到线段BC,

：.AB=BC,ZABC=9Q°,

'JCDLOB,

：.ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,

ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

ZABO=ZDCB,

：./\ABO^/\BCD(A4S),

：.CD=OB=3,BD=OA=2,

：・OD=3-2=1,

・・・C点的坐标为(3,1),

.\k=3X1=3,

反比例函数的解析式为：y=*

3

(2)设P(1,m),

m

•・・CO_Ly轴，8=3,

1

由△PC。的面积为3得：-CD*\m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

：.m-1=±2,

.,.m=3或m--1,

33

当m=3时，一=1,当根=-1时，一=-3,

mm

18.（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线（〃#0）与元轴、y轴分别相交于

A、3两点，与双曲线y=[（x>0）的一个交点为C,且3C=%C.

（1）求点A的坐标；

（2）当S^AOC=3时，求〃和女的值.

【解析】解：（1）由题意得：令（〃W0）中y=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

・••点A的坐标为（3,0）,

故答案为（3,0）.

（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

：.ZBCM=ZBAO,且NA30=NC30,

：.£\BCMs^BAO,

BCCM用1CM

—=----，即：-=---，

BAAO33

・•・CM=1,

又SMOC=404-CN=3

r1

即：-x3xC/V=3,

2

：.CN=2,

・・・C点的坐标为(1,2),

故反比例函数的k=1X2=2,

再将点C(1,2)代入一次函数-3〃(〃W0)中，

即2=〃-3m解得〃=-1,

「・当SAAOC=3时，〃=-1,k=2.

19.(2020•广州)如图，平面直角坐标系xOy中，目043。的边OC在x轴上，对角线AC,OB交于

点、M,函数丫=点(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.

(1)求上的值和点M的坐标；

(2)求回OABC的周长.

【解析】解：(1)•••点4(3,4)在尸［上,

"=12,

•；四边形OABC是平行四边形，

：.AM=MC,

.,.点M的纵坐标为2,

:点M在尸争的图象上，

：.M(6,2).

(2)'：AM=MC,A(3,4),M(6,2)

：.C(9,0),

AOC=9,OA=V32+42=5,

平行四边形O43C的周长为2X(5+9)=28.

20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

y=卷的图象与性质，其探究过程如下：

(1)绘制函数图象，如图1.

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=1；

X.・・-3-2-111123・・・

~22

22・・・

y•••12442m

33

描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整；

(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质；

①函数的图象关于y轴对称；

②当x<0时，y随x的增大而增大，当x〉0时，y随x的增大而减小；

(3)①观察发现：如图2.若直线>=2交函数y=£的图象于A,2两点，连接。4,过点3作

\x\

04交X轴于C.贝|JS四边形OABC=4；

②探究思考：将①中“直线尸2”改为“直线尸〃(40)”，其他条件不变，则