中考数学难点突破与训练：全等三角形中的半角模型（含答案及解析）

专题02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特点

过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为手；这两条射线与

过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条

相关直线及顶角A相关.

【模型证明】

以点A为中心，把AADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至AABF;

解决方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;

结论3、MN-^BM2+DN2-,

4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；

5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。

应用环境1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;

2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角

平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4:此等腰三角形的相关弦.

【模型拓展】

2

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90。，N点落在N'处，连接AN'、BN'、MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

AMAN5AMAN(SAS),

.,.MN=MN',

又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,

.•./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,

在RtAMBN'中，MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2=

结论③：图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

证明过程见证明①中时4FAE^AF5AE即可。

结论④：图1、2中S^EF=S—BE+O

证明：如图5中，过A点作AH_LEF于H点，由结论③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

；.AH=AB=AD,进而可以证明△AHF^AADF(AAS),

,•S—EF=SMHE+S^AHF=SAABE+SMDF•

【题型演练】

3

一、单选题

1.如图，四边形A3C£>内接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J为2C、C£>上一点，/EAF=30°,

EF=3,DF=1.则BE的长为（）

C.3D.4

2.如图，点M、N分别是正方形ABC。的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持NAMN=45。，连

接EN、相交于点。，以下结论：①MN=BM+DN；②8炉+。产=石产；③BC2=BF,DE；®OM=72OF

)

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空题

3.如图，在RSA8C和RtABCD中，ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分别

在BD,CD±,/MAN=45°,则AOMN的周长为.

4.如图，在边长为6的正方形ABCD内作NE4F=45。，AE交BC于点E,AF交。于点尸，连接£F,将

△ADF绕点A顺时针旋转90。得到AABG,若BE=2,则所的长为.

4

D

5.如图，正方形ABC。的边长为6,点E,尸分别在边AB,8c上，若歹是BC的中点，且/即尸=45。,

则DE的长为

三、解答题

6.正方形A8CD的边长为3,E、P分别是AB、8c边上的点,且/即尸=45。.将4ZME绕点。逆时针旋转90°,

得到△DCM.

(1)求证：EF=FM

(2)当AE=1时，求EP的长.

7.已知，如图所示，正方形A3CD中，E,F分别在边2C,8上，且NE4F=45。，AE,”分别交

于H,G,连EF,求证:

①DF+BE=EF®DG2+BH2=HG2.

5

8.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将尸绕点A顺时针旋转90。后，得到AABM,

连接EM,AE,且使得NMAE=45。.

(1)求证：ME=EF；(2)求证：EF2=BE2+DF2.

9.已知：边长为4的正方形ABC。，/瓦IF的两边分别与射线CB、。。相交于点£、F,且NEAP=45。,

连接£咒求证：EF^BE+DF.

图1图2图3

思路分析：

⑴如图1,•.•正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=9Q°,

.•.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADE,则RD、E在一条直线上，

/EAF=度，……

根据定理，可证：

；.EF=BE+DF.

类比探究：

(2)如图2,当点E在线段C8的延长线上，探究EF、BE、。尸之间存在的数量关系，并写出证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在AA8C中，AB=AC,D、E在BC上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求线

段3。、DE、EC围成的三角形的面积.

10.如图1,在菱形ABCD中，AC=2,BD=2百，AC,8。相交于点。.

(1)求边4B的长；

(2)求/BAC的度数；

6

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形A8C£＞的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三

角板60。角的两边分别与边2C,相交于点E,F,连接E?判断△A所是哪一种特殊三角形，并说明理

由.

11.(1)如图1,在正方形ABC。中，£是4B上一点，G是上一点，ZECG=45°,求证EG=BE+GD

图1图2

(2)请用(1)的经验和知识完成此题：如图2,在四边形48CD中，AG//BC(8SAG),ZB=90°,AB=BC=12,

E是43上一点，且NECG=45。，BE=4,求EG的长？

12.如图，点E是正方形A8C。的边BC上一点，连接OE,将。E绕着点E逆时针旋转90。，得到EG,过

点G作GF_LCB,垂足为RGHA.AB,垂足为“，连接。G,交4B于/.

(1)求证：AGEF—EDC

(2)求证：四边形是正方形；

(3)求证：ED平分/CEI

13.学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形A8CZ)中，ZEAF=45°,求证：EF=BE+DF.,,

小明同学的思路：\•四边形A8C。是正方形，：.AB^AD,ZB=ZADC^90°.

7

把4ABE绕点A逆时针旋转到AADE的位置,然后证明，从而可得EF=£T.

E'F=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图1图2图3图4

(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:

如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,/8=/。=90。,ZEAF=^ZBAD,直接写出EF,BE,。尸之间的

数量关系.

(2)【应用】如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,NEAF=；NBAD,求证：EF=BE+

DF.

(3)【知识迁移】如图4,四边形A8PC是。O的内接四边形，8c是直径，AB=AC,请直接写出EB+PC与

A尸的关系.

8

专题02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特点

过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为手；这两条射线与

过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条

相关直线及顶角A相关.

【模型证明】

以点A为中心，把AADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至AABF;

解决方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;

结论3、MN-^BM2+DN2-,

4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；

5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。

应用环境1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;

9

2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角

平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4:此等腰三角形的相关弦.

【模型拓展】

10

图4

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90。，N点落在N'处，连接AN'、BN'、MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

AMAN5AMAN(SAS),

.,.MN=MN',

又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,

.•./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,

在RtAMBN'中，MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2=

结论③：图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

证明过程见证明①中时4FAE^AF5AE即可。

结论④：图1、2中=S故BE+S@DF°

图5

证明：如图5中，过A点作AH_LEF于H点，由结论③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90°,AE=AE,AAEBAAEH(AAS),

；.AH=AB=AD,进而可以"i正明△AHF^AADF(AAS),

SAAEF=SMHE+^AAHF=^AABE+MDF•

【题型演练】

11

一、单选题

1.如图，四边形A3C£>内接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J为2C、C£>上一点，/EAF=30°,

EF=3,DF=\.则BE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长CB到X,使BH=DF=1,连接AH,则可证得△AB8丝从而ZBAH=ZDAF,

易证AAHE丝△ABE,可得HE=EF=3,则可求得BE的长.

【详解】延长CB到H,使BH=DF=1,连接AH,如图

四边形ABCD内接于<3。

AZABC+ZADC=180°

VZABH+ZABC=180°

ZABH=ZADF

在△ABH和△AOP中

AB=AD

<ZABH=ZADF

BH=DF

：.AABH沿AADF

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF

VZJ3AD+ZBCD=18O°,ZBCD=U0°

：.ZBAD=1SO°-ZBCD=6Q°

12

VZEAF=30°

ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=3Q

：.ZEAH=ZBAE+ZBAH=30°

在^AHE和八AFE中

AH=AD

，ZEAH=ZEAF

AE=AE

：.AAHE^AAFE

:.HE=EF=3

：.BE=HE-BH=3-1=2

故选：B

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题

的关键与难点.

2.如图，点〃、N分别是正方形ABC。的边8C、CD上的两个动点，在运动过程中保持/MAN=45。，连

接EN、相交于点。，以下结论：①A/N=BM+DN；②8炉+。尸2=£/；③BC?=BF・DE；®0M=72OF

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由旋转的性质可得BM=DM',ZBAM=ZDAMt,ZMAAf=90°,ZABM=ZADM=90°,

由“SAS”可证△AMNg/XAMW,可得MN=NM，,可得MN=BM+DN,故①正确；由“SAS”可证△AEF^：/\AED',

可得EF=DE,由勾股定理可得^^+刀尸二石尸；故②正确；通过证明△屈，可得匹=42,可证

ABBF

BC2=DE・BF,故③正确;通过证明点A,点B,点M,点尸四点共圆，NABM=NAFM=90。，ZAMF^ZABF=45°,

NBAM=/BFM,可证MO=&EO,由/8AMW/D4N,可得0E力OF,故④错误，即可求解.

【详解】解：将4绕点A逆时针旋转90°,得到△ADM',将4AQ尸绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD',

：.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM',ZMAM=90°,ZABM=ZADM'=90°,

13

・•・ZAZ)Af+ZA£>C=180°,

・••点AT在直线CD上，

,/ZMAN=45°f

：.ZDAN+ZMAB=45°=ZDAN+ZDAM'=ZM'ANf

：.ZMrAN=ZMAN=45°,

又•：AN=AN,AM=ANff

:・AAMN沿AAM'N(SAS),

:・MN=NM;

：.M，N=M，D+DN=BM+DN,

:,MN=BM+DN；故①正确；

・・•将△AO尸绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD\

：.AF=AD\DF=D'B,ZADF=ZABD'=45O,ZDAF=ZBAD\

：.ZD'BE=90°,

9：ZMAN=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°=ZBAD'+ZBAE=ZD'AE,

：.ZD,AE=ZEAF=45°,

又,；AE=AE,AF=AD\

•••△AEF丝△AE。’(SAS),

；・EF=D，E,

VZ)'E2=BE2+Z)'B2,

：.BE2+DF2=EF2；故②正确；

ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE+45°,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,

：.ZBAF=ZAEF,

又ZABF=ZADE=45°,

JXDAEsXBFA,

.DEAD

••商一正’

又•：AB=AD=BC,

；・BC2=DE・BF,故③正确；

,?ZFBM=ZFAM=45°,

・••点A,点'点M,点尸四点共圆，

14

ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,ZBAM=ZBFM,

同理可求/AEN=90。，ZDAN=ZDEN,

：.ZEOM=45°=ZEMO,

：.EO=EM,

：.MO=42EO,

ZBAM^ZDAN,

：.NBFM手/DEN,

J.EO+FO,

：.0M丰0FO,故④错误，

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等

知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题

3.如图，在R3ABC和RtABC。中，ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分别

在BD,CD±,ZMAN=45°,则△OMN的周长为

【答案】26+2

【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得至1必ABE,由旋转得出NNAE=90。，AN=AE,ZABE=ZACD,

15

NEAB=NCAN,求出NEAM=NMAN,根据SAS推出△AEM2△ANM,根据全等得出MN=ME,求出

MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BD+DC,代入求出答案即可.

【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△A3E,如图：

由旋转得：ZNAE=90°,AN=AE,ZABE=ZACD./EAB=/CAN,

•・・N8AC=NO=90。，

NABO+NACO=360。一90°-90°=180°,

・•・ZABD+ZABE=180°,

：.E,B,M三点共线,

•・・NMAN=45。，ZBAC=9Q°,

：.ZEAM^ZEAB^-ZBAM=ZCAN+ZBAM=ZBAC-ZMAN=90°-45°=45°,

:・/EAM=/MAN,

在△AEM和△视“中，

AE=AN

</EAM=/NAM,

AM=AM

：.(SAS),

:.MN=ME,

:,MN=CN+BM,

・・•在RSBCD中，ZBDC=90°,ZCBD=30°,3C=4,

：.CD=^BC=2,BD=JBC，-CD=4^^=25

ADMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=26+2,

故答案为：26+2.

【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此

题的关键.

4.如图，在边长为6的正方形ABCD内作NE4F=45。，AE交BC于点E,AF交。于点F,连接£F,将

16

AADF绕点A顺时针旋转90。得到AABG,若BE=2,贝U的长为

【答案】5

【分析】由题意易得3G=£)£AG=AF,NG4F=90。，则有NG4E=NE4E=45。，然后可证AGAE/AE4E,

则有GE=EF,设GB=DF=x,则有CF=6-x,CE=4,/=x+2,进而根据勾股定理可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，且边长为6,

CD=BC=6,ZC=ZABC=ZD=90°,

AAL>F绕点A顺时针旋转90。得到AABG,

：.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,

...点G、B、E三点共线，

ZEAF=45°,

：.ZGAE=ZFAE=45°,

"：AE=AE,

：.^GAE^AFAE,

GE=EF,

设G3=Db=x,贝！|有CF=6—尤,CE=4,Eb=x+2,

在Rt&ECF中，由勾股定理可得EC2+CF2=EF2,

即16+(6-尤J=(x+2)’，

解得：x—3,

：.EF=5；

故答案为5.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾

股定理是解题的关键.

5.如图，正方形的边长为6,点E,尸分别在边AB,上，若尸是8C的中点，且/即P=45。，

则DE的长为.

17

D

E

B

【答案】2M

【分析】延长8A到点G,使AG=CE,连接。G,EF,利用SAS证明△尸,得NCOb=/GZM,

DG=DF,再证明△(SAS),得GE=EF,设AE=x,则2£=6-x,EF=x+3,再利用勾股定理解

决问题.

【详解】解：延长BA到点G,使AG=CF,连接。G,EF,

"：AD=CD,ZDAG=ZDCF,

：.△AQG丝△CDF(SAS),

:./CDF=NGDA,DG=DF,

；/EDF=45°,

ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+ZCDF=A5°,

,:DE=DE,

.MGDE咨4FDE(SAS),

：.GE=EF,

：产是BC的中点,

：.AG=CF=BF=3,

设AE=尤，贝！iBEnG-x,EF=x+3,

由勾股定理得，(6-x)2+32=(x+3)2,

解得x=2,

18

：.AE=2,

DE=4AD2+AE2=V62+22=2A/10，

故答案为：2M.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型

的处理策略是解题的关键.

三、解答题

6.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB,8c边上的点，且/即尸=45。.将4D4E绕点D逆时针旋转90°,

得到△DCM.

(1)求证：EF=FM

(2)当AE=1时，求EF的长.

A_D

bFCM

【答案】⑴见解析；(2)

【分析】(1)由折叠可得为直角，可得出尸=90。，由NEL甲=45。，得到/A/DF

为45。，可得出再由。尸=。尸，利用SAS可得出三角形。与三角形用全等，由全等三

角形的对应边相等可得出EF=MF；

(2)由第一问的全等得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用A2-AE求出防的长，再由BC+CM求出

的长，iSEF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形BEP中，利用勾股定理列出关于x的

方程，求出方程的解得到x的值，即为跖的长.

【详解】逆时针旋转90。得到△DCM,

：.DE=DM,ZEDM=9Q°,

：.ZEDF+ZFDM=90°,

Z££)F=45°,

ZFDM=ZEDM=45°,

,/DF=DF,

：.ADEF迫ADMF,

：.EF=MF

19

(2)设EFr,

'：AE=CM=1,

JBF=BM-MF=BM-EF=4-x,

EB=2,

在R3EBF中,由勾股定理得£5?+5产=阱2，

即22+(4-x)2=/，

解得，x=|.

7.已知，如图所示，正方形A3CD中，E,歹分别在边BC,8上，且NE4F=45。，AE,AF分别交SD

于H,G,连EF,求证：

①DF+BE=EF®DG2+BH2=HG2.

【答案】见解析

【分析】①把△ABE逆时针旋转90。得到△ADG,根据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,再根据NEAF=45。

求出NFAG=45。,然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,

即EF=GD+FD,即可证明EF=BE+DF；

②把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,根据旋转的性质得到/NAE=NEAF,根据全等

三角形的性质得到GH=GN,求得/NBG=NABN+NABG=45o+45o=90。，根据勾股定理得到BG2+HD2=GH2；

【详解】①如图，把△ABE逆时针旋转90。得到△ADM,

20

ABE=MD,AE=AM,

•・・ZEAF=45°,

・•・ZFAM=90°-45°=45°,

：・NEAF二NFAM,

在^AEF和△AMF中，

AE=AM

<ZEAF=ZFAM,

AF=AF

：.AAEF^AAMF(SAS),

AEF=MF,

即EF=MD+DF,

・・・BE+DF=EF；

②如图，把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,

・・・BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,ZABN=ZADH,

NEAF=45。，

・•・ZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45o=45°,

・•・ZNAE=ZEAF,

在^ANG和^AGH中，

AN=AH

<ZNAG=ZEAF,

AG=AG

AAAGN^AAGH(SAS),

・・・GH二GN,

在正方形ABCD中，ZABE=ZADH=45°,

・•・ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45o=90°,

/.BG2+BN2=NG2,

即BG2+HD2=GH2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键.

8.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将方绕点A顺时针旋转90。后，得到△的1,

连接EM,AE,且使得NM4E=45。.

21

AD

BC

（1）求证：ME=EF；（2）求证：EF2=BE2+DF2-

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）直接利用旋转的性质证明△AME四△AFE（SAS）,即可得出答案；

（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案.

【详解】证明：（1）•・•将厂绕点A顺时针旋转90。后，得到△河1,

:.MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,

,\MA±AFf

•.・ZMAE=45°,

:.ZEAF=45°,

.\ZMAE=ZFAE,

在^AME和AAFE中

AM^AF

</MAE=NFAE,

AE=AE

:.^AME=^AFE{SAS）,

:.ME=EF；

（2）由（1）得：ME=EF,

在RLJWBE中，MB2+BE2=ME1，

又：MB=DF,

EF2=BE2+DF2.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出

AAME^AAFE是解题关键.

9.已知：边长为4的正方形ABC。，NEA尸的两边分别与射线CB、。。相交于点£、F,且NEAP=45。,

连接ER求证：EF=BE+DF.

22

图1图2图3

思路分析：

⑴如图1,:正方形ABC。中，A8=A。，ZBAD^ZB^ZADC=90°,

.•.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△AOE,则RD、E在一条直线上，

ZE'AF=度，……

根据定理，可证：AAEFQXAEF.

：.EF=BE+DF.

类比探究：

(2)如图2,当点E在线段CB的延长线上，探究ERBE、。尸之间存在的数量关系，并写出证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在△ABC中，AB=AC,D、£在8C上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求线

段3D、DE、EC围成的三角形的面积.

【答案】(1)45

Q)DF=BE+EF,证明见解析

(3)2

【分析】(1)把AA5E绕点A逆时针旋转90。至AADE,则尸、D、E'在一条直线上，MDE且ABE,再证

AAEF^AAE'F,得EF=£T,进而得出结论；

(2)将AABE绕点A逆时针旋转90。得到A4EE,由旋转的性质得A4DE2A4BE,再证A4£F名△AEN,得

E'F=EF,进而得出结论；

(3)将AABZ)绕点A逆时针旋转得到AACD',连接EZ7,则AACDNAABD,得CD=BD,因此

r

S44BC=S四边舷WCD=14,同(2)得皿比学工ADE,贝I£)石=。'石，SAADE=^^AD'E=6,得BD、DE、召C围成的

三角形面积=S,mc，即可求解.

(1)

解：如图1,「正方形ABCD中，AB^AD,ZBAD^ZB^ZADC=90°,

23

把4ABE绕点A逆时针旋转90。至AADE，

图1

则GD、E在一条直线上，MDEmLABE,

：.DE'=BE,ZDAE'=ABAE,AE'=AE,

：.ZE'AE=ZEAD+ZDAE'=ZEAD+ZBAE=ZBAD=9Q°,

则ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45°,

:./EAF=NEAF,

：.^AEF^/\AE'F(SAS),

E'F=EF,

E'F=DE'+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案为：45；

(2)

解：DF=BE+EF理由如下：

将八ABE绕点A逆时针旋转90。得到△ADE3

图2

:.XMJE恰&ABE,

：.AE=AE',BE=DE',/DAE'=/BAE,

：.ZE'AE=ZBAE+ZE'AB=ZE'AD+ZE'AB=ZBAD=90°,

则ZEAF=ZE'AE-/EAF=45°,

24

ZEAF=NE4尸=45。,

在△AE尸和△AE歹中，

AE=AEr

</EAF=ZEAF,

AF=AF

：.AAEF^AAErF(SAS),

:.E'F=EF,

*/DF=DE+EF,

；・DF=BE+EF；

(3)

解：将△ABO绕点A逆时针旋转得到^ACDf,连接瓦),

图3

则4ACDf^AABD,

:・CD'=BD,

•,^MBC=S四边形">，8=14,

同(2)得：AADE0△AD'E(SAS),

DE=D'E>SAADE=^^AD,E=6,

:.BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、DE、EC围成的三角形面积S皿0=S四边彩"广工磔^位/=2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形

和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，

属于中考常考题型.

10.如图1,在菱形ABC。中，AC=2,BD=2C，AC,8。相交于点。.

⑴求边48的长；

(2)求NA4c的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形ABC。的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三

角板60。角的两边分别与边BC,C。相交于点E,F,连接EF.判断AAEE是哪一种特殊三角形，并说明理

由.

25

【答案】(1)2；(2)60°；(3)见详解

【分析】(1)由菱形的性质得出OA=1,0B=6,根据勾股定理可得出答案；

(2)得出△ABC是等边三角形即可；

(3)由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABEgZ\ACF；可得AE=AF,根据有一个角

是60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.

【详解】解：(1)•四边形ABCD是菱形，

；.AC_LBD,

.♦.△AOB为直角三角形，且OA=』AC=1,OB=-BD=y/3.

22

AB=y/OA'+OB2=JF+(同=2；

(2)•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

由⑴得：AB=AC=BC=2,

AABC为等边三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等边三角形，

•・•由(1)知，菱形ABCD的边长是2,AC=2,

・•・AABC和^ACD是等边三角形，

JNBAC=NBAE+NCAE=60。，

ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在^ABE和^ACF中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC

ZEBA=ZFCA

：.AABE^AACF(ASA),

26

，AE=AF,

,/ZEAF=60°,

...△AEF是等边三角形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转.解题的

关键是熟练掌握菱形的性质.

11.（1）如图1,在正方形ABCZ）中，E是上一点，G是AD上一点，ZECG=45°,求证EG=BE+GO.

图1图2

（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2,在四边形ABC。中，AG//BC（BC>AG）,NB=9Q°,AB=BC=12,

E是AB上一点，且NECG=45。，BE=4,求EG的长？

【答案】（1）证明见解析；（2）EG=10.

【分析】（1）延长AD至R使DF=BE,连接CF,根据正方形的性质，可直接证明△从而

得出根据/GCE=45。，得NGCF=NGCE=45。,利用全等三角形的判定方法得出

△ECG^AFCG,即GE=GF,即可证出EG=BE+GD；

（2）过C作CO_LAG,交AG延长线于。，则四边形A8CD是正方形，设EG=x,则AE=8,根据（1）可

得：AG=16-x,在直角AAGE中利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：如图3所示，延长AD至F,使。尸=2£,连接CE

图3

•..四边形A8CO是正方形，

：.BC=DC,ZABC^ZADC=ZBCD=90°,

"：ZCDF=ISO°-ZADC,

：.ZCDF=90°,

：.ZABC=ZCDF,

27

•:BE=DF,

:AEBC^工FDC,

:・/BCE=/DCF,EC=FC,

'：ZECG=45°,

.•.ZBCE+ZGC£>=90°-ZECG=90o-45o=45°,

JZGCD+ZDCF=ZFCG=45°,

:.ZECG=ZFCG.

•；GC=GC,EC=FC,

AAECG^AFCG,

：.EG=GF.

;GF=GD+DF=BE+GD,

：.EG=BE+GD.

(2)解：如图4,过。作COLAG,交AG延长线于。,

在直角梯形A5CG中，

,:AGHBC,ZA=ZB=90°,

XZCDA=90°,AB=BC,

・•・四边形A5c。为正方形.

：.AD=AB=BC=12.

已知NECG=45。，根据(1)可知，EG=BE+DG,

设EG=x,贝ljAG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x,

：.AE=12-BE=12-4=S.

在RtXAEG中

9：EG2=AG2^AE\

即/=(16-x)2+82,

解得：x=10.

28

：.EG=10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系，正确作出辅

助线是解题的关键.

12.如图，点E是正方形ABC。的边2C上一点，连接DE,将。E绕着点E逆时针旋转90。，得到EG,过

点G作GFLCB,垂足为RGHLAB,垂足为X,连接。G,交A3于/.

⑴求证：4EF三&EDC

(2)求证：四边形BPG//是正方形;

(3)求证：ED平分/CEI

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)先证明/FEG=NEOC,即可利用A4S证明全等；

(2)首先证明四边形EBHG是矩形，再证明FB=fG即可解决问题；

(3)延长BC到J,使得CJ=A/.证明△">E也△〃)£1(SAS)即可解决问题.

(1)

•..四边形ABCD是正方形，

：.BC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90°,

'JGFLCF,GHA,AB,

：.GHB=ZFBH=90°,

.••四边形E3HG是矩形，

•:ED=EG,ZDEG=90°,

'：ZDEC+ZFEG=9O°,ZDEC+ZEDC=9Q°,

：.ZFEG=ZEDC,

在八£)。石和4EFG中

29

ZF=ZDCE

</FEG=/EDC

GE=DE

:.LDCE•dEFG(AAS),

(2)

ADCE^AEFG

:・FG=EC,EF=CD,

•:CB=CD,

:・EF=BC,

:・BF=EC,

:・BF=GF,

•・•四边形尸BUG是矩形

・•・四边形尸5HG是正方形.

(3)

延长3C到J,使得C7=A/.

9

\DA=DC,ZA=ZDCJ=9009AI=CJ,

:•△DA/也△DC/(SAS),

：.DI=DJ,ZADI=ZCDJ,

：.ZIDJ=ZADC=90°,

「ZZ£)E=45°,

I.ZEDI=ZEDJ=45°,

•：DE=DE,

：.AIDE^AJDE(SAS),

・•・ZDEI=ZDEJ,

；・DE平分N/EC.

【点睛】本题