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文档简介
专题02全等三角形中的半角模型
【模型展示】
特点
过正方形ABCD顶角顶点(设顶角为A),引两条射线且它们的夹角为手;这两条射线与
过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条
相关直线及顶角A相关.
【模型证明】
以点A为中心,把AADF(顺时针或逆时针)旋转角A度,至AABF;
解决方法
1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';
2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;
结论3、MN-^BM2+DN2-,
4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半;
5、点A到EF的距离等于正方形的边长(AB)。
应用环境1:顶角为特殊角的等腰三角形,如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;
2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形;
3:过底角顶点的两条相关直线:底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角
平分线,底角的邻余角另外两边等;正方形或棱形的另外两边;
4:此等腰三角形的相关弦.
【模型拓展】
2
证明:如图4中,将AN绕点A顺时针旋转90。,N点落在N'处,连接AN'、BN'、MN\
ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,
且AM=AM,AN=AN',
AMAN5AMAN(SAS),
.,.MN=MN',
又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,
.•./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,
在RtAMBN'中,MN,2=BM2+BN,2,
即MN2=BM2+BN,2=
结论③:图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。
证明过程见证明①中时4FAE^AF5AE即可。
结论④:图1、2中S^EF=S—BE+O
证明:如图5中,过A点作AH_LEF于H点,由结论③可知:ZAEH=ZAEB,
且NAHE=NABE=90。,AE=AE,△AEB△AEH(AAS),
;.AH=AB=AD,进而可以证明△AHF^AADF(AAS),
,•S—EF=SMHE+S^AHF=SAABE+SMDF•
【题型演练】
3
一、单选题
1.如图,四边形A3C£>内接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J为2C、C£>上一点,/EAF=30°,
EF=3,DF=1.则BE的长为()
C.3D.4
2.如图,点M、N分别是正方形ABC。的边BC、CD上的两个动点,在运动过程中保持NAMN=45。,连
接EN、相交于点。,以下结论:①MN=BM+DN;②8炉+。产=石产;③BC2=BF,DE;®OM=72OF
)
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
二、填空题
3.如图,在RSA8C和RtABCD中,ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分别
在BD,CD±,/MAN=45°,则AOMN的周长为.
4.如图,在边长为6的正方形ABCD内作NE4F=45。,AE交BC于点E,AF交。于点尸,连接£F,将
△ADF绕点A顺时针旋转90。得到AABG,若BE=2,则所的长为.
4
D
5.如图,正方形ABC。的边长为6,点E,尸分别在边AB,8c上,若歹是BC的中点,且/即尸=45。,
则DE的长为
三、解答题
6.正方形A8CD的边长为3,E、P分别是AB、8c边上的点,且/即尸=45。.将4ZME绕点。逆时针旋转90°,
得到△DCM.
(1)求证:EF=FM
(2)当AE=1时,求EP的长.
7.已知,如图所示,正方形A3CD中,E,F分别在边2C,8上,且NE4F=45。,AE,”分别交
于H,G,连EF,求证:
①DF+BE=EF®DG2+BH2=HG2.
5
8.如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,将尸绕点A顺时针旋转90。后,得到AABM,
连接EM,AE,且使得NMAE=45。.
(1)求证:ME=EF;(2)求证:EF2=BE2+DF2.
9.已知:边长为4的正方形ABC。,/瓦IF的两边分别与射线CB、。。相交于点£、F,且NEAP=45。,
连接£咒求证:EF^BE+DF.
图1图2图3
思路分析:
⑴如图1,•.•正方形ABC。中,AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=9Q°,
.•.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADE,则RD、E在一条直线上,
/EAF=度,……
根据定理,可证:
;.EF=BE+DF.
类比探究:
(2)如图2,当点E在线段C8的延长线上,探究EF、BE、。尸之间存在的数量关系,并写出证明过程;
拓展应用:
(3)如图3,在AA8C中,AB=AC,D、E在BC上,ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求线
段3。、DE、EC围成的三角形的面积.
10.如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2百,AC,8。相交于点。.
(1)求边4B的长;
(2)求/BAC的度数;
6
(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形A8C£>的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三
角板60。角的两边分别与边2C,相交于点E,F,连接E?判断△A所是哪一种特殊三角形,并说明理
由.
11.(1)如图1,在正方形ABC。中,£是4B上一点,G是上一点,ZECG=45°,求证EG=BE+GD
图1图2
(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形48CD中,AG//BC(8SAG),ZB=90°,AB=BC=12,
E是43上一点,且NECG=45。,BE=4,求EG的长?
12.如图,点E是正方形A8C。的边BC上一点,连接OE,将。E绕着点E逆时针旋转90。,得到EG,过
点G作GF_LCB,垂足为RGHA.AB,垂足为“,连接。G,交4B于/.
(1)求证:AGEF—EDC
(2)求证:四边形是正方形;
(3)求证:ED平分/CEI
13.学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题:
“如图1,在正方形A8CZ)中,ZEAF=45°,求证:EF=BE+DF.,,
小明同学的思路:\•四边形A8C。是正方形,:.AB^AD,ZB=ZADC^90°.
7
把4ABE绕点A逆时针旋转到AADE的位置,然后证明,从而可得EF=£T.
E'F=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.
图1图2图3图4
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:
如图2,在四边形ABC。中,AB=AD,/8=/。=90。,ZEAF=^ZBAD,直接写出EF,BE,。尸之间的
数量关系.
(2)【应用】如图3,在四边形ABC。中,AB=AD,ZB+ZD=180°,NEAF=;NBAD,求证:EF=BE+
DF.
(3)【知识迁移】如图4,四边形A8PC是。O的内接四边形,8c是直径,AB=AC,请直接写出EB+PC与
A尸的关系.
8
专题02全等三角形中的半角模型
【模型展示】
特点
过正方形ABCD顶角顶点(设顶角为A),引两条射线且它们的夹角为手;这两条射线与
过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条
相关直线及顶角A相关.
【模型证明】
以点A为中心,把AADF(顺时针或逆时针)旋转角A度,至AABF;
解决方法
1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';
2、△AEF全等于△AEF',EF=EF'7BE+EF=EF;
结论3、MN-^BM2+DN2-,
4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半;
5、点A到EF的距离等于正方形的边长(AB)。
应用环境1:顶角为特殊角的等腰三角形,如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;
9
2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形;
3:过底角顶点的两条相关直线:底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角
平分线,底角的邻余角另外两边等;正方形或棱形的另外两边;
4:此等腰三角形的相关弦.
【模型拓展】
10
图4
证明:如图4中,将AN绕点A顺时针旋转90。,N点落在N'处,连接AN'、BN'、MN\
ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,
且AM=AM,AN=AN',
AMAN5AMAN(SAS),
.,.MN=MN',
又/ADN=45°=NABN',ZABD=45°,
.•./MBN'=NABD+NABN'=45°+45°=90°,
在RtAMBN'中,MN,2=BM2+BN,2,
即MN2=BM2+BN,2=
结论③:图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。
证明过程见证明①中时4FAE^AF5AE即可。
结论④:图1、2中=S故BE+S@DF°
图5
证明:如图5中,过A点作AH_LEF于H点,由结论③可知:ZAEH=ZAEB,
且NAHE=NABE=90°,AE=AE,AAEBAAEH(AAS),
;.AH=AB=AD,进而可以"i正明△AHF^AADF(AAS),
SAAEF=SMHE+^AAHF=^AABE+MDF•
【题型演练】
11
一、单选题
1.如图,四边形A3C£>内接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、/分另1J为2C、C£>上一点,/EAF=30°,
EF=3,DF=\.则BE的长为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】延长CB到X,使BH=DF=1,连接AH,则可证得△AB8丝从而ZBAH=ZDAF,
易证AAHE丝△ABE,可得HE=EF=3,则可求得BE的长.
【详解】延长CB到H,使BH=DF=1,连接AH,如图
四边形ABCD内接于<3。
AZABC+ZADC=180°
VZABH+ZABC=180°
ZABH=ZADF
在△ABH和△AOP中
AB=AD
<ZABH=ZADF
BH=DF
:.AABH沿AADF
:.AH=AF,ZBAH=ZDAF
VZJ3AD+ZBCD=18O°,ZBCD=U0°
:.ZBAD=1SO°-ZBCD=6Q°
12
VZEAF=30°
ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=3Q
:.ZEAH=ZBAE+ZBAH=30°
在^AHE和八AFE中
AH=AD
,ZEAH=ZEAF
AE=AE
:.AAHE^AAFE
:.HE=EF=3
:.BE=HE-BH=3-1=2
故选:B
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,全等三角形的判定与性质,构造辅助线得到全等三角形的问题
的关键与难点.
2.如图,点〃、N分别是正方形ABC。的边8C、CD上的两个动点,在运动过程中保持/MAN=45。,连
接EN、相交于点。,以下结论:①A/N=BM+DN;②8炉+。尸2=£/;③BC?=BF・DE;®0M=72OF
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得BM=DM',ZBAM=ZDAMt,ZMAAf=90°,ZABM=ZADM=90°,
由“SAS”可证△AMNg/XAMW,可得MN=NM,,可得MN=BM+DN,故①正确;由“SAS”可证△AEF^:/\AED',
可得EF=DE,由勾股定理可得^^+刀尸二石尸;故②正确;通过证明△屈,可得匹=42,可证
ABBF
BC2=DE・BF,故③正确;通过证明点A,点B,点M,点尸四点共圆,NABM=NAFM=90。,ZAMF^ZABF=45°,
NBAM=/BFM,可证MO=&EO,由/8AMW/D4N,可得0E力OF,故④错误,即可求解.
【详解】解:将4绕点A逆时针旋转90°,得到△ADM',将4AQ尸绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD',
:.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM',ZMAM=90°,ZABM=ZADM'=90°,
13
・•・ZAZ)Af+ZA£>C=180°,
・••点AT在直线CD上,
,/ZMAN=45°f
:.ZDAN+ZMAB=45°=ZDAN+ZDAM'=ZM'ANf
:.ZMrAN=ZMAN=45°,
又•:AN=AN,AM=ANff
:・AAMN沿AAM'N(SAS),
:・MN=NM;
:.M,N=M,D+DN=BM+DN,
:,MN=BM+DN;故①正确;
・・•将△AO尸绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD\
:.AF=AD\DF=D'B,ZADF=ZABD'=45O,ZDAF=ZBAD\
:.ZD'BE=90°,
9:ZMAN=45°,
:.ZBAE+ZDAF=45°=ZBAD'+ZBAE=ZD'AE,
:.ZD,AE=ZEAF=45°,
又,;AE=AE,AF=AD\
•••△AEF丝△AE。’(SAS),
;・EF=D,E,
VZ)'E2=BE2+Z)'B2,
:.BE2+DF2=EF2;故②正确;
ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE+45°,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,
:.ZBAF=ZAEF,
又ZABF=ZADE=45°,
JXDAEsXBFA,
.DEAD
••商一正’
又•:AB=AD=BC,
;・BC2=DE・BF,故③正确;
,?ZFBM=ZFAM=45°,
・••点A,点'点M,点尸四点共圆,
14
ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,ZBAM=ZBFM,
同理可求/AEN=90。,ZDAN=ZDEN,
:.ZEOM=45°=ZEMO,
:.EO=EM,
:.MO=42EO,
ZBAM^ZDAN,
:.NBFM手/DEN,
J.EO+FO,
:.0M丰0FO,故④错误,
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,旋转的性质等
知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
二、填空题
3.如图,在R3ABC和RtABC。中,ZBAC=ZBDC=90°,BC=4,AB=AC,ZCBD=30°,M,N分别
在BD,CD±,ZMAN=45°,则△OMN的周长为
【答案】26+2
【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转,得至1必ABE,由旋转得出NNAE=90。,AN=AE,ZABE=ZACD,
15
NEAB=NCAN,求出NEAM=NMAN,根据SAS推出△AEM2△ANM,根据全等得出MN=ME,求出
MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BD+DC,代入求出答案即可.
【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△A3E,如图:
由旋转得:ZNAE=90°,AN=AE,ZABE=ZACD./EAB=/CAN,
•・・N8AC=NO=90。,
NABO+NACO=360。一90°-90°=180°,
・•・ZABD+ZABE=180°,
:.E,B,M三点共线,
•・・NMAN=45。,ZBAC=9Q°,
:.ZEAM^ZEAB^-ZBAM=ZCAN+ZBAM=ZBAC-ZMAN=90°-45°=45°,
:・/EAM=/MAN,
在△AEM和△视“中,
AE=AN
</EAM=/NAM,
AM=AM
:.(SAS),
:.MN=ME,
:,MN=CN+BM,
・・•在RSBCD中,ZBDC=90°,ZCBD=30°,3C=4,
:.CD=^BC=2,BD=JBC,-CD=4^^=25
ADMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=26+2,
故答案为:26+2.
【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用,能正确作出辅助线是解此
题的关键.
4.如图,在边长为6的正方形ABCD内作NE4F=45。,AE交BC于点E,AF交。于点F,连接£F,将
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AADF绕点A顺时针旋转90。得到AABG,若BE=2,贝U的长为
【答案】5
【分析】由题意易得3G=£)£AG=AF,NG4F=90。,则有NG4E=NE4E=45。,然后可证AGAE/AE4E,
则有GE=EF,设GB=DF=x,则有CF=6-x,CE=4,/=x+2,进而根据勾股定理可求解.
【详解】解:•••四边形ABCD是正方形,且边长为6,
CD=BC=6,ZC=ZABC=ZD=90°,
AAL>F绕点A顺时针旋转90。得到AABG,
:.BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,
...点G、B、E三点共线,
ZEAF=45°,
:.ZGAE=ZFAE=45°,
":AE=AE,
:.^GAE^AFAE,
GE=EF,
设G3=Db=x,贝!|有CF=6—尤,CE=4,Eb=x+2,
在Rt&ECF中,由勾股定理可得EC2+CF2=EF2,
即16+(6-尤J=(x+2)’,
解得:x—3,
:.EF=5;
故答案为5.
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理,熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾
股定理是解题的关键.
5.如图,正方形的边长为6,点E,尸分别在边AB,上,若尸是8C的中点,且/即P=45。,
则DE的长为.
17
D
E
B
【答案】2M
【分析】延长8A到点G,使AG=CE,连接。G,EF,利用SAS证明△尸,得NCOb=/GZM,
DG=DF,再证明△(SAS),得GE=EF,设AE=x,则2£=6-x,EF=x+3,再利用勾股定理解
决问题.
【详解】解:延长BA到点G,使AG=CF,连接。G,EF,
":AD=CD,ZDAG=ZDCF,
:.△AQG丝△CDF(SAS),
:./CDF=NGDA,DG=DF,
;/EDF=45°,
ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+ZCDF=A5°,
,:DE=DE,
.MGDE咨4FDE(SAS),
:.GE=EF,
:产是BC的中点,
:.AG=CF=BF=3,
设AE=尤,贝!iBEnG-x,EF=x+3,
由勾股定理得,(6-x)2+32=(x+3)2,
解得x=2,
18
:.AE=2,
DE=4AD2+AE2=V62+22=2A/10,
故答案为:2M.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,熟练掌握半角模型
的处理策略是解题的关键.
三、解答题
6.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB,8c边上的点,且/即尸=45。.将4D4E绕点D逆时针旋转90°,
得到△DCM.
(1)求证:EF=FM
(2)当AE=1时,求EF的长.
A_D
bFCM
【答案】⑴见解析;(2)
【分析】(1)由折叠可得为直角,可得出尸=90。,由NEL甲=45。,得到/A/DF
为45。,可得出再由。尸=。尸,利用SAS可得出三角形。与三角形用全等,由全等三
角形的对应边相等可得出EF=MF;
(2)由第一问的全等得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用A2-AE求出防的长,再由BC+CM求出
的长,iSEF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形BEP中,利用勾股定理列出关于x的
方程,求出方程的解得到x的值,即为跖的长.
【详解】逆时针旋转90。得到△DCM,
:.DE=DM,ZEDM=9Q°,
:.ZEDF+ZFDM=90°,
Z££)F=45°,
ZFDM=ZEDM=45°,
,/DF=DF,
:.ADEF迫ADMF,
:.EF=MF
19
(2)设EFr,
':AE=CM=1,
JBF=BM-MF=BM-EF=4-x,
EB=2,
在R3EBF中,由勾股定理得£5?+5产=阱2,
即22+(4-x)2=/,
解得,x=|.
7.已知,如图所示,正方形A3CD中,E,歹分别在边BC,8上,且NE4F=45。,AE,AF分别交SD
于H,G,连EF,求证:
①DF+BE=EF®DG2+BH2=HG2.
【答案】见解析
【分析】①把△ABE逆时针旋转90。得到△ADG,根据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,再根据NEAF=45。
求出NFAG=45。,然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,
即EF=GD+FD,即可证明EF=BE+DF;
②把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,根据旋转的性质得到/NAE=NEAF,根据全等
三角形的性质得到GH=GN,求得/NBG=NABN+NABG=45o+45o=90。,根据勾股定理得到BG2+HD2=GH2;
【详解】①如图,把△ABE逆时针旋转90。得到△ADM,
20
ABE=MD,AE=AM,
•・・ZEAF=45°,
・•・ZFAM=90°-45°=45°,
:・NEAF二NFAM,
在^AEF和△AMF中,
AE=AM
<ZEAF=ZFAM,
AF=AF
:.AAEF^AAMF(SAS),
AEF=MF,
即EF=MD+DF,
・・・BE+DF=EF;
②如图,把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,
・・・BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,ZABN=ZADH,
NEAF=45。,
・•・ZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45o=45°,
・•・ZNAE=ZEAF,
在^ANG和^AGH中,
AN=AH
<ZNAG=ZEAF,
AG=AG
AAAGN^AAGH(SAS),
・・・GH二GN,
在正方形ABCD中,ZABE=ZADH=45°,
・•・ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45o=90°,
/.BG2+BN2=NG2,
即BG2+HD2=GH2.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质;熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键.
8.如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,将方绕点A顺时针旋转90。后,得到△的1,
连接EM,AE,且使得NM4E=45。.
21
AD
BC
(1)求证:ME=EF;(2)求证:EF2=BE2+DF2-
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)直接利用旋转的性质证明△AME四△AFE(SAS),即可得出答案;
(2)利用(1)中所证,再结合勾股定理即可得出答案.
【详解】证明:(1)•・•将厂绕点A顺时针旋转90。后,得到△河1,
:.MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,
,\MA±AFf
•.・ZMAE=45°,
:.ZEAF=45°,
.\ZMAE=ZFAE,
在^AME和AAFE中
AM^AF
</MAE=NFAE,
AE=AE
:.^AME=^AFE{SAS),
:.ME=EF;
(2)由(1)得:ME=EF,
在RLJWBE中,MB2+BE2=ME1,
又:MB=DF,
EF2=BE2+DF2.
【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,正确得出
AAME^AAFE是解题关键.
9.已知:边长为4的正方形ABC。,NEA尸的两边分别与射线CB、。。相交于点£、F,且NEAP=45。,
连接ER求证:EF=BE+DF.
22
图1图2图3
思路分析:
⑴如图1,:正方形ABC。中,A8=A。,ZBAD^ZB^ZADC=90°,
.•.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△AOE,则RD、E在一条直线上,
ZE'AF=度,……
根据定理,可证:AAEFQXAEF.
:.EF=BE+DF.
类比探究:
(2)如图2,当点E在线段CB的延长线上,探究ERBE、。尸之间存在的数量关系,并写出证明过程;
拓展应用:
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,D、£在8C上,ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求线
段3D、DE、EC围成的三角形的面积.
【答案】(1)45
Q)DF=BE+EF,证明见解析
(3)2
【分析】(1)把AA5E绕点A逆时针旋转90。至AADE,则尸、D、E'在一条直线上,MDE且ABE,再证
AAEF^AAE'F,得EF=£T,进而得出结论;
(2)将AABE绕点A逆时针旋转90。得到A4EE,由旋转的性质得A4DE2A4BE,再证A4£F名△AEN,得
E'F=EF,进而得出结论;
(3)将AABZ)绕点A逆时针旋转得到AACD',连接EZ7,则AACDNAABD,得CD=BD,因此
r
S44BC=S四边舷WCD=14,同(2)得皿比学工ADE,贝I£)石=。'石,SAADE=^^AD'E=6,得BD、DE、召C围成的
三角形面积=S,mc,即可求解.
(1)
解:如图1,「正方形ABCD中,AB^AD,ZBAD^ZB^ZADC=90°,
23
把4ABE绕点A逆时针旋转90。至AADE,
图1
则GD、E在一条直线上,MDEmLABE,
:.DE'=BE,ZDAE'=ABAE,AE'=AE,
:.ZE'AE=ZEAD+ZDAE'=ZEAD+ZBAE=ZBAD=9Q°,
则ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45°,
:./EAF=NEAF,
:.^AEF^/\AE'F(SAS),
E'F=EF,
E'F=DE'+DF,
:.EF=BE+DF.
故答案为:45;
(2)
解:DF=BE+EF理由如下:
将八ABE绕点A逆时针旋转90。得到△ADE3
图2
:.XMJE恰&ABE,
:.AE=AE',BE=DE',/DAE'=/BAE,
:.ZE'AE=ZBAE+ZE'AB=ZE'AD+ZE'AB=ZBAD=90°,
则ZEAF=ZE'AE-/EAF=45°,
24
ZEAF=NE4尸=45。,
在△AE尸和△AE歹中,
AE=AEr
</EAF=ZEAF,
AF=AF
:.AAEF^AAErF(SAS),
:.E'F=EF,
*/DF=DE+EF,
;・DF=BE+EF;
(3)
解:将△ABO绕点A逆时针旋转得到^ACDf,连接瓦),
图3
则4ACDf^AABD,
:・CD'=BD,
•,^MBC=S四边形">,8=14,
同(2)得:AADE0△AD'E(SAS),
DE=D'E>SAADE=^^AD,E=6,
:.BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、DE、EC围成的三角形面积S皿0=S四边彩"广工磔^位/=2.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形
和三角形面积等知识,本题综合性强,解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形,
属于中考常考题型.
10.如图1,在菱形ABC。中,AC=2,BD=2C,AC,8。相交于点。.
⑴求边48的长;
(2)求NA4c的度数;
(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形ABC。的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三
角板60。角的两边分别与边BC,C。相交于点E,F,连接EF.判断AAEE是哪一种特殊三角形,并说明理
由.
25
【答案】(1)2;(2)60°;(3)见详解
【分析】(1)由菱形的性质得出OA=1,0B=6,根据勾股定理可得出答案;
(2)得出△ABC是等边三角形即可;
(3)由△ABC和△ACD是等边三角形,利用ASA可证得△ABEgZ\ACF;可得AE=AF,根据有一个角
是60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.
【详解】解:(1)•四边形ABCD是菱形,
;.AC_LBD,
.♦.△AOB为直角三角形,且OA=』AC=1,OB=-BD=y/3.
22
AB=y/OA'+OB2=JF+(同=2;
(2)•.•四边形ABCD是菱形,
;.AB=BC,
由⑴得:AB=AC=BC=2,
AABC为等边三角形,
ZBAC=60°;
(3)△AEF是等边三角形,
•・•由(1)知,菱形ABCD的边长是2,AC=2,
・•・AABC和^ACD是等边三角形,
JNBAC=NBAE+NCAE=60。,
ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,
ZBAE=ZCAF,
在^ABE和^ACF中,
ZBAE=ZCAF
<AB=AC
ZEBA=ZFCA
:.AABE^AACF(ASA),
26
,AE=AF,
,/ZEAF=60°,
...△AEF是等边三角形.
【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质以及图形的旋转.解题的
关键是熟练掌握菱形的性质.
11.(1)如图1,在正方形ABCZ)中,E是上一点,G是AD上一点,ZECG=45°,求证EG=BE+GO.
图1图2
(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形ABC。中,AG//BC(BC>AG),NB=9Q°,AB=BC=12,
E是AB上一点,且NECG=45。,BE=4,求EG的长?
【答案】(1)证明见解析;(2)EG=10.
【分析】(1)延长AD至R使DF=BE,连接CF,根据正方形的性质,可直接证明△从而
得出根据/GCE=45。,得NGCF=NGCE=45。,利用全等三角形的判定方法得出
△ECG^AFCG,即GE=GF,即可证出EG=BE+GD;
(2)过C作CO_LAG,交AG延长线于。,则四边形A8CD是正方形,设EG=x,则AE=8,根据(1)可
得:AG=16-x,在直角AAGE中利用勾股定理即可求解.
【详解】(1)证明:如图3所示,延长AD至F,使。尸=2£,连接CE
图3
•..四边形A8CO是正方形,
:.BC=DC,ZABC^ZADC=ZBCD=90°,
":ZCDF=ISO°-ZADC,
:.ZCDF=90°,
:.ZABC=ZCDF,
27
•:BE=DF,
:AEBC^工FDC,
:・/BCE=/DCF,EC=FC,
':ZECG=45°,
.•.ZBCE+ZGC£>=90°-ZECG=90o-45o=45°,
JZGCD+ZDCF=ZFCG=45°,
:.ZECG=ZFCG.
•;GC=GC,EC=FC,
AAECG^AFCG,
:.EG=GF.
;GF=GD+DF=BE+GD,
:.EG=BE+GD.
(2)解:如图4,过。作COLAG,交AG延长线于。,
在直角梯形A5CG中,
,:AGHBC,ZA=ZB=90°,
XZCDA=90°,AB=BC,
・•・四边形A5c。为正方形.
:.AD=AB=BC=12.
已知NECG=45。,根据(1)可知,EG=BE+DG,
设EG=x,贝ljAG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x,
:.AE=12-BE=12-4=S.
在RtXAEG中
9:EG2=AG2^AE\
即/=(16-x)2+82,
解得:x=10.
28
:.EG=10.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质,注意每个题目之间的关系,正确作出辅
助线是解题的关键.
12.如图,点E是正方形ABC。的边2C上一点,连接DE,将。E绕着点E逆时针旋转90。,得到EG,过
点G作GFLCB,垂足为RGHLAB,垂足为X,连接。G,交A3于/.
⑴求证:4EF三&EDC
(2)求证:四边形BPG//是正方形;
(3)求证:ED平分/CEI
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1)先证明/FEG=NEOC,即可利用A4S证明全等;
(2)首先证明四边形EBHG是矩形,再证明FB=fG即可解决问题;
(3)延长BC到J,使得CJ=A/.证明△">E也△〃)£1(SAS)即可解决问题.
(1)
•..四边形ABCD是正方形,
:.BC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90°,
'JGFLCF,GHA,AB,
:.GHB=ZFBH=90°,
.••四边形E3HG是矩形,
•:ED=EG,ZDEG=90°,
':ZDEC+ZFEG=9O°,ZDEC+ZEDC=9Q°,
:.ZFEG=ZEDC,
在八£)。石和4EFG中
29
ZF=ZDCE
</FEG=/EDC
GE=DE
:.LDCE•dEFG(AAS),
(2)
ADCE^AEFG
:・FG=EC,EF=CD,
•:CB=CD,
:・EF=BC,
:・BF=EC,
:・BF=GF,
•・•四边形尸BUG是矩形
・•・四边形尸5HG是正方形.
(3)
延长3C到J,使得C7=A/.
9
\DA=DC,ZA=ZDCJ=9009AI=CJ,
:•△DA/也△DC/(SAS),
:.DI=DJ,ZADI=ZCDJ,
:.ZIDJ=ZADC=90°,
「ZZ£)E=45°,
I.ZEDI=ZEDJ=45°,
•:DE=DE,
:.AIDE^AJDE(SAS),
・•・ZDEI=ZDEJ,
;・DE平分N/EC.
【点睛】本题
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