中考数学难点突破训练：二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题（原卷版）

专题28二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，二次函数y=—f—2x的图象与x轴交于点4。，点尸是抛物线上的一个动点,

且满足＜AOP=3,则点尸的坐标是（）

A.（-3,-3）B.（1,-3）C.（-3,-3）或（1,一3）D.（T-3）或（-3,1）

2.如图，在AABC中，NC=90。，AC=5,8C=10,动点〃、N分别从A、C两点同时出

发，点/从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB

向点B以每秒2个单位长的速度移动.设运动的时间为二,点M、C之间的距离为y,AMCN

的面积为S,则y与t,S与f满足的函数关系分别是（）

A

B/N/IC

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

3.如图，二次函数y=-/+2x+〃z+l的图象交x轴于点A（a,0）和8（6,0）,交y轴于

点C,图象的顶点为Z）.下列四个命题：

①当尤＞0时，y＞0；

②若a=-1,则b=4-,

③点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为x轴上的一个动点，当相=2时，AMCE周

长的最小值为2，市；

④图象上有两点尸（尤/,力）和。（尤2，丫2），若尤7＜1＜X2，且幻+必＞2,则”＞以，

其中真命题的个数有（）

4.已知点(/，%)是二次函数y=⑪2+bx+c(〃邦)的图象上一个定点，而(m,〃)是二次

函数图象上动点，若对任意的实数相，都有。(%-〃)＜0,则()

A.a%-2b=0B.6zxo+2b=0C.2axQ-b=0D.2ax0+b=0

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-/+法+3的图像与x轴交于A、C两点，与

x轴交于点C(3,0),若P是x轴上一动点，点。的坐标为(0,-1),连接PD,则0PD+PC的

A.4B.2+2A/2C.2^2D.—+-JA/2

6.如图，已知二次函数＞=方2+区的图象与一次函数丁=履的图象交于点A,O,过线段

AO上一动点E作直线EFL无轴交抛物线于点F,则线段EF的最大值为()

7.在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+6x+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)

两点，与y轴交于点C.点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，若点尸使△4CP的面积最大，

则点P的坐标为()

8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y

轴交于点2(0,-3),若P是x轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接尸。，则&PD

A.4B.2+2应C.2应D.-+-^

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=V+3尤-4的图象与x轴交于A、C两点，与y

轴交于点8,若P是x轴上一动点，点。(0,2)在y轴上，连接尸。，则尸。+［尸。的最

C.2+35/2D.3亚

10.已知二次函数y=-2Y+3x+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.下列说法正确

的是()

①线段AC的长度为姮；②抛物线的对称轴为直线龙=：；③尸是此抛物线的对称轴上的

一个动点，当P点坐标为时，-的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N

是此抛物线上的一个动点，如果以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件

的M点有4个.

二、填空题

n.一动点尸在二次函数＞=-的图像上自由滑动,若以点「为圆心，1为半径的

12.“一切为了[T是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌.已知线段A2,对

于坐标平面内的一个动点P,如果满足NAP3=30。，则称点尸为线段AB的“U点”，如图，

二次函数y=+；与无轴交于点A和点艮(1)线段A3的长度为；(2)

若线段A3的“fT点落在y轴的正半轴上，则该“。点”的坐标为.

y

13.如图，二次函数y=f-4与x轴交于AB两点（点A在点8左边），与y轴交于C点，

若点。坐标为（0,2）,以。点为圆心，R为半径作圆，尸为。。上一动点，当AAPC面积

14.如图，设定点A（1,-君），点P是二次函数y=：（x+5）2+石图象上的动点，将点

P绕着点A顺时针旋转60。，得到一个新的点P.已知点8（2,0）、C（3,0）.

（1）若点尸为（-5,C求旋转后得到的点P的坐标为

（2）求48cp的面积最小值为.

三、解答题

15.在平面直角坐标系中，二次函数＞=。（尤-1）2与直线y=-x-l交于A、B两点，其

中点8的坐标为（0,-D,抛物线的顶点C在x轴上.

⑴求二次函数的表达式；

⑵点尸为线段A3上的一个动点(点P不与A、8两点重合)，过点

P作轴交抛物线于点E,设线段PE的长为〃，点P的横坐标为『，当，取何

值时，h有最大值？最大值是多少？

⑶点。为直线A3与对称轴x=l的交点，在线段上是否存在一点尸，使得四边形

DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数>=-/+64+<?的图像与坐标轴相交于A、B、C

三点，其中A点坐标为(4,0),8点坐标为(-1,0),连接AC、BC.动点尸从点A出发，在

线段AC上以每秒应个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点。从点B出发，在线段创

上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，

连接尸2,设运动时间为f秒.

(1)求二次函数的解析式.

(2)在P、。运动的过程中，当f为何值时，四边形8CPQ的面积最小，最小值为多少？

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点使△加尸。是以点尸为直角顶点的等腰直角三

角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线y=gx-2与x轴交于点3,与y轴交于点C,二次

函数y=尤+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点。在直线BC

下方的二次函数图象上.

(2)连接。C,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值.

18.二次函数y=o?+6x+3的图象与无轴交于A(2,0),3(6,0)两点，与，轴交于点C,顶

点为E.

⑴求这个二次函数的表达式：

⑵如图①，。是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当8。的垂直平分线恰好经过点C时,

求点。的坐标；

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接。尸，取。尸中点。，连接QC,QE,

CE,当VCEQ的面积为12时，求点P的坐标.

19.二次函数、=加+法+3的图象与x轴交于4(2,0),3(6,0)两点，与，轴交于点C,顶

点为E.

E

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图，点P是图象对称轴右侧抛物线上的一个动点，连接。P,取0P中点Q,连接

QC,QE,CE,当S“CE2=12时，求点P的坐标.

20.如图，己知二次函数y=af+/+3的图象与无轴交于点A(1,0)、B(-3,0),与y

轴的正半轴交于点C.

⑵点D是线段OB上一动点，过点。作y轴的平行线，与8C交于点E,与抛物线交于点F,

连接CR探究是否存在点。使得△CE尸为直角三角形？若存在，求点D的坐标;若不存在,

说明理由;

⑶若点尸在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，0为半径的圆与直线8c相切，若存

在，求点尸的坐标；若不存在，说明理由.

21.如图，二次函数丫=./+匕龙+c(存0)的图象交x轴于A、8两点，交y轴于点。，点8

的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).

（2）点P是直线8D上的一个动点，过点尸作x轴的垂线，交抛物线于点当点尸在第一

象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在点Q,且点。在第一象限，使△8。。中8。边上的高为夜?若存在，

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图1,已知二次函数>=底+法+c的图象的顶点为。（0,1）,且经过点4（2,2）.

图1图2

⑴求二次函数的解析式；

（2）过点A的直线与二次函数图象的另一交点为3,与y轴交于点C,若ABDC的面积是△ADC

的两倍，求直线AB的解析式；

（3）如图2,已知E（m,0）,是无轴上一动点（E,。不重合），过E的两条直线乙，&与二次函

数均只有一个交点，且直线4,4与>轴分别交于点〃、N.对于任意的点E,在y轴上（点

M、N上方）是否存在一点尸（0J）,使恒成立.若存在，求出f的值；若不

存在，请说明理由.

23.如图，抛物线y=-/+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点2与

点C的坐标分别为3（3,。），Q0.3）,点M是抛物线的顶点.

(1)求二次函数的关系式；

⑵点P为线段MB上一个动点，过点P作阳，x轴于点。.若8=m,APCD的面积为S,

试判断S有最大值或最小值？并说明理由；

(3)在MB上是否存在点P,使△尸CD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由.

24.如图，若二次函数y=a/+bx+4的图象与无轴交于点A(T,O)、3(4,0),与V轴交于

(1)求该二次函数的解析式;

⑵若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K,使以点2、C、。、K为顶点，BC为

边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，已知抛物线经过点A(-LO),*3,0),C(0,3)三点，点。是直线3c绕点B逆时

针旋转90。后与y轴的交点，点〃是线段A3上的一个动点，设点M的坐标为(〃2,0),过点〃

作X轴的垂线交抛物线于点E,交直线3D于点尸.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；

⑵在点以运动过程中，若存在以所为直径的圆恰好与y轴相切，求小的值；

(3)连接AC,将A40c绕平面内某点G旋转180。后，得到入4,。6，点A、0、C的对应点

分别是点4、。1、G，是否存在点G使得AAOC旋转后得到的AAQG的两个顶点恰好落在

抛物线上，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x?+bx+c的图象与X轴交于A、8两点，

与y轴交于c(o,3),A点在原点的左侧，8点的坐标为(3,0).点p是抛物线上一个动点，

且在直线的上方.

⑴求这个二次函数及直线BC的表达式.

⑵过点尸做尸。〃y轴交直线8C于点。，求尸。的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N,使AMNO为等腰直角三角形,

且为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

27.次函数1=依、为：+2的图象交x轴于点A(―1,0),B(4,0),两点，交y轴于点C,

动点〃从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作MNLx轴交直

线于点N,交抛物线于点连接AC,设运动的时间为/秒.

(1)求二次函数丫=加+云+2的表达式；

3

(2)连接2。，当f=］时，求AOVB的面积；

(3)在直线MN上存在一点P,当APBC是以/BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P

的坐标.

28.如图，已知抛物线经过点A(-l,