中考数学难点突破与训练：二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题（含答案及解析）

专题28二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，二次函数y=—2x的图象与x轴交于点4O,点P是抛物线上的一个动点，且满足SA“=3,

则点P的坐标是()

A.(-3,-3)B.(1,-3)C.(-3,-3)或(1,-3)D.(-3,-3)或(-3,1)

2.如图，在,ABC中，ZC=90°,AC=5,3c=10,动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A

开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度

移动.设运动的时间为f,点M、C之间的距离为y,的面积为S,则y与t,S与1满足的函数关系

分别是()

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

3.如图，二次函数y=-/+2无+加+1的图象交x轴于点A(a,0)和8(6,0),交y轴于点C,图象的顶

点为。.下列四个命题：

①当x>0时，y>0；

②若a=-1,则6=4；

③点C关于图象对称轴的对称点为E,点加为x轴上的一个动点，当机=2时,△MCE周长的最小值为2如；

④图象上有两点尸(尤/,山)和。(了2，了2)，若如<1<尤2，且尤/+尤2>2,则以>>2，

其中真命题的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知点(%,%)是二次函数y=办Z+6x+c(a#0)的图象上一个定点，而(m,n)是二次函数图象上动

点，若对任意的实数加，都有贝U()

A.-2b=0B,ax0+2b-0C.2ax0-b-0D.2ax0+b-0

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+6x+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0),

若尸是x轴上一动点，点。的坐标为(0,T),连接PD则应PO+PC的最小值是()

32

A.4B.2+2A/2C.2^2D.—+—V2

6.如图，已知二次函数y=o?+"的图象与一次函数丁=履的图象交于点A,O,过线段AO上一动点E

作直线EF，x轴交抛物线于点E则线段EF的最大值为()

(~)2b-k

B.D.------

4a2aa

7.在平面直角坐标系中,二次函数产。/+法+2的图象与％轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交

于点C.点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使AACP的面积最大，则点尸的坐标为()

2

8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点8（0,

-3）,若尸是x轴上一动点，点。（0,1）在y轴上，连接PD,则后PO+PC的最小值是（)

D.|+|近

A.4B.2+20C.2亚

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点8,

若尸是x轴上一动点，点。（0，2）在y轴上，连接尸。，则尸Q+?PC的最小值是（）

A.6B.2+—^2C.2+3A/2D.3^2

10.已知二次函数丁=-2/+3%+2与％轴交于A,8两点，与y轴交于点C.下列说法正确的是（）

①线段AC的长度为姮；②抛物线的对称轴为直线％=：；③尸是此抛物线的对称轴上的一个动点，当尸

24

点坐标为1不?■）时，|丛-尸。的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果

以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个.

3

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

二、填空题

11.一动点P在二次函数尤+J的图像上自由滑动,若以点「为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切,

424

则点尸的坐标为.

12.“一切为了V是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌.已知线段A3,对于坐标平面内的

一个动点尸，如果满足NAP3=30。，则称点P为线段A3的“U点”，如图，二次函数y=gd+3无+|与无轴

交于点A和点脱（1）线段A3的长度为；（2）若线段A3的“点落在y轴的正半轴上，则该“U

点”的坐标为.

13.如图，二次函数y=*_4与无轴交于两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点。坐标为（0,

2）,以。点为圆心，R为半径作圆，P为。。上一动点，当△APC面积最小为5时，则R=.

4

14.如图，设定点A(1,-6)，点尸是二次函数y=；(x+5y+G图象上的动点，将点尸绕着点A顺时

针旋转60。，得到一个新的点P.已知点8(2,0)、C(3,0).

(1)若点尸为(-5,6),求旋转后得到的点P，的坐标为

(2)求48cp的面积最小值为.

三、解答题

15.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-l)2与直线产-x-1交于A、B两点，其中点8的坐标为

(0,-1),抛物线的顶点C在x轴上.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点P为线段A2上的一个动点(点P不与A、3两点重合)，过点

P作PE轴交抛物线于点E,设线段PE的长为力，点尸的横坐标为f,当f取何值时，h有最大

值？最大值是多少？

(3)点。为直线AB与对称轴x=l的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四

5

边形？若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-V+bx+c的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点

坐标为(4,0),B点坐标为连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒后个单位长度

向点C做匀速运动；同时，动点。从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当

其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ,设运动时间为f秒.

(1)求二次函数的解析式.

(2)在尸、。运动的过程中，当f为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点使△加尸。是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,

请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线＞=gx-2与X轴交于点8,与y轴交于点C,二次函数y=+fcv+c

的图象经过8,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点。在直线8C下方的二次函数图象上.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接。C,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值.

18.二次函数、=加+桁+3的图象与x轴交于4(2,0),3(6,0)两点，与，轴交于点C,顶点为E.

6

图②

(1)求这个二次函数的表达式:

(2)如图①，O是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当8。的垂直平分线恰好经过点C时，求点。的坐

标;

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接0P,取0P中点。，连接QC,QE,CE,当VCE。的

面积为12时，求点尸的坐标.

19.二次函数y=«?+bx+3的图象与x轴交于4(2,0),*6,0)两点，与>轴交于点C,顶点为E.

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图，点尸是图象对称轴右侧抛物线上的一个动点，连接。尸，取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当

SCE°=12时，求点P的坐标.

20.如图，己知二次函数丁=依2+法+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(-3,0),与y轴的正半轴交于

点C.

7

(1)求二次函数y=ax2+法+3的表达式；

(2)点O是线段。3上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点、E,与抛物线交于点R连接CF,探

究是否存在点。使得△CE尸为直角三角形？若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点尸在二次函数图象上，是否存在以尸为圆心，血为半径的圆与直线相切，若存在，求点尸的坐

标；若不存在，说明理由.

21.如图，二次函数>=加+次+。(存0)的图象交x轴于A、8两点，交y轴于点。，点B的坐标为(3,0),

顶点C的坐标为(1,4).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点尸是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点当点尸在第一象限时，求线段

长度的最大值；

(3)在抛物线上是否存在点。，且点Q在第一象限，使△3。。中3。边上的高为血？若存在，直接写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图1,己知二次函数广尔+法+c的图象的顶点为。(0,1),且经过点4(2,2).

8

D/

O

图1

(1)求二次函数的解析式

(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为8,与y轴交于点C,若一3DC的面积是△ADC的两倍，求

直线A8的解析式；

(3)如图2,已知E(〃z,O),是x轴上一动点(E,。不重合)，过E的两条直线乙，4与二次函数均只有一个

交点，且直线乙，4与y轴分别交于点M、N.对于任意的点E,在y轴上(点M、N上方)是否存在一点F(O,f),

使AFEMsAFNE恒成立.若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

23.如图，抛物线y=-d+6x+c与无轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,且点8与点C的坐标分别

(1)求二次函数的关系式；

(2)点尸为线段上一个动点，过点「作也>，了轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,试判断S有

最大值或最小值？并说明理由；

(3)在MB上是否存在点尸，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点尸的坐标；如果不存在，请

说明理由.

24.如图，若二次函数>=办2+岳；+4的图象与尤轴交于点A(-1,O)、3(4,0),与V轴交于点C,连接BC.

9

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若点。是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K,使以点2、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩

形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，已知抛物线经过点A(T0),3(3,0),C(0,3)三点，点D是直线绕点8逆时针旋转90。后与丁

轴的交点，点M是线段A3上的一个动点，设点〃的坐标为(办0),过点M作x轴的垂线交抛物线于点E,

交直线BD于点F.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；

(2)在点M运动过程中，若存在以所为直径的圆恰好与y轴相切，求加的值；

(3)连接AC,将A4OC绕平面内某点G旋转180。后，得到AAOG，点A、。、C的对应点分别是点4、。1、

G，是否存在点G使得A4OC旋转后得到的AAQ£的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出G点的坐

标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数了=-/+桁+。的图象与x轴交于A、3两点，与y轴交于C(0,3),

A点在原点的左侧，8点的坐标为(3,0).点尸是抛物线上一个动点，且在直线2C的上方.

10

y,

(i)求这个二次函数及直线BC的表达式.

(2)过点P做PD//y轴交直线于点。，求尸。的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N,使二为等腰直角三角形，且NWO为

直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

27.次函数丫=改2+H+2的图象交x轴于点A(―1,0),B(4,0),两点，交y轴于点C,动点M从点A

出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作MNLx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,

连接AC,设运动的时间为f秒.

(1)求二次函数、=幺2+bx+2的表达式；

3_

(2)连接B。，当时，求AOVB的面积；

(3)在直线上存在一点P,当△P8C是以N3PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点尸的坐标.

28.如图，已知抛物线经过点A(-l,0),8(4,0),C(0,2)三点，点。与点C关于x轴对称，点P是线段

AB上的一个动点，设点尸的坐标为(必，0),过点尸作无轴的垂线/交抛物线于点。，交直线8。于点

11

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)在点P运动过程中，是否存在点。，使得ABOM是直角三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在,

请说明理由；

(3)连接AC,将AAOC绕平面内某点“顺时针旋转90。，得到△AQG，点A、。、C的对应点分别是点4、

。1、G、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐

点”的个数和点4的横坐标.

29.已知二次函数y=a/+bx+3的图像和x轴交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点C、D(0,-1).

(1)求二次函数解析式；

(2)在线段AC上方的抛物线上有一动点P,直线PC与直线3。交于点0,当ABIQ面积最大时，求点尸的

坐标及A面积的最大值；

(3)在(2)条件下，将抛物线y=ox2+/>x+3沿射线AC平移2垃个单位长度，得到新二次函数y=ar2+6x+c,

点R在新抛物线对称轴上，在直线y=-0尤上有一点S,使得以点P,D,R,S为顶点的四边形是平行四

边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程.

12

专题28二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，二次函数y=—2x的图象与x轴交于点4O,点尸是抛物线上的一个动点,

且满足SA.P=3,则点尸的坐标是()

A.(-3,-3)B.(1-3)C.(-3,-3)或(1,一3)D.(-3,-3)或(一3,1)

【答案】C

【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于04是定长，根据AAOP的面积

即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得尸点的坐标.

【详解】解：抛物线的解析式中，令y=0,得：-/-2工=0,解得尤=0,x=-2；

/.A(-2,0),0A=2；

,：SAAOP=^OA>\yP\=3,：.|vP|=3；

当P点纵坐标为3时，-X2-2X=3,X2+2X+3=0,A=4-12<0,方程无解，此种情况不成

立；

当P点纵坐标为-3时，-X2-2X=-3,X2+2X-3=0,

解得x=l,x=-3；

/.P(1,-3)或(-3,-3)；

故选：C.

【点睛】能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键.

2.如图，在一中，NC=90。，AC=5,3c=10,动点M、N分别从A、C两点同时出

发，点〃从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB

向点B以每秒2个单位长的速度移动.设运动的时间为点M、C之间的距离为y,AMCN

的面积为S,则y与f,S与,满足的函数关系分别是()

13

A

/

BNC

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

【答案】D

【分析】求出y与f,S与/满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可.

【详解】解：由题意得，AM=t,CN=2t,

：.MC=AC-AM=5-t,

即y=5-t,

：.S=^MC'CN=5t-t2,

因此y是f的一次函数，S是f的二次函数，

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，

求出y与3S与r的函数关系式是正确判断的关键.

3.如图，二次函数y=-r+2x+〃?+l的图象交X轴于点A（a,0）和B（b,0）,交y轴于

点C,图象的顶点为/）.下列四个命题：

①当尤>0时，j>0；

②若a=-1,则b=4；

③点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为x轴上的一个动点，当机=2时，AMCE周

长的最小值为2而；

④图象上有两点尸（尤/,>7）和。（尤2，y2），若无7<1<尤2，且X/+X2>2,则”>以，

其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】①错误，由图象可知当时，y>0；②错误，当。=-1时，b=3；③错误,

△MCE的周长的最小值为2a+2；④正确，函数图象在尤>1时，y随x增大而减小，则

y2<yi.

14

【详解】解：①当a<x<6时，二次函数图象在x轴上方，则y>0,故①错误;

b2

②元--2x(-1)-1,

...当a=-1时，b=3,故②错误；

③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点£,连接MELCE',如图所示:

当m=2时，C(0,3),E(2,3),

E'与E关于x轴对称，

/.E'(2,-3),

.♦.△MCE的周长的最小值就是C、M,E'三点共线时取到为CE'+CE=2ji6+2,

...△MCE的周长的最小值为29+2,故③错误；

④设方关于对称轴的对称点占',

x/=2-xi,

V%7+X2>2,

；・X2>■力+2,

,•X2>Xyf

U：X1<1<X2,

/.X7<1<x/<X2,

,・,函数图象在x>l时，y随x增大而减小，

：.y2<yi,则④正确；

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌

握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴

题.

15

4.已知点（%,为）是二次函数y=以2+"+。（存0）的图象上一个定点，而（m,n）是二次

函数图象上动点，若对任意的实数处者B有，（%-〃）＜0,贝！J（）

A.ax。-2b=0B.+2b=0C.2axQ-b=0D.2ax0+b=0

【答案】D

【分析】对任的实数相，有即当。＞0时，对任的实数相，y0-n＜0；当。＜0

时，对任的实数y0-n＞0;综上可知（七,为）为二次函数的顶点，再根据顶点的横坐标

与对称轴的值相等，据此即可求解.

【详解】解：••,对任的实数加，有）4。，

...当。＞0时，对任的实数HI,yo-n＜o.

当。＜0时，对任的实数优，y0-n＞0.

综上：（%％）为二次函数的顶点，

,,b

故/=一丁，

2a

2a+b~~0.

故选：D.

【点睛】此主考二次数的性质和图像，解题的关键是熟知二次函数的图形与性质，并据此判

断出（1,为）为二次函数的顶点.

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-尤2+法+3的图像与苫轴交于4、C两点，与

x轴交于点C（3,0）,若P是x轴上一动点，点。的坐标为（0,T）,连接尸£）,则&PD+PC的

最小值是（）

A.4B.2+2A/2C.2^2D.—+—V2

【答案】A

【分析】过点P作PJLBC于J,过点D作DH±BC于H,根据

42PD+PC=41PD+^PC^=y/2（PD+PJ）,求出。尸+/V的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接BC,过点尸作PJ±BC于J,过点。作DHLBC于H.

16

・・,二次函数》=-f+法+3的图像与1轴交于点C(3,0),

:・b=2,

・)二次函数的解析式为y=—九2+2工+3,令y=0,-N+2X+3=0,

解得x=-1或3,

・・・A(-1,0),

令x=Oy=3,

：.B(0,3),

：.OB=OC=3,

VZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

U：D(0,-1),

・・・OD=1,BD=4,

VDHlBa

：.ZDHB=90°,

设。”=无，贝lj5H=x,

•；DH'BH?=BU，

x2+X2=42,

x=2V2，

DH=20，

'CPJLCB,

，NPJC=90°,

,.插PD+PC=6PD+—PC=sf2(PD+PJ),

、2J

:DP+PJ>DH,

DP+PJN2亚，

..DP+PJ的最小值为2应，

17

y/2PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，得到NOBC=NOCB=45。，是解题的关键.

2

6.如图，已知二次函数＞=存2+"的图象与一次函数＞=质的图象交于点A,0,过线段

AO上一动点E作直线EFJ_x轴交抛物线于点F,则线段EF的最大值为（）

2

A*-b）2R*一4rbb-k

4〃2a4aa

【答案】A

【分析】先联立二次函数和一次函数的解析式得出点A的坐标,再设点E的坐标为E（m,knf）,

由二次函数的解析式可得点F的坐标为F{m,anr+bm）,从而可得EF的值和m的取值范围，

然后根据二次函数的性质求解即可得.

【详解】由二次函数y=依2+区的图象可知，a＞0

k-b

y=ax2+bx5—afx=0

联立,，解得上（严］

y=kxZ-by=0

a

则点A的坐标为A（一,U^2）

aa

k—b

设点E的坐标为石O,初0,则----＜加＜0,点F的坐标为尸（九。根之+匕加）

a

EF=km-am2-bm=-a（m-———）2+——幺一

2a4Q

此二次函数的增减性为：当'时，EF随m的增大而增大；当小〈机＜。，

a2a2a

EF随m的增大而减小

则当加=与a时，EF取得最大值，最大值为出左

2a4。

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（增减性）等知识点，依据题意求出EF的表达

式和m的取值范围是解题关键.

18

7.在平面直角坐标系中，二次函数产加+板+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)

两点，与y轴交于点C点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，若点尸使△ACP的面积最大，

则点P的坐标为()

【答案】A

【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PG〃y轴交AC于点

2422(VQ

23

G,设尸(心—2)，贝!JGQt,—z+2),求出PG=——-^—2t，可得SACP=——H—,

a

进而可得当£时，S.尸有最大值，问题得解.

9a-3Z?+2=0

【详解】解：将点A(-3,0),B(1,0)代入＞=以2+"+2中，得

a+b+2=Q

2

a-——

3

解得：

3

24

，二次函数解析式为y=-寸+2,

24

令x=0,贝ijy=——X2——x+2=2,

33

：.C(0,2),

设直线AC的解析式为y=iwc+n,

—3m+n=0

代入A(-3,0),C(0,2)得

n=2

2

,,m=一

解得＜3,

n=2

2

・・・直线AC的解析式为尸铲+2,

过点尸作PG〃丁轴交AC于点G,

2c42

设尸(/,———t+2),则G(3§/+2),

19

29242292

：.PG=——t——1+2——1-2=——t-2tf

3333

22

.・・sACP=|pG-OA=1x^-|/-2^x3=-r-3/=-^+|^|+',

335

**•当t=时，SACP有最大值，此时P（，—）»

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表

示出PG的长是解答本题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y

轴交于点2(0,-3),若P是无轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接尸。，则

32

A.4B.2+20C.272D.-+-72

【答案】A

【分析】过点尸作PJL2C于J,过点。作。于"根据

V2PD+PC=A/2PD+^PC^=y/2{PD+PJ),求出DP+/V的最小值即可解决问题.

【详解】解：过点尸作PJLBC于J,过点。作于

20

y

D

•..二次函数y=f-2x+c的图象与y轴交于点8(0,-3),

；・c=-3,

J二次函数的解析式为y=--2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-1或3,

・・・A(-1,0),B(0,-3),

・・.O5=OC=3,

•・・ZBOC=90°,

；・/OBC=/OCB=45。,

9：D(0,1),

・・・OD=1,BD=4,

'JDHLBC,

；・/DHB=9。。,

设DH=x>则BH=x,

DH2+BH2=BD2^

；・x2+X2=42,

•**x=242，

,,DH=2.yfz，

■:PJLCB,

：.ZPJC=90°,

y/2PD+PC=42PD+卷PC卜血(PD+PJ),

：DP+PJ>DH,

,.DP+PJN2®，

•・0P+ZV的最〃、值为20，

•・y/2PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

21

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=/+3尤-4的图象与x轴交于A、C两点，与y

轴交于点8,若P是x轴上一动点，点。（0,2）在y轴上，连接尸。，则尸Q+?pc的最

【答案】D

【分析】连接2C,过点P作尸于。，过点。作。女,2c于凡根据

PQ+^PC=PQ+PD,可得。Q+P。的最小值为Q8的长，即可解决问题.

【详解】如图，连接BC,过点尸作尸OLBC于。，过点。作QHLBC于H.

由^=炉+3》-4,令y=0,贝!If+3%-4=0,

解得尤i=-4，尤2=1，

.•C(T,0),4(1,0),

令尤=0,解得y=o,

・•・3(01),

,-.OB=OC=4,

NBOC=90°,

:.ZOCB=ZOBC=45°,

PC=42PD，

22

PQ+:PC=PQ+PDNQH,

当P为。”与无轴交点时P。+2PC最小，最小值为的长，

Q（0,2）,3（0,T）,

二3。=4,

设Q〃=x,则3〃=x,

,/DH2+BH2=BQ2,

x2+%2=62,

••x=3\/2，

/.QH=3y/2,

则PQ+^-PC的最小值是3亚■

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

10.已知二次函数、=-2/+3了+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.下列说法正确

的是（）

①线段AC的长度为姮；②抛物线的对称轴为直线尤=［；③P是此抛物线的对称轴上的

24

一个动点，当尸点坐标为］系2］时，-的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N

是此抛物线上的一个动点，如果以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件

的M点有4个.

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【分析】①求出抛物线与坐标轴的交点A,C的坐标，利用两点间距离求出AC；②根据抛

物线对称轴的求法即可求出对称轴；③延长AC,与直线x交于点P,求出AC的表达式，

4

23

可得点P坐标；④结合图像画出符合条件的平行四边形，从而判断点P的个数.

【详解】解：在丁=一2/+3彳+2中，

令x=0,贝Uy=2,

令y=0,则-2d+3x+2=0,

解得x=-g或2,

2

①正确;

2x(-2)4'

・・・抛物线的对称轴为直线兀=3=,②正确；

4

延长AC,与对称轴交于点P,止匕时|R4-尸。的值最大，

VA0),C(0,2),设直线AC的表达式为：y=mx+n,

0=-—m+n-m=4

则2，解得:

〃=2

2=n

・,・直线AC的表达式为y=4x+2,

3

令x=则y=5,

4

...当点P的坐标为(4,5)时，|R4-PC|的值最大，③错误；

如图，若以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，

当AC为边时，有ACMiNi,ACM2N2,ACM3N3,共3个平行四边形,

当AC为对角线时，有AMCNi，共1个平行四边形，

符合条件的点M有4个，④正确，

故选C.

24

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，最短路径问题，知识点较

多，综合性较强，解题的关键是从图像出发，利用数形结合的思想解决问题.

二、填空题

11.一动点尸在二次函数>=。无2-1工+9的图像上自由滑动，若以点P为圆心，1为半径的

424

圆与坐标轴相切，则点尸的坐标为.

【答案】(-1」)或(3,1)或或0)

【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当尸与x轴相切时，则点尸的纵坐标为1,则得

一元二次方程，解方程即可；②当。尸与y轴相切时，点尸的横坐标为1或-1,则可得点尸

的坐标，综上即可求解.

【详解】解：如图所示：

25

则可分两种情况：

①当尸与无轴相切时，则点尸的纵坐标为1,令人_£+:=1,

424

解得%=-1,x2=3,

此时点尸的坐标为：(-U)或(3,1),

②当尸与y轴相切时，点尸的横坐标为1或-1,则此时点尸的坐标为：(-U)或(1,。)，

综上所述：点P的坐标为：(T」)或(3,1)或(1,0),

故答案为：(-L1)或(3,1)或(1,0).

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用

分类讨论思想解决问题是解题的关键.

12.“一切为了。是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌.已知线段AB,对

于坐标平面内的一个动点P,如果满足/AP3=30。，则称点尸为线段A2的“U点”，如图,

二次函数y=+：与x轴交于点A和点艮(1)线段A3的长度为；(2)

若线段A5的“fT点落在y轴的正半轴上，则该“。点”的坐标为.

【答案】4；(0,26-")或(0,26+甘)

【分析】令>=。，得到;Y+3X+|=0,求得AB两点坐标，即可求得A3的长度，以筋为

边，向上作等边三角形。由，再以。为圆心，以为半径画弧，交y轴于点P,求得。点

坐标，设P(0,M,根据OP=Q4=4求解即可.

【详解】解：令y=。，得到;V+3x+|=。

解得玉=-5,x2=-l,即A(-5,0),8(-1,0)

AB=4,

以AB为边，向上作等边三角形Q45,再以。为圆心，以。4为半径画弧，交》轴于点尸，

如下图：

26

作。。_LAB,则==QD=3,

OD=y]OB2-BD2=2yf3，0（-3,2拘，

设P（0,〃z）,则｛32+（26_利）2=4,

化简可得m2-4拒m+5=0,

解得加=2招士近，

即尸（0,2g—近），尸（0,2g+J7）,

故答案为：4;（0,2g-近）或（0,2石+"）,

【点睛】此题考查了二次函数与坐标的轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，等边三角形

的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解.

13.如图，二次函数＞=/-4与x轴交于两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，

若点。坐标为（0,2）,以。点为圆心，R为半径作圆，尸为。。上一动点，当AAPC面积

【分析】如图，作PH，AC所在直线，垂足为点AC为定值，因此当PH取最小值时,

△APC面积取最小值，连接PC,可知当尸，H,。共线时，AAPC面积最小，根据AAPC

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面积最小为5求出PH,利用sinNDS=H=®求出。贝ljR=DP=//-PW.

ZvC-AC

【详解】解：如图，作灯/，AC所在直线，垂足为点和AC为定值，因此当尸以取最小值

H,。共线时，AAPC面积最小.

:二次函数丁=*-4与x轴交于A3两点（点A在点8左边）,

•••令y=。，得％"TuO,

解得x=2或x=—2,

4-2,0),5(2,0).

令x=0,得y=0—4=-4,

.•.C(OT),

，O4=2,OC=4,

AC=yj0^+0C2=A/22+42=2加■

「△APC面积最小为5,PHVAC,

J.-ACPH=-x2y/5xPH=5,

22

，PH=#>.

VC(0,-4),D(0,2),

/.CD=6,

,：smZDCH=—=—,

DCAC

DH_2

即Bn丁浜

DH=三非,

：.R=DP=DH-PH=三百一下=当

故答案为：。

【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，圆的基本知识,

解直角三角形等，解题的关键确定小APC面积最小时点P的位置.

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14.如图，设定点A(1,-若)，点P是二次函数y=：(x+5)2+不图象上的动点，将点

P绕着点A顺时针旋转60。，得到一个新的点P1已知点8(2,0)、C(3,0).

⑴若点尸为(-5,石)，求旋转后得到的点P的坐标为.

(2)求A的面积最小值为.

【答案】(1,3/)3A/3-1

【分析】(1)由函数关系式求出点尸坐标，过点尸作尸D/x轴，过点B作8OLPD于点。

求出NPBD=60。，故可知P在8。的延长线上，且尸，。=8£)=2百,故可得结论；

(2)连接AB,AC,将8,C绕点A逆时针旋转60。得夕，C,作轴于点H,证明

△CAO^ACAB(SAS),利用待定系数法求出0c的函数表达式为：尸6x,设过尸且与B'C

平行的直线/解析式为产后x+6,由于BC，P,当直线/与抛物线相切时取最小

值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：(1).••y=g(x+5)2+有

.••抛物线的顶点坐标为(-5,6)

...