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文档简介

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

6CD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN〃:BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

•/ABCEsAACD

:.ZCBE=ZCAD

ZACB=ZECD=60°

:.ZACN=60°

ZACB=ZECD=60°

<BC=AC

ZCBM=ZCAN

:.ABCM=AACN

vABCfisAACD

NBEC=NADC

在AMCE与A2VCD中

ZMCE=ZNCD=60°

-EC=DC

ZBEC=ZADC

AMCE三ANCD

2

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN为等边三角形

•••AMCN为等边三角形

ZMNC=60°

•••ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

3

过点C分别作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR与R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在线段RDh截取FGuRE,连接EG

­.­FG=FE,NEFG=60°

.•.AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。与AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

4

结论:AE=CG且AE_LCG

其他相关

模型及其

结论结论:

1、=SCDE

2、若AM=GM,则其反向延长线DH_LCE;

3、DM=-CE

2

【题型演练】

一、单选题

1.如图,在ABC中,ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边:ACE,连结DE,若AB=3,

AC=5,则ED=()

A.2A/2B.273C.4D.3万

2.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结PQ.以下结论错误的是()

B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

5

3.如图,在小△ABC和以△ADE中,ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,点P,Q,R分别

是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转,则△PQR的面积不可能是()

A.8B.6C.4D.2

4.如图,在10ABe中,至=4?,点。、尸是射线BC上两点,且AD,,,若=ZBAD=ZCAF=15°;

则下列结论中正确的有()

①CELBF;②△ABD四△ACE;③=$四边形A℃E;®BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图,正ABC和正△COE中,B、C、。共线,且BC=3a>,连接A。和BE相交于点R以下结论中

正确的有()个

①/AFB=60。②连接尸C,则CF平分③BF=3DF®BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

6.如图,点C是线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE;

②PQ〃AE;③AP=BQ;@DE=DP;⑤/AOB=60。.其中一定成立的结论有()个

6

B

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.如图,△ABD、△CDE是两个等边三角形,连接2C、BE.若NDBC=30。,BD=6,BC=8,则BE=

8.如图,AABC中,ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△ABC的位置,连

接BC,BC的延长线交于点D,则BD的长为.

9.如图,ABC是边长为5的等边三角形,BD=CD,/BDC=120。.E、P分别在A2、AC上,且NED尸=60。,

则三角形AEF的周长为.

7

E

B

D

10.如图,C为线段上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE

交于点与2c交于点尸,3E与CD交于点Q,连接尸Q.以下五个结论:①AZ)=BE;②P。AE;③AP=2。;

®DE=DP;⑤/AO8=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题

11.如图,AAa^D_ECD都是等腰直角三角形,C4=CB,C£>=CE,A4C8的顶点A在白瓦力的斜边DE上,

(1)求证:BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

12.如图,A、B、C在同一直线上,且AABD,ABCE都是等边三角形,AE交BD于点M,CD交BE于

点N,MN〃AC,求证:

(1)ZBDN=ZBAM;

(2)ABMN是等边三角形.

8

E

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上,A。与BE交于点O,△ABC和△EC。是等边三角形.

(1)求证:4ACD/ABCE;

⑵求/BOO的度数;

14.在△AEB和AZJEC中,AC,BD相交于点尸,AE,8。相交于点O,AE=BE,DE=CE,ZAEB=ZDEC.

⑴求证:AC=BD;

(2)求证:ZAPB=ZAEB.

15.AACB和ADCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

(1)问题发现:

如图1,若点A,D,E在同一直线上,连接AE,BE.

①求证:4ACD咨LBCE;

9

②求NAEB的度数.

⑵类比探究:如图2,点B、D、E在同一直线上,连接AE,AD,BE,CM为△DCE中。E边上的高,请

求的度数及线段AD,DM之间的数量关系,并说明理由.

(3)拓展延伸:如图3,若设(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度,并证明.

16.如图,在AABC和AAOE中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,连接BO,CE,8。与CE交于点

0,跳)与AC交于点H

(1)求证:BD=CE.

(2)若/BAC=48。,求/CO。的度数.

(3)若G为CE上一点,GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求证:BD±AC.

17.如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,/BAC=90。,点E,P分别为AB,AC的中点,H为线

段EF上一动点(不与点£,F重合),过点A作AGLA8且AG=A8,连接GC,HB.

(1)证明:AHB出AGC;

(2)如图2,连接GRHG,8G交AF于点Q.

①证明:在点8的运动过程中,总有/班6=90。;

②当AQG为等腰三角形时,求NAHE的度数.

(1)如图1,线段AN与线段是否相等?证明你的结论;

(2)如图1,线段4V与线段交于点。,求/AOM的度数;

(3)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于■点、F,探究ACM的形状,并证明你的结论.

10

NN

19.已知:两个等腰直角三角板△ACB和△OCE(AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=90°)如图所示摆

放,连接4E、BD交于点、O.AE与。C交于点M,BD与AC交于点N.

(1)如图1(两个等腰直角三角板大小不等),试判断AE与8。有何关系并说明理由;

(2)如图2(两个等腰直角三角板大小相等,即AC=DC),在不添加任何辅助线的情况,请直接写出图2

中四对全等的直角三角形.

20.如图1,在AABC中,CA=CB,ZACB=90°.点。是AC中点,连接80,过点A作AE_LB。交8。

的延长线于点E,过点C作CF±BD于点F.

(1)求证:NEAD=NCBD;

(2)求证:BF=2AE;

(3)如图2,将ABCF沿BC翻折得到ABCG,连接AG,请猜想并证明线段AG和AB的数量关系.

11

21.定义:我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.

图1

图2

(1)特例感知:如图1,四边形是“垂美四边形”,如果。4=OO=go8,0B=2,ZOBC=GO°,贝。

AD2+BC1=,AB2+CD2=.

(2)猜想论证:如图1,如果四边形A3CZ)是“垂美四边形”,猜想它的两组对边A3,CD与BC,AD之间的

数量关系并给予证明.

(3)拓展应用:如图2,分别以R3ACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形AC/G和正方形

连接CE,BG,GE,已知AC=4,440=60。,求GE长.

22.两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到

两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB^AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE,连接80,CE,贝1]

(1)请证明图1的结论成立;

(2)如图2,△ABC和△AE。是等边三角形,连接8。,EC交于点O,求/B0C的度数;

(3)如图3,AB=BC,/ABC=/BDC=60。,试探究/A与/C的数量关系.

23.已知在&△ABC中,/ACB=90。,a,b分别表示/A,的对边,a>b.记△ABC的面积为S.

12

图1

(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形8GFC.记正方形ACDE的面积为耳,正

方形BGFC的面积为邑.

①若H=9,邑=16,求S的值;

②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交2C于点交于点秋若(如图2所示),求

证:邑Y=2S.

(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积

为耳,等边三角形CBE的面积为邑.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△AB尸内),连结£尸,CF.若

EFLCF,试探索邑-,与S之间的等量关系,并说明理由.

24.如图,在MAABC中,ZACB=90°,AC=BC,。为斜边AB上一动点(不与端点A,B重合),以C

为旋转中心,将C。逆时针旋转90。得到CE,连接AE,BE,尸为AE的中点.

⑴求证:BE工AB;

(2)用等式表示线段CD,BE,CF三者之间数量关系,并说明理由;

3

(3)若CP=5,CD=5求tanZBCE的值.

25.如图,AC®和△COD都是以。为直角顶点的等腰直角三角形,连接AC,BD.

(1)如图1,试判断AC与的数量关系和位置关系,并说明理由.

13

O

D

A------------------------B

图1

(2)如图2,若点。哈好在AC上,且D为AC的中点,AB=出,求一3OD的面积.

(3)如图3,设AC与3。的交点为E,若AE=CE,44QD=60。,AB=4,求8的长.

14

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

6CD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。

(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=6O°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN〃:BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

15

16

E

b

BcD

ABCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

NBMC=NAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"

ABCM=AACN

:.CM=CN

ZMCN=60Q

AMCN为等边三角形

•••AMCN为等边三角形

ZMNC=60°

•••ZNCD=60°

NMNC=NNCD

:.MN//BD

E

BCD

17

过点C分别作PC1BE,QC1AD

:ABCEMAACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

:.RtABPC=RtAAQC

在RfAPCR与R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分ZBRD

在线段RDh截取FGuRE,连接EG

­.­FG=FE,NEFG=60°

.•.AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

ZCED=ZEFG=60°

:.ZFEC=ZGED

在AEG。与AEbS1

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

:.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

18

一、单选题

1.如图,在ABC中,ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边:ACE,连结DE,若AB=3,

AC=5,则ED=()

A.2A/2B.273C.4D.3亚

【答案】C

【分析】在RfAABC中可直接运用勾股定理求出BC,然后结合“手拉手”模型证得△ABC四△A£>E,即可得

到OE=BC,从而求解即可.

【详解】解:在RfAABC中,AB=3,AC=5,

由勾股定理得:BC=4,

,/△ABD和,ACE均为等边三角形,

:.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

:.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

19

即:ZBAC=ZDAE,

在△ABC和A4OE中,

AB=AD

,ABAC=ZDAE

AC=AE

:.△ABC^^\ADE(SAS),

:.DE=BC=4,

故选:C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,掌握全等三角形的判定与性质,熟练运用

勾股定理解三角形是解题关键.

2.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结尸。.以下结论错误的是()

R

A.ZAOB=6Q°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质,BC//DE,再根据平行线的性质得到NCBE=/OEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正确;根据△CQB等(ASA),得出B

正确;由4ACD%ABCE得NCBE=NDAC,力口之/ACB=/OCE=60。,AC=BC,得至!]△CQB咨△CfiA(ASA),

再根据NPCQ=60。推出△尸C。为等边三角形,又由/PQC=/DCE,根据内错角相等,两直线平行,得出C

正确;根据/CDE=60。,ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/。。用NCQE,得出D错误.

【详解】解::等边AABC和等边ACDE,

:.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在△40与4BCE中,

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

.".△ACD^ABCE(SAS),

20

ZCBE=ZDAC,

又丁ZACB=ZDCE=60°,

:.ZBCD=60°,即ZACP=ZBCQ,

^:AC=BC,

在^CQB与ACPA中,

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

APAC=ZCBQ

:./\CQB^/\CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又:NPCQ=60。可知△尸CQ为等边三角形,

・•・ZPQC=ZDCE=60°,

:.PQ〃AE,

故C正确,

•:△CQ^QXCPA,

:.AP=BQf

故B正确,

*:AD=BEfAP=BQ,

:.AD-AP=BE-BQf

即DP=QE,

9:ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

AZDQE^^CDE,故D错误;

ZACB=ZDCE=60°,

:.ZBCD=60°,

•・,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:・BC〃DE,

:.ZCBE=ZDEO,

:.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正确.

故选:D.

21

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,利用旋转不变性,解题的关键是找到

不变量.

3.如图,在mAABC和RdADE中,ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AD=AE=2,点尸,Q,R分别

是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转,则APOR的面积不可能是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】连接2。、CE,2。的延长线交CE的延长线于。,AC交2。于"证明△54D乌△C4瓦然后可推

出APOR是等腰直角三角形,54尸。氏=白2。2,由48=5,4)=2可知3SBH7,从而得到那么

/22

9149即可得出答案.

OZO

【详解】解:连接5。、CE,5。的延长线交CE的延长线于0,AC交B0于H.

\'AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°f

:./BAD=NCAE,

:.ABAD^ACAE,

:,BD=CE,/ABH=/OCH,

9:ZAHB=ZCHO,

・・・NO=NA4H=90。,

•・,点尸,。,H分别是BC,DC,0E的中点,

:・PQ=WBD,PQ//BO,QR=^EC,QR//CO,

•・・30J_0C,

:.PQ-LRQ,PQ=QR,

•••△PQH是等腰直角三角形,

1c

PQR=^-PQ2,

22

\"AB=5,AD=2,

:.3<BD<7,

,△PQR的面积不可能是8,

故答案为:A.

【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的中位线定

理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4.如图,在sABC中,至=4?,点。、尸是射线BC上两点,且AD,,,若=ZBAD=ZCAF=15°;

则下列结论中正确的有()

①CELBF;②△ABD/AACE;③以.=S四边形的。;@BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。,由等腰直角三角形的性质得出/B=/ACB=45。,

由SAS证得△ABD附Z\ACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=S四边形ADCE,贝!)/ECB=90°,

即EC_LBF,易证/ADF=60。,ZF=30°,由含30。直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则BD=

|EF,由BC-BD=DF-CF,得出BC-:EF=2AD-CF,即可得出结果.

【详解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

.\ZBAC=90°,

VAB=AC,

;.NB=/ACB=45。,

在△ABD和AACE中,

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

23

.".△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,NB二NACE=45°,ABC=S四边形ADCE,

・•・ZECB=90°,

AEC±BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

・・・ZADF=60°,

・・・ZF=30°,

.\EF=2CE=2BD,DF=2AD,

ABD=|EF,

VBC-BD=DF-CF,

.•.BC-|EF=2AD-CF,

①、②、③、④正确.

故选:D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角形的性质、外角

的定义等知识,熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

5.如图,正.ABC和正△CDE中,B、C、。共线,且BC=3CD,连接4。和BE相交于点孔以下结论中

正确的有()个

①/AFB=60。②连接FC,则CF平分NBFD③BF=3DF®BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手”模型证明从而得到/CBE=/C4D,再结合三角形的外角性质即可

求解/ATO=NACB=60。,即可证明①;作CNL3E于河点,CN1AD于N点、,证明CEM&CDN,结

合角平分线的判定定理即可证明②;利用面积法表示和的面积,然后利用比值即可证明③;

利用“截长补短”的思想,在池上取点。,使得FC=FQ,首先判断出一PCQ为等边三角形,再结合“手拉

24

手''模型推出;3CF之qACQ即可证明④.

【详解】解:①•・•ABC和均为等边三角形,

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

:.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

:.ZBCE=ZACD,

在;3CE和中,

BC=AC

</BCE=ZACD

EC=DC

:..BCE^ACD(SAS)9

:./CBE=/CAD,

VZAFB=ZCBE-^-ZCDA,ZACB=ACDA+ACAD,

AZAFB=ZACB=60°,故①正确;

②如图所示,作00,5石于M点,CN上AD于N点、,

则ZCME=ZCND=90°,

•;LBCE'ACD,

:./CEM=/CDN,

在&CEM和△CDN中,

ACME=ZCND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

;・iCEMMCDN(AAS),

:.CM=CN9

/.CF平分ZBFD,故②正确;

③如图所示,作于尸点,

SBRCF=-BF.CM=-BC.FP,S力«=-DF・CN=-CD-FP,

22DCF22

-BF.CM-BC.FP

・c3BCF__2_______2______

••~s-1-1'

3DCF-DF.CN-CD.FP

22

*:CM=CN,

25

BFBC

・••整理得:

DF-CD

,:BC=3CD,

.BF3CD0

>.-----=-------=3,

DFCD

:.BF=3DF,故③正确;

④如图所示,在AD上取点。,使得FC=FQ,

,:ZAFB=ZACB=60°,CF平分ZBFD,

二Z.BFD=120。,ZCFD=-ZBFD=60°,

2

;•-PCQ为等边三角形,

ZFCQ=60°,CF=CQ,

•••ZACB=60°,

:.ZACB+ZACF=NFCQ+ZACF,

NBCF=NACQ,

在△以才和4AC。中,

BC=AC

■NBCF=ZACQ

CF=CQ

:..BCF^ACQ(SAS),

:.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FC,

:.BF=AF+FC,故④正确;

综上,①②③④均正确;

故选:A.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等,理解等边三角形的基本性质,

掌握全等三角形中的辅助线的基本模型,包括“手拉手”模型,截长补短的思想等是解题关键.

26

6.如图,点C是线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE;

②PQ〃AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤NAOB=60。.其中一定成立的结论有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出

△ACD^ABCE,可推知AD=BE;

③由△ACD丝ZiBCE得/CBE=NDAC,力口之NACB=NDCE=60。,AC=BC,得至!]△ACPg^BCQ(ASA),

所以AP=BQ;故③正确;

②根据②△CQBgZ\CPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出△PCQ为等边三角形,又由/PQC=/DCE,根

据内错角相等,两直线平行,可知②正确;

④根据NDQE=/ECQ+NCEQ=6(F+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE彳/CDE,可知④错误;

⑤利用等边三角形的性质,BC〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=NDEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正确.

【详解】①,•,等边△ABC和等边△DCE,

;.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

/.ZACD=ZBCE,

在△ACD和△BCE中,

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

AACD^ABCE(SAS),

;.AD=BE;

故①正确;

③,.•△ACD^ABCE(已证),

;./CAD=/CBE,

27

•・,ZACB=ZECD=60°(Bffi),

・・・ZBCQ=180°-60°x2=60°,

・•・ZACB=ZBCQ=60°,

在△ACP与ABCQ中,

NCAD二NCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

・•・AACP^ABCQ(ASA),

・・・AP=BQ;

故③正确;

②;AACP^ABCQ,

APC=QC,

AAPCQ是等边三角形,

・•・NCPQ=60。,

.\ZACB=ZCPQ,

・・・PQ〃AE;

故②正确;

®VAD=BE,AP=BQ,

.•.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,

NDQErNCDE,

・・・DErQE,

贝IJDPrDE,故④错误;

⑤丁ZACB=ZDCE=60°,

NBCD=60。,

•・,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

・・・BC〃DE,

:.ZCBE=ZDEO,

JZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正确;

28

综上所述,正确的结论有:①②③⑤,错误的结论只有④,

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,以及等边三角形的判定和性质,此图形是典型的“手拉手”模型,

熟练掌握此模型的特点是解题的关键.

二、填空题

7.如图,AABD、是两个等边三角形,连接2C、BE.若/DBC=30。,BD=6,BC=8,则=

【答案】BE=10

【分析】连接AC,根据题意易证△ACD0ABED(SAS),根据全等三角形的性质可得AC=BE,再根据勾股

定理求出AC的值即可得出结论.

【详解】如图,连接AC,

AABZ)>△CDE是两个等边三角形,

;.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

.".ZADC=ZBDE,

AD=BD

在^ACD与ABDE中<ZADC=ZBDE,

CD=DE

:.AACD^ABED(SAS),

;.AC=BE,

ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中,AB=6,BC=8,

29

AC=7AB2+BC2=762+82=10>

.".BE=10,

故答案为:10.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,孰练的掌握知识点是解题

关键.

8.如图,AABC中,ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△A5C的位置,连

接BC,的延长线交于点D,则2D的长为.

【答案】6

【分析】连接89,根据旋转的性质可得AB=A£,判断出△AB夕是等边三角形,根据等边三角形的三条边

都相等可得AB=BB',然后利用“边边边”证明△ABC和AB,BC全等,根据全等三角形对应角相等可得/ABC

=ZB'BC,延长BC交AB,于D,根据等边三角形的性质可得利用勾股定理列式求出AB,然后

根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出2D

【详解】解:如图,连接28',

B'

△ABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB'C,

J.AB^AB',ZBAB'=60°,

/XAB夕是等边三角形,

30

在△ABC和A23c中,

AB=BB'

<AC'=B'C,

BC'=BC

.•.△ABCN/XHBC'(SSS),

ZABC'^ZB'BC=3Q°,

延长BC交AH于D,

则BDLAB',

VZC=90°,AC=BC=0,

;.AB=J(何+(0j=2=AB',

AD=—AB=1

2

BD=SJAB2-AD2=6,

故答案为:V3

【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形

的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.

9.如图,ABC是边长为5的等边三角形,BD=CD,N3DC=120。.E、尸分别在AB、AC上,且/£0尸=60。,

则三角形AE尸的周长为.

【答案】10

[分析】延长AB到N,使BN=CF,连接DN,求出NFCD=/EBD=/NBD=90。,根据SAS证4NBD学AFCD,

推出£W=£)/,ZNDB=ZFDC,求出NEDF=NEDN,根据SAS证AEDF0AEDN,推出£尸=硒,易得AAEF

的周长等于AB+AC.

【详解】解:延长A2到N,使BN=CF,连接LW,

31

A

:.ZABC=ZACB=60°,

■:BD=CD,ZBDC=nO°,

:./DBC=/DCB=30。,

:.ZACD=ZAB£)=30°+60°=90°=ZNBDf

•・•在△嵇。和4bCD中,

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:•△NBD/&FCD(5AS),

:.DN=DF,NNDB=/FDC,

VZB£)C=120°,ZEDF=60°,

:.NEDB+NFDC=6。。,

:.ZEDB+ZBDN=60°,

即ZEDF=ZEDN,

在△石/和△即尸中,

DE=DE

<ZEDF=/EDN,

DN=DF

:.XEDN经XEDF(SAS),

EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

・・・△ABC是边长为5的等边三角形,

:.AB=AC=5,

•;BE+CF=EF,

:.AAEF的周长为:AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案为:10.

32

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的性

质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

10.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE

交于点与BC交于点与CO交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AO=BE;②P。AE;®AP=BQ;

@DE=DP;⑤NAOB=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)

【答案】①②③⑤

【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明;根据全等三角形的性质证明AMCN为等边三角形,再证

明△即可求解.

【详解】解:①△钿(7和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,

:.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=120。

:.AACD^AECB

'.AD=BE,故本选项正确,符合题意;

②•:AACD丝AECB

:.ZCBQ=ZCAP,

又,/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,

:.ABCe^AACP,

:.CQ=CP,

又NPCQ=60。,

.♦.△PC。为等边三角形,

ZQPC=6Q0=ZACB,

J.PQl/AE,故本选项正确,符合题意;

③,/ZACB=NDCE=60。,

:.ZBCD=60°,

:.ZACP=ZBCQ,

':AC=BC,ZDAC=ZQBC,

:./\ACP^/\BCQ(ASA),

33

CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确,符合题意;

④已知△ABC、AOCE为正三角形,

故/。以=/2。1=60。=4DCB=60°,

又因为/£>PC=/ZMC+NBC4,ZBCA=60°=>zDPC>60°,

故。P不等于OE,故本选项错误,不符合题意;

⑤「△ABC、ADCE为正三角形,

AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

:.ZACD=ZBCE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

/.ZCAD=ZCBE,

:.ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,

ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,

ZAOB=60°,故本选项正确,符合题意.

综上所述,正确的结论是①②③⑤.

三、解答题

11.如图,△ACB和ECD都是等腰直角三角形,。4=。尻。£>="44圆的顶点4在上瓦刀的斜边止上,

(1)求证:BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)AC='®cm.

2

【分析】(1)根据同角的余角相等得出NBCD=/ACE,然后根据SAS定理证明△BCD丝ZXACE,从而得

出结论;

(2)根据全等三角形的性质得出/BDC=NAEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得/BDA是直角三角

34

形,从而利用勾股定理求解.

【详解】⑴•「△ACB和一ECD都是等腰直角三角形,

.・・ZACB=ZECD=90。,

:.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,

:.ZBCD=ZACE,

在△以»和△AC5中,

CB=CA

</BCD=/ACE

CD=CE

:.NBCD^ACE(SAS),

・•・BD=AE.

(2)YBCD与ACE,

:.NBDC=ZAEC,

又・・・..ECD是等腰直角三角形,

・•・ZCDE=ZCED=45°,

:.ZBDC=45。,

:.ZBDC+ZCDE=90°,

・•・NHD4是直角三角形,

・・・AB2=Blf+AD1=AE2+AD2=32+62=45,

在等腰直角三角形ACB中,

AB2=AC2+BC2=2AC2,

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.

12.如图,A、B、C在同一直线上,且AABD,ABCE都是等边三角形,AE交BD于点M,CD交BE于

点N,MN〃AC,求证:

(1)ZBDN=ZBAM;

(2)△BMN是等边三角形.

35

E

ARC

【答案】(1)证明过程见详解;(2)证明过程见详解。

【分析】(1)只需要证明AABE也AD3C,就可以得到/3DN=NB4Af.

(2)NDBA=NEBC=60°,因为MN〃AC,所以NACVB=NNBC=60°,NNMB=/MBA=60°,所以ABMN

是等边三角形.

【详解】证明:(1)VZEBC=ZABD=60°

:.ZDBC=ZABE

在ADBN、A4BM中

DB=AB

<ZDBC=ZABE

BC=BE

:.AABE0NDBC

.\ZBDN=ZBAM

(2);NDBA=NEBC=60°,MN//AC,

,NMNB=NNBC=6G,

NNMB=NMBA=6«,

所以ABAW是等边三角形.

【点睛】这是一个典型的手拉手模型,是初中几何必会的模型之一,两个60。的三角形是等边三角形.

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上,AD与BE交于点。,△ABC和AEC。是等边三角形.

A

AE

图1

(1)求证:AACD/ABCE;

(2)求/BOO的度数;

(3)如图2,若B、C、。三点不在一条直线上,N8OD的度数是否发生改变?________(填“改变”或“不改

36

变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)ZBO£>=120°

(3)不改变,理由见解析

【分析】(1)根据"SAS'证明△ACD之△BCE即可;

(2)由全等三角形的性质得/AOC=NBEC,再由三角形的外角性质得/4。8=60。,即可求解;

(3)同(1)得:4ACD咨LBCE,得出/D4C=NEBC,根据三角形外角求出/AOE=120。,即可得出答

案.

(1)

证明::AASC和△ECD是等边三角形,

:.ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

:.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

ZBCE=ZACD,

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