中考数学模型复习讲义：四边形对角互补模型（原卷版）

回］）模型介绍

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与

120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明

两个三角形全等或者相似.

模型一、含90。的全等型

1.如图，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=，^OC,

2.如图，已知NDCE的一边与AO的延长线交于点D,NAOB=NDCE=90。，OC平分

ZAOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OE—OD=V”OC,③一SMOQ=J。。？.

模型二、含60°与120°的全等型

如图，已知/AOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,®SOD+S^OE=oc\

ACC4

【例1]如图，在四边形ABC。中，ZA=ZC=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为

A变式训练

【变式1T】.如图，正方形A8CD的对角线AC与8。相交于点O,E,F分别是AB,BC

上的点，连接EE若AE=4,CF=3,OE1OF,求所的长.

【变式1-2].如图，在矩形ABC。中，A2=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE,

作垂足为E,直线交线段OC于点F,则变=

BE

【例2].如图，四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,8。平分/ABC,ZDCB=60°,

AB+BC=4,贝ijAC的长是.

A变式训练

【变式2-1].如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。顶点A的坐标为（0,2）,B点在

龙轴上，对角线AC,BD交于点M,OM=342＞则点C的坐标为

【变式2-2].如图，在RtZkABC中，ZABC=90°,48=3,BC=4,RtAMPN,ZMPN

=90°，点、P在AC上,PM交AB于点、E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=

【变式2-3].如图，正方形ABC。，点P是对角线AC上一点，连接BP,过尸作PQLBP,

PQ交CD于。,连接2。交AC于G,若AP=近,。为CZ）中点，则下列结论：

①NPBC=NPQD；②BP=PQ；③/BPC=NBQC；④正方形A2CZ）的面积是16；

其中正确结论是

实战演练

1.如图，在四边形ABC。中，ZA=ZC=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为12,则

BC+CD=

2.如图，在AABC中，ZABC=60",AB=2如,BC=8,以AC为腰，点A为顶点作等

腰△AC。，且/D4C=120°,则8。的长为

3.如图所示，在四边形ABC。中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则

8。的长为

4.四边形ABC。被对角线8。分为等腰直角和直角△C8。，其中乙4和/C都是直

角，另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCZ）的面积.

5.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点。是正方形ABC。的中心，正

方形OMNP绕0点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重

叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.

6.基本模型

在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型.

解题思路：

1.过互补角的顶点作旋转构造全等或相似；

2过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似.

问题：

如图，在四边形42CD中，ZABC^ZADC^90°,8。平分/ABC.

结论：①AD=C。；②AB+BC=\[iBD；③S四边形A3C£)=ABD2

2

请证明【基本模型】中的结论.

求证：①AD=CD；②AB+BC=4^BD；③5四边形ABCD=」8O2.

7.如图1,ZA(9B=90°,0c平分乙4。8,以C为顶点作/。。£=90°,交。4于点

OB于点E.

(1)求证：CD=CE；

(2)图1中，若。C=3,求0D+0E的长；

(3)如图2,ZAOB=120°,0C平分NAOB,以C为顶点作/。CE=60°，交。4于

点。，0B于点E.若0C=3,求四边形OECD的面积.

8.感知：如图1,AD平分NBAC.NB+/C=180°,ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如图2,平分N3AC,ZABD+ZACD^180°,ZABD<90°,求证：DB=DC.

应用：如图3,四边形ABC。中，NB=45°,NC=135°,DB=DC=a,贝l|AB-AC

=（用含。的代数式表示）

C

D

DD

探究:

9.问题提出：

(1)如图1,已知线段AB=2,AC=4,连接BC,则三角形ABC面积最大为；

问题探究：

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,ZBAD^ZBCD^90°,若C£>+BC=10,

求四边形ABC。的面积；

问题解决：

(3)在四边形ABC。中，AB=AD,ZBA29+ZBCD=180°,AC=8,求四边形ABC。

面积的最大值.

10.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.

(1)概念理解：

①在互补四边形A8CD中，NA与/C是一组对角，若NB：ZC：ZD=2：3：4,则/

A=°；

②如图1,在△ABC中，点、D,E1分别在边AB,2C上，5.BE'BC^AB-BD,求证：四

边形AOEC是互补四边形.

(2)探究发现：如图2,在等腰△ABE中，AE=BE,点C,。分别在边BE,AE1上，AD

=BC,四边形CEL归是互补四边形，求证：/ABD=/BAC=L/E.

图1图2

11.如图，正方形ABC。中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点8,

直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于。.

（1）如图1,当点。在。C边上时，探究尸2与尸0所满足的数量关系；

小明同学探究此问题的方法是：

过尸点作于E点，PFLBC于F点,

根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PR

再证明△PE。之可得出结论，他的结论应是；

（2）如图2,当点。落在。C的延长线上时，猜想并写出与尸。满足的数量关系,

并证明你的猜想.

12.【提出问题】

（1）如图1,在等边△ABC中，点M是8c上的任意一点（不含端点8、C）,连接AM,

以AM为边作等边△AMN,连接CN.求证：BM=CN.

【类比探究】

（2）如图2,在等边△ABC中，点M是2C延长线上的任意一点（不含端点C）,其它

条件不变，(1)中结论3M=CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中，BA=BC,AB=6,AC=4,点”是8C上的任意一点(不

含端点B、C),连接AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角连接CN.试

探究8M与CN的数量关系，并说明理由.

13.定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形.

(1)概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的

有;

(2)性质探究：

①如图1,四边形ABC。是奇异四边形，AB^AD,求证：CA平分NBC。；

②如图2,四边形A8C。是奇异四边形，AB=AD,ZBCD=2a,试说明：cosa=%空；

2AC

(3)性质应用：

如图3,四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD,且四边形ABCD的周长

为6+2百5，ZBAC=45°,AC=3近,求奇异四边形ABCQ的面积.

图

1图2图3

14.已知：在四边形ABC。中，/A+NC=180°,DB平分NAOC.

（1）求证：AB=BC；

（2）如图2,若/ADB=60°,试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如图3,在（2）得条件下，在A8上取一点E,8C上取一点F，连接CE、AE交于

点连接EF,若/CMF=60°，AD=EF=1,CD=8（CF>BF）,求AE的长.

AB

图1图2图3

15.在△ABC中，AB=AC,ZA=60°,点。是线段BC的中点，/EDF=120°,DE与

线段AB相交于点E，。尸与线段AC(或AC的延长线)相交于点尺

(2)如图2,将(1)中的/即尸绕点。顺时针旋转一定的角度，。尸仍与线段AC相交

于点尺求证：BE+CF=^-AB.

2

(3)如图3,若/即尸的两边分别交A3、AC的延长线于E、尸两点，(2)中的结论还

成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关

系.

16.如图，已知NOCE与NAOB,0c平分NAOB.

（1）如图1,NOCE与/AOB的两边分别相交于点。、E,ZAOB=ZDCE^90°,试

判断线段。与CE的数量关系，并说明理由.

图1图2（备用）

以下是小宇同学给出如下正确的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如图1,过点C作CPLOC,交。2于点R则NOC尸=90°,…

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程.

（3）若乙4。8=120°,ZDCE=6Q°.

①如图3,/OCE与/A0B的两边分别相交于点。、E时，（1）中的结论成立吗？为什

么？

线段O。、OE,OC有什么数量关系？说明理由.

②如图4,4DCE的一边与A。的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请

直接写出线段OE、OC有什么数量关系；如图5,NDCE的一边与2。的延长线相

交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段。。、OE,OC有什么数量关

系.

A

Aa

E、B

OIEBDI'EOB

图3图4图5

17.在。。中，弦CO平分圆周角NAC5,连接AB,过点D作DE//AB交CB的延长线于

点从图1图2图3

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若tanNCA3=』，且5是CE的中点，。。的直径是丁元，求。E的长.

3

(3)P是弦AB下方圆上的一个动点，连接A尸和8P,过点。作。于点”，请探

究点尸在运动的过程中，

的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值.

AP+BP

18.(1)探究：如图1,在△ABC和△ADE都是等边三角形，点。在边BC上.

BD

图1

①求NOCE的度数;

②直接写出线段