中考数学难点突破训练：最值问题中的瓜豆原理模型（解析版）

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主

动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，

豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直

线AB上运动，Q的运动轨迹是？

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运

动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

<QMOI

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什

么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹

圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AAMQs^AOP,

QM:PO=AQ:AP=1:2.

---------------------

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、

M、。三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根

据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系

分析轨迹圆半径数量关系.

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

解

决

方

案

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨

迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑APJ_AQ,可得Q点轨迹圆圆

心M满足AMJ_AO;考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可

得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO丝Z\AQM.

如图，AAPQ是直角三角形，/PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆0运动时，Q点轨

迹是？

分析考虑AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;考虑AP:AQ=2:1,可

得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.即可确定圆M位置，任意时刻均有

AAPO^>AAQM,且相似比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论:

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

ZPAQ=ZOAM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,AD=3,点E是A8的中点，点尸是AD边上的

一个动点，将沿EP所在直线翻折，得到二4EF,则4C的长的最小值是（）

A...F_____________D

j/\A,

BC

A.理B.3C.TH-!D.710-1

【答案】D

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，AC的长

取最小值，根据折叠的性质可知AE=1,在R"BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用

CE-AE即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，A'C的长

取最小值，如图所示，

A/。

【二

根据折叠可知：A'E=AE=1AB=1.

2

在RtBCE中，BE=-AB=1,BC=3,^B=90,

2

.-.CE=VBE2+BC2=710，

AC的最小值=CE-AE=诉-1.

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值时

点A，的位置是解题的关键.

2.如图，在R3ABC中，ZABC=90°,NACB=30。，BC=2Q,△ADC与△ABC关

于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,

则CP的最小值为（）

l3

A.1B.J3C.-D.2

2

【答案】D

【分析】连接BD,证明AEDBgZ\FCD,可得/BPD=120。，由于BD的长确定，则点P

在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值.

【详解】解：连接AD,因为/ACB=30。，所以NBCD=60。，

因为CB=CD,所以ACBD是等边三角形，

所以BD=DC

因为DE=CF,ZEDB=ZFCD=60°,

所以△EDBgAFCD,所以/EBD=NFDC,

因为/FDC+NBDF=60。，

所以NEBD+NBDF=60。，所以NBPD=120。，

所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，/ACB=30。，BC=26,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故选D.

【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当

动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值.

3.如图，等腰R3ABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P为AC边上的动点，

OQLOP交BC于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路

A.也万B.叵兀C.1D.2

42

【答案】C

【分析】连接OC,作PELAB于E,MHLAB于H,QFLAB于F,如图，利用等腰直角

三角形的性质得AC=BC=0,ZA=ZB=45°,OC±AB,OC=OA=OB=1,ZOCB=45°,再

证明RtAAOP^ACOQ得至。AP=CQ,接着利用八APE和4BFQ都为等腰直角三角形得到

PE=」IAP=1CQ,QF=，2BQ,所以PE+QF=«2BC=I,然后证明MH为梯形PEFQ的

2222

中位线得到MH=1,即可判定点M到AB的距离为,从而得到点M的运动路线为△ABC

的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.

【详解】连接0C,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如图，

VAACB为等腰直角三角形，

.\AC=BC=^AB=V2-/A=/B=45。，

为AB的中点，

/.OC±AB,OC平分/ACB,OC=OA=OB=1,

.•./OCB=45°,

ZPOQ=90°,NCOA=90°,

.•.ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和4COQ中

ZA=ZOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

.,.RtAAOP二△COQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和小BFQ都为等腰直角三角形，

；.PE=^AP=^CQ,QF=^BQ,

222

；.PE+QF=^(CQ+BQ)=^BC=^x忘=1,

222

VM点为PQ的中点，

AMH为梯形PEFQ的中位线，

.*.MH=1(PE+QF)=|,

即点M到AB的距离为而CO=1,

点M的运动路线为△ABC的中位线，

当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=3AB=1,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计

算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-gx+2上的一个动点，将Q绕点P(l,0)顺

时针旋转90。，得到点。，连接OQ',则OQ'的最小值为()

A.逑B.y[5C.逑D.述

535

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理

并利用二次函数的性质即可解决问题.

0'

设Q(加，-1w+2),则PM="Z，QM=-gm+2，

,/NPMQ=NPNQ，=NQPQ，=90。，

ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

/.ZQPM=ZPQTST,

在小PQM和^QTN中，

ZPMQ=ZPNQ'=90°

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.△PQM四△Q'PN(AAS),

PN=QM=-^m+2,Q'N=PM=m-l,

.•.ON=1+PN=3--7TI,

2

：.Q'(3-^m,1-m),

OQ，2=(3-^/n)2+(l-m)2=m2-5m+10=1-(in-2)2+5,

当m=2时，OQ，2有最小值为5,

，OQ'的最小值为百，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和

性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关

键.

二、填空题

5.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,尸为A3边上的一个动点,

连接斯，以所为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

【答案】|

【分析】由题意分析可知，点歹为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等

关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点/在线段上运动，点G也一定在

直线轨迹上运动

将AEFB绕点E旋转60。，使EF与EG重合，得至“AEFB三AEHG,

从而可知AEB”为等边三角形，点G在垂直于"E的直线上，

作CM_LMV,则CM即为CG的最小值，

作可知四边形HEP做为矩形，

135

贝！］CM=MP+CP=HE+-EC=1+-=-.

222

故答案为"•

2

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出

点G的运动轨迹，是本题的关键.

6.如图，等边三角形ABC中，AB=4,高线AH=2后，。是线段AH上一动点，以BD为边

向下作等边三角形BDE,当点。从点A运动到点”的过程中，点E所经过的路径为线段

CM,则线段CM的长为,当点。运动到点〃，此时线段2E的长为

【分析】由"&4夕可得△A8D也△CBE,推出AZ)=EC,可得结论，再由勾股定理求解=2,

当，H重合时，BE=BH=2,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接EC.

•?AABC,△都是等边三角形，

：.BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

：./ABD=NCBE,

在△48。和4CBE中，

BA=BC

<ZABD=NCBE,

BD=BE

1△ABD出ACBE(SAS'),

：.AD=EC,

点D从点A运动到点H,

二点E的运动路径的长为CM=AH=2y/3,

当重合，而ABDE(BP..BHE)为等边三角形,

\BE=BH,

QAB=4,AW=2A/3,AHABC,

:.BE=2,

故答案为：2后2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

7.如图，在平面内，线段A8=6,尸为线段AB上的动点，三角形纸片C0E的边CQ所在的

直线与线段垂直相交于点P,且满足若点P沿4B方向从点A运动到点8,则

点E运动的路径长为.

【答案】6母.

【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EE,由平

移的性质可知AC=E£,在RSABC中，易知AB=8C=6,ZABC=90°,：.EE'=AC'=^

=60，故答案为6血.

点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问

题，属于中考填空题中的压轴题.

8.如图，在RtAABC中，ZACB=90，ZBAC=3Q,BC=2,线段BC绕点B旋转到BD,

连A。，E为的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以B为圆心，8。长为半径的圆上运动，•••E为A。的中点，

在以A4中点为圆心，:劭长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的

最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：,..BC=2,线段BC绕点8旋转到80,

:.BD=2,

：.-BD=\.

2

由题意可知，。在以B为圆心，长为半径的圆上运动,

为AD的中点，

...E在以8A中点为圆心，%BD长为半径的圆上运动,

CE的最大值即C到BA中点的距离加上;劭长.

VZACB=90,ABAC=3Q,BC=2,

AC到BA中点的距离即gAB=2,

2

又,二2。=1,

2

ACE的最大值即!A3+』2D=2+1=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

9.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,BD相交于点O,AB=4,/D4c=60。，点厂沿

线段A。从点A至点。运动，连接。R以。尸为边作等边三角形。FE,点E和点A分别位

于。尸两侧，连接0E.现给出以下结论：

①NBDE=NEFC；®ED=EC-,③直线6®,CD；④点E运动的路程是2道.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③

【分析】①根据NZMC=60°,OD^OA,得出△。㈤为等边三角形，再由△DEE为等边三

角形，得/EDF=NDEF=60°,即可得出结论①正确；

②如图，连接OE,利用&4s证明△IMF四△DOE,再证明MODE丝M9CE,即可得出结论

②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长OE至召'，使OE'=OD,连接£>£,通过四△">£：,ZDOE=60°,

可分析得出点尸在线段A。上从点A至点。运动时，点E从点。沿线段OE'运动到£,从

而得出结论④错误.

【详解】解：①•.，/D4C=60。，OD=OA,

为等边三角形，

ZDOA=ZDAO=ZODA=60°,AD=OD,

•.•△QFE为等边三角形，

ZEDF=ZEFD=ZDEF=60°,DF=DE,

'：ZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=60°,

：.ZBDE=ZADF,

"?ZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

：.ZADF+ZAFD^180°-NDAF=120°,

"?ZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

：.ZEFC+ZAFD^180°-ZDFE=120°,

：.ZADF=/EFC,

：./BDE=NEFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在^D4尸和△OOE中，

AD=OD

<ZADF=ZODE,

DF=DF

：.ADAF^/\DOE(SAS),

ZDOE=ZDAF=60°,

VZCOD=180°-ZAOD=120°,

ZCOE=ZCOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：・NCOE=NDOE,

在40。石和4OCE中，

OD^OC

<NDOE=NCOE,

OE=OE

/.△ODE^AOCE(SAS),

：.ED=EC,/OCE=/ODE,

故结论②正确；

@9：ZODE=ZADF,

：.ZADF=ZOCE,即ZADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长OE至后，使OE=OD,连接。E,

VADAF^ADOE.ZDOE=60%

・・・点尸在线段AO上从点A至点O运动时，点£从点O沿线段OE'运动到E,

OE=OD=A£)=A5・tanNA5Z)=4・tan30o=,

3

•••点E运动的路程是生巨，

3

故结论④错误.

故答案为①②③.

【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰

三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定

和性质等相关知识是解题关键.

10.如图，己知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接AP,若NAPB=60。且

BP=^AP,连接AB,BC,则线段BC的最小值为.

,_________O_________「

B

【答案】2s

【分析】如图所示，延长PB到。使得~8=。8,先证明AAP。是等边三角形，从而推出

ABP=90°,ZBAP=30°,以4?为斜边在AC下方作放△AM。，使得/MAO=30。，连接CM,

过点M作于解直角三角形得到4"=丝=无，从而证明△AAffis2\AOP,

AOAP2

得到"£=4g=立，则则点2在以M为圆心，以名为半径的圆上，当M、B、

OPAP2

C三点共线时，即点2在点"的位置时，BC有最小值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB,

•：BP=-AP,

2

AP=PD=2PB,

又：ZAPB=60°,

...△API）是等边三角形,

为尸£＞的中点，

：.AB±DP,BPZABP=9Q°,

：.ZBAP=3Q0,

以AO为斜边在AC下方作AMO,使得乙忆4。=30。，连接CM,过点M作MH_LAC于

H,

•e•cos/NCO4AAMA-=A-M--_二—，

AO2

同理可得空二走，

AP2

'：ZOAM=30°=ZPAB,

：.ZBAM=ZPAO,

▽・・AMAB6

乂•----=----二——，

AOAP2

/\AMB^/\AOP,

.BMAB

,/点尸到点。的距离为2,即。尸=2,

BM=6,

...点2在以M为圆心，以名为半径的圆上，

连接CM交圆M(半径为代)于

...当M、B、C三点共线时，即点8在点9的位置时，2C有最小值,

•：AC=2AO=8,

：.AO=4,

AM=AO-cosZOAM=2^/3,

AH=AMcosZ.MAH=3,HM-AM-sin/MAH=6，

：.CH=5,

CM=yjHM2+CH2=2币，

B'C=CM-MB'=2^7-y/3,

的最小值为2迎-6，

故答案为：2折-拒.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判

定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即

证明点8在以M为圆心，半径为由的圆上运动.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且a,6满足/-6a+9+|b+3|=0,C、D

两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；

图1图2

(1)如图1,若C(0,4),求△ABC的面积；

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,S.^CBA^^CDE,求。点的坐标；

(3)如图2,若NCBA=60。，以C。为边，在C£)的右侧作等边△C£)E,连接。£,当0E

最短时，求A,E两点之间的距离.

【答案】(1)△ABC的面积为12；(2)。点的坐标为(-2,0)；(3)A,E两点之间的距离

为,

【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出。，b,然后确定A、8两点坐标，从而利

用三角形面积公式求解即可；

(2)根据题意判断出△CBD9△DAE,从而得到CB=AD,然后利用勾股定理求出CB,

及可求出结论；

(3)首先根据“双等边”模型推出DCB^ECA,得到/£>8C=/E4c=120。，进一步推出

AE//BC,从而确定随着。点的运动，点E在过点A且平行于的直线P。上运动，再

根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含

30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1),**—6a+9+|Z?+3|=0,

(tz-3)2+|Z?+3|=0,

a—3=0a=3

由非负性可知,解得:

Z?+3=0b=-3

：.A(3,0),B(-3,0),AB=3-(-3)=6,

•••C(0,4),

・•・OC=4f

S=-AB.OC=-x6x4=12；

>ABKCr22

(2)由(1)知A(3,0),3,0),

・•・OA=OB,

OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在，AOC和一50。中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOC

oc=oc

：.Z\AOC四△BOC(SAS),

・•・ZCBO=ZCAOf

ZCDA=ZCDE+ZADE=ZBCD+ZCBA,NCBA=NCDE,

：.ZADE=/BCD,

在△5C£)和VADE1中，

/BCD=/ADE

<ZCBD=ZDAE

BD=AE

：..BCD^ADE(AAS),

CB=AD,

VB(-3,0),C(O,4),

，03=3,OC=4,

BC=4OB1+OC1=5>

AD=BC=5,

VA(3,0),

・•.£>(-2,0)；

(3)由(2)可知CB=CA,

'：NC5A=60。，

・・・△ABC为等边三角形，ZBCA=60°,NDBC=120。,

•••△COE为等边三角形，

；・CD=CE,ZDCE=60°,

VZDCE=ZDCB+ZBCE,ZBCA=ZBCE+ZECA,

：./DCB=/ECA,

在△OCB和△EGA中，

CD=CE

<ZDCB=ZECA

CB=CA

；・&DCB%ECA（SAS）,

：.ZDBC=ZEAC=120°,

:NEAC+ZACB=120°+60°=180°,

・•.AE//BC,

即：随着。点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线尸。上运动,

・・,要使得OE最短，

・•・如图所示，当OE_LPQ时，满足OE最短，此时NOE4=90。，

ZDBC=ZEAC=120°,ZG4B=60°,

ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,NAO石=30。，

•・・A（3,0）,

・・・OA=3,

13

AE=-OA=~,

22

3

•••当OE最短时，A,E两点之间的距离为二.

2

【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定

与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用

全等三角形的判定与性质是解题关键.

12.如图所示，在RtaABC中，钻=3C=2,点。是AC上一点，以3。为一边向右下方

作等边△")£,当。由点A运动到点C时，求点E运动的路径长.

【答案】点E运动的路径长为2后.

【分析】根据是等边三角形，得出点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为

AC的长，根据勾股定理即可得出答案

【详解】点B为定点,

3E可以看作是3。绕点B顺时针旋转60。而来，

...点E运动的路径长等于点。运动的路径长，即为AC的长，

AB=BC=2,ZABC=90°,

AC=20.

..•点E运动的路径长为2&.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是

正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时

针旋转60。得到线段DE,连结BE.

（1）若点D在AB边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）2手

【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC,/A=/B=60。，

由旋转的性质得：NACB=/DCE=6（F,CD=CE,得出NACD=NBCE,证明△ACD^ABCE,

即可得出结论；

（2）过点A作AF_LEB交EB延长线于点F.由△ACD0Z^BCE,推出/CBE=NA=60。,

推出点E的运动轨迹是直线BE,根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，

此时CD=CE=CF,利用勾股定理求出CF即可.

【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下：

「△ABC是等边三角形，

/.AB=BC=AC,NA=NB=60°,

由旋转的性质得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

/.ZACD=ZBCE,

/.△ACD^ABCE（SAS）,

.\AD=BE.

c

E

B

图1

(2)如图2,过点A作AFLEB交EB延长线于点F.

VAACD^ABCE,

.•.ZCBE=ZA=60°,

...点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小,

此时CD=CE=CF,

；NACB=NCBE=60。，

；.AC〃EF,

VAFXBE,

AAFXAC,

在RtAACF中，

CF=7AC2+AF2=^42+(2^-=2>/7,

；.CD=CF=24.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最

短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键.

14.如图①，在AABC中，AB=AC=3,ZBAC=100°,D是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时

针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到ABPE.小明发现，随着点P在线段

AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD

上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.

①NBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出ABPE,使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线

AB的位置关系，并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

【答案】(1)①50°；©EC//AB-,(2)AB//EC；(3)AE的最小值3.

【分析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明NABC=40°,ZECB=40°,

推出=即可.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.利用圆周角定理证明/BCE=g/BPE=40°

即可解决问题.

(3)因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合

时，AE的值最小，此时AE的最小值=筋=3.

NPEB=NPBE=50°,

②结论：AB//EC.

理由：VAB=AC,BD=DC,

：.AD,LBC,

NBDE=90°,

N£BD=90°—50°=40°,

VAE垂直平分线段BC,

：.EB=EC,

・•・ZECB=/EBC=40°,

VAB=AC9ZBAC=100°,

ZABC=ZACB=40\

：.ZABC=/ECB,

・•・AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.

VAD垂直平分线段BC,

・•・PB=PC,

：.NBCE」NBPE=40°,

2

*.*ZABC=40\

：.AB//EC.

(3)如图④中，作AH_LCE于H,

•..点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

二当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理

等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解

决问题，属于中考压轴题.

1,_

y=-x^—2x

15.如图，过抛物线.；上一点A作丫轴的平行线，交抛物线于另一点B,交

轴于点C,己知点A的横坐标为-L

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在'轴上方时，求直线PD的函数表达

425

【答案】（l）x=4；B（10,5）.（2）①56-5.②y=-3x+3.

【详解】试题分析：（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可

得点B坐标；

（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最

小值=OB-OD；

②当点D在对称轴上时，在RtA0D=0C=5,0E=4,可得口£=」此一。及

=3,求出P、D的坐标即可解决问题.

-2

2x1

试题解析：(1)由题意A(-2,5),对称轴x=-4=4,

,:A、B关于对称轴对称，

/.B(10,5).

(2)①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

/.当0、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=V5：+10*-5=5^-5.

当点D在对称轴上时，在RSODE中，OD=OC=5,OE=4,

-Qf=J51a-4*=3,

.,.点D的坐标为(4,3).

设PC=PD=x,在RtAPDK中，x2=(4-x)2+22,

5

x=2,

5

:.p(2,5),

425

直线PD的解析式为y=-3x+3.

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.

16.如图所示，在等腰RtAABC中，AC=2C=20，点P在以斜边A3为直径的半圆上,

M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点Af运动的路径长.

【答案】点"运动的路径长为万.

【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF、EF,

如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=V^BC=4,则OC=/AB=2,OP=1-AB=2,再

根据等腰三角形的性质得OM,PC,则/CMO=90。，于是根据圆周角定理得到点M在以

0C为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，

则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2,所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后

根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

【详解】解：如图所示，取A3的中点。，AC的中点E,BC的中点/，连接OC、0P、

OM、0E、OF、EF,

「在等腰RtAABC中，AC=BC=2A/2.

AB=y/2BC=4.

OC=OP=-AB=2.

2

M为PC的中点,

:.OMLPC.

:.ZCMO=90°.

•・•点M在以OC为直径的圆上，

当点P与点A重合时，点M与点E重合：当点P与点3重合时，点Af与点尸重合，易得四

边形CEO尸为正方形，EF=OC=2,

点M运动的路径为以EF为直径的半圆.

.,•点M运动的路径长为g-2万.：!=".

2

【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关

键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

17.如图所示，点P（3,4）,P的半径为2,4（2.8,0）,B（5.6,0）,点M是：P上的动点，

点C是MB的中点，求AC的最小值.

3

【答案】AC的最小值为

【分析】如图，连接OP交。P于M，，连接OM.因为OA=AB,CM=CB,所以AC=：OM,

所以当OM最小时，AC最小，M运动到M，时，OM最小，由此即可解决问题.

【详解】解：如图所示，连接。尸交IP于点〃'，连接ON,BM',

P（3,4）,

.••由勾股定理得：8=疗百=5,

OA^AB,CM=CB,

AC=-OM.

2

，当OM最小时，AC最小

当M运动到Mr时，OM最小.

ii]3

此时AC的最小值为5。犷=1（02一尸"）=/X（5-2）=2.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题

等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考

问题，所以中考常考题型.

18.如图所示，一ABO为等腰直角三角形，A（T,O）,直角顶点6在第二象限，点C在，轴

上移动，以8C为斜边向上作等腰直角△BCD,我们发现直角顶点。点随着C点的移动也在

一条直线上移动，求这条直线的函数解析式.

【答案】直线的函数解析式为>=-尤+2.

【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在

y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b,将两位置D坐标代入得到关于

k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式.

【详解】如图所示.当3c与x轴平行时，过点5作轴于点E,过点。作。尸，无轴于

点尸，交BC于点G,

ABO是等腰直角三角形，点A的坐标是（T,0）,

AO=4,

:.BC=BE=AE=EO=GF=-OA=2,

2

又；BDC是等腰直角三角形，

.-.OF=DG=BG=CG=-BC=1,DF=DG+GF=3,

2

•••点。的坐标为(-L3).

当c与原点。重合时，。在y轴上,

设所求直线解析式为：y=kx+b(k^,

将(T3)、(0,2)代入得

/一上+6=3,=

[b=2,[b=2,

•••直线的函数解析式为＞=r+2.

【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰

直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键.

19.如图1,在qABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=2布,以点B为圆心，石为半径作

圆.点尸为2上的动点，连接PC,作PC_LPC,使点P，落在直线2C的上方，且满足

P'C:PC=l：6，连接3尸，AP'.

(1)求N54C的度数，并证明△钎'CS2X3尸C；

(2)如图2,若点尸在上时，连接BP,求3P的长；

(3)点P在运动过程中，3P是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或

最小值时，/MC的度数；若没有，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)BP'=^H；(3)有.①当取得最大值时，ZPBC=120°；

②当3尸'取得最小值时，ZPBC=60°.

【分析】(1)利用锐角三角函数求出NBAC,先判断出痣=匹=虫，再判断出

BCPC3

ZP'CA=NPCB,即可得出结论;

(2)先求出/P，AC,进而得出NP，AB=90。，再利用相似求出API即可得出结论；

(3)先求出AP，=1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点p，在

54的延长线上时和当点P'在线段A3上时，两种情况讨论即可.

【详解】(1)在RCABC中，AC=2,BC=2上,

tanZBAC=—=y/3,

AC

ABAC=60°,

AC2A/3P'C1A/3

前一访一1_'衣一忑一石,

.ACP'C

,BC-PC'

P'C±PC,

ZP'CP=ZACB=90°,

;.NPCA=NPCB,

:.^\APrCs^BPC；

(2)由(1)知，ZBAC=60°,

ZABC=90°-ABAC=30°,

:.AB=2AC=4,

:.Z\AP'Cs/\Bpc,

:.ZP'AC=ZPBC^30°,—=—=

PBPC3

BP=6,

.-.AP,=1,

ZP'AB=ZCAP+ABAC=30°+60°=90°,

.,.在RtAPAfi中，AP=1,AB=4,

由勾股定理得BP'=VAP,2+AB2=拒；

(3)有.由(1)知，AA^C^ABPC,

.AP'P'C_73

"BPPC~3'

AF0

VF=T,

，AP=1是定值，

点尸'是在以点A为圆心，半径为AT=1的圆上，

①如图所示，当点P'在54的延长线上时，BP取得最大值,

NPAC=180。—ABAC=120。.

/\AF"Cs^BPC,

.-.ZP,AC=ZPBC=120°.

•••当3P取得最大值时,NPBC=120°；

②如图所示，当点P在线段AB上时，3P取得最小值,

「△AP'CsABPC,

:.NPBC=NBAC=60。,

•••当BP'取得最小值时，NPBC=60°.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三

角形的判定和性质，圆的性质，判断出△APpsaBPC是解本题的关键.

20.如图所示，在扇形AO3中，04=3,4408=120。，点C是AB上的动点，以8C为边作

正方形BCDE,当点C从点A移动至点B时，求点。经过的路径长.

【答案】点。经过的路径长为2任

【分析】如图，由此8。交。。于尸，取8尸的中点“，连接"、HB、BD.易知△FHB是

等腰直角三角形，HF=HB,ZFHB=90°,由/02=45。=!/在必，推出点。在。”上

运动，轨迹是GB（图中红线），易知/HFG=NHGF=15。,推出/"G=150。，推出

=120。，易知HB=36,利用弧长公式即可解决问题.

【详解】解：如图，由此80交。。于居取2尸的中点X,连接尸H、HB、BD.

易知△FH8是等腰直角三角形，HF=HB,/FHB=9Q°,

Nfl汨=45。=gZFHB,

...点D在。//上运动，轨迹是G8（图中红线），

易知ZHFG=NHGF=15°,

：.ZFHG=150°,

GHB=120。,易知HB=3五,

...点£＞的运动轨迹的长为12°-,30=2应无.

180

【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，正确寻找点。的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

21.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为A3的中点，F为EC上一动点、,

P为。尸的中点，连接尸8,求尸5的最小值.

【答案】尸3的最小值为2后.

【分析】根据中位线定理可得