中考数学难点突破与训练：与圆有关的等腰三角形的存在性问题（含答案及解析）

专题48与圆有关的等腰三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.如图1,在I。中，A3和。是两条弦，且ABLCD,垂足为点E,连接8C,过A作AF13C于尸,

交CO于点G；

(1)求证：GE=DE；

(2)如图2,连接AC、OC,求证：ZOCF+ZCAB=90°；

(3)如图3,在(2)的条件下，OC交AF于点N,连接E尸、EN、DN,若OCUEF,EN上AF,DN=2历,

求NO的长.

2.如图，A3是(O的直径，点C是：。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点。，直线。C与A3的

延长线相交于点P,G是"CB的内心,连接CG并延长，交〔。于E,交AB于点E连接BE.

//x

⑴求证：AC平分N7MB；

(2)连接3G,判断EBG的形状，并说明理由;

(3)若8C=20，AC=4应，求线段EC的长.

3.(1)课本再现：如图1,R4,PB是。的两条切线，切点分别为A,艮则图中的必与PB,NAPO与/BPO

有什么关系？请说明理由,

图I图2

(2)知识应用：如图，PN、PD、DE分别与：。相切于点A、B、C,nDE〃PN,连接OD、OP,延长尸0

交。。于点交于点E,过点M作MZV〃。口交PN于N.

①求证：MN是。的切线：

②当O£>=6cm,OP=8cm时，求。的半径及图中阴影部分的面积.

4.已知MC是圆。的内接三角形，高线AO的延长线交圆。于点E,连接。4.

(2)如图2,连接BE,过。作JLAC,求证：BE=2OF；

⑶如图3,若8C是直径，点G、8在弧AC上，ZBOG=2ZABO,GH=OA,延长GH交BC延长线于点P,

连接"，若GP=10,AP=14,求线段HP的长.

5.如图1,在锐角.ABC中，AB=AC,圆。为ABC的外接圆.

(2)如图2,点E在弧AB上，CE分别与Q4,54交于点/，G,且CF=BE.

①求证：BG1EF；

②若EF=2,CF=3,求圆。的半径.

③如图3,连结8。并延长交AC于。，交CE于H,若DH=OH,求cos/BAC的值.

6.如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，BBC是等腰直角三角形，点A,点B在x轴上(点A

2

在点2的左侧)，点C在y轴的正半轴上，点。在直线BC上运动，连结A£)与y轴交于点E,连结8E.

(1)当点。从点C运动到点B(C,8两点除外)时，求证：NBEO=NCED.

(2)如图2,过8,D,£三点作。”与y轴的另一个交点为G,延长即交。”于点F,连结GF,DG,BF.求

/EFG的度数.

(3)在(2)的条件下，若AB=8,点。在运动过程中，△BEF中是否有一个角等于30。，如果存在，求出此

时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

7.如图1,在IO中，AB为弦,。为直径，且ABLCD,垂足为E,尸为优弧上的动点(不与端点

重合)，连接PD

图1图2

(1)求证：ZAPD=ZBPD；

⑵在线段尸。上有一点/,连接AD、AI.且旬平分—R钻，求证：AD=D/；

⑶如图2,在(2)的条件下，若NAP3=60。，。的半径为2,过点。作。的切线交外的延长线于点B

当PF=PD时，求尸/的长.

8.已知。上两个定点A、B和两个动点C、D,AC与3D交于点E.

(1)如图1,求证EAgpC=EB匹D；

3

(2)如图2,若连接AO,延长4。交©0于点R连接。尸，AC1BD,BC=3,求点。到弦AD的距离.

9.如图，AB为。的直径，C为。上一点，。为54延长线上一点，ZACD=ZB.

(1)求证：DC为。的切线；

3

(2)若。的半径为5,sin5=-,求。C和AD的长.

(3)在(2)的条件下，线段。尸分别交AC,BC于点、E,FS.ZCEF^45°,求C尸的长.

10.已知如图1,在。中，弦AC1BD于点尸，AP=3,BP=6,PD=4.E是CO的中点.

⑴求8C的长；

(2)求AE的长；

(3)如图2,若AF=B尸，连接ED交于点Q，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出NAQD

的度数，并说明理由.

11.如图，A3是：O的直径，点C,D在。上，且满足AC，CD，DB的度数之比为2:3:1,连接线段

AC,CD,AD.

(1)求NC的度数;

AD

⑵求强的值；

4

(3)设43=6，点尸为直径A2下方半圆上的一个动点，连PD,点尸在自A向3运动过程中，AP的度数分

别与D8，AC，C。的度数相等时，求出相应线段尸方的长.

12.如图，AO8内接于O,AB=AC,点。为劣弧AC上动点，延长A。，8C交于点E,作。尸AB交

。于F，连结CF.

(1)如图①，当点。为AC的中点时，求证：DF=BC；

(2)如图②，若CF=G4,ZABC=a,请用含有1的代数式表示NR4E；

⑶在(2)的条件下，若BC=CE,

①求证：AC+AD=DE；

②求tanNE的值.

13.四边形ABCD内接于｛O,AC为直径，E在的延长线上，且班与相切.平分/E4c.

⑴判断3。与8的位置关系，并说明理由;

⑵若BE=4,AD^3AE,求「。的半径

14.已知。为:1BC的外接圆，AB^BC.

图I图2

(1)如图1,联结0B交AC于点E,过A作CO的垂线交CO延长线于点。.

5

①求证：80平分/ABC；

②设NAC3=a,ND4C=尸，请用含a的代数式表示夕；

(2)如图2,若ZABC=90。，F为(。上的一点，且点B,F位于AC两侧，作aABF关于AB对称的图形ABG,

连接GC,试猜想AG,CG,BG三者之间的数量关系并给予证明.

15.如图1,在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,尸是BC上一点(不与点8,C重合)，过点尸作于点

D,连接CO并延长交，ABC的外接圆于点E,连接£A,EB,AP.

⑴求证：ZDPB=NCEB.

⑵若CD?=CP-CB,求证：BD=BE.

⑶如图2,AC=2,BC=4.

①若tan/EC8=g,求AP的长.

②求钎.DE的最大值.

16.如图1,已知等腰ABC内接于O,AB=AC=6,ZBAC=120°,。是上的一个动点，连接D4

并延长，点尸在射线D4上，且DF=DB.

(D如图2,若AO是。的直径.

①求。的半径长；

②求AF的长；

(2)在点。的运动过程中，当AC与V3DF的一条边平行时，求AF的长.

17.如图1,。为一ABC的外接圆，半径为6,AB^AC,Na4C=120。，点D为优弧8C上异于反C的

6

一动点，连接DA、DB、DC.

⑴求证：AD平分ZBDC；

⑵如图2,CM平分ZBCD,且与AD交于

花花同学认为：无论点。运动到哪里，始终有AM=AC；

都都同学认为：AM的长会随着点。运动而变化.

你赞同谁的观点，请说明理由；

⑶求ZM++OC的最大值.

18.在平面直角坐标系到中，C的半径为r,尸是与圆心C不重合的点，点尸关于C的限距点的定义

如下：若P'为直线PC与-C的一个交点，满足则称P，为点P关于(C的限距点，如图1为

点尸及其关于C的限距点p的示意图.

①分别判断点M(3,4),N(3,0),7(1,VI)关于＜O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；

②如图2,点D的坐标为(2,0),DE,。歹分别切。于点E,忆点尸在力跖的边上.若点尸关于C。的

限距点P,存在，求点P'的横坐标的取值范围.

(2)保持(1)中。，E,尸三点不变，点P在」)砂的边。E,。尸上沿的方向运动，C的圆心C

的坐标为(1,0),半径为r，若点P关于C的限距点P，不存在，则厂的取值范围为.

7

专题48与圆有关的等腰三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.如图1,在。中，和是两条弦，且ABLCD,垂足为点E,连接BC,过A作

Abi3c于尸，交。于点G；

(1)求证：GE=DE；

(2)如图2,连接AC、0C,求证：ZOCF+ZCAB=90°；

(3)如图3,在(2)的条件下，0C交AF于氤N,连接EF、EN、DN,若OC//EF,EN工AF,

DN=2#7,求NO的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶后

【分析】(1)连接可证得ZAGE=ND,从而AG=M>,进而得出结论；

(2)延长CO交。于G,连接3G,可证得OB+NG=90。，NC4B=NG,进而得出结论；

(3)作NH^LCD于H,连接3D,连接03,可证得NC4B=ZAEF=NOCF,结合(2)的

结论NOCF+NC4E=90。，从而得出NC4B=NOCF=45。，根据平行四边形性质得出

CG=GE=DE=a,依次解RtABF求得BF,解RtACBE求得BF,从而得出CF,CN,解

RlACE求得AC,从而得出NC4尸的正余弦三角函数值，从而得出/NCD的三角函数值,

解斜三角形CDN,从而求得。的值，进一步可求得结果.

【详解】(1)证明：如图1,

C.

AC=AC'

8

:.ZB=ZD,

CDLAB,AFIBC,

:.ZAEG=ZAFB=90°,

/.ZB+Z^4F=90°,NAG£+NBA/=90。,

:"B=ZAGE,

:.ZAGE=ND,

：.AG=ADf

:.EG=DE=-DG-

2

(2)证明：如图2,

图2

延长co交(O于G,连接3G,

。6是＜。的直径，

NC3G=90。，

.•.NOCF+NG=90。,

BC=BC，

.\ZCAB=ZGf

.\ZOCF+ZCAB=90°；

(3)解：如图3,

C

作NH_LCD于H,连接3。，连接03,

EN上AF,BF±AF,

:.EN〃BC,

OC〃EF,

厂•四边形所CN是平行四边形，

/.CG=EG=DE,ZOCB=ZFEN,

9

ZAFC=ZAEC=90°,

.,•点A、C、F、E共圆，

.\ZCAF=ZCEFfZBAF=ZECF,

EN〃BC,

:.ZECF=ZCENf

:.ZBAF=ZCENf

.\ZCAF+ZBAF=ZCEF+ZCEN,

.\ZCAB=ZFEN,

.\ZCAB=ZOCF,

由（2）得：ZCAB+ZOCN=90°f

:.ZCAB=ZOCF=45°,

NAEC=90。，

ZACE=90°-ZCAB=45°,

:.ACAB=AACE,

AE=CE,

没CG=EG=DE=a,

AE=CE=2<2,

BC=BC，

ZBDE=ZCAB=45°,ZBOC=2ZCAB=90°,

/.ZEBD=90°-ZBDE=45°,

BE=DE=a,

AB=CD=3a,

在Rt/XAEG中，

AG=VAE2+EG2=2y/5a，

./iEGBF

..sin^.BAF=-,

AGAB

aBF

"2岛"3a'

:.BF=—a,

5

在Rt.BCE中，

BC=^CE2+BE2=#>a，

.s“_尼3旧_2后

..CF=BC—BRFF=v5〃-------a=------a

55

在RtACE中，

AC=y/2AE=2-j2a,

10

cosNCAF=华叵

3

ZNCE=NCEF=NCAF,

2>/5

在RtNCF中,ZNCF=45°,CF=^-a,

5

:.CN=42CF=^^-

在Rt=aw中，

NH=CN-sinZNCE=^^-a--=-a,

5105

CH=CN-cosZNCE=-a,

5

69

:.DH=CD-CH=3a——a=-a,

55

在RtWMV中，

NH2+DH2=DN2,

(M〃)+(gQ)2=(2A/17)2,

a—2yf59

...CN=¥^x26=4",BC=&x2-JS=10,

OC=—BC=5^,

2

ON=OC-CN=542-4y/2=y/2.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，解直角三角形，确定圆的条件，等腰三角形的判

定和性质等知识，解决问题的关键是探究角之间的数量关系，发现角度和图形的特殊性.

2.如图，AB是。的直径，点C是。。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点。,

直线。C与AB的延长线相交于点P,G是AACB的内心，连接CG并延长，交（O于E,交

A2于点E连接BE.

⑴求证：AC平分NTMB；

⑵连接BG,判断EBG的形状，并说明理由;

⑶若BC=2近,AC=4夜，求线段EC的长.

【答案】(1)见解析

(2)等腰三角形，见解析

(3)6

【分析】(1)由切线的性质可得出OCJLPD,结合题意可证OC〃的，即得出

ZACO=ZDAC.再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出/ACO=/C4O,从而

易证AC平分/ZMB；

(2)由直径所对圆周角为直角可知NACB=90。.再根据三角形内心的性质可知

ZACE=ZBCE=；ZACB=45°,ZCBG=ZFBG.由同弧或等弧所对圆周角相等可知

ZACE=ZABE=45°,从而结合三角形外角性质得：ZBCE+ZCBG=ZABE+ZFBG,即

ZBGE=ZEBG,即证明EBG为等腰三角形；

(3)连接OE,作交CE于点由圆周角定理可知4QE=2/3CE=90。.根

据勾股定理可得出AB=j3C2+AC2=2版，即得出===J记，从而由等腰直

角三角形的性质结合勾股的定理求出==2百.又易证△BMC为等腰直角三角形，

同理可求出BM=MC=】&BC=2,最后再次利用勾股定理即可求出=^IBE2-BM2=4，

2

进而可求出C£=MC+石知=6.

【详解】⑴•・,尸。是:。切线

・•・OC-LPD.

•；ADLPD,

工OC//AD.

・・・ZACO=ZDAC.

XVOC=OA,

：.ZACO=ZCAO,

12

/.ZCAO=ZDAC,即AC平分“AB；

(2),班G为等腰三角形，理由如下，

为O的直径，

/.ZACB=9Q°.

：G是ZkACB的内心，

ZACE=ZBCE=-ZACB=45°,ZCBG=NFBG.

2

迎E=，

：.ZACE=ZABE=45°,

ZBCE+ZCBG=ZABE+ZFBG,

ZBGE=ZEBG,

.•一£BG为等腰三角形；

(3)连接0E,作3MLCE交CE于点M,如图所示:

由圆周角定理可知/BOE=2/BCE=90°.

BC=2A/2,AC=4及，ZACB=90°,

AB=4BC~+AC~=2M，

OB=-AB=>/ld.

2

OE=OB,

BE=y/2OB=2A/5.

BM±CE,ZBCE=45°,

，△BMC为等腰直角三角形，

BM=MC=—BC=2,

2

•*-EM=yjBE2-BM"=720-4=4>

，CE=MC+EM=2+4=6.

【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质,

13

等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识.熟练掌握圆的相关知识是解题关键.在解

(3)时正确作出辅助线也是关键.

3.(1)课本再现：如图1,PA,PB是:。的两条切线，切点分别为A,B.则图中的上4与

PB,/APO与/BPO有什么关系？请说明理由，

(2)知识应用：如图，PN、PD、£见分别与。相切于点A、3、C,且DE〃尸N,连接OROP,

延长「。交(。于点跖交DE于点E,过息M作MN〃OD交PN于N.

①求证：MN是;。的切线：

②当OD=6cm,OP=8cm时，求。的半径及图中阴影部分的面积.

【答案】(1)ZAPO=NBPO,见解析；

(2)①见解析；②。的半径是4.8cm,图中阴影部分的面积是(24-5.76兀)cm。

【分析】(1)连接Q4和根据切线的性质，可得Rt^AO匹RtzXBQP,即可得出结论；

(2)①根据题意求证MN〃OD,即可得出即可得出答案；②根据

S.8=gOP•°。=；•OB,求出。8的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案•

【详解】解：(1)如图1,连接和。3,

PA和PB是C。的两条切线，

C.OALAP,OBLBP.

又：=OP=OP.

PA

ffll

(2)①证明：:PMPD、DE分别与，。相切于点A、B、C,

：.OD、OP分别平分ZPDE、ZDPN.

又：DE//PN.

/PDE+/DPN=180°.

：.ZPOD=90°.

又,：MN〃OD,

14

MN±OM

又：MN经过半径OM的外端点M,

是(。的切线.

②连接03,则

PD=JOU?+OP1=762+82=10-

：.S^POD=^OPOD=^PDOB,

：.OB=PD=4.8

即,。的半径为2.4cm.

.-1,„90兀x4-5~/,、

••=—x6x8-----------------=24—5.76兀(cm2)

阴影2360

综上所述，。的半径是4.8cm,图中阴影部分的面积是(24-5.76兀)加2.

【点睛】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，属于常规考题，解题的关键在于熟

练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等.

4.己知.ABC是圆。的内接三角形，高线AD的延长线交圆。于点E,连接04.

图Im2曲3

(1)如图1,求证：ZBAD=ZCAO；

(2)如图2,连接助，过。作。'LAC,求证：BE=2OF；

⑶如图3,若8C是直径，点G、X在弧AC上，NBOG=2ZABO,GH=OA,延长GH交BC

延长线于点P,连接AP,若GP=10,AP=14,求线段打的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)2

1_/AC)C1

【分析】(1)连接OC,先根据。1=OC证明NC4。=NAC。==90。一5NAOC,

15

再根据圆周角定理得到=进一步得到NC4O=90。-最后根据*ABC的高

线AD的延长线交，：O于点E得到NADB=90。，进一步得出结论；

(2)延长A0交：:。于点连接CM,可得A"是。。的直径，先根据。尸，AC得到

AF=CF,再证明O尸是八4。0的中位线，得到CW=2OP,最后证明BE=CM即可得到

结论；

(3)连接OH,过点。作OTLPG于点T,过点G作GNJ_3C于点N,设；O的半径为厂，

则GN2+PN2=PG2,先证明“OGH是等边三角形得到GT=-r^OT=^-r,进一步证明

22

NCOG=NBOA以及&GNO三一ADO得到AD=GN,ON=OD和DN=2OD,然后根据勾股

定理得到方程，最后消去有关线段，得到关于厂的方程，求出r的值，并根据HP=GP-G”

求出答案即可

【详解】(1)如图1,连接0C,

OA=OC,

:.ZCAO=ZACO==90°--ZAOC

22

又；ZB=-ZAOC

2

ZCAO=90°-ZB,

ABC的高线AD的延长线交(O于点E

:.ZADB=90°,

:./BAD=90-/B,

:.ZBAD=ZCAO;

(2)如图2,延长AO交：。于点M,连接CM,则AM是。的直径,

16

OF_LAC,

：.AF=CF

又，OA=OM,

..OF是ACM的中位线，

:.CM=2OF,

由（1）得，ZBAD=ZCAO,

/.BE=CM

:.BE=CM,

:.BE=2OF;

（3）如图3,连接OH,过点。作OTLPG于点T,过点G作GN_LBC于点N,设。的

半径为小贝ij：GN2+PN2=PG2,

图3

GH=OH=OG=OA

.•.QGH是等边三角形，

OT1PG,

,GT=-GH=-r,

22

22

...OT=y]oG-GT=卜一夕?=^-r

/BOG=2ZABO,ZAOC=2ZABO,

:.ZBOG=ZAOC,

/.ZBOG-ZAOG=ZAOC-ZAOG,BPZCOG=ZBOA,

GN_LBC,

ZGNO=ZADO=90°,

在△GM?和/XADO中

ZGNO=ZADO

</COG=/BOA,

GO=AO

GNO=ADO（AAS）,

/.AD=GN,OD=ON,

:.DN=2OD;

17

GN'+PN-=PG1,

:.AD-+PN-=PG2,

AD2=AO2-OD2=r2-OD2,

..r1-ODT+PN-=1()2①，

ADLBC

AD2+PD2=AP2,

又•，PD=PN+DN=PN+2OD,

r-OD2+(PN+2ODf=142@,

②-①得，PNOD=24-OD2;

OT±PG,

OT-+PT2=PO\

又.oT=—rPT^GP-GT=W--r,PO=PN+ON^PN+OD,

2；2

=(PN+OD),,即/_Hk+i00=PN2+OD2+2PN・OD,

、2J<2)

r2-10r+100=P^2+OD2+2(24-OD2)

即尸M-O>=r_iO'+52,

,r2-OD2+PN2=102,

,-,100-r2=r2-10r+52,

解得，r=8或r=-3(舍去)

GH=8,

:.HP=GP—GH=10—8=2

【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、

垂径定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握圆周角定理以及作辅助线构建直角三

角形是解题的关键.

5.如图1,在锐角，ABC中，AB=AC,圆。为ABC的外接圆.

⑵如图2,点E在弧AB上，CE分别与。4,54交于点b，G,且CF=BE.

①求证：BG1EF；

18

②若EF=2,CF=3,求圆。的半径.

③如图3,连结80并延长交AC于O,交CE于H,若DH=OH,求cos/54c的值.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；②述；③正

24

【分析】（1）证明LAQBMAOC,即可得出。4平分/84C；

（2）①连结所，证明尸三”中，推出=即可求证；②连结80并延

长交O于连结CM,tMig—=sinZBMC=sinZBEG=-72,即可求出半径的长；

BM3

③延长交。于V,连结CM,利用相似三角形的性质和判定即可求解.

【详解】（1）连结OB、OC,

VOA=OA,OB=OC,AB=AC,

AOB^AOC,

：.ZBAO=ZCAO

由AF=AF,ZBAF=ZCAF,AB=AC

得AABF三AACF,

：.ZACF=ZABF,BF=CF,

又：=BE=CF

ZABE=ZABF,BE=BF

:.BG1EF,且EG=FG

②连结8。并延长交。于连结CM

则4cM=90。,

由£F=2,b=3知EG=FG=1,BF=CF=3

BG=2A/2,BC=276,

—=sinNBMC=sinNBEG=-72

BM3

:.BM=34,即半径为殛

2

19

③延长交。于连结CM

ZDAO=ZOAB=ZABO,ZADO=ZBDAf

：.VADO:NBDA,

.ADDO

••丽―布‘

即AD1=DODB

•・•NDBC=90°-ZM=90°-ZBAC=ZDCH

ZCDH=ZBDC

：.ADCHADBC9

.CDDB

^nnCD?2=DHDB

DHCL)

又：DH=HO,

CD'DHDB1

AD'~DODB~2

CD1

AZ)-72

AOIBC,CMLBC,

：.AO//CM

：.ADCM△DAO

源"=罟=^2,即OA=航CM

BM=26CM，—=—

BM4

cosABAC=cosZ-BMC=

4

【点睛】本题考查圆的综合，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，全等三角形的知识,

解题的关键是能够利用性质和判定定理，进行推理.

20

6.如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，ABC是等腰直角三角形，点A,点8在

x轴上（点A在点8的左侧），点C在y轴的正半轴上，点。在直线8c上运动，连结与

y轴交于点E,连结

⑴当点。从点C运动到点B（C,8两点除外）时，求证：NBEO=NCED.

（2）如图2,过2,D,E三点作。X与y轴的另一个交点为G,延长E/1交。X于点R连结

GF,DG,BF.求/EFG的度数.

⑶在（2）的条件下，若A3=8,点。在运动过程中，△BEF中是否有一个角等于30。，如

果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见详解；

（2）/EFG=45。；

（3）点E的坐标为（0,8-4匹或（0,4石-8）；

【分析】（1）根据ABC为等腰直角三角形，可知。1=03,则OC垂直平分A3,则

/BEO=NAEO,根据，AEO=/CEO,可知/BEO=/CED.

（2）根据—CED是&GDE的一个外角，可知NCED=NEGD+NEDG,根据—3EO是

BCE的一个外角,可知ZBEO=NECB+NEBC,又根据NEGD=NEBD,

NBEO=NCED,则NEDG=/ECB,在等腰Rt_ABC中，/ECB=45。，则

NEDG=NECB=45°,故/EFG=NEDG=45°；

（3）分两种情况讨论：①当一9万=30。时，过点尸作轴于点根据相似三角

形的性质与判定即可解决本题，②当/加力=30。时，过点尸作FNLx轴与点N,同理根

据相似三角形求解即可.

【详解】（1）解：••..ABC为等腰直角三角形，

OA=OB,

：.OC垂直平分AB,

：.ZBEO=ZAEO,

'：ZAEO=ZCEO,

:.NBEO=/CED,

（2）解：：/CED是，GDE的一个外角，

ZCED=NEGD+/EDG,

21

・・・是MCE的一个外角，

・•・NBEO=NECB+NEBC,

又•：NEGD=NEBD,ZBEO=ZCED,

:・NEDG=NECB,

在等腰Rt.ABC中，NECB=45。,

:・NEDG=NECB=45。,

：.NEFG=NEDG=45。；

(3)解：①当/3£F=30。时，过点尸作同0，元轴于点M,

,.,/£»尸=90。，

・•・ZEBO+ZFBM=90°,

NEBO+NOEB=90。,

：・NFBM=NBEO,

又•・・NEOB=NBMF=90°,

••一EOBSBMF,

.OEOB_BE

••BM-FM-BF'

在Rt.£B尸中，NBEF=3。。,

，BE=CBF,

.OEOBBEr-

.,-----=------=-----=73,

BMFMBF

OE=y/3BM,OB=«x,

:ZGOM=NOGF=ZOMF=90°,

，四边形OGRW为矩形，

：.OG=FM,GF=OM,

FM=OG=GE-6=GF-®=OM-W=OB-BM-A=OB-X-A，

在等腰RtABC中，AB=8,

03=4,

•'*FM=4-x-6x,

/.0B=6FM=4币-6X-3X=4,

.873-12

••x=-----------,

3

OE=8-4A/3,

E(0,8-4A/3),

22

②当/班后=30。时，过点尸作FN，尤轴与点N,

:/EBF=90°,

：.NOBE+NNBF=90°,

又：NOBE+NOEB=90°,

:.NBOE=NNBF,

又NBOE=NFNB=90°,

.OBES_NFB,

.OEOBBE

"BN~FN~BF'

在RjEBF中，ZEFB=30°,

BF=s/3BN,

•*.BN=s/3OE,FN=s/3OB=4y/3,

•/AGON=Z.EGF=ZONF=90°,

四边形OGRV为矩形，

：.OG=FN,ON=FG=EG,

ON=OB+BN=4+y/3OE=EG=OG-OE=FN-OE=4y[3-OE,

BP4+A/3G>£=4A/3-OE,

，OE=8-4A/3,

综上所述，点E的坐标为（0,8-4上）或（0,4百-8）.

【点睛】本题属于圆的综合题，其中也考查了相似三角形的性质与判定，平面直角坐标系,

23

能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.

7.如图1,在。中，A3为弦，CO为直径，且回，CD,垂足为E,尸为优弧ACB上的

动点(不与端点重合)，连接PD

图1图2

⑴求证：ZAPD=ZBPD-,

(2)在线段PZ)上有一点/,连接AD、AI.且从平分NRR,求证：AD=DI；

(3)如图2,在(2)的条件下，若NAPB=60。，。的半径为2,过点。作。的切线交上4

的延长线于点尸；当PF=PD时，求P/的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)P/=73.

【分析】(1)根据垂径定理和圆周角定理可证明；

(2)证明=进而命题可证；

(3)连接。4,先计算得出△Q4D是等边三角形，作AE_LAF于点E,求得E4的长，证明

△FADs^FDP,从而求得结果.

【详解】(1)证明：；A3为弦，CO为直径，且ABLCD,

••AD=BD，

ZAPD=ZBPD；

(2)证明：AO=3O，

：.ZAPD=ZBAD,

•・•A/平分

ZPAI^ZBAI,

VZDAI=ZBAD+^BAI,ZDIA=AAPD+ZPAI,

ZDAI=ZDIA,

:.AD=DI；

(3)解：连接Q4,

24

VZAPB=60°,ZAPD=ZBPD,；・ZAPD=NBPD=30。，

：.ZAOD=2ZAPD=60°,

・・•OA=OD,

・・・△。4。是等边三角形，

AAD=OD=2,ZADO=60°,

丁。厂是G>O的切线,

Z.FDO=90°,ZFDA=30°,

=且NAP£>=30。,

・•・ZDAF=1SO0-ZF-ZFAD=15°,

・•・AD=FD=2,

由(2)得AD=D/=2,

作隹_LDF于点E,

AE=1AD=1,DE=M-f=6，

・・・EF=2-6

・•・AF=VAE2+EF2=8-473

*：ZFPD=ZFDA=30°f

△FAD^/XFDP,

.DFAF28-4括

..----=----,即----=--------，

PFDFPF2

,PF=2)=2+6,即P£)=尸尸=2+出，

P/=PD-DZ=2+A/3-2=V3.

【点睛】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

8.已知。上两个定点A、8和两个动点C、D,AC与交于点E.

25

BB

F

图1图2

⑴如图1,求证EA里C=EBgED；

（2）如图2,若连接49,延长A0交C。于点F连接。尸，AC±BD,BC=3,求点。到

弦AO的距离.

【答案】（1）证明见解析

3

⑵点。到弦AD的距离是万

【分析】（1）如图1,根据两角对应相等证明ABEsDCE,可得结论；

（2）如图3,作辅助线，构建直角三角形，根据三角形的中位线定理得：0G为,.4）产的中

位

线，则OG=LL>F,由/EDC+NECD=90。和NEW+NAFD=90。，再由等弧所对的圆

2

周角相等得：ZEDC^ZFAD,所以8C=ED，求出3C=D尸=3,从而得结论.

【详解】（1）证明：如图1,

B

图1

:NBAC=NCDB,ZAEB=NDEC,

:.一ABES_DCE,

,BE_AE

"~CE~~DE，

£AgEC=EBgED；

(2)如图，过。作OG_LA。于G,

26

'：AO=OFf

，OG为“1。下的中位线,

OG=-DF,

2

AC.LBD,

AZEDC+ZECD=90°,

•・・"是。的直径，

?ADF90?,

Z7^4D+ZAFD=90°,

,:ZAFD=NECD,

：.NEDC=NFAD,

・・BC=FD，

：.BC=DF=3,

3

・・・OG=~,

2

3

•••点。到弦AD的距离是

【点睛】本题是一道圆的综合题，其中考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角

形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.注意数形结合思想在本题中的应用.

9.如图，AB为。的直径，C为。。上一点，。为54延长线上一点，ZACD=NB.

⑴求证：DC为O的切线；

3

⑵若。。的半径为5,sinB=-,求DC和AQ的长.

⑶在(2)的条件下，线段。户分别交AC,BC于点E,尸且NCE尸=45。，求C厂的长.

【答案】(1)见解析

⑵包普，3也

77

24

(3)CF=—.

【分析】(1)根据圆周角定理得：ZACB=ZBCO+ZOCA=90°,根据同圆的半径相等和已知

相等的角代换可得：ZOCD=90°,可得结论；

27

ACAD63

(2)先根据三角函数计算AC=6,BC=8,证明口得芸=第=：==,设

BCCD84

设AD=3x,CD=4x,利用勾股定理列方程可得x的值，据此即可求解；

(3)证明△CEDSAMD,列比例式可得C歹的长.

【详解】(1)证明：连接0C,

,：AB为。的直径,

ZACB=ZBCO+ZOCA=90°,

•/OB=OC,

：.ZB=NBCO,

'：ZACD=ZB,

：.ZACD=/BCO,

：.ZACD+ZOCA=90°,即NOCD=90°,

...DC为。。的切线；

(2)解：：。的半径为5,

AB=10,

3AC

RLAAC3中，sinB=-=——，

5AB

：.AC=6,BC=8,

VZACD=ZBfZADC=ZCDBf

J-C4T>sBCD,

.ACAD63

**BC-CD-8-4?

^AD=3x,CD=4x,贝()OD=5+3x,

Rt^OCD中，OC2+CD2=OD2,

52+(4X)2=(5+3X)2,

303090

%=0(舍)或K=——，BPAD=3x——=——,

777

.…(30120

..CD=4x——=——；

77

(3)解：VZCEF=45°,ZACB=90°,

/.CE=CF,

设CF=a,

VZCEF=ZACD+ZCDE,/CFE=/B+/BDF,

28

・•・NCDE=NBDF,

ZACD=/B,

△CED^ABFD,

CEBF

而一访，

a8-a

--------=--------------24

4X3010+3X30,解得

77

【点睛】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

10.已知如图1,在］。中，弦于点尸，AP=3,BP=6,PD=4.E是CO的中

点.

cc

图1图2

(1)求BC的长；

(2)求AE的长；

⑶如图2,若AF=BF，连接加交AB于点。，试说明NAQ。的度数是否会发生变化，若不

变请求出NAQD的度数，并说明理由.

【答案】⑴，C=10

⑵.AE=4君

(3)ZAQD=45°,不会发生变化，理由见解析

ApRp

【分析】(1)连接C。，证明△ABPSAOCP,可得而=而，代入数值求出PC的长，再

用勾股定理即可求出BC的长；

(2)连接BE,由(1)可知△BCD是等腰三角形，再由E是CD的中点，可得BMLCZ),

则BE是圆。的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知NACB=/3EA,根据

tanZBCP=tanZB£A,即可求AE的长；

(3)设防与AC的交点为G,过点G作GH,5c交于点X,证明RtBHG沿RtBPG,设

GP=x,则GH=x,在Rt^CG”中，由勾股定理求出GP=AP=3,再由8P垂直平分AG,

29

11

可得=则NA5P=NG5P=二NA5石，又由A/=3/，可得/BDF=—NAEB,进而

22

可求出NAQD=45°.

【详解】（1）如图，连接8.

NBAP=NCDP,ZAPB=/CPD,

AABPs人DCP,

APBP

~DP~~CP'

AP=3,BP=6,PD=