中考人教版数学七年级压轴题：几何压轴四种题型（解析版）

专题09几何压轴四种题型

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练.......................................

类型一、线段中点有关计算-分类讨论..............................................1

类型二、双角平分线模型-分类讨论................................................5

类型三、角度综合运算-分类讨论.................................................11

类型四、角的折叠综合问题.......................................................17

压轴能力测评（7题）...............................................20

“解题知识必备♦♦

1.线段双中点模型

模型一：两线段无公共部分（作和）

已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN《AC

证明：•••点M、N为线段AB、BC的中点

AMB=-AB,BN=-BCAMBN

22

-1-i-i-i

则MN=MB+BN=jAB+jBC=j(AB+BC)=jXC

文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半

模型二：两线段有公共部分（作差）

1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN^AC

证明：•.•点M、N为线段AB、BC的中点

.\MB=i1AB,BN=1-BCAMCNB

22

则MN=MB-NB=|AB-1BC=j^AB-BC)=^AC

2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=：AC

证明：•••点M、N为线段AB、BC的中点

!iBA

.,.MB=-AB,BN=-BC---------------------------

22MN

则MN=NB-MB=iBC-|AB=1（BC-AB）=^AC

文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解:

速记口诀：一半一半又一

2.双角平分线模型

角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

已知0C平分/AOB,则/AOC=/COB=ZAOB

一、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。

模型一：两角有公共部分(作和)

已知0C是/AOB内的一条射线，0M平分/AOC,ON平分/BOC,求ZMON.

证明：V0M平分NAOC,ON平分/BOC

ZM0C=-ZAOC,ZC0N=-ZBOC

22

111

ZMON=ZMOC+ZCON=-ZAOC+-ZBOC=-ZAOB

222

文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半

模型二：两角有公共部分(作差)

已知0C是NA0B外的一条射线，0M平分NAOC,ON平分NBOC,求NM0N.

证明：V0M平分/AOC,ON平分/BOC

ZM0C=-ZAOC,ZC0N=-ZBOC

22

ZM0N=ZM0C-ZC0N=-ZAOC--ZBOC=-ZAOB

222

文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半

总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半.

♦♦压轴题型讲练2

类型一、线段中点有关计算-分类讨论

【典例1]A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4,且48=10.动点P从点

A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为f秒(,0).

AOB

(1)当t=l时，4P的长为」点尸表示的有理数为」

(2)当PB=2时，求f的值；

⑶M为线段2P的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若

变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长.

【答案】⑴2,-2；

(2)t=4或t=6；

⑶MN=5

【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出

图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面.

(1)根据点尸的运动速度，即可求出；

(2)当PB=2时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧；

(3)分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变.

【详解】(1)解：因为点P的运动速度每秒2个单位长度，

所以当t=l时，4P的长为2,

因为点A对应的有理数为-4,AP=2,

所以点P表示的有理数为-2；

(2)解：当PB=2,要分两种情况讨论，

点尸在点8的左侧时，因为4B=10,所以4P=8,所以t=4：

点尸在点B的是右侧时，AP=12,所以t=6；

(3)解：长度不变且长为5.

理由如下：当P在线段4B上时，如图，

AMOPNB

7•▲▲44.4

回M为线段AP的中点，N为线段PB的中点，

11

^\MP=-AP,NP=-BP

22f

团MN=^(AP+BP)=^AB,

囿4B=10,

回MN=5.

当P在线段4B的延长线上时，如图，

AOMBNP

-.-AIa•

同理可得：MN=MP-NP=：(AP-BP)==5：

综上：MN=5.

【变式1-1】已知线段4B=6cm,点C是4B的中点，点。在线段4B上且CD=：CB,则线段4D的长为

()

A.2cmB.4cmC.2cm或3cmD.2cm或4cm

【答案】D

【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键.

根据线段中点的性质求出CB,根据题意求出CD,分点D在线段CB上，点。在线段AC上两种情况计算即

可.

【详解】SAB=6cm,点C是4B的中点,

1

回CB=-AB=3cm,

2

0CD=-CB,

3

回C。=lcm,

如图，当点。在线段CB上时，

IIII

ACDB

SAD=AC+CD=3+1=4(cm),

如图，当点。在线段4c上时，

IIII

ADCB

囿4D=AC-CD=3-1=2(cm),

故选：D.

【变式1-2］如图，点C是线段4B上一点，D为BC的中点，且4B=12,BD=5.若点E在直线4B上,

且4E=3,则DE的长为()

ACDB

IIII

A.4B.15C.3或15D.4或10

【答案】D

【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到=10,CD=BD=S,求得47=2,

分两种情况：当点E在点4右侧，当点E在点4左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键.

【详解】解：回。为的中点，BD=5,

回=10,CD=BD=5,

团43=12,

回4C=2,

如图1,当点E在点Z右侧，

回AE=3,

回CE=1,

回DE=CD—CE=4；

ACEDB

iiiii

图1

EACDB

IIIII

图2

如图2,当点E在点4左侧，

回/E=3,

WE=AE+AC+CD=3+2+5=10,

故0E的长为4或10,

故选：D.

【变式1-3】已知线段4B=5,点C为直线上一点，且4C:BC=3:2,点D为线段4C的中点，则线段BD

的长为（）

A.3.5B.3.5或7.5C.3.5或2.5D.2.5或7.5

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得

出AC、8C的长.

根据题意画出图形，再分点C在线段4B上或线段4B的延长线上两种情况进行讨论.

【详解】解：①当点C在线段4B上时，如下图：

ADCB

IIII

vAB=5,AC\BC=3:2,

BC—2,AC—3,

・・•点D是线段AC的中点，

CD=-AC=1.5,

2

BD=BC+CD=2+1,5=3.5；

②当点C在线段ZB外时，如下图：

ABDC

__I_____________I_______I____________________I

AB=5,AC:BC=3:2,

・•・BC=10,AC=15,

・・•点D是线段AC的中点，

•••AD=CD=-AC=7.5,

2

BD=AD-AB=2.5；

综上所述,BD=3.5或2.5.

故选：C.

类型二、双角平分线模型-分类讨论

【典例2】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧.已知N40B=100°,射线0E,

。尸分另I」是乙2。。和NCOB的角平分线.

图1图3

(1)如图1,若射线0C在乙408的内部，且乙4。。=30。，求NE0F的度数；

(2)如图2,若射线0C在NZ08的内部绕点。旋转，求NE0F的度数

⑶若射线。C在乙40B的外部绕点。旋转(旋转中乙40C,N80C均指小于180。的角)，其余条件不变，请

借助图3探究乙EOF的大小.

【答案】⑴50。

(2)50°

⑶50。或130。

【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两

个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.注意分类思想的运用.

(1)先求出N80C度数，根据角平分线定义求出NEOC和NFOC度数，求和即可得出答案；

(2)根据角平分线定义得出NCOE=|N40C,ACOF=34BOC,求出/EOF=^EOC+^FOC=^AOB,

代入求出即可；

(3)分两种情况：①射线0E,。尸只有1个在乙40B外面，根据角平分线定义得出NC0E=：N40C,

乙COF=3乙BOC,求出NEOF=NFOC-NCOE=3N4OB；②射线OE,0F2个都在N40B夕卜面，根据角

平分线定义得出/EOF=*0C,乙COF=3乙BOC,求出/EOF=NEOC+NCOF=1360°-乙40B),

代入求出即可.

【详解】(1)解：；0E是440C的平分线，^AOC=30°,

1

・•・4COE=士乙40C=15°

2

・•・/.AOB=100°

・•・(COB=2LAOB-AAOC=70°

•••OF是4COB的平分线,

1

・•・2LCOF=~COB=35°,

2

・•・乙EOF=(COE+Z.COF=15°+35°=50°；

(2)解：乙AOB=100°,

・•・/-AOC+/.COB=100°,

i1

•・•乙COE=-^AOC"OF=-^COB,

22

・•・乙EOF=(COE+Z.COF=+乙COB)=50°；

(3)解：：0E是乙40c的平分线，OF是乙COB的平分线,

乙C0F母乙C0B,

①延长B。至点D,当0C在〃0D的内部,

乙COB-^AOC=100°

・•・Z-EOF="OF-(COE="COB-^AOC)=50°；

②延长80至点D,延长40至点M,当0C在4DOM内部,

•••^AOB=100°

・•・(COB+^AOC=360°-^AOB=260°,

M・•・乙EOF=(COF+乙COE=i(cCOB+/AOC)=130°；

③延长4。至点M,当OC在4BOM内部，

・•・乙AOC—乙COB=100°,

•­•/.EOF=/.COE-/-COF=式乙4OC-乙COB)=50°,

综上，度数为50。或130。.

【变式2-1］如图，已知。4，。8,射线。。在乙4OB内部，射线。。逆时针旋转几。得到。C,OE是乙4。。的

角平分线.

⑴如图1,若。。是乙408的角平分线，且几=85时，求ND0E.

(2)如图2,若0F是乙40。的角平分线，则乙40E—乙4。9=_.(用含有n的代数式表示)

⑶在(1)的条件下，若射线0P从OE出发绕。点以每秒5。的速度逆时针旋转，射线0Q从0。出发绕。点

以每秒6。的速度顺时针旋转,若射线OP、OQ同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到NE0P=

［乙40Q,请直接写出答案.

【答案】(1)20。

(2)|n°

('3)t=—13sflgt=20s

【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用,

理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键.

(1)证明N40B=90。,求解N40D=^AOB=45。,结合NC0D=85。,可得NAOC=85°+45°=130°,

求解乙40E=^AOC=65°,再利用角的和差关系可得答案；

(2)证明乙4。尸=力。。，410E=|乙4。。，结合乙40E-乙4。尸=|“。。，从而可得答案；

(3)如图，分两种情况讨论，当0Q在乙4。。内部时，当。Q在乙4。。外部时，由题意可得：/.EOP=5t°,

乙DOQ=6尸，再利用NE0P=1乙40Q建立方程可得答案.

【详解】(1)解：：0A10B,

BOB=90°,

•••。。平分N40B,

1

・•・乙4。。=三乙4。8=45。，

2

•••Z.COD=85°,

・•・乙4。。=85。+45。=130。，

.・.0E平分

AAOE=-x^AOC=65°,

2

・•・乙DOE=AAOE-AAOD=65°-45°=20°

(2)解：・・・OF平分NA。。，

AAOF=-Z-AOD,

2

V0E平分N40C,

•••/.AOE=-Z.AOC,

2

1z11

・•・Z.AOE-AAOF=-^AOC-Z-AOD}=,乙COD=-n°

(3)解：如图，当OQ在NA。。内部时，

由题意可得，乙EOP=5t。,ADOQ=6t°,

・・・^AOD=45°,

・・・410Q=45°-6t°,

4

・・・乙EOP=三乙AOQ,

4

5t=-(45-6t)

解得：仁总

Q/-EOP=5尸，乙DOQ=6尸,

・・・AAOD=45°,

・・・Z-AOQ=6t°-45°,

4

-Z.EOP=^Z.AOQ,

4

.・.5t=-(6t-45)

解得：t=20,

综上，当t=^s或t=20s时，AEOP=^AAOQ

【变式2-2]一副三角板按如图1所示放置，边04。。在直线MN上，4AOB=60°,乙COD=45°.

图3图4

如图2,将三角板COD绕点O顺时针旋转到广。〃，转速为每秒钟转动5。，当。C旋转一周回到射线。N上

时停止转动，设转动时间为t秒.

⑴当。D'与。B重合时，直接写出的值；

⑵①当。。'正好平分NB04时，在图1中画出此时。〃的位置，并求出f的值；

②在旋转过程中，作乙8。。的角平分线。E,当乙4。£=15。时.直接写出/的值.

【答案】⑴15秒

⑵①图见详解，t的值为21秒；②t的值为33或45秒

【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键.

（1）根据已知角的度数和平角的定义直接求度数即可；

（2）①根据=105。求解即可；②根据题意分两种情况得出ND'。。的度数，求解即可.

【详解】（1）解：由题知，ZSOD=180°-^AOB-^COD

=180°-60°-45°

=75°

t=£=15（秒）；

（2）①如图所示：

图1

回。zr正好平分NBOA

^ABOD'=4AOD'=-ABOA=30°

2

V乙BOD=75°,

EJND'OD=乙BOD+乙BOD，=75°+30°=105°

.105°„.

t==21,

t的值为21；

②当OE在乙8。4内部时，

^AOE=15°,

回NBOE=ABOA-/-AOE=60°-15°=45°

回。E平分NBOD'

0ZBOF=HOE=45°

S^D'OA=45°-15°=30°

回N。'。。=4D'OA+^AOD=30°+180°-45°=165°

165°

=33

当OE在NBOA夕卜部时，

v^AOE=15°

回NBOE=NB04+AAOE=60°+15°=75°

回。E平分NBOD'

回NBOE=/-D'OE=75°

回。。转动的角度为：乙BOE+HOE+乙BOD=75°+75°+75°=225°,

解得1=答=45,

当乙4OE=15。时.t的值为33或45（秒）.

类型三、角度综合运算-分类讨论

【典例3】以直线4B上一点。为端点作射线。C,使NBOC=60。，将一个直角三角形。OE的直角顶点放在点

。处.

E

⑴如图1,若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则NCOE=；

⑵如图2,将直角三角形DOE绕点。逆时针方向转动到某个位置，若0E恰好平分乙40C,请判断。。是否

平分NBOC,并说明理由；

⑶将三角形DOE绕点。逆时针转动到某个位置时，若恰好N40E=54COD,求NBOD的度数.

【答案】⑴30。

(2)。。平分NBOC,理由见解析

(3)zBOD=65°或52.5°

【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键.

(1)根据2(7。£1=4。。£1一48。(；即可作答；

(2)由/3。(？=60°,得N40C=180°-60°=120°,上艮据。E恰好平分N40C,有NEOC=120°+2=60°,

IPRj^zCOD=AEOD-/.EOC=90°-60°=30°,即可得NBOD=NCOD,问题得解；

(3)由N4OE=5NCOD,设4COD=X,贝UNAOE=5X,分两种情况：第一种。。在N40C内，第二种。。

在4BOC内，列出方程，即可作答.

【详解】(1)解：・；NDOE=90。，NBOC=60。，

•••乙COE=乙DOE-乙BOC=30°,

故答案为：30。；

(2)。。平分N80C,理由如下：

•.,直线AB上一点。，

•••AAOB=180°,

•••Z.BOC=60°,

•••NAOC=180°-60°=120°,

0E恰好平分NAOC,

•­•/.EOC=120。+2=60°,

Z-EOD=90°,

・•・/,COD=乙EOD-乙EOC=90°-60°=30°,

・•・乙BOD=乙BOC一(COD=60°-30°=30°,

・•.Z.BOD=Z.COD,

.•・0D平分乙BOC；

(3)•・•Z-AOE=5乙COD,

.•.设“。£>=x,贝lj乙40E=5%.

分两种情况：

①如图，。。在N40C内，

•••5x+90°+x+60°=180°,

•••6x=30°,

%-5»

・••乙COD=5°,

・•・Z-BOD=乙BOC+乙COD=60°+5°=65°；

②如图，。。在NBOC内，

・•・/-AOE+ABOC-匕COD=90°,

・,•5%+60°—x=90°,

解得久=7.5°,

・•・（BOD=乙BOC-乙COD=60°-7.5°=52.5°；

综上48。。=65。或52.5。.

【变式3-1］已知O为直线上一点，射线OD、OC、0E位于直线上方,。。在0E的左侧，乙40C=120。,

乙DOE=80°.

⑴如图1,当。。平分N&OC时，求NEOB的度数；

⑵点R在射线。B上，若射线OF绕点。逆时针旋转n。（0<71<180且n丰60）,^FOA=3^AOD.当乙DOE

在N40C内部（图2）和ADOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，"OE和NEOC的数量关系是否改变,

若改变，说明理由，若不变，求出其关系.

【答案】⑴40。

⑵不改变，乙EOF=2乙EOC,理由见解析

【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行

计算.

(1)利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；

(2)分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论.

【详解】(1)解：国00平分乙4OC,

1

^COD=-^A0C=60°,

2

^DOE=80°.

^COE=乙DOE一匕COD=20°,

^AOE=/LAOC+Z.COE=120°+20°=140°,

回4BOE=180°-AAOE=40°；

(2)解：①NDOE在乙4。。内部时.

令久。，贝叱DOF=2%。，AEOF=80°-2x°,

回NEOC=120°-(%。+2x°+80°-2x°)=40°-x。,

^\Z-EOF=2/.EOC；

②&DOE的两边在射线OC的两侧时.令乙4。。=x。，

则NDOF=2x。，ND。。=120。—%。，/.EOF=2x°-80°,

^Z-EOC=80°-(120°-x°)=x°-40°,

0ZEOF=24EOC.

综上可得，NFOE和NEOC的数量关系不改变，AEOF=2乙EOC.

【变式3-2］图1,把一副三角板拼在一起，边。4。。放在直线EF上，其中乙408=45°,乙COD=60°.

⑴求图1中乙8。。的度数；

⑵如图2,三角板COD固定不动，将三角板40B绕点。顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板408

一直在直线EF上方，设NEOA=a.

①若08平分NEOD,求a；

②若NAOE=44B。。，求a.

【答案】⑴75。

⑵①a=15°；②60°或100°

【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义；

(1)根据平角的定义即可得到结论；

(2)①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；

②分用含a的代数式表示出乙40c和NBOD,列方程即可得到结论.

【详解】(1)EINAOB=45°,NC。。=60°,

0ZBOD=180°-/-AOB-乙COD=75°；

(2)①回“。。=60°,

0ZEOD=180°-60°=120°,

当。B平分NEOD时，4EOB=2。D=60°,

SOB=45°,

回乙4OE=60°-45°=15°,

0a=15°；

②当射线OB在NEOD内部时，

0Z71OB=45°,“。。=60°,Z.EOA=a,

^/.BOD=180°-45°-60°-a=75°-a,

回乙4OE=4乙BOD,

团a=4(75°—a),

解得a=60°.

当射线OB在4。。。内部时，

回N/OE=a,Z,AOE=4乙BOD

^BOD=-a,

4

^COD=60°,

a

国EBOC=60°--,

4

回NAOB=45°,

0a+45°+60°--=180°,

4

解得a=100°

综上所述，满足条件的a的值为60。或100。.

图1图2备用图

如图，点。为直线4B上一点，Z.BOC=120°.

(1)如图1,Z71OC=°.

⑵小明把一个三角板MON的直角顶点与图1中的点O重合，并在直线4B上方旋转QMON=90°).

①如图2,当。M平分乙40C时，求NBON的度数.

②拓展延伸：在三角板M0N绕点O在直线AB上方旋转的过程中，请直接写出NCOM与NBON的数量关

系.

【答案】⑴60°

(2)①NBON的度数为60。、②当直角三角板的。M边在NBOC的外部时：乙BON—乙COM=3Q°；当直角

三角板的0M边在NBOC的内部时：Z.BON+乙COM=30°

【分析】本题主要考查余角、补角及角平分线的定义，解决本题的关键是牢记这些知识点并灵活运用,

在最后一问一定要根据。”的位置进行分类讨论.

(1)根据补角的定义即可求得；

(2)①先求出乙40c的度数，再根据角平分线定义求出N40M,最后根据平角的定义即可求得答案；

②根据。M在0C的左右两侧进行分类讨论.

【详解】(1)解:(1)•••zBOC=120°,

•••AAOC=180°-Z.BOC=60°.

故答案为：60.

(2)①•；Z.BOC=120°,

•••AAOC=180°-乙BOC=60°,

•••0M平分N40C,

•••^AOM=-^AOC=30°,

2

•・•乙MON=90°,

・•・乙BON=180°-2LAOM-乙MON=60°.

②若0M在。C的左侧时(图2),

•••乙MON=90°,

・•・乙CON=90。一乙COM,

•・•乙BOC=120°,

・•・乙CON+乙BON=120°,

・•.90°一/-COM+(BON=120°,

・•・乙BON-乙COM=120°-90°=30°；

若OM在。C的右侧时(备用图)，

•・•乙MON=90°,ABOC=120°,

・•・乙BOC=(COM+乙MON+乙BON,

・••120°=乙COM+90°+(BON,

・•・(COM+乙BON=120°-90°=30°；

综上所述：乙COM+(BON=30。或乙BON-乙COM=30°.

类型四、角的折叠问题

【典例4】利用折纸可以作出角平分线.如图1,通过折叠、展开，则。C为乙4。8的平分线.

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OC为折痕

图1

折叠长方形纸片，OC,。。均是折痕，折叠后，点4落在点4,点B落在点夕，连接04.

⑴如图2,当点夕在04上时，判断N20C与N8。。的关系，并说明理由；

(2)如图3,当点B'在NCO4的内部时，连接08',若乙4OC=44。,48。。=61。，求24。夕的度数.

【答案】⑴乙4OC+NBOD=90。，理由见详解

(2)30°

【分析】(1)本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到C。平分DO平分乙BOB'从而得到

^LAOC=^z.AOA',乙BOD=三乙BOB',结合NAOA+NBOB，=180。即可得至答案；

（2）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到C。平分DO平分乙BOB，,从而得到乙4，。。=

“0C,乙BOD=LDOB',结合平角求出NC。。即可得至lj答案；

【详解】（1）解：由折叠可得，

C。平分"。4,DO平分乙BOB1

11

团乙40C=-^AOA',乙BOD=占乙BOB',

22

团乙4。4+ABOB'=180°,

回乙4OC+乙BOD=|（乙4。4+乙BOB'）=90°：

（2）解：根据折叠得，

C。平分0。平分/BOB1

回乙40C=44°,/.BOD=61°,

S^A'OC=/-AOC=44°,4BOD=乙DOB'=61°,

0ZCOD=180°-乙4OC-乙BOD=180°-44°-61°=75°,

“OB'=4COD-^B'OD=75°-61°=14°,

回"'OB'=AA'OC-NB'OC=44°-14°=30°.

【变式4-1】如图，将长方形4BCD沿4E折叠，得到如图所示的图形，已知NCEF=50。，贝U/4ED的度数

是（）

A.40°B.50°C.65°D.76°

【答案】C

【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出ADEF,

然后根据翻折可知乙4ED=|4即进而求解.

【详解】解：•；乙CEF=50°

•••乙DEF=180°-乙CEF=130°

由翻折可知

1

^AED=-^DEF=65°

故选：C.

【变式4-2］将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若/ABE=20。，贝ikCBO等于

B

A~\

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】利用折叠对称的关系，角的加减，求出NCBO的值.

【详解】解：由题意可知：AABE=乙EBA，,乙ABD=乙DBC,

^ABE=20°,

1

^CBD=-^BC

1

=2(180。一〃84)

1

=-(180°-2z^BE)

1

=-(180°-2x20°)

=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了角的计算，折叠对称，解题的关键是熟练掌握角的计算，图形的折叠对称的性质.

【变式4-3】如图①，在一张长方形纸ZBCO中，E点在40上，并且乙4EB=60。，分别以BE,CE为折

痕进行折叠并压平，如图②，若图②中乙4位。=16。，则NCE»的度数为______.

AED

AED

B

BCD'

图①图②

【答案】38。

【分析】由折叠可得BE平分EL4EA',CE平分回再利用角的和差得至胞DEr>'=180°-：120°+16°=76°,

进而可得答案.

【详解】由折叠可得BE平分EL4E4,CE平分I3OE。

0EL4EB=6O°,

0&4£4=2&4£5=120°,

^EA'ED'=16°,

团团。££>'=180°-120°+16°=76°,

1

00CEZ)=-x76o=38o.

2

故答案为：38°.

【点睛】本题考查角的计算，根据折叠的性质得到3E平分她EV,C£平分配比。是解题关键.

“压轴能力测评♦♦

1.平面上有A,B,C三点,已知4B=8cm,BC=5cm,则4c的长是()

A.13cmB.3cmC.13cm或3cmD.不能确定

【答案】D

【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，

再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可.

【详解】三点在一条直线上时，

AC=AB+BC=8+5=13(cm)或4c=AB-BC=8-5=3(cm)；

三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，4C在3和13之间，

综合以上可知只有答案D符合要求.

故选：D.

2.如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点4落在4处，DE为折痕，将NBE4对折，使得夕落在直线EA

上，得折痕EG,若E4恰好平分NDE8,贝叱AOC=

【答案】30730&

【分析】本题主要考查了角的计算，由翻折的性质可以得到：乙AED=AA'ED,AADE=AA'DE,然后

根据角平分线的定义得到NDE4=从而可以求出乙4ED,再根据三角形内角和定理可以求出

乙ADE,从而求得N4DC.合理运用翻折的性质以及角平分线的定义是本题解题的关键.

【详解】解：由翻折的性质可知：Z.AED=AA'ED,^ADE=^A'DE,

•••E4恰好平分WEB,

•••^DEA'=/.BEA!,

•••4AED=/_DEA!=乙BEA',

又：乙AED+乙DEA，+乙BEA'=180°,

AAAED=乙DEA'=乙BEA'=60°,

又•••Z.ADE+Z.AED=90°,

•••/.ADE=30°,

AA'DC=90°-30°x2=30°.

故答案为：30°.

3.如图，在直线l上顺次取4B,C三点，已知AB=20,BC=80,点M,N分别从4B两点同时出发向

点C运动.当其中一动点到达C点时，M,N同时停止运动.已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速

度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒.

1/--A--------1-----B------1----------------------------------C--------1-------------

⑴用含t的式子表示线段4M的长度为；

(2)当t为何值时，M,N两点重合？

(3)若点P为AM中点，点Q为BN中点.问：是否存在时间t,使PQ长度为5?若存在，请说明理由.

【答案】(1)21

(2)当t=20时，M、N两点重合

(3)当t=30或50时,PQ=5

【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代

数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键.

(1)直接根据路程=时间x速度求解即可；

(2)先用f表示出AM、AN,再根据题意列出方程求解即可；

(3)先用f表示出P4QA,再分点P在。的左边和点P在Q的右边，利用PQ=5列方程求解即可.

【详解】(1)解：回点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为f秒，

^AM=2t,

故答案为：2t；

(2)解：由题意，AM=2t,AN=20+t,

当M,N两点重合时，AM=AN,

回2t=20+t,

解得t=20,

回当t=20时，M、N两点重合；

(3)解：存在时间f,使PQ=5.

由题意得，AM=2t,BN=t,

回点P为AM中点，点Q为BN中点.

1

回P4=t,BQ=-t,

回QA=20+|t,

当点尸在。的左边时，PQ=20+1t-t=5,解得t=30；

当点尸在。的右边时，PQ=t-(20+1t)=5,解得t=50,

团当t=30或50时，PQ=5.

4.【问题背景】如图1,已知射线。C在NAOB的内部，若乙4OB,NAOC和NBOC三个角中有一个角的度数是

另一个角度数的两倍，则称射线OC是乙4OB的"量尺金线

图1图2

【问题感知】

(1)一个角的平分线这个角的"量尺金线"；(填"是"或"不是")

【问题初探】

(2)如图2,Z.MPN=60°.若射线PQ是NMPN的“量尺金线"，则4QPN的度数为；

【问题推广】

(3)在(2)中，若4MPN=%°,0°<x<60°,射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3。的速度绕点尸按

逆时针方向旋转，当NFPN首次等于180。时停止旋转，设旋转的时间为t(s).当，为何值时，射线PM是

NFPN的"量尺金线"？(用含x的式子表示出f即可)

【答案】(1)是；(2)20或30或40；(3)|x,|x,%；

【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，

是解题关键.

(1)根据“量尺金线”的定义进行判断即可；

(2)根据"量尺金线"的定义分三种情况讨论计算即可；

(3)射线PM是NFPN的"量尺金线"，PM在AFPN的内部，PF在A/VPM的外部，然后分三种情况求解即

可.

【详解】解：(1)一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足"量尺金线〃的定义，

故答案为：是；

(2)NMPN=60。，射线PQ是NMPN的"量尺金线"，根据"量尺金线”的定义分三种情况讨论：

当4QPN=2NMPQ时，如图，

M

//✓/。

P

国乙QPN+24MPQ=60°,

2

团NQPN=60°x|=40°；

当NMPQ=24JPN时，如图,

回24QPN+乙MPQ=60°

团“PN=[x60。=20。；

当zJVPM=24QPN时，如图,

⑦乙MPN=60°,

S/.QPN=1x60°=30°；

综上：当4QPN为20。，30°,40。时，射线PQ是NMPN的“量尺金线

(3)回射线PM是NFPN的"量尺金线”，

EIPM在NFPN的内部，

EIPF在NNPM的外部；

分三种情况：

①如图，当ZJVPM=2/FPM时，如图所示：

12

团NFPN=乙NPM+Z.FPM=%°+-%°=-%°,

22

Q1

配=$%+3=-x(s)；

②如图，当乙FPN=24MPN时，如图所示：

FM

回乙FPN=2x°,

2

tat=-%(s)；

③当N产PM=2ZJVPM时，如图所示:

回NFPM=2x°,

回NFPN=乙NPM+乙FPM=3x°,

配=3%+3=x(s)；

综上：当f为%或找或|x时，射线PM是NFPN的"量尺金线

操作1：如图2,把纸片沿8M折叠，使2B落在边BC上，贝ikMBA'=；

操作2：如图3,把纸片沿BM、BN折叠，使AB、BC的对应边BA、BC，重合，求NMBN的度数：

操作3：如图4,把纸片沿PM、PN折叠，使PB、PC的对应边P9、PC，重合，求NBPM+NNPC的度数.

【答案】(1)45°；(2)45°：(3)90°

【分析】(1)由折叠知乙4BM=Z4BM,再根据乙4BC=90。即可求解;

(2)由折叠知乙4BM=NA'BM,乙CBN=LC'BN,再根据/ABC=90。即可求解；

(3)由折叠知NBPM=NB'PM,乙CPN=LC'PN,再根据NBPC=180。即可求解.

【详解】解：(1)由折叠知乙4BM=N&BM,

由题意得：AABC=90°

•••^MBA'=45°；

故答案为：45°；

(2)由折叠可知：乙ABM=LMBA，4CBN=KC'BN,

•••^ABM+NMBA+乙CBN+乙C'BN=90°,

•••24MBA，+2乙CBN=90°,

•••2(NMB4+乙C'BN)=