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文档简介
专题01全等三角形中的手拉手旋转模型
【模型展示】
E
特点
6CD
在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。
(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD
(2)AD=BE,ZAFB=6O°
(3)AMCN为等边三角形
结论
(4)MN〃:BD
(5)CF为/BFD的角平分线
(6)FC+FE=FD
【模型证明】
•/ABCEsAACD
:.ZCBE=ZCAD
ZACB=ZECD=60°
:.ZACN=60°
在
ZACB=ZECD=60°
<BC=AC
ZCBM=ZCAN
:.ABCM=AACN
vABCfisAACD
NBEC=NADC
在AMCE与A2VCD中
ZMCE=ZNCD=60°
-EC=DC
ZBEC=ZADC
AMCE三ANCD
2
E
b
BcD
ABCE=AACD
BE=AD
ABCE=AACD
:.ZCBE=ZCAD
ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°
ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°
ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ
ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)
NBMC=NAFM
ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"
ABCM=AACN
:.CM=CN
ZMCN=60Q
AMCN为等边三角形
•••AMCN为等边三角形
ZMNC=60°
•••ZNCD=60°
NMNC=NNCD
:.MN//BD
E
BCD
3
过点C分别作PC1BE,QC1AD
:ABCEMAACD
:.BC=AC,ZCBE=ZCAD
在中
ZCBE=ZCAD
<ZBPC=ZAQC
BC=AC
:.RtABPC=RtAAQC
在RfAPCR与R/AQCT中
PC=QC
FC=FC
RtAPCF=RtAQCF
即RC平分ZBRD
在线段RDh截取FGuRE,连接EG
.FG=FE,NEFG=60°
.•.AER湃边三角形
EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°
ZCED=ZEFG=60°
:.ZFEC=ZGED
在AEG。与AEbS1
ZEGD=ZEFC
<EF=EG
ZFEC=ZGED
:.AEGD=AEFC
GD=FC
:.FD=FG+GD=EF+FC
【模型拓展】
4
结论:AE=CG且AE_LCG
其他相关
模型及其
结论结论:
1、=SCDE
2、若AM=GM,则其反向延长线DH_LCE;
3、DM=-CE
2
【题型演练】
一、单选题
1.如图,在ABC中,ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边:ACE,连结DE,若AB=3,
AC=5,则ED=()
A.2A/2B.273C.4D.3万
2.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形
CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结PQ.以下结论错误的是()
B.AP=BQ
C.PQ//AED.DE=DP
5
3.如图,在小△ABC和以△ADE中,ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,点P,Q,R分别
是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转,则△PQR的面积不可能是()
A.8B.6C.4D.2
4.如图,在10ABe中,至=4?,点。、尸是射线BC上两点,且AD,,,若=ZBAD=ZCAF=15°;
则下列结论中正确的有()
①CELBF;②△ABD四△ACE;③=$四边形A℃E;®BC-^EF=2AD-CF
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,正ABC和正△COE中,B、C、。共线,且BC=3a>,连接A。和BE相交于点R以下结论中
正确的有()个
①/AFB=60。②连接尸C,则CF平分③BF=3DF®BF=AF+FC
A.4B.3C.2D.1
6.如图,点C是线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形
CDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE;
②PQ〃AE;③AP=BQ;@DE=DP;⑤/AOB=60。.其中一定成立的结论有()个
6
B
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
7.如图,△ABD、△CDE是两个等边三角形,连接2C、BE.若NDBC=30。,BD=6,BC=8,则BE=
8.如图,AABC中,ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△ABC的位置,连
接BC,BC的延长线交于点D,则BD的长为.
9.如图,ABC是边长为5的等边三角形,BD=CD,/BDC=120。.E、P分别在A2、AC上,且NED尸=60。,
则三角形AEF的周长为.
7
E
B
D
10.如图,C为线段上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE
交于点与2c交于点尸,3E与CD交于点Q,连接尸Q.以下五个结论:①AZ)=BE;②P。AE;③AP=2。;
®DE=DP;⑤/AO8=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)
三、解答题
11.如图,AAa^D_ECD都是等腰直角三角形,C4=CB,C£>=CE,A4C8的顶点A在白瓦力的斜边DE上,
(1)求证:BD=AE.
(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.
12.如图,A、B、C在同一直线上,且AABD,ABCE都是等边三角形,AE交BD于点M,CD交BE于
点N,MN〃AC,求证:
(1)ZBDN=ZBAM;
(2)ABMN是等边三角形.
8
E
13.如图1,B、C、。三点在一条直线上,A。与BE交于点O,△ABC和△EC。是等边三角形.
(1)求证:4ACD/ABCE;
⑵求/BOO的度数;
14.在△AEB和AZJEC中,AC,BD相交于点尸,AE,8。相交于点O,AE=BE,DE=CE,ZAEB=ZDEC.
⑴求证:AC=BD;
(2)求证:ZAPB=ZAEB.
15.AACB和ADCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.
(1)问题发现:
如图1,若点A,D,E在同一直线上,连接AE,BE.
①求证:4ACD咨LBCE;
9
②求NAEB的度数.
⑵类比探究:如图2,点B、D、E在同一直线上,连接AE,AD,BE,CM为△DCE中。E边上的高,请
求的度数及线段AD,DM之间的数量关系,并说明理由.
(3)拓展延伸:如图3,若设(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度,并证明.
16.如图,在AABC和AAOE中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,连接BO,CE,8。与CE交于点
0,跳)与AC交于点H
(1)求证:BD=CE.
(2)若/BAC=48。,求/CO。的度数.
(3)若G为CE上一点,GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求证:BD±AC.
17.如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,/BAC=90。,点E,P分别为AB,AC的中点,H为线
段EF上一动点(不与点£,F重合),过点A作AGLA8且AG=A8,连接GC,HB.
(1)证明:AHB出AGC;
(2)如图2,连接GRHG,8G交AF于点Q.
①证明:在点8的运动过程中,总有/班6=90。;
②当AQG为等腰三角形时,求NAHE的度数.
(1)如图1,线段AN与线段是否相等?证明你的结论;
(2)如图1,线段4V与线段交于点。,求/AOM的度数;
(3)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于■点、F,探究ACM的形状,并证明你的结论.
10
NN
19.已知:两个等腰直角三角板△ACB和△OCE(AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=90°)如图所示摆
放,连接4E、BD交于点、O.AE与。C交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1(两个等腰直角三角板大小不等),试判断AE与8。有何关系并说明理由;
(2)如图2(两个等腰直角三角板大小相等,即AC=DC),在不添加任何辅助线的情况,请直接写出图2
中四对全等的直角三角形.
20.如图1,在AABC中,CA=CB,ZACB=90°.点。是AC中点,连接80,过点A作AE_LB。交8。
的延长线于点E,过点C作CF±BD于点F.
(1)求证:NEAD=NCBD;
(2)求证:BF=2AE;
(3)如图2,将ABCF沿BC翻折得到ABCG,连接AG,请猜想并证明线段AG和AB的数量关系.
11
21.定义:我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.
图1
图2
(1)特例感知:如图1,四边形是“垂美四边形”,如果。4=OO=go8,0B=2,ZOBC=GO°,贝。
AD2+BC1=,AB2+CD2=.
(2)猜想论证:如图1,如果四边形A3CZ)是“垂美四边形”,猜想它的两组对边A3,CD与BC,AD之间的
数量关系并给予证明.
(3)拓展应用:如图2,分别以R3ACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形AC/G和正方形
连接CE,BG,GE,已知AC=4,440=60。,求GE长.
22.两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到
两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB^AC,AD=AE,
ZBAC=ZDAE,连接80,CE,贝1]
(1)请证明图1的结论成立;
(2)如图2,△ABC和△AE。是等边三角形,连接8。,EC交于点O,求/B0C的度数;
(3)如图3,AB=BC,/ABC=/BDC=60。,试探究/A与/C的数量关系.
23.已知在&△ABC中,/ACB=90。,a,b分别表示/A,的对边,a>b.记△ABC的面积为S.
12
图1
(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形8GFC.记正方形ACDE的面积为耳,正
方形BGFC的面积为邑.
①若H=9,邑=16,求S的值;
②延长EA交GB的延长线于点N,连结FN,交2C于点交于点秋若(如图2所示),求
证:邑Y=2S.
(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积
为耳,等边三角形CBE的面积为邑.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△AB尸内),连结£尸,CF.若
EFLCF,试探索邑-,与S之间的等量关系,并说明理由.
24.如图,在MAABC中,ZACB=90°,AC=BC,。为斜边AB上一动点(不与端点A,B重合),以C
为旋转中心,将C。逆时针旋转90。得到CE,连接AE,BE,尸为AE的中点.
⑴求证:BE工AB;
(2)用等式表示线段CD,BE,CF三者之间数量关系,并说明理由;
3
(3)若CP=5,CD=5求tanZBCE的值.
25.如图,AC®和△COD都是以。为直角顶点的等腰直角三角形,连接AC,BD.
(1)如图1,试判断AC与的数量关系和位置关系,并说明理由.
13
O
D
A------------------------B
图1
(2)如图2,若点。哈好在AC上,且D为AC的中点,AB=出,求一3OD的面积.
(3)如图3,设AC与3。的交点为E,若AE=CE,44QD=60。,AB=4,求8的长.
14
专题01全等三角形中的手拉手旋转模型
【模型展示】
E
特点
6CD
在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE,连接AD与BE。
(1)ABCE^AACD,△BCM^AACN,AMCE^ANCD
(2)AD=BE,ZAFB=6O°
(3)AMCN为等边三角形
结论
(4)MN〃:BD
(5)CF为/BFD的角平分线
(6)FC+FE=FD
【模型证明】
15
16
E
b
BcD
ABCE=AACD
BE=AD
ABCE=AACD
:.ZCBE=ZCAD
ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°
ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°
ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ
ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)
NBMC=NAFM
ZBCM=ZAFM=60°,即ZAFB=60"
ABCM=AACN
:.CM=CN
ZMCN=60Q
AMCN为等边三角形
•••AMCN为等边三角形
ZMNC=60°
•••ZNCD=60°
NMNC=NNCD
:.MN//BD
E
BCD
17
过点C分别作PC1BE,QC1AD
:ABCEMAACD
:.BC=AC,ZCBE=ZCAD
在中
ZCBE=ZCAD
<ZBPC=ZAQC
BC=AC
:.RtABPC=RtAAQC
在RfAPCR与R/AQCT中
PC=QC
FC=FC
RtAPCF=RtAQCF
即RC平分ZBRD
在线段RDh截取FGuRE,连接EG
.FG=FE,NEFG=60°
.•.AER湃边三角形
EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°
ZCED=ZEFG=60°
:.ZFEC=ZGED
在AEG。与AEbS1
ZEGD=ZEFC
<EF=EG
ZFEC=ZGED
:.AEGD=AEFC
GD=FC
:.FD=FG+GD=EF+FC
【模型拓展】
18
一、单选题
1.如图,在ABC中,ZABC=90°,分别以AB,AC为边作等边△ABD和等边:ACE,连结DE,若AB=3,
AC=5,则ED=()
A.2A/2B.273C.4D.3亚
【答案】C
【分析】在RfAABC中可直接运用勾股定理求出BC,然后结合“手拉手”模型证得△ABC四△A£>E,即可得
到OE=BC,从而求解即可.
【详解】解:在RfAABC中,AB=3,AC=5,
由勾股定理得:BC=4,
,/△ABD和,ACE均为等边三角形,
:.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,
:.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,
19
即:ZBAC=ZDAE,
在△ABC和A4OE中,
AB=AD
,ABAC=ZDAE
AC=AE
:.△ABC^^\ADE(SAS),
:.DE=BC=4,
故选:C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,掌握全等三角形的判定与性质,熟练运用
勾股定理解三角形是解题关键.
2.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形
CDE,与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与C。交于点Q,连结尸。.以下结论错误的是()
R
A.ZAOB=6Q°B.AP=BQ
C.PQ//AED.DE=DP
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质,BC//DE,再根据平行线的性质得到NCBE=/OEO,于是
ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,得出A正确;根据△CQB等(ASA),得出B
正确;由4ACD%ABCE得NCBE=NDAC,力口之/ACB=/OCE=60。,AC=BC,得至!]△CQB咨△CfiA(ASA),
再根据NPCQ=60。推出△尸C。为等边三角形,又由/PQC=/DCE,根据内错角相等,两直线平行,得出C
正确;根据/CDE=60。,ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/。。用NCQE,得出D错误.
【详解】解::等边AABC和等边ACDE,
:.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,
:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,
在△40与4BCE中,
AC=BC
<NACD=NBCE,
CD=CE
.".△ACD^ABCE(SAS),
20
ZCBE=ZDAC,
又丁ZACB=ZDCE=60°,
:.ZBCD=60°,即ZACP=ZBCQ,
^:AC=BC,
在^CQB与ACPA中,
ZACP=ZBCQ
<AC=BC,
APAC=ZCBQ
:./\CQB^/\CPA(ASA),
:.CP=CQ,
又:NPCQ=60。可知△尸CQ为等边三角形,
・•・ZPQC=ZDCE=60°,
:.PQ〃AE,
故C正确,
•:△CQ^QXCPA,
:.AP=BQf
故B正确,
*:AD=BEfAP=BQ,
:.AD-AP=BE-BQf
即DP=QE,
9:ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,
AZDQE^^CDE,故D错误;
ZACB=ZDCE=60°,
:.ZBCD=60°,
•・,等边△DCE,
ZEDC=60°=ZBCD,
:・BC〃DE,
:.ZCBE=ZDEO,
:.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,
故A正确.
故选:D.
21
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,利用旋转不变性,解题的关键是找到
不变量.
3.如图,在mAABC和RdADE中,ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AD=AE=2,点尸,Q,R分别
是BC,DC,DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转,则APOR的面积不可能是()
A.8B.6C.4D.2
【答案】A
【分析】连接2。、CE,2。的延长线交CE的延长线于。,AC交2。于"证明△54D乌△C4瓦然后可推
出APOR是等腰直角三角形,54尸。氏=白2。2,由48=5,4)=2可知3SBH7,从而得到那么
/22
9149即可得出答案.
OZO
【详解】解:连接5。、CE,5。的延长线交CE的延长线于0,AC交B0于H.
\'AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°f
:./BAD=NCAE,
:.ABAD^ACAE,
:,BD=CE,/ABH=/OCH,
9:ZAHB=ZCHO,
・・・NO=NA4H=90。,
•・,点尸,。,H分别是BC,DC,0E的中点,
:・PQ=WBD,PQ//BO,QR=^EC,QR//CO,
•・・30J_0C,
:.PQ-LRQ,PQ=QR,
•••△PQH是等腰直角三角形,
1c
PQR=^-PQ2,
22
\"AB=5,AD=2,
:.3<BD<7,
,△PQR的面积不可能是8,
故答案为:A.
【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的中位线定
理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
4.如图,在sABC中,至=4?,点。、尸是射线BC上两点,且AD,,,若=ZBAD=ZCAF=15°;
则下列结论中正确的有()
①CELBF;②△ABD/AACE;③以.=S四边形的。;@BC-^EF=2AD-CF
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。,由等腰直角三角形的性质得出/B=/ACB=45。,
由SAS证得△ABD附Z\ACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=S四边形ADCE,贝!)/ECB=90°,
即EC_LBF,易证/ADF=60。,ZF=30°,由含30。直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则BD=
|EF,由BC-BD=DF-CF,得出BC-:EF=2AD-CF,即可得出结果.
【详解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,
.\ZBAC=90°,
VAB=AC,
;.NB=/ACB=45。,
在△ABD和AACE中,
AB=AC
</BAD=NCAE,
AD=AE
23
.".△ABD^AACE(SAS),
/.BD=CE,NB二NACE=45°,ABC=S四边形ADCE,
・•・ZECB=90°,
AEC±BF,
VZB=45°,ZBAD=15°,
・・・ZADF=60°,
・・・ZF=30°,
.\EF=2CE=2BD,DF=2AD,
ABD=|EF,
VBC-BD=DF-CF,
.•.BC-|EF=2AD-CF,
①、②、③、④正确.
故选:D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角形的性质、外角
的定义等知识,熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.
5.如图,正.ABC和正△CDE中,B、C、。共线,且BC=3CD,连接4。和BE相交于点孔以下结论中
正确的有()个
①/AFB=60。②连接FC,则CF平分NBFD③BF=3DF®BF=AF+FC
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【分析】根据“手拉手”模型证明从而得到/CBE=/C4D,再结合三角形的外角性质即可
求解/ATO=NACB=60。,即可证明①;作CNL3E于河点,CN1AD于N点、,证明CEM&CDN,结
合角平分线的判定定理即可证明②;利用面积法表示和的面积,然后利用比值即可证明③;
利用“截长补短”的思想,在池上取点。,使得FC=FQ,首先判断出一PCQ为等边三角形,再结合“手拉
24
手''模型推出;3CF之qACQ即可证明④.
【详解】解:①•・•ABC和均为等边三角形,
AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,
:.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,
:.ZBCE=ZACD,
在;3CE和中,
BC=AC
</BCE=ZACD
EC=DC
:..BCE^ACD(SAS)9
:./CBE=/CAD,
VZAFB=ZCBE-^-ZCDA,ZACB=ACDA+ACAD,
AZAFB=ZACB=60°,故①正确;
②如图所示,作00,5石于M点,CN上AD于N点、,
则ZCME=ZCND=90°,
•;LBCE'ACD,
:./CEM=/CDN,
在&CEM和△CDN中,
ACME=ZCND
<NCEM=ZCDN
CE=CD
;・iCEMMCDN(AAS),
:.CM=CN9
/.CF平分ZBFD,故②正确;
③如图所示,作于尸点,
SBRCF=-BF.CM=-BC.FP,S力«=-DF・CN=-CD-FP,
22DCF22
-BF.CM-BC.FP
・c3BCF__2_______2______
••~s-1-1'
3DCF-DF.CN-CD.FP
22
*:CM=CN,
25
BFBC
・••整理得:
DF-CD
,:BC=3CD,
.BF3CD0
>.-----=-------=3,
DFCD
:.BF=3DF,故③正确;
④如图所示,在AD上取点。,使得FC=FQ,
,:ZAFB=ZACB=60°,CF平分ZBFD,
二Z.BFD=120。,ZCFD=-ZBFD=60°,
2
;•-PCQ为等边三角形,
ZFCQ=60°,CF=CQ,
•••ZACB=60°,
:.ZACB+ZACF=NFCQ+ZACF,
NBCF=NACQ,
在△以才和4AC。中,
BC=AC
■NBCF=ZACQ
CF=CQ
:..BCF^ACQ(SAS),
:.BF=AQ,
VAQ=AF+FQ,FQ=FC,
:.BF=AF+FC,故④正确;
综上,①②③④均正确;
故选:A.
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等,理解等边三角形的基本性质,
掌握全等三角形中的辅助线的基本模型,包括“手拉手”模型,截长补短的思想等是解题关键.
26
6.如图,点C是线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形
CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE;
②PQ〃AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤NAOB=60。.其中一定成立的结论有()个
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出
△ACD^ABCE,可推知AD=BE;
③由△ACD丝ZiBCE得/CBE=NDAC,力口之NACB=NDCE=60。,AC=BC,得至!]△ACPg^BCQ(ASA),
所以AP=BQ;故③正确;
②根据②△CQBgZ\CPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出△PCQ为等边三角形,又由/PQC=/DCE,根
据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
④根据NDQE=/ECQ+NCEQ=6(F+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE彳/CDE,可知④错误;
⑤利用等边三角形的性质,BC〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=NDEO,于是
ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正确.
【详解】①,•,等边△ABC和等边△DCE,
;.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,
/.ZACD=ZBCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,
AACD^ABCE(SAS),
;.AD=BE;
故①正确;
③,.•△ACD^ABCE(已证),
;./CAD=/CBE,
27
•・,ZACB=ZECD=60°(Bffi),
・・・ZBCQ=180°-60°x2=60°,
・•・ZACB=ZBCQ=60°,
在△ACP与ABCQ中,
NCAD二NCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,
・•・AACP^ABCQ(ASA),
・・・AP=BQ;
故③正确;
②;AACP^ABCQ,
APC=QC,
AAPCQ是等边三角形,
・•・NCPQ=60。,
.\ZACB=ZCPQ,
・・・PQ〃AE;
故②正确;
®VAD=BE,AP=BQ,
.•.AD-AP=BE-BQ,
即DP=QE,
ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60°,
NDQErNCDE,
・・・DErQE,
贝IJDPrDE,故④错误;
⑤丁ZACB=ZDCE=60°,
NBCD=60。,
•・,等边△DCE,
ZEDC=60°=ZBCD,
・・・BC〃DE,
:.ZCBE=ZDEO,
JZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.
故⑤正确;
28
综上所述,正确的结论有:①②③⑤,错误的结论只有④,
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,以及等边三角形的判定和性质,此图形是典型的“手拉手”模型,
熟练掌握此模型的特点是解题的关键.
二、填空题
7.如图,AABD、是两个等边三角形,连接2C、BE.若/DBC=30。,BD=6,BC=8,则=
【答案】BE=10
【分析】连接AC,根据题意易证△ACD0ABED(SAS),根据全等三角形的性质可得AC=BE,再根据勾股
定理求出AC的值即可得出结论.
【详解】如图,连接AC,
AABZ)>△CDE是两个等边三角形,
;.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,
ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,
.".ZADC=ZBDE,
AD=BD
在^ACD与ABDE中<ZADC=ZBDE,
CD=DE
:.AACD^ABED(SAS),
;.AC=BE,
ZDBC=30°,
ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,
在RtAABC中,AB=6,BC=8,
29
AC=7AB2+BC2=762+82=10>
.".BE=10,
故答案为:10.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,孰练的掌握知识点是解题
关键.
8.如图,AABC中,ZC=90°,AC=BC=6,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△A5C的位置,连
接BC,的延长线交于点D,则2D的长为.
【答案】6
【分析】连接89,根据旋转的性质可得AB=A£,判断出△AB夕是等边三角形,根据等边三角形的三条边
都相等可得AB=BB',然后利用“边边边”证明△ABC和AB,BC全等,根据全等三角形对应角相等可得/ABC
=ZB'BC,延长BC交AB,于D,根据等边三角形的性质可得利用勾股定理列式求出AB,然后
根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出2D
【详解】解:如图,连接28',
B'
△ABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB'C,
J.AB^AB',ZBAB'=60°,
/XAB夕是等边三角形,
30
在△ABC和A23c中,
AB=BB'
<AC'=B'C,
BC'=BC
.•.△ABCN/XHBC'(SSS),
ZABC'^ZB'BC=3Q°,
延长BC交AH于D,
则BDLAB',
VZC=90°,AC=BC=0,
;.AB=J(何+(0j=2=AB',
AD=—AB=1
2
BD=SJAB2-AD2=6,
故答案为:V3
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形
的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.
9.如图,ABC是边长为5的等边三角形,BD=CD,N3DC=120。.E、尸分别在AB、AC上,且/£0尸=60。,
则三角形AE尸的周长为.
【答案】10
[分析】延长AB到N,使BN=CF,连接DN,求出NFCD=/EBD=/NBD=90。,根据SAS证4NBD学AFCD,
推出£W=£)/,ZNDB=ZFDC,求出NEDF=NEDN,根据SAS证AEDF0AEDN,推出£尸=硒,易得AAEF
的周长等于AB+AC.
【详解】解:延长A2到N,使BN=CF,连接LW,
31
A
:.ZABC=ZACB=60°,
■:BD=CD,ZBDC=nO°,
:./DBC=/DCB=30。,
:.ZACD=ZAB£)=30°+60°=90°=ZNBDf
•・•在△嵇。和4bCD中,
BD=DC
<ZNBD=ZFCD,
BN=CF
:•△NBD/&FCD(5AS),
:.DN=DF,NNDB=/FDC,
VZB£)C=120°,ZEDF=60°,
:.NEDB+NFDC=6。。,
:.ZEDB+ZBDN=60°,
即ZEDF=ZEDN,
在△石/和△即尸中,
DE=DE
<ZEDF=/EDN,
DN=DF
:.XEDN经XEDF(SAS),
EF=EN=BE+BN=BE+CF,
即BE+CF=EF.
・・・△ABC是边长为5的等边三角形,
:.AB=AC=5,
•;BE+CF=EF,
:.AAEF的周长为:AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,
故答案为:10.
32
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的性
质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
10.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE
交于点与BC交于点与CO交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AO=BE;②P。AE;®AP=BQ;
@DE=DP;⑤NAOB=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)
【答案】①②③⑤
【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明;根据全等三角形的性质证明AMCN为等边三角形,再证
明△即可求解.
【详解】解:①△钿(7和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,
:.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=120。
:.AACD^AECB
'.AD=BE,故本选项正确,符合题意;
②•:AACD丝AECB
:.ZCBQ=ZCAP,
又,/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,
:.ABCe^AACP,
:.CQ=CP,
又NPCQ=60。,
.♦.△PC。为等边三角形,
ZQPC=6Q0=ZACB,
J.PQl/AE,故本选项正确,符合题意;
③,/ZACB=NDCE=60。,
:.ZBCD=60°,
:.ZACP=ZBCQ,
':AC=BC,ZDAC=ZQBC,
:./\ACP^/\BCQ(ASA),
33
CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确,符合题意;
④已知△ABC、AOCE为正三角形,
故/。以=/2。1=60。=4DCB=60°,
又因为/£>PC=/ZMC+NBC4,ZBCA=60°=>zDPC>60°,
故。P不等于OE,故本选项错误,不符合题意;
⑤「△ABC、ADCE为正三角形,
AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,
:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,
:.ZACD=ZBCE,
/.△ACD^ABCE(SAS),
/.ZCAD=ZCBE,
:.ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,
ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,
ZAOB=60°,故本选项正确,符合题意.
综上所述,正确的结论是①②③⑤.
三、解答题
11.如图,△ACB和ECD都是等腰直角三角形,。4=。尻。£>="44圆的顶点4在上瓦刀的斜边止上,
(1)求证:BD=AE.
(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC='®cm.
2
【分析】(1)根据同角的余角相等得出NBCD=/ACE,然后根据SAS定理证明△BCD丝ZXACE,从而得
出结论;
(2)根据全等三角形的性质得出/BDC=NAEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得/BDA是直角三角
34
形,从而利用勾股定理求解.
【详解】⑴•「△ACB和一ECD都是等腰直角三角形,
.・・ZACB=ZECD=90。,
:.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,
:.ZBCD=ZACE,
在△以»和△AC5中,
CB=CA
</BCD=/ACE
CD=CE
:.NBCD^ACE(SAS),
・•・BD=AE.
(2)YBCD与ACE,
:.NBDC=ZAEC,
又・・・..ECD是等腰直角三角形,
・•・ZCDE=ZCED=45°,
:.ZBDC=45。,
:.ZBDC+ZCDE=90°,
・•・NHD4是直角三角形,
・・・AB2=Blf+AD1=AE2+AD2=32+62=45,
在等腰直角三角形ACB中,
AB2=AC2+BC2=2AC2,
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.
12.如图,A、B、C在同一直线上,且AABD,ABCE都是等边三角形,AE交BD于点M,CD交BE于
点N,MN〃AC,求证:
(1)ZBDN=ZBAM;
(2)△BMN是等边三角形.
35
E
ARC
【答案】(1)证明过程见详解;(2)证明过程见详解。
【分析】(1)只需要证明AABE也AD3C,就可以得到/3DN=NB4Af.
(2)NDBA=NEBC=60°,因为MN〃AC,所以NACVB=NNBC=60°,NNMB=/MBA=60°,所以ABMN
是等边三角形.
【详解】证明:(1)VZEBC=ZABD=60°
:.ZDBC=ZABE
在ADBN、A4BM中
DB=AB
<ZDBC=ZABE
BC=BE
:.AABE0NDBC
.\ZBDN=ZBAM
(2);NDBA=NEBC=60°,MN//AC,
,NMNB=NNBC=6G,
NNMB=NMBA=6«,
所以ABAW是等边三角形.
【点睛】这是一个典型的手拉手模型,是初中几何必会的模型之一,两个60。的三角形是等边三角形.
13.如图1,B、C、。三点在一条直线上,AD与BE交于点。,△ABC和AEC。是等边三角形.
A
AE
图1
(1)求证:AACD/ABCE;
(2)求/BOO的度数;
(3)如图2,若B、C、。三点不在一条直线上,N8OD的度数是否发生改变?________(填“改变”或“不改
36
变”)
【答案】(1)证明见解析
(2)ZBO£>=120°
(3)不改变,理由见解析
【分析】(1)根据"SAS'证明△ACD之△BCE即可;
(2)由全等三角形的性质得/AOC=NBEC,再由三角形的外角性质得/4。8=60。,即可求解;
(3)同(1)得:4ACD咨LBCE,得出/D4C=NEBC,根据三角形外角求出/AOE=120。,即可得出答
案.
(1)
证明::AASC和△ECD是等边三角形,
:.ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,
:.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,
ZBCE=ZACD,
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