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文档简介

题型二反比例函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【反比例函数的概念】

一般地,函数y=±(k是常数,kwo)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

X

了=心3的形式。自变量x的取值范围是xwo的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

二、【反比例函数的图象】

反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四

象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数yWO,所以,它的图象与x轴、y

轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

三、【反比例函数k的几何意义】

下列图形中反比例函数表达式为y=勺,其中涉及两个反比例函数的,较大的k用人大表示,较

=§2

^kABO=S梯ADCB

差量图形

y1Vt\\'eg

位0\X

nD1

北大-勺、

S二&_k大-k小s=k大-k小

kJ

2

综合图形

4

>0

oojAX01C

$阴=s矩-闷5=纲S=k大-k小

四、【反比例函数的性质】

反比例

函数

k的符号k>0

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是XWO,

v的取值范围是ywo;v的取值范围是ywo;

性质②当k>o时,函数图象的两个分支分别②当k<o时,函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内,y在第二、四象限。在每个象限内,y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

【专题训练】

选择题(共10小题)

1.(2020•兰州)已知点A(xi,yi),B(垃,")在反比例函数y=—三的图象上,若"<打<0,则

下列结论正确的是()

A.Xl<X2<0B.X2<Xl<0C.0<Xl<X2D.0<X2<Xl

【解答】解:

...图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大,

又:yi<y2<0,

;•图象在第四象限,

.'.0<%1<%2>

故选:C.

2.(2020•阜新)若A(2,4)与8(-2,a)都是反比例函数丁=右(^0)图象上的点,则。的值

是()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解::A(2,4)与5(-2,a)都是反比例函数y=((ZW0)图象上的点,

・,・%=2义4=-2a,

-4,

故选:B.

7

3.(2020•宁夏)如图,函数”=尤+1与函数”=亍的图象相交于点M(1,/Ji),N(-2,n).若yi

>72,则X的取值范围是()

A.工<-2或0<%<1B.%<-2或彳>1

C.-2<尤<0或0<尤<1D.-2<尤<0或无>1

【答案】D

【解析】解:由一次函数和反比例函数的图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象之上时,

所对应的龙的取值范围为-2Vx<0或x>1,

4.(2020•潍坊)如图,函数y=fcv+6(kWO)与y=?(m#0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,

-6)两点,则不等式依+。>千的解集为(

B.-2<x<0或x>l

C.尤>1D.x<-2或0<尤<1

【答案】D

【解析】解::函数尸fcv+b(6#0)与丫=?(爪。0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)

两点,

•二不等式"+的解集为:元<-2或0«1,

故选:D.

5.(2020•徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数y=](x>0)与y=x-1的图象交于点尸Q,6),

11

则代数式——工的值为()

ab

y

ii1

A.-4B.-C.—D.-

224

【答案】c

【解析】解:

法一:由题意得,

-_4

y=x,解得,

y=x—1

1+717V17-1

•••点P(---------,-----------)

22

即:北尹,V17-1

b=

-2-

.11221

9ab~1+V17-V17-14

法二:由题意得,

函数(x>0)与y=x-1的图象交于点P(a,b),

••ab=4,b〃-1,

.11b—a1

*abab4

故选:C.

6.(2020•山西)已知点A(处,yi),B(孙”),C(孙”)都在反比例函数y=(k<0)的图

象上,且XlVx2Vo<13,则yi,>2,》3的大小关系是()

A.y2>yi>y?,B.y?,>y2>yiC.yi>y2>y?,D.y?,>yi>y2

【答案】A

【解析】解::反比例函数y=9(左<0)的图象分布在第二、四象限,

在每一象限y随x的增大而增大,

而Xl<X2<0<X3,

Ay3<0<yi<y2.

即yi>y\>yi.

故选:A.

417

7.(2020•滨州)如图,点A在双曲线y=3上,点8在双曲线>=?上,且&8〃彳轴,点C、。在x

轴上,若四边形ABC。为矩形,则它的面积为()

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】解:延长R4交y轴于E,则轴,

:点A在双曲线上,

四边形AEO。的面积为4,

17

•.,点8在双曲线线产茎上,且A3〃x轴,

四边形BEOC的面积为12,

矩形ABCO的面积为12-4=8.

8.(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的对角线AC的中点与坐标原点重合,点

E是x轴上一点,连接AE.若AO平分/OAE,反比例函数y=[*>0,x>0)的图象经过AE

上的两点A,F,且AF=EF,ZkABE的面积为18,则%的值为(

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解:如图,连接BD,OF,过点A作ANLOE于N,过点尸作于M.

:.MN=ME,

:.FM=^AN,

VA,歹在反比例函数的图象上,

k

S^AON=S^FOM=29

1i

:.—ON*AN=*OM・FM,

22

.・・ON=

:・ON=MN=EM,

1

:.ME=!(?E,

・o1。

••3AFME=W3△尸。E,

,:AD平分NOAE,

:.ZOAD=ZEAD,

•四边形A3CO是矩形,

.OA=OD,

:.ZOAD=ZODA=/DAE,

:.AE//BD,

••S/\ABE=S/^AOEf

••S/\AOE=18,

VAF=EF,

.1_

••S^EOF=)SAAOE=9,

.1_

••SAFME=3,

k

-

:♦S/\FOM=S^FOE-SAFME=9-2

・•・左=12.

故选:B.

9.(2020•黔东南州)如图,点A是反比例函数(x>0)上的一点,过点A作轴,垂足

为点C,AC交反比例函数y=3的图象于点B,点尸是X轴上的动点,则△抬8的面积为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解:如图,连接。4、OB、PC.

:AC_Ly轴,

*'•5△APC—SAAOC=3X|6|=3,S^BPC=S^BOC=1x|2|=l,

•^S^R\B=S^APC-S/\BPC=2.

故选:A,

,在菱形ABOC中,AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函

)

D.y=—

yX

【答案】B

【解析】解::在菱形A80C中,ZA=60°,菱形边长为2,

;.0C=2,ZCOB=60°,

过C作CELOB于E,

则NOCE=30°,

1

:.OE=^OC=1,C£=V3,

.♦.点C的坐标为(-1,V3),

k

•.•顶点C在反比例函数L的图象上,

V3-得上一百,

一1

即尸

二.填空题(共5小题)

11.(2020•大连)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A与。在函数(尤>0)的

图象上,轴,垂足为C,点2的坐标为(0,2),则左的值为8.

【答案】8

【解析】解:连接80,与AC交于点0'

:四边形ABC。是正方形,4CJ_尤轴,

:.BD所在对角线平行于x轴,

VB(0,2),

:.O'C=2=BO'=AO'=DO',

.♦.点A的坐标为(2,4),

"=2X4=8,

故答案为:8.

12.(2020•宿迁)如图,点A在反比例函数(x>0)的图象上,点3在x轴负半轴上,直线

AC1

AB交y轴于点C,若荔=1△AOB的面积为6,则4的值为6.

BC2

【答案】6

【解析】解:过点A作轴于£>,则△ADCS/^BOC,

"OC~BC~2

24c1

—=一,△AO3的面积为6,

BC2

.1

♦°S〉AOC=3=2,

._1_

••S^ACD~2S^AOC~1,

・・・△AO0的面积=3,

根据反比例函数上的几何意义得,||/c|=3,

・・・因=6,

9:k>0,

:・k=6・

故答案为:6.

13.(2020•株洲)如图所示,在平面直角坐标系尤Oy中,四边形OABC为矩形,点A、C分别在x

轴、y轴上,点2在函数与=[(x>0,左为常数且左>2)的图象上,边AB与函数(尤>0)

的图象交于点。,则阴影部分ODBC的面积为一.(结果用含上的式子表示)

【解析】解:•••。是反比例函数丫2=[(%>。)图象上一点

1

・・・根据反比例函数%的几何意义可知:△AOD的面积为5X2=1.

•.•点2在函数%=[(比>0,左为常数且左>2)的图象上,四边形OA3c为矩形,

...根据反比例函数k的几何意义可知:矩形ABCO的面积为k.

阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△40。的面积=k-1.

故答案为:k-1.

14.(2020•辽阳)如图,在△ABC中,A3=A。,点A在反比例函数产/(女〉0,x>0)的图象上,

点、B,C在x轴上,OC=豺,延长AC交y轴于点。,连接3D,若△BCD的面积等于1,则左

的值为3.

【答案】3

【解析】解:作于E,连接04,

*:AB=AC,

:.CE=BE,

1

・.・OC=亏08,

1

・・・OC=今CE,

*:AE//OD,

:.ACOD^/\CEA,

SbCEA=(C_E)°2=4,

S^CODOC

1

•・,ABCD的面积等于1,OC=考OB,

・11

••SACOD=4s△BCO=4,

.1

・・SZ\CE4=4X4=1,

OC=^CE,

・11

•・S丛AOC=2sACEA=2,

S^AOE=I+1=I,

,**S/^AOE=2^(%>0),

•・k='3,

故答案为3.

15.(2020•齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,矩形A5CD的边A5在y轴上,点C坐标为(2,

-2),并且AO:80=1:2,点。在函数y=g(尤>0)的图象上,则:的值为2.

【答案】2

【解析】解:如图,•••点C坐标为(2,-2),

:•矩形OBCE的面积=2义2=4,

VAO:BO=1:2,

;•矩形AOE。的面积=2,

:点。在函数y=?(尤>0)的图象上,

:.k=2,

三.解答题(共6小题)

16.(2020•济南)如图,矩形OABC的顶点A,C分别落在x轴,y轴的正半轴上,顶点8(2,2百),

反比例函数(x>0)的图象与BC,AB分别交于。,E,BD=

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标;

(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由;

(3)点尸在直线AC上,点G是坐标系内点,当四边形8CFG为菱形时,求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

【解析】解:(1)"B(2,2V3),则BC=2,

1

而BD=

1Q3L

ACD=2-4=5,故点。(一,2V3),

222

k

--

将点。的坐标代入反比例函数表达式得:2V33解得

-k=3\3f

2

故反比例函数表达式为y=竽,

当%=2时,y=故点E(2,--);

22

,入3=-3.3-「

(2)由(1)知,D(-,2V3),点E(2,—),点、B(2,2V3),

22

则8£>=看BE=吟,

1V3

BD21EB-y1BD

寺BC-2-4'AB~2V3-4-BC'

:.DE//AC;

(3)①当点尸在点C的下方时,

当点G在点尸的右方时,如下图,

过点尸作尸轴于点X,

,/四边形BCFG为菱形,则BC=CF=FG=BG=2,

在RtZ\OAC中,0A=BC=2,OC=AB=2y/3,

则tan/OCA=—母>故NOCA=30°,

则FH=|FC=1,CH=CF-cosZ0CA=2x*=百,

故点尸(1,V3),则点G(3,V3),

当x=3时,y=¥=B,故点G在反比例函数图象上;

②当点/在点C的上方时,

同理可得,点G(1,3V3),

同理可得,点G在反比例函数图象上;

综上,点G的坐标为(3,V3)或(1,3V3)都在反比例函数图象上.

17.(2020•盘锦)如图,4、3两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),将线段绕点2逆时针旋

转90。得到线段BC,过点c作era。?,垂足为D,反比例函数>=(的图象经过点C.

(1)直接写出点C的坐标,并求反比例函数的解析式;

(2)点P在反比例函数的图象上,当△PC。的面积为3时,求点P的坐标.

【解析】解:(1)二.将线段绕点2逆时针旋转90°得到线段BC,

:.AB=BC,ZABC=9Q°,

'JCDLOB,

:.ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,

ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

ZABO=ZDCB,

:./\ABO^/\BCD(A4S),

:.CD=OB=3,BD=OA=2,

:・OD=3-2=1,

・・・C点的坐标为(3,1),

.\k=3X1=3,

反比例函数的解析式为:y=*

3

(2)设P(1,m),

m

•・・CO_Ly轴,8=3,

1

由△PC。的面积为3得:-CD*\m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

:.m-1=±2,

.,.m=3或m--1,

33

当m=3时,一=1,当根=-1时,一=-3,

mm

18.(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,直线(〃#0)与元轴、y轴分别相交于

A、3两点,与双曲线y=[(x>0)的一个交点为C,且3C=%C.

(1)求点A的坐标;

(2)当S^AOC=3时,求〃和女的值.

【解析】解:(1)由题意得:令(〃W0)中y=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

・••点A的坐标为(3,0),

故答案为(3,0).

(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点,作x轴的垂线交x轴于N点,如下图所示:

:.ZBCM=ZBAO,且NA30=NC30,

:.£\BCMs^BAO,

BCCM用1CM

—=----,即:-=---,

BAAO33

・•・CM=1,

又SMOC=404-CN=3

r1

即:-x3xC/V=3,

2

:.CN=2,

・・・C点的坐标为(1,2),

故反比例函数的k=1X2=2,

再将点C(1,2)代入一次函数-3〃(〃W0)中,

即2=〃-3m解得〃=-1,

「・当SAAOC=3时,〃=-1,k=2.

19.(2020•广州)如图,平面直角坐标系xOy中,目043。的边OC在x轴上,对角线AC,OB交于

点、M,函数丫=点(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.

(1)求上的值和点M的坐标;

(2)求回OABC的周长.

【解析】解:(1)•••点4(3,4)在尸[上,

"=12,

•;四边形OABC是平行四边形,

:.AM=MC,

.,.点M的纵坐标为2,

:点M在尸争的图象上,

:.M(6,2).

(2)':AM=MC,A(3,4),M(6,2)

:.C(9,0),

AOC=9,OA=V32+42=5,

平行四边形O43C的周长为2X(5+9)=28.

20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数

y=卷的图象与性质,其探究过程如下:

(1)绘制函数图象,如图1.

列表:下表是x与y的几组对应值,其中m=1;

X.・・-3-2-111123・・・

~22

22・・・

y•••12442m

33

描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;

连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;

(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;

①函数的图象关于y轴对称;

②当x<0时,y随x的增大而增大,当x〉0时,y随x的增大而减小;

(3)①观察发现:如图2.若直线>=2交函数y=£的图象于A,2两点,连接。4,过点3作

\x\

04交X轴于C.贝|JS四边形OABC=4;

②探究思考:将①中“直线尸2”改为“直线尸〃(40)”,其他条件不变,则

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