中考数学难点突破与训练：全等三角形中的手拉手旋转模型（含答案及解析）

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

6CD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN〃:BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

•/ABCEsAACD

:.ZCBE=ZCAD

ZACB=ZECD=60°

:.ZACN=60°

在

ZACB=ZECD=60°

<BC=AC

ZCBM=ZCAN

:.ABCM=AACN

vABCfisAACD

NBEC=NADC

在AMCE与A2VCD中

ZMCE=ZNCD=60°

-EC=DC

ZBEC=ZADC

AMCE三ANCD

2

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN为等边三角形

•••AMCN为等边三角形

ZMNC=60°

•••ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

3

过点C分别作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR与R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在线段RDh截取FGuRE,连接EG

­.­FG=FE,NEFG=60°

.•.AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。与AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

4

结论：AE=CG且AE_LCG

其他相关

模型及其

结论结论：

1、=SCDE

2、若AM=GM,则其反向延长线DH_LCE;

3、DM=-CE

2

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在ABC中，ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边：ACE,连结DE,若AB=3,

AC=5,则ED=（）

A.2A/2B.273C.4D.3万

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结PQ.以下结论错误的是（)

B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

5

3.如图，在小△ABC和以△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,点P,Q,R分别

是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

4.如图，在10ABe中，至=4?,点。、尸是射线BC上两点，且AD，,，若=ZBAD=ZCAF=15°；

则下列结论中正确的有（）

①CELBF；②△ABD四△ACE；③=$四边形A℃E;®BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，正ABC和正△COE中，B、C、。共线，且BC=3a>,连接A。和BE相交于点R以下结论中

正确的有（）个

①/AFB=60。②连接尸C,则CF平分③BF=3DF®BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

6.如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤/AOB=60。.其中一定成立的结论有（）个

6

B

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接2C、BE.若NDBC=30。，BD=6,BC=8,则BE=

8.如图，AABC中，ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△ABC的位置，连

接BC,BC的延长线交于点D,则BD的长为.

9.如图，ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,/BDC=120。.E、P分别在A2、AC上，且NED尸=60。,

则三角形AEF的周长为.

7

E

B

D

10.如图，C为线段上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE

交于点与2c交于点尸,3E与CD交于点Q,连接尸Q.以下五个结论:①AZ)=BE；②P。AE;③AP=2。；

®DE=DP；⑤/AO8=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题

11.如图，AAa^D_ECD都是等腰直角三角形，C4=CB,C£>=CE,A4C8的顶点A在白瓦力的斜边DE上,

(1)求证：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

12.如图，A、B、C在同一直线上，且AABD,ABCE都是等边三角形，AE交BD于点M,CD交BE于

点N,MN〃AC,求证：

(1)ZBDN=ZBAM；

(2)ABMN是等边三角形.

8

E

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上，A。与BE交于点O,△ABC和△EC。是等边三角形.

(1)求证：4ACD/ABCE；

⑵求/BOO的度数;

14.在△AEB和AZJEC中，AC,BD相交于点尸，AE,8。相交于点O,AE=BE,DE=CE,ZAEB=ZDEC.

⑴求证：AC=BD；

(2)求证：ZAPB=ZAEB.

15.AACB和ADCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

(1)问题发现：

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：4ACD咨LBCE；

9

②求NAEB的度数.

⑵类比探究：如图2,点B、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为△DCE中。E边上的高，请

求的度数及线段AD,DM之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,若设(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，并证明.

16.如图，在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,连接BO,CE,8。与CE交于点

0,跳)与AC交于点H

(1)求证：BD=CE.

(2)若/BAC=48。，求/CO。的度数.

(3)若G为CE上一点，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求证：BD±AC.

17.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,/BAC=90。，点E,P分别为AB,AC的中点，H为线

段EF上一动点(不与点£,F重合)，过点A作AGLA8且AG=A8,连接GC,HB.

(1)证明：AHB出AGC；

(2)如图2,连接GRHG,8G交AF于点Q.

①证明：在点8的运动过程中，总有/班6=90。；

②当AQG为等腰三角形时，求NAHE的度数.

(1)如图1,线段AN与线段是否相等?证明你的结论；

(2)如图1,线段4V与线段交于点。，求/AOM的度数；

(3)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于■点、F,探究ACM的形状，并证明你的结论.

10

NN

19.已知：两个等腰直角三角板△ACB和△OCE(AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=90°)如图所示摆

放，连接4E、BD交于点、O.AE与。C交于点M,BD与AC交于点N.

(1)如图1(两个等腰直角三角板大小不等)，试判断AE与8。有何关系并说明理由；

(2)如图2(两个等腰直角三角板大小相等，即AC=DC),在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2

中四对全等的直角三角形.

20.如图1,在AABC中，CA=CB,ZACB=90°.点。是AC中点，连接80,过点A作AE_LB。交8。

的延长线于点E,过点C作CF±BD于点F.

(1)求证：NEAD=NCBD；

(2)求证：BF=2AE；

(3)如图2,将ABCF沿BC翻折得到ABCG,连接AG,请猜想并证明线段AG和AB的数量关系.

11

21.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.

图1

图2

(1)特例感知：如图1,四边形是“垂美四边形”，如果。4=OO=go8,0B=2,ZOBC=GO°,贝。

AD2+BC1=,AB2+CD2=.

(2)猜想论证：如图1,如果四边形A3CZ)是“垂美四边形”，猜想它的两组对边A3,CD与BC,AD之间的

数量关系并给予证明.

(3)拓展应用：如图2,分别以R3ACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形AC/G和正方形

连接CE,BG,GE,已知AC=4,440=60。，求GE长.

22.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到

两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，AB^AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE,连接80,CE,贝1]

(1)请证明图1的结论成立；

(2)如图2,△ABC和△AE。是等边三角形，连接8。，EC交于点O,求/B0C的度数；

(3)如图3,AB=BC,/ABC=/BDC=60。,试探究/A与/C的数量关系.

23.已知在&△ABC中，/ACB=90。，a,b分别表示/A,的对边，a>b.记△ABC的面积为S.

12

图1

(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形8GFC.记正方形ACDE的面积为耳，正

方形BGFC的面积为邑.

①若H=9,邑=16,求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交2C于点交于点秋若(如图2所示)，求

证：邑Y=2S.

(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积

为耳，等边三角形CBE的面积为邑.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△AB尸内)，连结£尸,CF.若

EFLCF,试探索邑-，与S之间的等量关系，并说明理由.

24.如图，在MAABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为斜边AB上一动点(不与端点A,B重合)，以C

为旋转中心，将C。逆时针旋转90。得到CE,连接AE,BE,尸为AE的中点.

⑴求证：BE工AB；

(2)用等式表示线段CD,BE,CF三者之间数量关系，并说明理由；

3

(3)若CP=5，CD=5求tanZBCE的值.

25.如图，AC®和△COD都是以。为直角顶点的等腰直角三角形，连接AC,BD.

(1)如图1,试判断AC与的数量关系和位置关系，并说明理由.

13

O

D

A------------------------B

图1

(2)如图2,若点。哈好在AC上，且D为AC的中点，AB=出,求一3OD的面积.

(3)如图3,设AC与3。的交点为E,若AE=CE,44QD=60。，AB=4,求8的长.

14

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

6CD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN〃:BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

15

16

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN为等边三角形

•••AMCN为等边三角形

ZMNC=60°

•••ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

17

过点C分别作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR与R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在线段RDh截取FGuRE,连接EG

­.­FG=FE,NEFG=60°

.•.AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。与AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

18

一、单选题

1.如图，在ABC中，ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边：ACE,连结DE,若AB=3,

AC=5,则ED=()

A.2A/2B.273C.4D.3亚

【答案】C

【分析】在RfAABC中可直接运用勾股定理求出BC,然后结合“手拉手”模型证得△ABC四△A£>E,即可得

到OE=BC,从而求解即可.

【详解】解：在RfAABC中，AB=3,AC=5,

由勾股定理得：BC=4,

,/△ABD和,ACE均为等边三角形，

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

：.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

19

即：ZBAC=ZDAE,

在△ABC和A4OE中，

AB=AD

，ABAC=ZDAE

AC=AE

：.△ABC^^\ADE(SAS),

：.DE=BC=4,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用

勾股定理解三角形是解题关键.

2.如图，C为线段AE上一动点(不与点A,E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结尸。.以下结论错误的是()

R

A.ZAOB=6Q°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到NCBE=/OEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正确；根据△CQB等(ASA),得出B

正确；由4ACD%ABCE得NCBE=NDAC,力口之/ACB=/OCE=60。,AC=BC,得至!]△CQB咨△CfiA(ASA),

再根据NPCQ=60。推出△尸C。为等边三角形，又由/PQC=/DCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C

正确；根据/CDE=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/。。用NCQE,得出D错误.

【详解】解：：等边AABC和等边ACDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在△40与4BCE中，

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

.".△ACD^ABCE(SAS),

20

ZCBE=ZDAC,

又丁ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即ZACP=ZBCQ,

^：AC=BC,

在^CQB与ACPA中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

APAC=ZCBQ

：./\CQB^/\CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又：NPCQ=60。可知△尸CQ为等边三角形，

・•・ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ〃AE,

故C正确，

•:△CQ^QXCPA,

：.AP=BQf

故B正确，

*：AD=BEfAP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQf

即DP=QE,

9：ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

AZDQE^^CDE,故D错误；

ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,

•・,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:・BC〃DE,

：.ZCBE=ZDEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正确.

故选：D.

21

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到

不变量.

3.如图，在mAABC和RdADE中，ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AD=AE=2,点尸，Q,R分别

是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则APOR的面积不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】连接2。、CE,2。的延长线交CE的延长线于。，AC交2。于"证明△54D乌△C4瓦然后可推

出APOR是等腰直角三角形，54尸。氏=白2。2,由48=5,4）=2可知3SBH7,从而得到那么

/22

9149即可得出答案.

OZO

【详解】解：连接5。、CE,5。的延长线交CE的延长线于0,AC交B0于H.

\'AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°f

：./BAD=NCAE,

：.ABAD^ACAE,

:,BD=CE,/ABH=/OCH,

9：ZAHB=ZCHO,

・・・NO=NA4H=90。，

•・,点尸，。，H分别是BC,DC,0E的中点，

：・PQ=WBD,PQ//BO,QR=^EC,QR//CO,

•・・30J_0C,

：.PQ-LRQ,PQ=QR,

•••△PQH是等腰直角三角形，

1c

PQR=^-PQ2,

22

\"AB=5,AD=2,

：.3<BD<7,

，△PQR的面积不可能是8,

故答案为：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定

理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4.如图，在sABC中，至=4?,点。、尸是射线BC上两点，且AD，,，若=ZBAD=ZCAF=15°；

则下列结论中正确的有（）

①CELBF；②△ABD/AACE；③以.=S四边形的。；@BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性质得出/B=/ACB=45。，

由SAS证得△ABD附Z\ACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=S四边形ADCE,贝!)/ECB=90°,

即EC_LBF,易证/ADF=60。，ZF=30°,由含30。直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则BD=

|EF,由BC-BD=DF-CF,得出BC-：EF=2AD-CF,即可得出结果.

【详解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

.\ZBAC=90°,

VAB=AC,

；.NB=/ACB=45。，

在△ABD和AACE中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

23

.".△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,NB二NACE=45°,ABC=S四边形ADCE,

・•・ZECB=90°,

AEC±BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

・・・ZADF=60°,

・・・ZF=30°,

.\EF=2CE=2BD,DF=2AD,

ABD=|EF,

VBC-BD=DF-CF,

.•.BC-|EF=2AD-CF,

①、②、③、④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角形的性质、外角

的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

5.如图，正.ABC和正△CDE中，B、C、。共线，且BC=3CD,连接4。和BE相交于点孔以下结论中

正确的有()个

①/AFB=60。②连接FC,则CF平分NBFD③BF=3DF®BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手”模型证明从而得到/CBE=/C4D,再结合三角形的外角性质即可

求解/ATO=NACB=60。，即可证明①；作CNL3E于河点，CN1AD于N点、,证明CEM&CDN,结

合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；

利用“截长补短”的思想，在池上取点。，使得FC=FQ,首先判断出一PCQ为等边三角形，再结合“手拉

24

手''模型推出；3CF之qACQ即可证明④.

【详解】解：①•・•ABC和均为等边三角形，

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在；3CE和中，

BC=AC

</BCE=ZACD

EC=DC

：..BCE^ACD(SAS)9

：./CBE=/CAD,

VZAFB=ZCBE-^-ZCDA,ZACB=ACDA+ACAD,

AZAFB=ZACB=60°,故①正确；

②如图所示，作00,5石于M点，CN上AD于N点、,

则ZCME=ZCND=90°,

•；LBCE'ACD,

：./CEM=/CDN,

在&CEM和△CDN中，

ACME=ZCND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

；・iCEMMCDN(AAS),

：.CM=CN9

/.CF平分ZBFD,故②正确；

③如图所示，作于尸点，

SBRCF=-BF.CM=-BC.FP,S力«=-DF・CN=-CD-FP,

22DCF22

-BF.CM-BC.FP

・c3BCF__2_______2______

••~s-1-1'

3DCF-DF.CN-CD.FP

22

*：CM=CN,

25

BFBC

・••整理得:

DF-CD

,:BC=3CD,

.BF3CD0

>.-----=-------=3,

DFCD

:.BF=3DF,故③正确;

④如图所示，在AD上取点。，使得FC=FQ,

,：ZAFB=ZACB=60°,CF平分ZBFD,

二Z.BFD=120。，ZCFD=-ZBFD=60°,

2

；•-PCQ为等边三角形，

ZFCQ=60°,CF=CQ,

•••ZACB=60°,

：.ZACB+ZACF=NFCQ+ZACF,

NBCF=NACQ,

在△以才和4AC。中，

BC=AC

■NBCF=ZACQ

CF=CQ

：..BCF^ACQ(SAS),

：.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正确；

综上，①②③④均正确；

故选：A.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质,

掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键.

26

6.如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出

△ACD^ABCE,可推知AD=BE；

③由△ACD丝ZiBCE得/CBE=NDAC,力口之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得至!]△ACPg^BCQ(ASA),

所以AP=BQ；故③正确；

②根据②△CQBgZ\CPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出△PCQ为等边三角形，又由/PQC=/DCE,根

据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

④根据NDQE=/ECQ+NCEQ=6(F+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE彳/CDE,可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=NDEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正确.

【详解】①,•,等边△ABC和等边△DCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

/.ZACD=ZBCE,

在△ACD和△BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

AACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE；

故①正确；

③,.•△ACD^ABCE(已证)，

；./CAD=/CBE,

27

•・,ZACB=ZECD=60°(Bffi),

・・・ZBCQ=180°-60°x2=60°,

・•・ZACB=ZBCQ=60°,

在△ACP与ABCQ中，

NCAD二NCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

・•・AACP^ABCQ(ASA),

・・・AP=BQ；

故③正确；

②;AACP^ABCQ,

APC=QC,

AAPCQ是等边三角形，

・•・NCPQ=60。,

.\ZACB=ZCPQ,

・・・PQ〃AE；

故②正确；

®VAD=BE,AP=BQ,

.•.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

NDQErNCDE,

・・・DErQE,

贝IJDPrDE,故④错误；

⑤丁ZACB=ZDCE=60°,

NBCD=60。，

•・,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

・・・BC〃DE,

:.ZCBE=ZDEO,

JZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正确；

28

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，

熟练掌握此模型的特点是解题的关键.

二、填空题

7.如图，AABD、是两个等边三角形，连接2C、BE.若/DBC=30。，BD=6,BC=8,则=

【答案】BE=10

【分析】连接AC,根据题意易证△ACD0ABED(SAS),根据全等三角形的性质可得AC=BE,再根据勾股

定理求出AC的值即可得出结论.

【详解】如图，连接AC,

AABZ)>△CDE是两个等边三角形，

；.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

.".ZADC=ZBDE,

AD=BD

在^ACD与ABDE中<ZADC=ZBDE,

CD=DE

：.AACD^ABED(SAS),

；.AC=BE,

ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

29

AC=7AB2+BC2=762+82=10>

.".BE=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题

关键.

8.如图，AABC中，ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△A5C的位置，连

接BC,的延长线交于点D,则2D的长为.

【答案】6

【分析】连接89，根据旋转的性质可得AB=A£,判断出△AB夕是等边三角形，根据等边三角形的三条边

都相等可得AB=BB',然后利用“边边边”证明△ABC和AB，BC全等,根据全等三角形对应角相等可得/ABC

=ZB'BC,延长BC交AB，于D,根据等边三角形的性质可得利用勾股定理列式求出AB,然后

根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出2D

【详解】解：如图，连接28',

B'

△ABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB'C,

J.AB^AB',ZBAB'=60°,

/XAB夕是等边三角形，

30

在△ABC和A23c中，

AB=BB'

<AC'=B'C,

BC'=BC

.•.△ABCN/XHBC'(SSS),

ZABC'^ZB'BC=3Q°,

延长BC交AH于D,

则BDLAB',

VZC=90°,AC=BC=0,

；.AB=J(何+(0j=2=AB',

AD=—AB=1

2

BD=SJAB2-AD2=6，

故答案为：V3

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形

的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点.

9.如图，ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,N3DC=120。.E、尸分别在AB、AC上，且/£0尸=60。，

则三角形AE尸的周长为.

【答案】10

［分析】延长AB到N,使BN=CF,连接DN,求出NFCD=/EBD=/NBD=90。,根据SAS证4NBD学AFCD,

推出£W=£)/，ZNDB=ZFDC,求出NEDF=NEDN,根据SAS证AEDF0AEDN,推出£尸=硒，易得AAEF

的周长等于AB+AC.

【详解】解：延长A2到N,使BN=CF,连接LW,

31

A

：.ZABC=ZACB=60°,

■:BD=CD,ZBDC=nO°,

：./DBC=/DCB=30。,

：.ZACD=ZAB£)=30°+60°=90°=ZNBDf

•・•在△嵇。和4bCD中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:•△NBD/&FCD(5AS),

：.DN=DF,NNDB=/FDC,

VZB£)C=120°,ZEDF=60°,

：.NEDB+NFDC=6。。,

：.ZEDB+ZBDN=60°,

即ZEDF=ZEDN,

在△石/和△即尸中，

DE=DE

<ZEDF=/EDN,

DN=DF

:.XEDN经XEDF(SAS),

EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

・・・△ABC是边长为5的等边三角形，

：.AB=AC=5,

•；BE+CF=EF,

：.AAEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案为：10.

32

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性

质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE

交于点与BC交于点与CO交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AO=BE；②P。AE；®AP=BQ；

@DE=DP；⑤NAOB=60。.恒成立的结论有.（把你认为正确的序号都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明；根据全等三角形的性质证明AMCN为等边三角形，再证

明△即可求解.

【详解】解：①△钿（7和△DCE均是等边三角形，点A,C,E在同一条直线上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=120。

：.AACD^AECB

'.AD=BE,故本选项正确，符合题意；

②•：AACD丝AECB

：.ZCBQ=ZCAP,

又,/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,

：.ABCe^AACP,

：.CQ=CP,

又NPCQ=60。，

.♦.△PC。为等边三角形，

ZQPC=6Q0=ZACB,

J.PQl/AE,故本选项正确，符合题意；

③,/ZACB=NDCE=60。,

：.ZBCD=60°,

：.ZACP=ZBCQ,

'：AC=BC,ZDAC=ZQBC,

：./\ACP^/\BCQ(ASA),

33

CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确，符合题意；

④已知△ABC、AOCE为正三角形，

故/。以=/2。1=60。=4DCB=60°,

又因为/£>PC=/ZMC+NBC4,ZBCA=60°=>zDPC>60°,

故。P不等于OE,故本选项错误，不符合题意；

⑤「△ABC、ADCE为正三角形，

AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

/.ZCAD=ZCBE,

：.ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,

ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,

ZAOB=60°,故本选项正确，符合题意.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

三、解答题

11.如图，△ACB和ECD都是等腰直角三角形，。4=。尻。£>="44圆的顶点4在上瓦刀的斜边止上,

(1)求证：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）AC='®cm.

2

【分析】（1）根据同角的余角相等得出NBCD=/ACE,然后根据SAS定理证明△BCD丝ZXACE,从而得

出结论;

（2）根据全等三角形的性质得出/BDC=NAEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得/BDA是直角三角

34

形，从而利用勾股定理求解.

【详解】⑴•「△ACB和一ECD都是等腰直角三角形，

.・・ZACB=ZECD=90。,

：.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,

:.ZBCD=ZACE,

在△以»和△AC5中，

CB=CA

</BCD=/ACE

CD=CE

:.NBCD^ACE(SAS),

・•・BD=AE.

(2)YBCD与ACE,

：.NBDC=ZAEC,

又・・・..ECD是等腰直角三角形，

・•・ZCDE=ZCED=45°,

：.ZBDC=45。,

：.ZBDC+ZCDE=90°,

・•・NHD4是直角三角形，

・・・AB2=Blf+AD1=AE2+AD2=32+62=45,

在等腰直角三角形ACB中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.

12.如图，A、B、C在同一直线上，且AABD,ABCE都是等边三角形，AE交BD于点M,CD交BE于

点N,MN〃AC,求证：

(1)ZBDN=ZBAM；

(2)△BMN是等边三角形.

35

E

ARC

【答案】(1)证明过程见详解；(2)证明过程见详解。

【分析】(1)只需要证明AABE也AD3C,就可以得到/3DN=NB4Af.

(2)NDBA=NEBC=60°,因为MN〃AC,所以NACVB=NNBC=60°,NNMB=/MBA=60°,所以ABMN

是等边三角形.

【详解】证明：(1)VZEBC=ZABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在ADBN、A4BM中

DB=AB

<ZDBC=ZABE

BC=BE

：.AABE0NDBC

.\ZBDN=ZBAM

(2)；NDBA=NEBC=60°,MN//AC,

，NMNB=NNBC=6G,

NNMB=NMBA=6«,

所以ABAW是等边三角形.

【点睛】这是一个典型的手拉手模型，是初中几何必会的模型之一，两个60。的三角形是等边三角形.

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上，AD与BE交于点。，△ABC和AEC。是等边三角形.

A

AE

图1

(1)求证：AACD/ABCE；

(2)求/BOO的度数；

(3)如图2,若B、C、。三点不在一条直线上,N8OD的度数是否发生改变？________(填“改变”或“不改

36

变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)ZBO£>=120°

(3)不改变，理由见解析

【分析】(1)根据"SAS'证明△ACD之△BCE即可；

(2)由全等三角形的性质得/AOC=NBEC,再由三角形的外角性质得/4。8=60。，即可求解；

(3)同(1)得：4ACD咨LBCE,得出/D4C=NEBC,根据三角形外角求出/AOE=120。，即可得出答

案.

(1)

证明：：AASC和△ECD是等边三角形,

：.ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

ZBCE=ZACD,