中考数学模型复习讲义：四边形对角互补模型（解析版）

回］）模型介绍

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与

120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明

两个三角形全等或者相似.

模型一、含90。的全等型

1.如图，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=，^OC,

2.如图，已知NDCE的一边与AO的延长线交于点D,NAOB=NDCE=90。，OC平分

ZAOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OE—OD=V”OC,③一SMOQ=J。。？.

模型二、含60°与120°的全等型

如图，已知/AOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③S,OD+S.OE=.

【例1].如图，在四边形A3CO中，ZA=ZC=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为

解：延长C8至IJE,使BE=DC,连接AE,AC,

ZABE=ZBAC+ZACB,

ZD=180°-ADAC-ZDCAf

VZBAD=90°,/BCD=90°,

：.ZBAC-^ZACB=90°+90°-ZDAC-ZZ)CA=180°-ADAC-ZDCA,

：./ABE=/D,

又・；BE=DC,AB=AD,

：.AABE^AADC,

：.AE=AC,NEAB=NDAC,

：.ZEAC=90°,

S^AEC=AAE2=AEC2,

24

•S/\AEC=S四边形ABCD=12,

.-.AEC2=12,

4

：.EC=4A/3，

:.BC+CD=BC+BE=EC=4如.

ER

A变式训练

【变式17].如图，正方形ABC。的对角线AC与8。相交于点O,E,歹分别是A8,BC

上的点，连接若AE=4,CF=3,0E10F,求EF的长.

：.0B=0C,NBOC=NEOF=90°,NA80=NAC8=45°,

：.ZE0B=ZF0C,

在△BOE和△C。尸中，

，Z0CB=Z0BE=45°

<OB=OC,

ZEOB=ZFOC

4B0E名△COF{ASA),

：.OE=OF.BE=CF=3,

"：AB=BC,

：.BF=AE=4,

在Rtz\BEB中，BF=4,BE=3,

：.EF=5.

【变式1-2].如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE,

作EFLBE,垂足为E,直线环交线段。C于点F,则变=

BE

连接OE,OC.

.四边形ABC。是矩形，EFLBE,

四边形EFCB对角互补,

:.B,C,F,E四点共圆,

:.NBEF=NBCF=9Q°,AB=CD=3,BC=AD=5,

,：OB=OF,

；.OE=OB=OF=OC,

：.B,C,F,E四点在以。为圆心的圆上,

NEBF=ZECF,

tanZEBF=tanZACD,

•EF=AD=5

"EBCD3

【例2].如图，四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,BD^ZABC,Z£>CB=60°,

解：设点。是AC的中点，

以0为圆心，0A为半径作圆0,

VZABC=ZADC=90°,

・••由圆周角定理可知：点。与5在圆。上，

・.・89平分乙48。，

；・AD=CD,

：.ZDCA=45°,

：.ZACB=ZDCB-ZZ)CA=15°,

连接05,过点石作BELAC于点E,

J由圆周角定理可知：ZAOB=2ZACB=30°,

：.OB=2BE,

：.AC=2OB=4BEf

设AB=x,

.\BC=4-x,

9：AB*BC=BE^C,

：.4BE1=x(4-x),

/.AC2=16BE2=4x(4-x),

由勾股定理可知：AC2=X2+C4-x)2

/.4x(4-x)=/+(4-x)2,

解得：x=2土汉1_,

3

当x=2+2叵时，

3

：.BC=4-x=2-

3

•1-AC=V4x(4-x)=，

o

当x=2-时，

3

BC=4-x=2+-^/l•时，

3

.,•AC=V4X(4-X)=可^

O

故答案为：生叵

3

A变式训练

【变式27].如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。顶点A的坐标为（0,2）,B点在

OM=372.则点C的坐标为（6,4）.

解：过点C作CELx轴于点E,过点M作MFLx轴于点R连接EM,

ZMFO=ZCEO=ZAOB=90°,AO//MF//CE,

•..四边形ABC。是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°,AM=CM,

：.ZOAB=ZEBC,OF=EF,

JMF是梯形AOEC的中位线,

：.MF=^-(AO+EC),

2

9

：MF±0Ef

:,M0=ME.

•・•在aAOB和△5EC中,

，ZCEO=ZAOB

-ZOAF=ZEBC,

AB=BC

.♦.△AOB丝ABEC(AAS),

：.OB=CE,AO=BE.

；.MF=—(BE+OB),

2

又，：OF=FE,

.•.△MOE是直角三角形，

;MO=ME,

/.△MOE是等腰直角三角形,

/.O£=718+18=6,

VA(0,2),

；.OA=2,

:.BE=2,

：.OB=CE=4.

：.C(6,4).

故答案为：(6,4).

【变式2-2].如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,A2=3,BC=4,RtAMPN,ZMPN

=90°，点P在AC上交AB于点E,PN交BC于点R当PE=2PF时,AP=3.

解：如图作PQ_LAB于。，PR_LBC于R.

VZPQB=ZQBR=ZBRP=90°,

四边形PQBR是矩形，

AZQPR=90°=NMPN,

：.ZQPE=ZRPF,

：./\QPE^ARPF,

•.P.-Q—_PEi_-.乙,

PRPF

：.PQ=2PR=2BQ,

■:PQ//BC,

：.AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,设尸。=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

・・.2x+3x=3,

•••尤A=3-，

5

.•.AP=5x=3.

故答案为3.

【变式2-3].如图，正方形ABC。，点P是对角线AC上一点，连接8P,过P作尸。，8巴

PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若4尸=圾，。为CZ）中点，则下列结论：

①/PBC=/PQD；®BP=PQ；③/BPC=/BQC；④正方形A8CD的面积是16；

其中正确结论是

:四边形ABC。是正方形，

：.ZBCQ=90°,

"JPQLPB,

：.ZBPQ=90°,

：.ZBPQ+ZBCQ=1SO°,

...8、C、。、尸四点共圆，

：.ZPBC=ZPQD,ZBPC=ZBQC,...①正确；③正确；

过尸作于M,PELABE,PFJ_OC于尸，则E、P、尸三点共线,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB^AD^DC^BC,NDAC=NBAC,/D4B=90°,

/.ZMAE=ZPEA=ZPMA=9Q°,PM=PE,

四边形AMPE是正方形，

：.AM=PM=PE=AE,

,:AP=版,

：.在RtAAEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=（V2）2

解得：AE=AM=PE^PM=1,

；.DF=1,

^AB=BC=CD=AD=a,

则BE=PF=a-1,

VZBEP=ZPFQ=ZBPQ=90°,

：.ZBPE+ZEBP=90°,ZEPB+ZFPQ=90°,

:./EBP=/FPQ,

在△BEP和△PFQ中

'/EBP=NFPQ

-BE=PF，

ZBEP=ZPFQ

：./\BEP^/\PFQ(ASA),

：.PE=FQ=1,BP=PQ,...②正确；

.,.00=1+1=2,

•.•。为co中点，

：.DC=2DQ=4,

；.正方形48。的面积是4*4=16,；.①正确；故答案为：①②③④

B

疆实战演练

1.如图，在四边形ABC。中，NA=NC=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为12,则

BC+CD^.

解：延长C8到E,使8E=OC,连接AE,AC,

:ZABE=ZBAC+ZACB,

ZD=180°-ZDAC-ZDCA,

VZBAD=90°,ZBCD=90°,

：.ZBAC+ZACB=9Q°+90°-ZDAC-ZZ)CA=180°-ZDAC-ZDCA,

：.NABE=ND,

又,：BE=DC,AB=AD,

：.AABE^AADC,

：.AE=AC,ZEAB=ZDAC,

：.ZEAC=9Q°,

2

SAAEC=—AE2=—EQ,

24

•S^AEC=S四边形ABCZ)=12,

•1•^-EC2=12-

4

，EC=4我，

BC+CD=BC+BE=EC=4如.

故答案为：4M.

2.如图，在△ABC中，ZABC=60°,AB=2如,8C=8,以AC为腰，点A为顶点作等

腰且NZMC=120°,则BD的长为10.

解：以A为旋转中心，把△2AC逆时针旋转120°,得到△EA。，连接BE,APLBE

于P,

则/BAE=120°,AB=AE,

：.ZABE=ZAEB=30°,

：.BP=AB-cosZABP=3,ZDEA=ZABC=60°,

；./DEB=30°+60°=90°,

:.BE=2BP=6,

在中，

RtZXBEDBD=^ED2+BE2=IO,

故答案为：10.

3.如图所示，在四边形ABCZ）中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC^45°,则

BD的长为反

解：作A。'LAD,AD'=AD,连接C£>',DD',如图：

VZBAC+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,

在△BAO与△CA。'中，

fBA=CA

<ZBAD=ZCADZ,

AD=AD7

：.^BAD^/\CAD'(SAS),

:.BD=CD',ZDAD1=90°,

由勾股定理得。£>'=VAD2+(AD?)2=3&,ZD'DA+ZADC=9Q°,

由勾股定理得C£>'=VDC2+(DD^)2=J9，

:.BD=CD'=V22-

故答案为：V22.

4.四边形ABC。被对角线8。分为等腰直角△AB。和直角△C8。，其中乙4和/C都是直

角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABC。的面积.

解：将△ABC绕点A旋转90°,使2与。重合，C到C'点，

则有/CDC'^ZADC+ZADC'=ZADC+ZABC=180°,

所以C、D、C在同一直线上，

又因为AC=AC'，

所以△ACC'是等腰直角三角形，

在△ABC和△&£＞（丁中

，AB=AD

-ZBAC=ZDAC?

AC=AC7

A△ABC^AADC,(SAS),

四边形ABC。的面积等于等腰直角三角形ACC'的面积,

所以S四边形ABCO=SAAC。X2X2=2.

2

5.如图，正方形A3CD与正方形OMNP的边长均为10,点。是正方形ABCZ)的中心，正

方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重

叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.

解：当OP〃人。或。尸经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的工,

4

即25,当OP在如图位置时，过O分别作CD,BC的垂线垂足分别为E、F,

如图在RtZ^OEG与RtZXOM中，ZEOG^ZHOF,OE=OB=5,

:.△OEG/AOFH,

二・S四边形OHCG=S四边形OECF=25,即两个正方形重叠部分的面积为25.

6.基本模型

在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型.

解题思路：

1.过互补角的顶点作旋转构造全等或相似；

2过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似.

问题：

如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZADC^90°,2。平分/ABC.

结论：①AD=C。；②AB+BC=MBD；③S四边形=ABD2

请证明【基本模型】中的结论.

求证：①AD=C£＞；®AB+BC—y[2BD；③S四边形ABCD=ABD2.

过点。作OfUBC于点尸，区4交84的延长线于点区

■:BD平分NABC,

：.DE=DFf

VZABC=ZADC=90°,ZDAB+ZABC+ZC+ZADC=360°,

：.ZDAB+ZC=1SO°,

'：ZDAB+ZDAE=1SO°,

：.ZC=ZDAE,

：./\EAD^/\FCD(A4S),

：.AD=CD；

②证明：如图,

以D为中心将△ZMB逆时针旋转90°得到△ZJCE,

由旋转的性质可得，NA=NDCE,ZBDE=90°,DB=DE,AB=CE,

VZA+ZBC£>=180°,

：.ZDCE+ZBCD=18O°,

:.点、B,C,E在同一直线上，

:.BE=BC+CE,

"：AB=CE,

；.BE=BC+AB,

VZBDE=90°,

B停=DB^DE1=2BD2,

:.BE=®BD,

：.BC+AB=y/2BD；

③证明：如②图，

由旋转的性质可得：△D48之△OCE,

S四边形ABCD=SADBE,

•:DB=DE,ZDBE=90°,

119

SADBE^DB-DE=1DB2-

•12

,•S四边形ABa)nqBD-

7.如图1,ZAOB=90°,0c平分/AOB,以C为顶点作/OCE=90°,交。4于点D,

OB于点E.

(1)求证：CD=CE；

(2)图1中，若OC=3,求OQ+OE的长；

(3)如图2,120°,OC平分以C为顶点作/。CE=60°,交于

点、D,0B于点E.若。C=3,求四边形OEC。的面积.

(1)证明：如图1,过点C作CG_LOA于G,CHLOB于H,

0C平分NAOB,

VZAOB=90°,ZDCE=90°,

；.NCQO+/CEO=180°,

VZCDG+ZCr>0=180°,

；.NCDG=NCEO,

在△CQG与中

'NCDG=/CE0

<ZCGD=ZCHE,

CG=CH

:.ACDG<ACEH(AAS),

：.CD=CE；

(2)解：由(1)得△CQGgACEH,

：.DG=HE,

由题易得AOCG与是全等的等腰直角三角形，且OG=OH,

OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=WH,

设OH=CH=x,在RtzXOC"中，由勾股定理，得：

OH2+CH2=OC2

.,.X2+X2=32

Ax=^~(舍负)

2

.•.08=治巨

2

：.OD+OE=2OH=3V2；

(3)解：如图，过点C作CG_L0A于G,CH_L0B于H,

0c平分/A08,

:.CG=CH,

：408=120°,ZZ)CE=60°,

.•./CZ)O+/CEO=180°,

'：ZCDG+ZCDO=1SO°,

:.NCDG=NCEO,

在ACDG与ACEH中

'NCDG=/CE0

-ZCGD=ZCHE,

CG=CH

:.&CDG空MCEH(A4S),

：.DG=HE,

由题易得AOCG与△OS是全等的直角三角形，且OG=OH,

OD+OE=OD+OH+HE^OG+OH=2OH,

AS四边形OECZ)=S四边形OHCG=2S^OCG

在RtZSOCH中，有NCO〃=60°,OC=3,

.g_W3

S

*,AOCG_8'

・'・S四边形OECO=2S^OCG=---.

4

8.感知：如图1,A。平分NA4C.ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如图2,A。平分N3AC,ZABZ)+ZACZ)=180°,ZABD<90°,求证：DB=DC.

应用：如图3,四边形ABC。中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC=a,贝！JAB-AC

=_瞑(用含a的代数式表示)

图①图②图③

探究：

证明：如图②中，DEYABE,OF_LAC于R

：D4平分/BAC,DE±AB,DF±AC,

：.DE=DF,

'：ZB+ZACD=1SO°,ZACD+ZFCD=1SO°,

ZB=ZFCD,

在△。尸C和△DEB中，

，ZF=ZDEB

'ZFCD=ZB,

DF=DE

:ADFCmADEB(AAS),

：.DC=DB.

应用：解：如图③连接A。、DELABf-E,DFLACF,

,：ZB+ZACD=1SO°,ZACn+ZFC£>=180°,

NB=ZFCD,

在△OFC和△£>EB中，

，ZF=ZDEB

<ZFCD=ZB

DC=DB

:.ADFgADEB(A4S),

:.DF=DE,CF=BE,

在RtAADF和RtAADE中，

[AD=AD,

IDE=DF，

/\ADF^AADE(HL),

：.AF=AE,

：.AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE,

在RtZVDEB中，'：ZDEB=90°,ZB=ZEDB=45°,BD=a,

：.BE=^^a,

2

.".AB-AC=y[2a-

图⑶

图②

9.问题提出：

(1)如图1,已知线段A8=2,AC=4,连接2C,则三角形A3C面积最大为4；

问题探究：

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,/BAD=NBCD=90°,若C£»+3C=10,

求四边形ABC。的面积；

问题解决：

(3)在四边形ABCZ)中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=180°,AC=8,求四边形A8CZ)

面积的最大值.

图3

解：（1）如图1,作BG_LAC于点G,

"：S^ABC=—AC'BG,AC=4,

2

SMBC=工X4BG=2BG,

2

...当BG最大时，SAABC的值最大,

\'BG^AB,AB=2,

.,.2GW2,

.•.8G的最大值为2,

当BG=2时，SA4BC最大=4,

三角形ABC面积最大为4,

故答案为：4.

(2)如图2,连接8D,

,：CD+BC=W,

：.(CD+BC)2=100,

：.CD2+BC2+2CD'BC=100,

'：ZBAD=ZBCD=90°,AB^AD,

：.CDr+BC2=AB2+AD2=BD1,

：.CD2+BC2=2AD1,

：.2AD2+2CD'BC=W0,

.-.AA£)2+ACD，BC=25,

22

SAABD=—AD1,SACBD=—CD•BC,

22

S四边形工A£>2+」CQ・5C=25,

22

・・・四边形ABCD的面积为25.

(3)如图3,作AELL3C于点石，AF_LCO交CD的延长线于点R

VZBA£)+ZBCZ)=180°,

AZB+ZADC=180°,

AZADF+ZADC=180°,

：.ZB=ZADF,

VZAEB=ZF=90°,AB=ADf

：.AABE^AADF(A4S),

.'.AE=AF,CE=CF,S^ABE=SAADF,

VZAEC=ZF=90°,AC=AC,

ARtAACE^RtAACF(HL),

••S/^ACE=S/^ACF9

•••5四边形ABCO=SZ\45E+S四边形AECD=SaAOF+S四边形

设AE=m,CE=n,则S四边形加〃，

2

VAE2+CE2=AC2,AC=8,

m2+n2=64,

由(m-n)2》。得(rr^+n2),

2

.•.7〃〃W32,

S四边形ABCDW32,

•,•S四边形ABCD最大=32，

四边形ABCD面积的最大值是32.

图1

10.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.

(1)概念理解：

①在互补四边形A8CD中，/A与/C是一组对角，若NB：ZC：ZD=2：3：4,则/

A=900；

②如图1,在△ABC中，点。，E分别在边A8,8c上，且求证：四

边形ADEC是互补四边形.

(2)探究发现：如图2,在等腰△ABE中，AE=BE,点C,D分别在边BE,AE上，AD

=BC,四边形CED”是互补四边形，求证：ZABD=ZBAC=^ZE.

cE

图1图2

(1)①解：:四边形A3CO是互补四边形，NA与NC是一组对角，

AZC=180°-NA,

VZB：ZC：ND=2：3：4,

・・・NB=~|NO1(180。-NA),N0=*C总(180。-NA)，

VZA+ZB+ZC+ZZ)=360°,

•*-ZA-t1-(180o-NA)+(180°-ZA)+1(18O°-ZA)=36O°,

AZA=90°,

故答案为：90；

②证明：・：BE・BC=AB・BD，

・BEBD

••二一,

ABBC

又；/B=/B,

：.4BDEsABCA,

：.ZBED=ZA,

：.ZA+ZCED=ZBED+ZCED=180°,

四边形ADEC是互补四边形；

(2)证明：\'AE=BE,AD=BC,

：.ED=EC,

在△£?1(?和△EB。中，

'AE=BE

-ZE=ZE,

EC=ED

：./\EAC^/\EBD(SAS),

：.ZEBD=ZEAC,

'JAE^BE,

：.ZEAB=ZEBA,

：.ZABD=ZBAC,

•.•四边形CEDH是互补四边形,

/.ZE+ZDHC=180°,

"：NAHB=NDHC,

：.ZE+ZAHB=1SO°,

：.ZABD+ZBAC^ZE,

：.ZABD=ZBAC=AZ£.

2

11.如图，正方形ABC。中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点8,

直角顶点P在射线AC上移动，另一边交。C于0.

(1)如图1,当点。在DC边上时，探究尸8与尸。所满足的数量关系；

小明同学探究此问题的方法是：

过尸点作PELOC于E点，PFLBC于F点、,

根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF,

再证明△PEQ之△PFB,可得出结论，他的结论应是PB=PO；

(2)如图2,当点。落在DC的延长线上时，猜想并写出与PQ满足的数量关系,

并证明你的猜想.

解：（1）结论：PB=PQ,

理由：过P作P凡LBC,PEYCD,

•:P,C为正方形对角线AC上的点，

；.PC平分NOCB,ZDCB=90°,

：.PF=PE,

四边形PECF为正方形，

'：ZBPF+ZQPF=90°,ZQPF+ZQPE=90°,

：.ZBPF=ZQPE,

在△PEQ和△PF2中，

，ZBPF=ZQPE

<PF=PE,

ZPFB=ZPEQ

.".RtAPQE^RtAPBF,

：.PB=PQ-,

故答案为PB=PQ.

(2)PB=PQ,

证明：过P作PE_LBC,PFLCD,

；P,C为正方形对角线AC上的点，

；.PC平分ZDCB=90°,

:.PF=PE,

四边形PEC尸为正方形，

'：ZBPF+ZQPF=90a,/BPF+/BPE=9Q°,

：.ZBPE=ZQPF,

：.RtAPQF丝RtAPBE,

:.PB=PQ.

12.【提出问题】

（1）如图1,在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点8、C）,连接AM,

以AM为边作等边△AMN,连接CN.求证：BM=CN.

【类比探究】

（2）如图2,在等边△ABC中，点〃是8C延长线上的任意一点（不含端点C）,其它

条件不变，（1）中结论8M=CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

（3）如图3,在等腰△ABC中，BA=BC,AB=6,AC=4,点河是8c上的任意一点（不

含端点B、C）,连接AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角/AMN=/A8C.连接CN.试

探究与CN的数量关系，并说明理由.

AN

解：

(1)证明：

,/AABC和AAMN都是等边三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAN,

：.ZBAM=ZCAN,

在△ABM和AACN中

rAB=AC

-ZBAM=ZCAN

,AM=AN

...△ABMdACN(SAS),

：.BM=CN；

(2)成立，理由如下：

/XABC和都是等边三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

：.NBAC+NCAM=NCAM+NMAN,

:.NBAM=NCAN,

在△ABM和△ACN中

fAB=AC

,ZBAM=ZCAN

AM=AN

：./\ABM^^ACN(SAS),

：.BM=CN；

(3)选=3.

CN2

理由如下：

\"AB=BC,AM=MN,

.AB=BC

"AMMN'

,/NAMN=ZABC,

/.AABCS^AMN,

.AB=AC即地=细

*'AMAN'ACAN，

,/ZAMN=ZABC,

：.ZBAC=ZMAN,

：.ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAN,

：.ZBAM=ZCAN,

：./\BAM^/\CAN,

.BM=AB=_6=2

"CNACI7-

13.定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形.

(1)概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有二

方形；

(2)性质探究：

①如图1,四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD,求证：C4平分N8CD；

②如图2,四边形A8CD是奇异四边形，AB=AD,ZBCD=2a,试说明：cosa=E'C©；

2AC

(3)性质应用:

如图3,四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD,且四边形ABCD的周长

为6+2而5，ZBAC=45°,AC=3&,求奇异四边形ABC。的面积.

解：(1)根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形,

故答案为正方形.

(2)①过点A作AAf_LCB于ANJLCD于N.

图1

VZABC+ZD=180°,ZABM+ZABC=\SO°,

ZABM=ZD,

；/AMB=NAND=90°,AB^AD,

：.△AMB/AAND,

：.AM=AN,于M,ANLCD于N,

；.CA平分/BCD

②由①可知：ZACD=-^-ZBCD=a,

2

■:CN=CD-DN=CD-BM=CD-(CM-BC)=CD-(CN-BC),

；.CN=&P+BC,

2

在Rt2\ACN中，3(1=型=8，©.

AC2AC

图3

由(2)可知：cos45°;的+AB,

2AC

：.AD+AB=2ACX=6,

2

•/四边形ABCD的周长为6+2^10,

.•.8C=CO=VI5，

'：ZBAC=ZDAC=45°,

：.ZDAB=90°,

•..四边形是奇异四边形，

：.ZBCD^9Q°,

\'AD+AB=6,

：.(AD+AB)2=AD2+2AD-AB+AB2=3>6,

'：AD^+AB2=BD2=BC2+CD2=20,

：.AD'AB=8,

S四边形ABCD—S/^ADB+S^BDC——,AD*AB+—,CD,BC—9.

22

14.已知：在四边形ABC。中，ZA+ZC=180°,08平分NAOC.

(1)求证：AB=BC；

(2)如图2,若N4DB=60°,试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如图3,在(2)得条件下，在4B上取一点E,BC上取一点R连接CE、AF交于

点V,连接ER若NCM尸=60°,AD=EF=[,CD=8CCF>BF),求AE的长.

图1图2图3

解：（1）如图，过点B作BfUOC于点尸，过点8作交D4延长线于点E,

则/BEA=/BBC=90°,

平分/ADC,

；.BE=BF,

又•.•N&4D+NC=/BAO+NBAE=180°,

：.ZC=ZBAE,

在△BEA和△BFC中，

，ZBEA=ZBFC

ZBAE=ZC,

BE=BF

.♦.△BEA段ABFC(A4S),

：.AB=CB；

(2)如图2,连接AC,

图2

"：ZBDA^60°,平分NAOC,

AZADC^2ZADB^120°,

VZBAD+ZC=180°,

AZABC=180°-ZADC^60°,

又AB=BC,

：.AABC是等边三角形；

(3)如图3,作PG_LAB于G,EH_LAF于”，CNJ_A。交AO的延长线于M

图3

在RtZkCDN中，,:NCDN=6Q°,CZ)=8,

:.NDCN=30°,

.•.£)N=2Cr)=4,CN=AM，

2

=22

AACVAN4CN=V112+(4V3)2=13,

'：AB=BC,ZB=60°,

ZABC是等边三角形,

：.AC=CB=AB=13,ZCAB=60°,

VZCMF=ZACM+ZMAC=60°,

ZMAE+ZMAC=60°,

/.ZACE=/BAF,

•：NCAE=NB,

：.AACE^ABAF(ASA),

：.AE=BF,^AE=BF=x,

贝UBE=13-x,BG=^X,£G=13-^-x,FG=^-x,

222

在Rtz^EFG中，72=(13-Sx)2+(返X)2,

22

解得x=5或尤=8,

当％=8时，AE=BF=8,

'：AB=BC=13f

：.CF=BE=5,

此时CTV5R不符合题意，舍去；

：.AE=BF=5.

15.在△ABC中，AB=AC,ZA=60°,点。是线段3C的中点，ZEZ)F=120°,DE与

（2）如图2,将（1）中的尸绕点。顺时针旋转一定的角度，。/仍与线段AC相交

于点尸.求证：BE+CF=^-AB.

2

（3）如图3,若/EDE的两边分别交AB、AC的延长线于E、尸两点，（2）中的结论还

成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB.CF之间的数量关

系.

解：（1）如图1中,

"：AB=AC,ZA=60°,

/.△ABC是等边三角形，

.,./B=/C=60°,2C=AC=AB=4,

:点。是线段BC的中点，

：.BD=DC=—BC=2,

2

,：DF±AC,即NCFD=90°,

AZCDF=30°,

又120°,

：.ZEDB^3Q°,

AZB£D=90°

：.BE=—BD=1.

2

(2)如图2中，过点D作DMLAB于M,作DNLAC于N.

NCZ)N=30°,

:.丛BDM冬工CDN,

：.BM=CN,DM=DN,

又•.•/即/=120°=ZMDN,

：.ZEDM=ZNDF,

又,：/EMD=4FND=90°,

:.AEDM2AFDN,

：.ME=NF,

BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=^AB.

2

(3)结论不成立.结论：BE-CF=^AB.

VZB=ZC=60°,BD=DC,ZBDM=ZCDN=30°,

ABDM沿ACDN,

:.BM=CN,DM=DN,

又•.•/EDP=120°=ZMDN,

：.ZEDM=ZNDF,

又•：NEMD=NFND=90°,

：.△EDM里△bDM

:.ME=NF,

：.BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=^AB.

2

16.如图，已知/QCE与NAOB,0c平分/AOB.

(1)如图1,NOCE与/AOB的两边分别相交于点。、E,ZAOB=ZDCE^90°,试

判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由.

以下是小宇同学给出如下正确的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如图1,过点C作C7U.OC,交OB于点、F,贝i]NOCF=90°,…

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程.

（3）若202=120°,/DCE=6Q°.

①如图3,NDCE与NAOB的两边分别相交于点。、E时，（1）中的结论成立吗？为什

么？

线段O。、OE、OC有什么数量关系？说明理由.

②如图4,/OCE的一边与A。的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请

直接写出线段O。、OE、0c有什么数量关系；如图5,NZJCE的一边与8。的延长线相

交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段。。、0E、OC有什么数量关

ZAOC=ZBOC=45°,且/05=90°,

AZOFC=45°=NBOC,

OC=FC,

VZDCE^ZOCF^90°,

：.ZDCO=ZECF,5.CO=CF,ZAOC=ZCFE=45°,

：./\CDO^/\CEF(ASA)

：.CD=CE

(2)如图2,过点C作CM_LOA,CN±OB,垂足分别为M,N,

:.NCMD=/CNE=90°,

XVOC平分NAOB,

：.CM=CN,

在四边形。£>CE中，ZAOB+ZDCE+ZCDO+ZCEO=360°,

又•.,NAO2=N£)CE=90°,

.".ZCDO+ZC£O=180°,

又,.,NCE>O+NCr>M=180°,

:.NCEO=/CDM,且NCMD=NCNE,CM=CN,

:.丛CMD”ACNE(AAS),

：.CD=CE.

(3)①(1)中的结论仍成立.OE+OD=OC.

理由如下：

如图3,过点C作CM_LOA,CN±OB,垂足分别为M,N,

图3

AZCMD=ZCNE=90°,

XV0c平分NA02,

：.CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

在四边形。。CE中，ZAOB+ZDCE+ZCDO+ZCEO=360°,

XVZAOB+ZDCE=60°+120°=180°,

.'.ZCDO+ZCEO=l?,Qa,

XZCEO+ZCEN^180°,

：.ZCDO=ZCEN,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

:.△CMD妾XCNE(AAS),

：.CD=CE,DM=EN.

：.OE+OD^OE+OM+DM^OE+OM+EN^ON+OM.

VZAOC=60°,CM±AO,

：.ZMCO=30°,

•*.0M^1-0C1同理可得ON=-^OC,

•'•OE-H3D=yOC-^OC=OC-

②在图4中，(1)中的结论成立，OE-OD=OC,

如图4,过点C作CM_LOA,CNLOB,垂足分别为M,N,

aE、B

图4

：・/CMD=NCNE=90°,

XVOC平分NA03,

:.CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

・・・NCOE+NCEO+NOCE+NOCO=180°,

：.ZOCD+ZCEO=60°,

VZAOC=ZCDO^ZOCD=60°,

・•・ZCDO=ZCEN,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

：./\CMD^/\CNE(A4S),

:,CD=CE,DM=EN.

：.OE-OD=ON+NE-(MD-OM)=ON+OM.

VZAOC=60°,CM±AO,

：.ZMCO=30°,

***OM=yOC?同理可得ON=擀OC,

・・・OE-OD=ON+OM=OC；

在图5中，(1)中的结论成立，OD-OE=OC,

如图5,过点。作皿_1_。4,CN1OB,垂足分别为M,N,

图5

ZCMD=ZCNE=90°,

XVOC平分NA03,

:・CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

•・・/。04+/。。0+/。。片+/0。片=180°,

：.ZOCE+ZCDO=60°,

ZNOC=ZCEO+ZOCE=60°,

：.ZCDO=ZCEO,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

:.丛CMD”丛CNE(AA5),

:.CD=CE,DM=EN.

：.OD-OE=DM+OM-(EN-ON)=ON+OM.

VZAOC=60°,CMLAO,

：.ZMCO=30°,

0M^-0C;同理可得ON=9C,

：.OD-OE=ON+OM=OC；

17.在O。中，弦CD平分圆周角NACB,连接48,过点。作交CB的延长线于

点2图I图2图3

(1)求证：。石是。。的切线；

(2)若tan/CA2=工，且B是CE的中点，。。的直径是百5,求。E的长.

3

(3)P是弦AB下方圆上的一个动点，连接A尸和3P,过点。作。尸于点X,请探

究点尸在运动的过程中，

的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值.

AP+BP

证明：(1)如图1,连接。。交于点E连接。4,OB,AD,

：.ZACD^ZBCD,

/.AD=BD,

ZAOD=ZBOD,

•：OA=OB,

：.OD±AB,

■:AB//DE,

J.ODVDE,

是。。的切线.

解：（2）如图2,连接OC,OD,0E,过点。作Ob_LBC于点尸,

•：OB=OC,OFLBC,

：.ZCOF=zAzCOB=ZCAB,

2

tanNCO/=壁=tanNCAB=工，

OF3

设CF=x,OF=3x,

'：oo的直径是，

...0C=V12,,

2

OC2=OF-+CF2,

...(VW.)2=⑶)2+7,

2

解得：x=—,

2

.•.CF=A,。尸=旦，

22

：.BC=\,

是CE的中点，

:.BE=BC=1,

:.EF=3,

2

VOE2=(?F2+EF2,

：.0伊=(―)2+(―)2=—,

224

\"OD1+DE1=OE1,

DE=VOE2-OD2=4号号=近.

(3)解法一：如图3,延长8P至。使得PQ=AP,连接A。，0C,连接OB,BD,连

接。。交A8于点K,连接HK,

图3

VA,P,B,C四点共圆，

ZAPQ=ZACB,

\"AP=PQ,

：.ZQ^ZQAP,

：.ZQ=90°--j-ZACB,

：DE是O。的切线，

：.OD1DE,

,JDE//AB,

：.ODLAB,

；.K是AB的中点，

■:DHLBH,

:.NBHD=90°,

:NBKD=90°,

：.B,K,H,。四点共圆，

：.ZBHK=ZODB,

；/BOD=NACB,OB=OD,

：.ZODB=90°-^-ZACB,

2

：.ZODB^ZQ,

：.ZBHK=ZQ,

：.AQ//HK,

•BH=BK=2

"BQAB5，

'：BQ=BP+QP,QP=AP,

：.BQ=BP+AP,

・BH_1

"BP+AP2-

解法二：如图4,在3尸上截取尸，连接DM,BD,DP,AD,

•..弦C。平分圆周角NACB,

：.AD=BD,

vPD=PD,

Z