中考数学难点突破与训练：四边形中由动点引起的分类讨论问题（含答案及解析）

专题27四边形中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，点。为矩形ABCD的对称中心，动点尸从点A出发沿AD向点。移动，移动到点。停止，延长尸0

交3c于点Q,则四边形APCQ形状的变化依次为（）

A.平行四边形一矩形一平行四边形一矩形B.平行四边形一矩形一菱形一矩形

C.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形D.平行四边形一菱形一平行四边形

2.矩形ABCD的边上有一动点E,连接A£\DE,以OE为边作平行四边形.在点E从

点B移动到点C的过程中，平行四边形AED尸的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

3.如图，在四边形A8CD中，ZB=ZD=90°,NA4c=45。，ZC4D=30°,CD=2,点尸是四边形ABC。

边上的一个动点.若点P到AC的距离为为，则点P的位置有（）

A

A.1处B.2处C.3处D.4处

4.如图，在正方形A8C。中，点尸是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、8。相交于点0,过点

产分别作AC、8。的垂线，分别交AC、BD于点E、F.交A。、于M、N•点从从下列结论：①尸M+PN

=AC；@PE-+PF2=PO2-,③点。在M、N两点的连线上；④0P平分/MPN；⑤四边形PEOF不可能为

菱形.其中正确的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

5.如图，在平行四边形ABCD中，ZC=120°,AB=4,AD=8,点、H、G分别是边C。、3C上的动

点.连接AH、HG,点E为AH的中点，点尸为G”的中点，连接则EF的最大值与最小值的差

C.6D.4-5/3

6.如图，在AA8C中，ZABC=9Q°,AB=8cm,BC=6cm,动点P,。分别从点A,8同时开始移动（移

动方向如图所示），点尸的速度为Icm/s,点。的速度为2cm/s,点。移动到C点后停止，点尸也随之停止

运动，当四边形APQC的面积为12CH?时，则点P运动的时间是（

A.2sB.3sC.4sD.6s

7.如图，在"BC中，AC=BC=6cmf^ACB=90°fM是AB边上的中点，点。、石分别是AC、BC边

上的动点，且NOME=90?.则下列结论：（1）AD=CE；（2）OE的长度不变；（3）ZCDM+一班河的度数

不变；（4）四边形CDME的面积为9cm,；其中正确的结论有（）个.

2

c

8.如图，在边长为4的正方形ABC。中，尸是BC边上一动点（不含2、C两点），将/ABP沿直线AP翻

折，点2落在点E处；在C。上有一点M,使得将ZCMP沿直线翻折后，点C落在直线PE上的点尸

处，直线尸£交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的是（）

①②四边形的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④

线段AM的最小值为26；⑤当』A8P04AON时，8P=40-4.

D_____________A

CPB

A.①③④B.①②⑤C.①②③D.②④⑤

9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E为CD中点，P、。为BC边上两个动点，且尸。=2,当

四边形APQE周长最小时，BP的长为（）

A.3.5C.4.5

10.如图，在的AABC中，ZACfi=90o,AC=8C,C£），AB于。点，M,N是AC,BC上的动点，且NMDN=90。,

下列结论:①A"=CN；②ADMN为等腰直角三角形;③四边形MDNC的面积为定值;®AM2+BN2MN2;

⑤NM平分NCND.其中正确说法的是（）

3

C.①②③④D.②③④

二、填空题

11.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,ZB=90°,AB=6cm,AZ）=12cm,BC=15cm.点P从点A出发,

以Icm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以2cm/s的速度向点8运动.规定其中一个动点到达

端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时间仁s时，PQ//CD,且尸。=CD

12.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点尸从点A开始沿边A3向B以2mm/s的速

度移动（不与点8重合），动点。从点8开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果尸、

。分别从A、B同时出发，设运动的时间为f秒，四边形AP0C的面积为Smm?,请写出S与f的函数关系

式，并标注f的取值范围___________________；

13.如图所示，四边形ABC。中，AC_LBO于点。，A0=C0=4,B0=D0=3,点尸为线段AC上的一个

动点.过点尸分别作/5/_1_4。于点〃，作川，。。于点从连接PB,在点P运动过程中，PM+PN+P8的

最小值等于.

14.如图，在四边形ABC。中，AD^BC,AD<BC,/ABC=90。，且AB=3,E是边AB上的动点，当AADE、

ABCE、△€!）£两两相似时，AE=.

4

AD

三、解答题

15.如图，在△ABC中，点。是AC边上的一个动点(点。不与A、C两点重合)，过点。作直线

直线MN与/BC4的平分线相交于点E,与/DC4(△ABC的外角)的平分线相交于点尸.

(1)OE与O尸相等吗？为什么？

(2)探究：当点。运动到何处时，四边形AEC尸是矩形？并证明你的结论.

(3)在(2)中当ZACB等于多少时，四边形AEC尸为正方形(不要求说理由)

16.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.例如：如图①，NB=NC,则四边形ABCD

为“等邻角四边形”.

图①图②图③

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是.

①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

(2)深入探究：

①已知四边形ABCD为“等邻角四边形"，且NA=120。，ZB=100°,则4>=.

②如图②，在五边形ABCDE中，DE//BC,对角线3。平分/ABC,求证：四边形ABDE为等邻角四边

形.

(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD中，NB=NC,点P为边BC上的一动点，过点尸作

5

PMVAB,PN1CD,垂足分别为M,N.在点尸的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明

理由.

17.如图，点E是矩形ABC。的边A3的中点，点G是边AD上一动点，连接3G,若点H为8G的中点，

连接A",连接并延长交边。于点尸，过点A作APLBG,垂足为点交EF于点、P.

⑴求证：AH=HG；

(2)连接BP、PG,若BPLPG,请判断四边形AHPG是什么特殊四边形，并证明.

18.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,N3CD=90,AB=AD=10cm,BC=8cm.点尸从点A出发,

以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点。从点。出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运

动.已知动点P,。同时发，当点。运动到点C时，P,。运动停止，设运动时间为心

(1)直接写出CD的长(cm)；

(2)当四边形为平行四边形时，直接写出四边形P3QD的周长(cm)；

(3)在点P、点。的运动过程中，是否存在某一时刻，使得VBPQ的面积为15cm2?若存在，请求出所有满足

条件的r的值；若不存在，请说明理由.

19.问题情境：四边形ABCD中，点。是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点(点E与点C、

O、A都不重合)过点A,C分别作直线班的垂线，垂足分别为，FG,连接OF,OG

(1)初步探究：已知四边形A3CD是正方形，且点E在线段0C上，求证AF=3G；

6

(2)在(1)的条件下，探究图中O尸与0G的数量关系，并说明理由.

20.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=12cm,5C=24cm,动点P从点A开始沿边AB向点8以2cm/s的

速度移动，动点。从点8开始沿边2C向点C以4cm/s的速度移动，如果尸，。两点分别从A,8两点同时

出发，设运动时间为xs.

2

AP=cm,BP=cm,BQ=cm,S四边形6或==cm

(2)四边形APQC的面积能否等于172cm2?若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.

21.(1)如图1,在四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,点E是边8C上一点，AB=EC,BE=CD,连接AE、

⑵如图2,在平面直角坐标系中，已知点A(0，l),点C是无轴上的动点，线段C4绕着点C按顺时针方向

旋转90。至线段CB,连接3。、BA,

①求B点的运动轨迹解析式

②30+区4的最小值是.

22.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,N3=90。，AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点尸从点

A开始沿AD边向点。以lcm/s的速度运动，动点。从点C开始沿CB边向点8以3cm/s的速度运动，动点尸，

。分别从点4,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为r秒.

(1)当f为何值时，四边形A3QP为矩形？

(2)当r为何值时，四边形PQCZ)为平行四边形?

7

23.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的边0C在x轴上，在y轴上，ZBOC=30°,0c=2若，

两动点P、。分别从。、8两点同时出发，点P以每秒&个单位长度的速度沿线段0C向点C运动，点。

以每秒2个单位长度的速度沿着线段8。向点O运动，当点尸运动到点C时，P、。同时停止，设这两个点

⑵当AOPQ的面积为；出时，求f的值；

O

（3）在运动过程中，是否存在尸、0两点，使得"QC沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为

菱形？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

24.从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个

角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”

【特例感知】

（1）如图，/及3与正方形ABCZ）的边BC、8分别交于点E、点F,此时44P对正方形ABCD的“投

射图形”就是四边形AECP;若此时CE+C尸是一个定值，则四边形AECF的面积（填"会”或“不会”）

发生变化.

【迁移尝试】

（2）如图，菱形ABC。中，AB=2,"=120。，E、尸分别是边BC、CD上的动点，若—E4厂对菱形ABCD

的“投射图形"四边形4ECF的面积为6，求CE+b的值.

8

D

【深入感悟】

(3)如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,广的两边分别与BC、CD交于点E、点F若Z£XF=45。,

CF=2,求NEAF对矩形ABCD的“投射图形"四边形AECF的面积.

(4)如图，某建筑工地有一块由围挡封闭起来的四边形空地ABCD,其中，ZB=ZD=9Q°,/C=120。,

CB=100m,AB=200m,现打算在空地上建一块四边形堆场⑷VOW用于堆放建筑垃圾，需要拆除围挡CM

和CN,若C0+QV=2OOm,求这个四边形堆场面积的最大值.

25.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和3D相交于点。、点E是CD的中点，过点C作AC的垂线,

与OE的延长线交于点F连接ED.

⑴求证：四边形OCFD是矩形；

⑵若四边形ABCD的周长为4石，AAO3的周长为3+君，求四边形OCED的面积；

(3)在(2)间的条件下，3。上有一动点。CD上有一动点尸，求R2+QE的最小值.

26.如图1,已知在平面直角坐标系x0y中，四边形。45c是矩形，点A,C分别在无轴和y轴的正半轴上,

9

连结AC,OA=3,NQ4C=30。，点。是2C的中点.

(2)若点E在线段上，直线。E把矩形OABC面积分成为2：1两部分，求点E坐标；

(3)如图2.点尸为线段上一动点(含线段端点)，连接DP；以线段DP为边，在少P所在直线的右上方

作等边△DPQ,当动点P从点B运动到点A时，点。也随之运动，当△ACQ成为以AC为底的等腰三角形

时，直接写出。点的横坐标.

10

专题27四边形中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，点。为矩形ABC。的对称中心，动点P从点A出发沿4。向点O移动，移动到点。

停止，延长P0交BC于点Q,则四边形APCQ形状的变化依次为（）

A——D

A.平行四边形一矩形一平行四边形一矩形B.平行四边形一矩形一菱形一矩形

C.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形D.平行四边形一菱形一平行四边形

【答案】C

【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形APC。形状的变化情况：这个

四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与

点。重合时是矩形.

【详解】解：观察图形可知，四边形APC。形状的变化依次为平行四边形一菱形-平行四

边形一矩形.

故选C.

【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据

PQ与AC的位置关系即可求解.

2.矩形ABCD的边BC上有一动点E,连接AE、DE,以AE、DE为边作平行四边形

AEDF.在点E从点8移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（）

BE

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

【答案】D

【分析】过点E作EGLAD于G,证四边形ABEG是矩形，得出EG=AB,

SAEDF=2sMJE=2x|ADx£G=ADXAB=S^ABCD,即可得出结论•

【详解】解：过点E作£6,4。于6,如图所示：

则NAGE=90°,

•••四边形A8C£>是矩形,

ZABC=ZBAD=90°,

四边形A8EG是矩形，

J.EG^AB,

•••四边形AEDF是平行四边形，

**,SAEDF—2sM£>E=2x5ADxEG—ADxAB=S矩形5cB，

即YAEDF的面积保持不变，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟

练掌握矩形的性质，证出YAEDF的面积=矩形ABC。的面积，是解题的关键.

3.如图，在四边形A8CZ）中，ZB=ZD=90°,/B4c=45。，ZCAD=30°,CD=2,点、P

是四边形48co边上的一个动点.若点尸到AC的距离为则点P的位置有（）

A.1处B.2处C.3处D.4处

【答案】C

【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD,8c和A8的

长，然后即可得到点。到AC的距离和点3到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有

几处，本题得以解决.

12

A

解：过点3作时1AC于点死过点。作BELAC于点区

VZCAD=30°,CD=2,ZD=90°,

••AC=4，AD=\/AC2—CD2=-2：=2^/^，

・・・在心△AOC中，斜边AC上的高。石=A℃°=26X2=G，

AC4

VAC=4,ZB=90°,ZBAC=45°,

AB=BC,AB2+BC2=AC2.

:,AB=BC=2五,

ABBC

在RtAABC中，斜边AC上的高BF==2&x2&=2,

AC4

2,点尸是四边形ABC。边上的一个动点，点尸到AC的距离为退，

•••点P的位置在点。处，或者边BC上或者边AB上，

即满足条件的点尸有3处.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关

键是求出满足条件的点尸所在的位置.

4.如图，在正方形48CD中，点P是A8上一动点（不与A、8重合），对角线AC、8。相

交于点0,过点尸分别作AC、8。的垂线，分别交AC、BD于点E、F.交A。、8C于M、

N.点从从下列结论：①PM+PN=AC；②PE2+PF=PO?；③点。在M、N两点的连线

上；④OP平分/MPN；⑤四边形PE。尸不可能为菱形.其中正确的个数有（）

C.4D.5

【答案】B

【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断四边形PE。尸是矩形,

13

从而作出判断.

【详解】解：•••四边形ABC。是正方形，

：.ZBAC=ZDAC=45°.

'/PAE=ZMAE

:在△APE和△1中，\AE=AE,

NAEP=NAEM

：.AAP£^AAM£(ASA),

：.PE=EM=-PM,

2

同理，FP=FN=-NP.

2

:正方形ABC。中，AC±BD,

又：尸E_LAC,PFLBD,

：.ZPEO=ZEOF=ZPFO=90°,且4APE中AE=PE,

...四边形PEO尸是矩形.

：.PF=OE,

：.PE+PF=OA,

又,：PE=EM=LpM,FP=FN=-NP,OA=-AC,

222

：.PM+PN=AC,故①正确；

•.•四边形PEOF是矩形，

：.PE=OF,

在直角△OP尸中，OF?+PF?=PO?,

PE2+PF2=PO2,故②正确.

:四边形PEOP是矩形，

；.OP不一定平分NMPN,故④错误；

连接。M,ON,

:。4垂直平分线段PM.垂直平分线段PN,

OM=OP,ON=OP,

：.ZOMP=ZOPM,ZONP=ZOPN,

14

•.•四边形PEO尸是矩形，

/.ZMPN=90°,即ZOPM+ZOPN=90°,

ZOMP+ZONP=90°,即/OMP+NONP+NMPN=180°,

：.M,O,N共线，故③正确.

当点尸是AB的中点时，

则PE=OE=，OA,FP=OF=-OB,OA=OB,

22

：.PE=OE=FP=OF,

四边形PEO尸为菱形.故⑤错误.

综上，①②③正确，共3个.

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，证明四边形PE。尸是矩形

是关键.

5.如图,在平行四边形A3CZ)中，ZC=120°,AB=4,AD=8,点、H、G分别是边

CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为A”的中点，点/为G”的中点,连接用.则

【答案】C

【分析】如图，取A。的中点连接CM、AG.AC,作4NL8C于N.首先证明/AC。

=90°,求出AC,AN,利用三角形中位线定理，可知EF=gAG,求出AG的最大值以及最

小值即可解决问题.

【详解】解:如图，取的中点M,连接CM、AG、AC,作AALLBC于N.

:四边形ABC。是平行四边形，ZBCZ)=120°,AD=2AB=8

：.ZD=180°-ZBCD=60°,AB=CD=4,

"：AM=DM=DC=4,

...△CDM是等边三角形，

NDMC=ZMCD^60°,AM^MC,

：.ZMAC=/MCA=30°,

ZACD=90°,

•<AC=45/3

15

在RdACN中，VAC=4^,ZACN=ZDAC=30°,

：.AN=^AC=2A/3

"：AE=EH,GF=FH,

：.EF=^AG,

:点G在BC上，；.AG的最大值为AC的长，最小值为⑷V的长,

，AG的最大值为4正，最小值为26，

的最大值为2石，最小值为百，

•••斯的最大值与最小值的差为：6

故选C.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直

角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突

破点是证明/ACO=90。，属于中考选择题中的压轴题.

6.如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,动点P,。分别从点A,8同

时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为lcm/s,点。的速度为2cm/s,点。移动

到C点后停止，点尸也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12cm2时，则点尸运动的

时间是（）

【答案】A

【分析】设出动点P,。运动f秒，能使APBQ的面积为12cm,用f分别表示出BP和BQ的

长，利用三角形的面积计算公式即可解答.

【详解】解：设动点尸，。运动f秒后，能使放台^的面积为小^!?,

则3尸为（8—）cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得：|（8-/）x2z=12,

解得％=2,t2=6（当r=6时，52=12,不合题意，舍去），

，动点尸，。运动3秒时，能使"8。的面积为12cm2,

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点

16

问题是解题的关键.

7.如图，在△ABC中，AC=BC=6cm,NACB=90。，M是AB边上的中点，点。、E分

别是AC、3C边上的动点，且NDWERO?.则下列结论：（1）AD=CE；（2）DE的长度不

变；（3）/CDW+/3EM的度数不变；（4）四边形CDME的面积为9cm-其中正确的结

论有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由题意易得CM_LAB,AM=CM,NDAM=NECM=45。,然后可得

.ADM=^CEM,则有AD=CE,ZAMD=ACME,DM=EM,SADM=SCEM,进而问题可求

解.

【详解】解：；AC=3C=6cm,NACB=90。，〃是AB边上的中点，

：.CMLAB,AM^CM,NDAM=NECM=45°,

•/ZDME=90?,

ZAMD+ZDMC=ZDMC+ACME=90°,

ZAMD=NCME,

:.一ADM名一CEM（ASA）,

:.AD=CE,ZAMD=NCME,DM=EM,SADM=SCEM,故（1）正确；

•••工。四0是等腰直角三角形，

DE=^2DM，

•••。河是在变化的，

的长度也在变化；故（2）错误；

•/ZCDM=ZA+ZAMD,ZBEM=ZECM+ACME,

ZCDM+ZBEM=ZA+ZECM+ZAMD+ZCME=90°+2ZAMD,

由//瓯＞是在变化，所以可知NCD暇+N班加也在变化，故（3）错误；

VAC=BC=6cm,^ACB=90°,

：.SACB=^AC-BC=\?,cm,

,12

,,SAMC=\SACB=9cm，

,S四边形C»E=Sczw+SCEM=SCOM+SADM=S.c=%m-；故（4）正确；

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故选A.

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等积法，

熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定是解题的关键.

8.如图，在边长为4的正方形4BC。中，P是BC边上一动点（不含8、C两点），将Z

沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CZ）上有一点使得将△CMP沿直线翻折后，

点C落在直线PE上的点尸处，直线PE交CD于点、N,连接M4,NA.则以下结论中正确

的是（）

①②四边形AMC8的面积最大值为10；③当尸为BC中点时，AE为线段

N尸的中垂线；④线段AM的最小值为2君；⑤当ZABPZZAON时，BP=4也-4.

DA

A.①③④B.①②⑤C.①②③D.②④⑤

【答案】B

【分析】根据相似三角形的判定和性质逐个分析即可.根据正方形的性质以及翻折证明角度

相等，根据44可证△CMP^^BPA,故①正确；当A2时，四边形4MC8面积最大值为10,

故②正确；NE^EP,故③错误；AM的最小值=而后=5,故④错误；依=40-4故⑤正确.

【详解】ZAPB=ZAPE,ZMPC=ZMPN,

•:NCPN+/NPB=18。。,

：.2ZNPM+2ZAPE=180°,

ZMPN+ZAPE=9G°,

：.ZAPM=90°,

ZCPM+ZAPB=90°,ZAPB+ZPAB=9Q°,

：.ZCPM=ZPAB,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=CB=DC=AD=4,NC=NB=90。,

：./\CMP^/\BPA.故①正确；

设贝！］CP=4-x,'：ACMP^^BPA,

.PBAB

"CM~PC'

CM=—x（4-x）,

4

*'•Sggn^AMCB=~［4H—x（4-无）］x4=—x~+2x+8=—（x—2）+10,

2422

，产2时，四边形面积最大值为10,故②正确；

18

当尸B=PC=PE=2时，设ND=NE=y,在RdPCN中,

222

（j；+2）=（4-y）+2

:.N阱EP,故③错误;

作MG±AB于G,\'AM=^MC^+AG2=716+AG2，

.AG最小时AM最小,

，x=l时，AG最小值=3,

...AM的最小值=J16+9=5,故④错误；

AABP沿AADN,

：.ZPAB=ZDAN=22.5°,在上取一点K使得AK=PK,设PB=z,：.ZKPA=ZKAP=22.5°.

ZPKB=ZKPA+ZKAP=^5°,

/BPK=NBKP=45°,

：.PB=BK=z,AK=PK=&z,

♦・z+-^2z=4,

•'-z=40-4,即PB-4A/2-4故⑤正确.

故选B.

D_____________A

CPB

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质.利用正方形的性质以及翻折进行角度的转化,

从而证明三角形相似是解题的关键.

9.如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=8,点£为C。中点，P、。为3c边上两个动点，

且PQ=2,当四边形APQE周长最小时，3尸的长为（）

A.3.5C.4.5

19

【答案】B

【分析】四边形”QE周长等于"+PQ+QE+AE，其中4区尸。为定值，即求AP+QE最

小值，PF=QE,作/关于BC的对称点/，当A、P、/共线时AP+尸尸，最小，此时的尸位

置即为所求.

【详解】解：如图：四边形APQE周长等于AP+PQ+QE+M,

作族〃BC,使£F=PQ=2,

即四边形PQEF是平行四边形，则尸尸=QE,

作尸关于BC的对称点P，连接A尸，FP交BC于点M,即有EFU3C,

:四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=8,E为DC中点，

CD=AB=4,AD=BC=8,ZD=90°,

：.DE=-DC=2,

2

即在RfAAOE中，AEAAD2+DE。=,8?+2?=倔,即AE为定值，

即四边形APQE周长="+PQ+QE+AE,其中4E+PQ为定值，

AP+QE=AP+PF'>AF',

.,.当A、P、/共线时AP+尸尸最小，即四边形APQE周长最小，

EF//BC,FF'±BC,

•••结合四边形ABC。是矩形，易证明四边形CEKIl是矩形，

则MF=MF=CE」C£(=2,

2

：.MC=EF=2,

：.BM=6,

VABIBC,F^lABC,

,ABP^F'MP,

.BPAB4

"PM~MF'^2~，

•/BP+PM=6,

BP=4.

20

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，

正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键.

10.如图，在及AABC中，NAC8=90o,AC=8C,CD，A5于。点，是AC,BC上的动

点，且ZMDN=90。，下列结论:①AW=OV；②ADM7V为等腰直角三角形;③四边形MDNC

的面积为定值；©AM2+BN2=MN2;⑤）NM平分■NCND.其中正确说法的是（）

A.①②B.①②③C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AD=C。，ZA=ZACD=ZDCB=45°,再根据可得

NMDN=90。,即NADM=NCDN；再证_ADM=CDN可得DM=DN、CM=BN,推出CM=BN,

可知△AWN是等腰直角三角形，

S四边形MWC=+SAA/W=；根据CA/=8MCM=BN,易得

CM2+CN2=MN2=AM2+BN2,显然CM、CN不一定相等，所以/CNM不一定等于45。，

所以MN平分NCND不一定成立.

【详解】解：ZACB=90°,AC=BC,

...△ABC是等腰直角三角形，

又

AD=DB=CD,ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45°,

NADC=/BDC=NMDN=90°=ZADM+ZCDM=ZBDN+ZCDN=ZCDM+ZCDN,

：.ZADM=ZCDN,

VZADM^ZCDN,AD=CD,ZA=ZBCD=45°,

：.ADM=&CDN,

：.DM=DN,AM=CN,即①正确；

...△MDV是等腰直角三角形，即②正确；

四边形MDNC的面积为S四边物制c=黑CDN+S/^CDM，

•:一ADM=^CDN,

••^/XAMD=SfND，

••S四边形MDNC=S/\CDN+S^CDM=^ACDAf+/\ADM=^AACD，

S

即S四边形MDNC=AACD=^SAABC,则可知该四边形面积为定值，即③正确;

'：AC=BC,AM=CN,

21

，CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN；

.,.在RfACMN中，有CM?+CN?=MN?,

即有C”+CN2=政/=41〃+3解，即④正确；

•；AMDN是等腰直角三角形，

/ANO=45。为定值，

又：在M、N运动时，在RdCMN中，CM、CN不一定相等，

/CNM不一定等于45°,

平分/CN。不一定成立，即⑤错误.

故选C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等

知识点，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键.

二、填空题

11.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AB=6cm,AD=12cm,BC=15cm.点、P

从点A出发，以Icm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以2cm/s的速度向点8

运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时

间t=s时，PQ//CD,且PQ=CD.

【分析】根据U>〃8C,PQ〃C。时，四边形尸QC。为平行四边形，得出PQ=CD,PD=CQ,

用r表示出P。、C。即可列出关于f的方程，解方程即可.

【详解】解：根据题意可知，AP=t,则尸D=12T,CQ=2t,

VAD//BC,PQ//CD,

；•四边形PQCD为平行四边形，

：.PQ=CD,PD=CQ,

n-t=2t,

解得：t=4,

即t=4s时，PQ//CD,且PQ=CD.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解一元一次方程，根据题意列出关于f

的方程，是解题的关键.

12.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点尸从点A开始沿边AB向2

以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点。从点B开始沿边8C向C以4mm/s的速度

22

移动（不与点C重合）.如果P、。分别从A、8同时出发，设运动的时间为/秒，四边形

APQC的面积为Smn?,请写出s与才的函数关系式，并标注f的取值范围

【答案】y=4〃一24什144（。</<6）

【分析】先表示出，8。的长，进而得到的长度，利用SABC-来求出四边形APQC

的面积和范围.

【详解】解：由题意得：AP=2t,BQ=4t,

：.PB=12-2t,

S四边产Ap℃=]xA2xBC—SpBQ=/x12x24—（一4厂+24f）=4厂-24f+144.

I4

0<z<6.

【点睛】本题考查求二次函数的应用，理解题意，正确表示出3尸，80是求解本题的关键.

13.如图所示，四边形A8CD中，ACLL8。于点。，AO=CO=4,BO=DO=3,点、P为线

段AC上的一个动点.过点尸分别作于点作PNLOC于点N.连接尸8,在点

P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于.

【答案】7.8

【分析】证四边形ABC。是菱形，得CD=AD=5,连接尸。，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8,

得当尸8最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP_LAC时，PB最短,即可得出答案.

【详解】解：：AO=CO=4,BO=DO=3,

：.AC=8,四边形ABCQ是平行四边形，

：AC_L2£>于点O,

平行四边形ABCD是菱形，AD=y/AO2+DO2=A/42+32=5,

23

：.CD=AD=5,

连接PC,如图所示:

■:SAADP+SACDP=SAADC,

：.yAD-PM+DC-PN^^AC'OD,

即gx5xPAf+；x5xPN=gx8x3,

；.5x(PM+PN)=8x3,

；.PM+PN=4.8,

.,.当PB最短时，PM+PN+PB有最小值,

由垂线段最短可知：当BP_LAC时，PB最短,

二当点尸与点。重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8,

故答案为：7.8.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题

以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

14.如图，在四边形ABC。中，AD^BC,AD<BC,ZABC=90°,且A2=3,E是边AB

上的动点，当AADE、ABCE,△CDE两两相似时，AE=.

3

【答案】；或1

【分析】分情况讨论：/CEZX90。和NCZ)E=90。，利用相似三角形的性质，角平分线的性质

和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长.

【详解】解：分两种情况：

①当NCE£)=90。时，如图1,

过石作“凡LCD于尸，

24

AD

图1

VAD/7BC,AD<BC,

.♦.AB与CD不平行，

二NBEC丰NECD,

.•.当△A£)E、ABCE,ACDE两两相似时,

，ZBEC=ZCDE=AADE,

'：ZA^ZB=ZCED=90°,

：.NBCE=NDCE,

：.AE=EF,EF=BE,

：.AE=BE=^-AB=-,

22

②当NCDE=90。时，如图2,

图2

当AA£)E、ABCE.△COE两两相似时,

；AD〃BC,CE和BC相交，

与CE不平行，

ZADE^ZCED,

：.ZCEB=ZCED=ZAED=6Q0,

：.ZBCE=ZDCE=ZADE=30°,

ZA=ZB=90°,

25

：.BE=ED=2AE,

VAB=3,

：.AE=1,

3

综上，AE的值为:或1.

2

3

故答案为：s或1.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质，当

两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解.

三、解答题

15.如图，在/MBC中，点。是AC边上的一个动点(点。不与A、C两点重合)，过点。作

直线直线MN与N3C4的平分线相交于点E,与/DC4(△ABC的外角)的平

分线相交于点尸.

(1)OE与。尸相等吗？为什么？

⑵探究：当点。运动到何处时，四边形AEC歹是矩形？并证明你的结论.

(3)在(2)中当ZACB等于多少时，四边形AEC尸为正方形(不要求说理由)

【答案】(1)相等，理由见详解

(2)0是AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见详解

⑶/ACB=90°时，四边形AECF为正方形，理由见详解

【分析】(1)由CE平分ZACB,CF平分NACD,可得ZACE=NBCE,ZACF=ZDCF,

再根据MN〃3C,可得/FEC=/BCE,ZEFC=ZFCD,即有NACE=NEEC,

ZACF=NEFC,则有EO=OC,OC=OF,问题得解；

(2)证明AC=£F,且AC、所互相平分，即可判断四边形AEC尸是矩形，据此作答即可；

(3)根据对角线相互垂直的矩形是正方形作答即可.

(1)

EO=OF,理由如下：

:根据题意，有CE平分ZACB,CP平分ZACD,

/.ZACE=ZBCE,ZACF=NDCF,

'：MN//BC,

：.ZFEC=ZBCE,ZEFC=ZFCD,

26

ZACE=AFEC,ZACF=NEFC,

：.EO=OC,OC=OF,

：.EO=OC=OF；

(2)

。是AC中点时，四边形AEC尸是矩形，理由如下：

在(1)已证明EO=OC=O尸，

：。是AC中点，

，AO=OC,

：.EO=OC=OF=AO,

：.AC=EF,且AC、E厂互相平分，

，四边形AECP是矩形；

(3)

当NACB=90。时，四边形AECF为正方形，理由如下：

在(2)中已证明四边形AEB是矩形，

ZACB=90°,

AC,LBC,

'：MN//BC,

：.AC1MN.

：.ACA.EF,

...矩形AEC尸是正方形.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定等知

识，掌握平行线的性质是解答本题的关键.

16.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形例如：如图①，ZB=NC,

则四边形ABCD为“等邻角四边形”.

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是.

①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

(2)深入探究：

①已知四边形ABC。为“等邻角四边形“，且NA=120。，Zfi=100°,则"=.

②如图②，在五边形ABCDE中，DE//BC,对角线8。平分/ABC,求证：四边形ABDE

为等邻角四边形.

(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD中，NB=NC,点尸为边BC上的一动点，

27

过点P作尸AB,PNLCD,垂足分别