中考数学难点突破训练：二次函数中的特殊四边形问题（原卷版）

专题44二次函数中的特殊四边形问题

【题型演练】

一、解答题

1.(2022•海南省直辖县级单位•统考二模)如图，抛物线y=Y+bx+c经过8(3,0)、C(0,-3)

两点，与x轴的另一个交点为A,顶点为。.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵点E为该抛物线上一动点(与点8、C不重合)，

①当点E在直线的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；

②在①的条件下，点〃是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P,使以C、

E、P、M为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

7

2.(2022•陕西西安•校考模拟预测)如图，抛物线y=-N+w+c的对称轴为直线x=1,

其图象与直线y=gx+2交于C,。两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上

一动点，过点尸作轴于点E,交CD于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸的横坐标为xo,当xo为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？

请说明理由.

3.(2022・广东佛山・西南中学校考三模)如图，抛物线y=^+6x+c与x轴交于A,5(-1,0)

2

两点，与y轴交于点c,直线AC的解析式为y=§x-2.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知上为正数，当0<x41+左时，》的最大值和最小值分别为机，"，且=求左

的值；

(3)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点。，使得以点A,C,P,Q为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2022•山东聊城•校联考一模)如图，在直角坐标系中，抛物线>=办2+弧+石与x轴交

于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,顶点为点。，且O8=3OA=6OC.

(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；

(2)在线段上找一点E(不与2、C重合)，使+的值最小，并求出这个最小值;

(3)连接AC,是否在抛物线上存在点P,过点尸作于点E,使以点A、C、尸、E为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2022•内蒙古鄂尔多斯•统考一模)如图，抛物线尸-f+6x-5与无轴交于点A和点8,与

y轴交于点C,经过3、C两点的直线为y=x-5,

（2）点P从A出发，在线段A2上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在

线段8c上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运

动.设运动时间为/秒，求t为何值时，APBE的面积最大，并求出最大值.

（3）过点4作4/，8（7于点过抛物线上一动点N（不与点8、C重合）作直线AM的平行

线交直线2C于点。.若点A、M、N、。为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.

6.（2022•山西吕梁・统考三模）综合与探究

2?

如图，抛物线、=一§尤?+gx+4与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C.点M是y轴右侧

（1）请直接写出点A,B,C的坐标及直线BC的解析式；

⑵当DE=OE时，求点。的坐标；

⑶试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A,C,E,M,为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，直接写出"的坐标，若不存在说明理由.

7.（2022•山东济宁•校考二模）已知抛物线y=-!/+法+。与直线AC交于A、C两点，如

4

果点A（-2,0）,C（4,3）.

(1)求抛物线和直线AC的解析式.

(2)长度为正的线段DE在线段AC上移动，点G与点/在上述抛物线上，且线段DG与政

始终平行于，轴.连接尸G,求四边形。EFG的面积的最大值，并求出对应点。的坐标，判

断此时四边形。瓦G的形状.

8.(2022•福建福州•福建省福州屏东中学校考三模)如图，抛物线丁=依2_4依+2(。＜0)与了

轴交于点A,对称轴交x轴于点8,点尸是抛物线在第一象限内的一个动点，F。，45交,

轴于点C,交x轴于点D,EF_Lx轴于点E,点〃是抛物线的顶点，已知在点尸的运动过

程中，FD的最大值是4近.

⑴求点8的坐标与。的值；

(2)当点。恰好是的中点时，求点E的坐标；

(3)连结作点E关于直线OP的对称点尸，当点尸落在线段4W上时，则点E的坐标为

.(直接写出答案)

9.(2022•山西・山西实验中学校考模拟预测)综合与探究：

已知：二次函数y="2+bx+c的图象的顶点为。(-1,4),与x轴交于B,A两点，与y轴交

于点C(0,3),如图：

⑴求二次函数的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点E,使得“虑的周长最小，求出点E的坐标；

⑶若点N在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点尸，使得以48、N、尸为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

10.(2022•甘肃平凉.校考二模)如图，抛物线＞=-/+次+。交，轴于点4(0,2),交x轴于

点仇4,0)、C两点，点O为线段OB上的一个动点(不与0、3重合)，过点。作DMLx轴，

交于点"，交抛物线于点N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AN和3N,当AABN的面积最大时，求出点。的坐标及AABN的最大面积；

⑶在平面内是否存在一点P,使得以点A,M,N,尸为顶点，以AM为边的四边形是菱形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.(2022.重庆大渡口・重庆市第三十七中学校校考二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物

线y=*+fov+c与直线交于A,8两点，其中40,1),3(4,-1).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸，Q为直线A2下方抛物线上任意两点，且满足点尸的横坐标为点。的横坐标为

m+1,过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和。点，连接尸。，求四边形PQDC

面积的最大值；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=V+fov+c沿射线45平移26个单位，得到新的抛物线

%,点E为点P的对应点，点歹为M的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，

当点B,E,F,G构成以所为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标.

12.(2022・山东日照.校考二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=；V+6x+c经过点

A(-4,0),点/为抛物线的顶点，点B在y轴上,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接OC,若过点。的直线交线段AC于点P,将三角形AOC的面积分成1:2的两部分,

请求出点P的坐标；

(3)若。是直线AC上方抛物线上一个动点(不与点4c重合)，当△Q4C的面积等于AAOC

的面积时，求出。点的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上有一动点”，在抛物线上是否存在一点N,使以点A、H、C、N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

4

13.(2022・重庆璧山・统考一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ox2+§x+c与

(2)如图1,连接AC,点。为线段AC下方抛物线上一动点，过点。作小〃》轴交线段AC

于E点，连接E。，记△ADC的面积为百，△AEO的面积为S?,求工-S2的最大值及此时

点。的坐标；

（3）如图2,在（2）问的条件下，将抛物线沿射线CB方向平移递个单位长度得到新抛物

2

线，动点M在原抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、。、

M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写

出来.

14.（2022.辽宁鞍山•统考二模）如图，已知抛物线y=曰；^+云+c与x轴交于A,B两点，

点A的坐标为点2的坐标（3,0）,与y轴交于点C,点。是点C关于抛物线对称轴

的对称点，连接CD过点。作DHLx轴于点X,过点A作AELAC交。X的延长线于点

E.

备用图

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AE上找一点在线段。E上找一点N,求ACMN的周长最小值；

⑶在（2）间的条件下，将得到的ACMN沿射线AE平移得到ACMN"记在平移过程中，

在抛物线上是否存在这样的点。，使。、C'、M'、N'为顶点的四边形为菱形，若存在，

直接写出ACMV平移的距离；若不存在，说明理由.

15.（2022•重庆・统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=or2-x+c（a¥0）与x轴交于A、

8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C.其中点A（-2百，0）,点C（0,-4旧）,

连接AC、BC.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,在直线BC的下方抛物线上有一点P,过点P作轴交于点H,求PH-包

4

的最大值以及此时点P的坐标；

(3)将抛物线y沿射线CA方向平移3岳个单位长度后得到新抛物线》,点、E在新抛物线山

上，点厂是原抛物线对称轴上一点，若以点夙C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，直

接写出点尸的坐标，并写出求解其中一个尸点的过程.

16.(2022・重庆・西南大学附中校考三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+法-2

与无轴交于A-1,0),B两点，其对称轴x=l与x轴交于点D

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2汝口图1,点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接P8,PC,CD,求四边形尸8OC面

积的最大值和此时点P的坐标；

(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线V，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴

相交于点E,点F为抛物线V对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得

以点A,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐

标的过程写出来.

17.(2022•内蒙古包头•包头市第二十九中学校考三模)如图，把两个全等的MAA08和MA

COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边。2,。。在无轴上，已知点4(2,4),抛物线

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；

(3)点P为线段OC上一个动点(不与O,C重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点

是否存在点P,使线段AM与相等？若存在，求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明

理由.

18.(2022.辽宁鞍山•模拟预测)如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=ax2+bx+c+(a<0)与x轴分则点A和点3(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-l,

且。4=OC,P为抛物线上一动点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

⑵如图2,连接AC,当点尸在直线AC上方时，求四边形巩8C面积的最大值，并求出此

时P点的坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P,M运动时，在坐标轴上是否存在点N