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文档简介
题型二反比例函数的图象及性质
【要点提炼】
一、【反比例函数的概念】
一般地,函数y=±(k是常数,kwo)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成
X
了=心3的形式。自变量x的取值范围是xwo的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
二、【反比例函数的图象】
反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四
象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数yWO,所以,它的图象与x轴、y
轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
三、【反比例函数k的几何意义】
下列图形中反比例函数表达式为y=勺,其中涉及两个反比例函数的,较大的k用人大表示,较
=§2
^kABO=S梯ADCB
差量图形
y1Vt\\'eg
位0\X
nD1
北大-勺、
S二&_k大-k小s=k大-k小
kJ
2
综合图形
4
>0
oojAX01C
$阴=s矩-闷5=纲S=k大-k小
四、【反比例函数的性质】
反比例
函数
k的符号k>0
①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是XWO,
v的取值范围是ywo;v的取值范围是ywo;
性质②当k>o时,函数图象的两个分支分别②当k<o时,函数图象的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内,y在第二、四象限。在每个象限内,y
随x的增大而减小。随x的增大而增大。
【专题训练】
选择题(共10小题)
1.(2020•兰州)已知点A(xi,yi),B(垃,")在反比例函数y=—三的图象上,若"<打<0,则
下列结论正确的是()
A.Xl<X2<0B.X2<Xl<0C.0<Xl<X2D.0<X2<Xl
【解答】解:
...图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大,
又:yi<y2<0,
;•图象在第四象限,
.'.0<%1<%2>
故选:C.
2.(2020•阜新)若A(2,4)与8(-2,a)都是反比例函数丁=右(^0)图象上的点,则。的值
是()
A.4B.-4C.2D.-2
【答案】B
【解析】解::A(2,4)与5(-2,a)都是反比例函数y=((ZW0)图象上的点,
・,・%=2义4=-2a,
-4,
故选:B.
7
3.(2020•宁夏)如图,函数”=尤+1与函数”=亍的图象相交于点M(1,/Ji),N(-2,n).若yi
>72,则X的取值范围是()
A.工<-2或0<%<1B.%<-2或彳>1
C.-2<尤<0或0<尤<1D.-2<尤<0或无>1
【答案】D
【解析】解:由一次函数和反比例函数的图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象之上时,
所对应的龙的取值范围为-2Vx<0或x>1,
4.(2020•潍坊)如图,函数y=fcv+6(kWO)与y=?(m#0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,
-6)两点,则不等式依+。>千的解集为(
B.-2<x<0或x>l
C.尤>1D.x<-2或0<尤<1
【答案】D
【解析】解::函数尸fcv+b(6#0)与丫=?(爪。0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)
两点,
•二不等式"+的解集为:元<-2或0«1,
故选:D.
5.(2020•徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数y=](x>0)与y=x-1的图象交于点尸Q,6),
11
则代数式——工的值为()
ab
y
ii1
A.-4B.-C.—D.-
224
【答案】c
【解析】解:
法一:由题意得,
-_4
y=x,解得,
y=x—1
1+717V17-1
•••点P(---------,-----------)
22
即:北尹,V17-1
b=
-2-
.11221
9ab~1+V17-V17-14
法二:由题意得,
函数(x>0)与y=x-1的图象交于点P(a,b),
••ab=4,b〃-1,
.11b—a1
*abab4
故选:C.
6.(2020•山西)已知点A(处,yi),B(孙”),C(孙”)都在反比例函数y=(k<0)的图
象上,且XlVx2Vo<13,则yi,>2,》3的大小关系是()
A.y2>yi>y?,B.y?,>y2>yiC.yi>y2>y?,D.y?,>yi>y2
【答案】A
【解析】解::反比例函数y=9(左<0)的图象分布在第二、四象限,
在每一象限y随x的增大而增大,
而Xl<X2<0<X3,
Ay3<0<yi<y2.
即yi>y\>yi.
故选:A.
417
7.(2020•滨州)如图,点A在双曲线y=3上,点8在双曲线>=?上,且&8〃彳轴,点C、。在x
轴上,若四边形ABC。为矩形,则它的面积为()
A.4B.6C.8D.12
【答案】C
【解析】解:延长R4交y轴于E,则轴,
:点A在双曲线上,
四边形AEO。的面积为4,
17
•.,点8在双曲线线产茎上,且A3〃x轴,
四边形BEOC的面积为12,
矩形ABCO的面积为12-4=8.
8.(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的对角线AC的中点与坐标原点重合,点
E是x轴上一点,连接AE.若AO平分/OAE,反比例函数y=[*>0,x>0)的图象经过AE
上的两点A,F,且AF=EF,ZkABE的面积为18,则%的值为(
A.6B.12C.18D.24
【答案】B
【解析】解:如图,连接BD,OF,过点A作ANLOE于N,过点尸作于M.
:.MN=ME,
:.FM=^AN,
VA,歹在反比例函数的图象上,
k
S^AON=S^FOM=29
1i
:.—ON*AN=*OM・FM,
22
.・・ON=
:・ON=MN=EM,
1
:.ME=!(?E,
・o1。
••3AFME=W3△尸。E,
,:AD平分NOAE,
:.ZOAD=ZEAD,
•四边形A3CO是矩形,
.OA=OD,
:.ZOAD=ZODA=/DAE,
:.AE//BD,
••S/\ABE=S/^AOEf
••S/\AOE=18,
VAF=EF,
.1_
••S^EOF=)SAAOE=9,
.1_
••SAFME=3,
k
-
:♦S/\FOM=S^FOE-SAFME=9-2
・•・左=12.
故选:B.
9.(2020•黔东南州)如图,点A是反比例函数(x>0)上的一点,过点A作轴,垂足
为点C,AC交反比例函数y=3的图象于点B,点尸是X轴上的动点,则△抬8的面积为()
A.2B.4C.6D.8
【答案】A
【解析】解:如图,连接。4、OB、PC.
:AC_Ly轴,
*'•5△APC—SAAOC=3X|6|=3,S^BPC=S^BOC=1x|2|=l,
•^S^R\B=S^APC-S/\BPC=2.
故选:A,
,在菱形ABOC中,AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函
)
D.y=—
yX
【答案】B
【解析】解::在菱形A80C中,ZA=60°,菱形边长为2,
;.0C=2,ZCOB=60°,
过C作CELOB于E,
则NOCE=30°,
1
:.OE=^OC=1,C£=V3,
.♦.点C的坐标为(-1,V3),
k
•.•顶点C在反比例函数L的图象上,
V3-得上一百,
一1
即尸
二.填空题(共5小题)
11.(2020•大连)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A与。在函数(尤>0)的
图象上,轴,垂足为C,点2的坐标为(0,2),则左的值为8.
【答案】8
【解析】解:连接80,与AC交于点0'
:四边形ABC。是正方形,4CJ_尤轴,
:.BD所在对角线平行于x轴,
VB(0,2),
:.O'C=2=BO'=AO'=DO',
.♦.点A的坐标为(2,4),
"=2X4=8,
故答案为:8.
12.(2020•宿迁)如图,点A在反比例函数(x>0)的图象上,点3在x轴负半轴上,直线
AC1
AB交y轴于点C,若荔=1△AOB的面积为6,则4的值为6.
BC2
【答案】6
【解析】解:过点A作轴于£>,则△ADCS/^BOC,
"OC~BC~2
24c1
—=一,△AO3的面积为6,
BC2
.1
♦°S〉AOC=3=2,
._1_
••S^ACD~2S^AOC~1,
・・・△AO0的面积=3,
根据反比例函数上的几何意义得,||/c|=3,
・・・因=6,
9:k>0,
:・k=6・
故答案为:6.
13.(2020•株洲)如图所示,在平面直角坐标系尤Oy中,四边形OABC为矩形,点A、C分别在x
轴、y轴上,点2在函数与=[(x>0,左为常数且左>2)的图象上,边AB与函数(尤>0)
的图象交于点。,则阴影部分ODBC的面积为一.(结果用含上的式子表示)
【解析】解:•••。是反比例函数丫2=[(%>。)图象上一点
1
・・・根据反比例函数%的几何意义可知:△AOD的面积为5X2=1.
•.•点2在函数%=[(比>0,左为常数且左>2)的图象上,四边形OA3c为矩形,
...根据反比例函数k的几何意义可知:矩形ABCO的面积为k.
阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△40。的面积=k-1.
故答案为:k-1.
14.(2020•辽阳)如图,在△ABC中,A3=A。,点A在反比例函数产/(女〉0,x>0)的图象上,
点、B,C在x轴上,OC=豺,延长AC交y轴于点。,连接3D,若△BCD的面积等于1,则左
的值为3.
【答案】3
【解析】解:作于E,连接04,
*:AB=AC,
:.CE=BE,
1
・.・OC=亏08,
1
・・・OC=今CE,
*:AE//OD,
:.ACOD^/\CEA,
SbCEA=(C_E)°2=4,
S^CODOC
1
•・,ABCD的面积等于1,OC=考OB,
・11
••SACOD=4s△BCO=4,
.1
・・SZ\CE4=4X4=1,
OC=^CE,
・11
•・S丛AOC=2sACEA=2,
S^AOE=I+1=I,
,**S/^AOE=2^(%>0),
•・k='3,
故答案为3.
15.(2020•齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,矩形A5CD的边A5在y轴上,点C坐标为(2,
-2),并且AO:80=1:2,点。在函数y=g(尤>0)的图象上,则:的值为2.
【答案】2
【解析】解:如图,•••点C坐标为(2,-2),
:•矩形OBCE的面积=2义2=4,
VAO:BO=1:2,
;•矩形AOE。的面积=2,
:点。在函数y=?(尤>0)的图象上,
:.k=2,
三.解答题(共6小题)
16.(2020•济南)如图,矩形OABC的顶点A,C分别落在x轴,y轴的正半轴上,顶点8(2,2百),
反比例函数(x>0)的图象与BC,AB分别交于。,E,BD=
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标;
(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由;
(3)点尸在直线AC上,点G是坐标系内点,当四边形8CFG为菱形时,求出点G的坐标并判
断点G是否在反比例函数图象上.
【解析】解:(1)"B(2,2V3),则BC=2,
1
而BD=
1Q3L
ACD=2-4=5,故点。(一,2V3),
222
k
--
将点。的坐标代入反比例函数表达式得:2V33解得
-k=3\3f
2
故反比例函数表达式为y=竽,
当%=2时,y=故点E(2,--);
22
,入3=-3.3-「
(2)由(1)知,D(-,2V3),点E(2,—),点、B(2,2V3),
22
则8£>=看BE=吟,
1V3
BD21EB-y1BD
寺BC-2-4'AB~2V3-4-BC'
:.DE//AC;
(3)①当点尸在点C的下方时,
当点G在点尸的右方时,如下图,
过点尸作尸轴于点X,
,/四边形BCFG为菱形,则BC=CF=FG=BG=2,
在RtZ\OAC中,0A=BC=2,OC=AB=2y/3,
则tan/OCA=—母>故NOCA=30°,
则FH=|FC=1,CH=CF-cosZ0CA=2x*=百,
故点尸(1,V3),则点G(3,V3),
当x=3时,y=¥=B,故点G在反比例函数图象上;
②当点/在点C的上方时,
同理可得,点G(1,3V3),
同理可得,点G在反比例函数图象上;
综上,点G的坐标为(3,V3)或(1,3V3)都在反比例函数图象上.
17.(2020•盘锦)如图,4、3两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),将线段绕点2逆时针旋
转90。得到线段BC,过点c作era。?,垂足为D,反比例函数>=(的图象经过点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求反比例函数的解析式;
(2)点P在反比例函数的图象上,当△PC。的面积为3时,求点P的坐标.
【解析】解:(1)二.将线段绕点2逆时针旋转90°得到线段BC,
:.AB=BC,ZABC=9Q°,
'JCDLOB,
:.ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,
ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,
ZABO=ZDCB,
:./\ABO^/\BCD(A4S),
:.CD=OB=3,BD=OA=2,
:・OD=3-2=1,
・・・C点的坐标为(3,1),
.\k=3X1=3,
反比例函数的解析式为:y=*
3
(2)设P(1,m),
m
•・・CO_Ly轴,8=3,
1
由△PC。的面积为3得:-CD*\m-1|=3,
1
x3|m-1|=3,
:.m-1=±2,
.,.m=3或m--1,
33
当m=3时,一=1,当根=-1时,一=-3,
mm
18.(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,直线(〃#0)与元轴、y轴分别相交于
A、3两点,与双曲线y=[(x>0)的一个交点为C,且3C=%C.
(1)求点A的坐标;
(2)当S^AOC=3时,求〃和女的值.
【解析】解:(1)由题意得:令(〃W0)中y=0,
BPax-3a=0,解得x=3,
・••点A的坐标为(3,0),
故答案为(3,0).
(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点,作x轴的垂线交x轴于N点,如下图所示:
:.ZBCM=ZBAO,且NA30=NC30,
:.£\BCMs^BAO,
BCCM用1CM
—=----,即:-=---,
BAAO33
・•・CM=1,
又SMOC=404-CN=3
r1
即:-x3xC/V=3,
2
:.CN=2,
・・・C点的坐标为(1,2),
故反比例函数的k=1X2=2,
再将点C(1,2)代入一次函数-3〃(〃W0)中,
即2=〃-3m解得〃=-1,
「・当SAAOC=3时,〃=-1,k=2.
19.(2020•广州)如图,平面直角坐标系xOy中,目043。的边OC在x轴上,对角线AC,OB交于
点、M,函数丫=点(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.
(1)求上的值和点M的坐标;
(2)求回OABC的周长.
【解析】解:(1)•••点4(3,4)在尸[上,
"=12,
•;四边形OABC是平行四边形,
:.AM=MC,
.,.点M的纵坐标为2,
:点M在尸争的图象上,
:.M(6,2).
(2)':AM=MC,A(3,4),M(6,2)
:.C(9,0),
AOC=9,OA=V32+42=5,
平行四边形O43C的周长为2X(5+9)=28.
20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数
y=卷的图象与性质,其探究过程如下:
(1)绘制函数图象,如图1.
列表:下表是x与y的几组对应值,其中m=1;
X.・・-3-2-111123・・・
~22
22・・・
y•••12442m
33
描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;
(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;
①函数的图象关于y轴对称;
②当x<0时,y随x的增大而增大,当x〉0时,y随x的增大而减小;
(3)①观察发现:如图2.若直线>=2交函数y=£的图象于A,2两点,连接。4,过点3作
\x\
04交X轴于C.贝|JS四边形OABC=4;
②探究思考:将①中“直线尸2”改为“直线尸〃(40)”,其他条件不变,则
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