指数与指数函数（6大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题（人教A版必修第一册）

专题19指数与指数函数

目录

解题知识必备....................................

压轴题型讲练...................................................................3

题型一、指数式的化简与求值..................................................3

题型二、指数函数的图像.......................................................6

题型三、指数(型)函数过定点问题...........................................9

题型四、指数(型)函数的定义域与值域.....................................10

题型五、指数(型)函数的单调性与最值.....................................12

题型六、指数(型)函数与不等式............................................17

压轴能力测评(13题).......................................................22

x解题知识必备♦♦

一、〃次方根的定义

1、定义：一般地，如果x"=。，那么x叫做。的〃次方根，其中且"eN*

2、个数：

Q〉0,X〉0L

(1)当〃是奇数时，\八八，X的值仅有一个，记为折；

«<0,x<0

(2)当〃是偶数，①。〉0时，x的有两个值，且互为相反数，记为土折；

②a<0时，x不存在

二、根式

1、定义：式子后叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

,—(2〃为奇数

2、性质：(五)"=a；(y/a)n=V,4/用夹:Cn>l,且〃eN*)

网,〃为偶数

三、分数指数塞的意义

1、分数指数幕的意义

(1)正分数指数塞：规定：J=(a>0,m,neN\«>l)

m

(2)负分数指数累：规定:a~"二而(a>O,m,neN*,«>1

(3)性质：0的正分数指数累等于0,0的负分数指数累没有意义

2、分数指数累的注意事项:

—mm

(1)分数指数基是指数概念的又一推广，分数指数幕。"不可理解为一个。相乘，它是根式的一种新的写

n

法.在这样的规定下，根式与分数指数累是表示相同意义的量，只是形式不同而己.

(2)把根式叱化成分数指数塞的形式时，不要轻易对丝进行约分.

n

(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幕，

如(-5六=#(-5)2有意义,但(-5)=#(-5丫就没有意义.

四、无理数指数嘉

一般地，无理数指数塞(a>0,a为无理数)是一个确定的实数.

有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.

【注意】(1)对于无理数指数幕，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幕无

限逼近的结果.

(2)定义了无理数指数暴之后，幕的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.

五、实数指数幕的运算性质

@aras=ar+s(a>0/,seR).

②(屋)'=ars(a>0,r,seR).

rrr

@(ab)=ab(a>0,Z)>0,reR).

六、指数募运算的一般原则

1、有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算；

2、先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数；

3、底数是分数，先确定符号；底数是小数，先化为分数；底数是带分数，先化成为假分数。

4、若是根式，应化为分数指数事，尽可能用幕的形式表示，运用指数塞的运算性质来解答。

七、指数函数的概念

1、定义：一般地，函数了=优(。>0且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R,。是指

数函数的底数.

2、注意事项：指数函数了=4的底数规定大于0且不等于1的理由:

当x>0时，优恒等于0,

(1)如果4=0,当

当x<0吐优无意义

(2)如果"0,如y=(-4厂，当x=时，在实数范围内函数值不存在.

(3)如果=1工=1,是一个常量，对它就没有研究的必要.

为了避免上述各种情况，所以规定。＞0且awl.

八、指数函数的图象与性质

a>\0<a<1

Lx-a'

图象

U).11

…L

()X鬻

定义域R

值域(0,+co)

性质

过定点(0,1)

单调性在K上是增函数在K上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

九、比较指数塞的大小

比较嘉的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个募的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个累的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的哥的大小比较，可先化为同底的两个累，或者通过中间值来比较.

十、简单指数不等式的解法

1、形如af{x)＞/⑺的不等式，可借助y=ax的单调性求解；

2、形如的不等式，可将6化为a为底数的指数幕的形式，再借助y=a工的单调性求解；

3、形如优＞6*的不等式，可借助两函数＞=a"y=的图象求解。

♦♦压轴题型讲练”

【题型一指数式的化简与求值】

一、单选题

1.(2023高一上•安徽芜湖・专题练习)若实数满足等式2a-6属与=2/一2五=1+；,则/=()

16

A.-B.—C.J2D.4

42

【答案】A

【分析】移项化简得;（2。-1）2+伍-2）〃^=0,根据非负性求解即可.

【详解】由条件知:（2。-Ip+e-2）物=1=0,根据非负性可知。=g,6=2,所以，=；,

故选：A.

二、多选题

2.（22・23高一上•福建厦门•期中）已知实数。满足Q+〃T=4,下列选项中正确的是（）

,Lee1133

A.a-a=273B.a-+a~~=14C,后+尸=娓D-a，J=3瓜

【答案】BCD

【分析】运用塞的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立Q+Q1，ci-a9“5+Q5，a?+Q?以

33

/+/a之间的内在联系即可求得.

【详解】因为a+a~l=4f所以。〉0,

对于A选项，由（a-=a2+a2—2a-ax=（q+a，-4=12,可得Q-。一1=土2下t,故A项错误；

对于B选项，/+。-2一2。.4-1=16一2=14,故B项正确；

（1_1Y1_11111

对于C选项，叫a?+a2]=a+qT+2a2.q2=6,又a>0，所以*+”>0，贝!!*+/5=&，故C项

正确；

对于D选项，因“5+万=储了+[）3=储+ai）仅_1+°T）=3而故D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

3.（23-24高一上•四川成都•阶段练习）已知正数。力满足“+26=1,则2"+平的最小值为.

【答案】272

【分析】利用基本不等式直接求解最值即可.

【详解】因为凡b是正数，a+2b=\,所以2"+4〃22,2"•4'=2,2"+2b=2叵，

当且仅当a=2b=g时取等号，即当。=；力=；时，2"+4〃的最小值为2&.

故答案为：28

四、解答题

]_

]_376

4.（24-25高一上•全国•课后作业）（1）化简:X|+8。%啦+(痒⑹;

8

2_1_

5X3y「

（2）化简:

（3）已知G+YT_5,求口的值.

ATA-J1

【答案】（1）112；（2）24）；（3）23

【分析】（1）利用指数幕和根式的运算法则化简求解；

（2）利用指数塞的运算法则化简求解；

（3）根据指数塞的运算法则，利用平方即可求解.

【详解】（1）原式=813jxl+（23）4x24+23x32=2+244+22x33=112；

\\）

（2）原式=5x（一4）义][1/3卜j+鸟）=24x。）=24j；

(3)因为1+XT_5,

AIA-J

两边同时平方得，x+2+-=25,

整理得，x+x-1=23,

所以**1=x+x-1=23.

5.(23-24高一上,江苏连云港•期中)已知8--1==小,求下列各式的值.

(1)Q+QT

33

Q5+Q5

33

⑶q2_q2

a-a-1

【答案】⑴a+a"=7

(2)6

【分析】（1）根据指数幕的运算，结合完全平方公式即可求解,

（2）根据指数塞的运算，结合立方和的公式即可化简求解，

（3）由立方差的公式，化简即可求解.

【详解】（1）由6-，==6，可知。＞0,

7a

l

因为=a+a~-2=59故Q+Q-1=7.

\7

_1_

23Q，+Q2(q-l+q-l)

(2)Q^+Q2

---------j------j---------—a—\+a~{=6.

a2+a2Q，+。'

(L_2_\2

(3)由(1)知。+/=7,所以/+/=a+a-1+2=9,

\7

又因为「+<3>0,所以)+/=3，

33\a^--a2|(tz+l+6z-1),

a^-a2(J_6Z+1+6Z-8

所以

ci—ci13

卜+丁]卜一/]a2+a2

【题型二指数函数的图像】

一、单选题

1.（22-23高一上•河南南阳•期中）函数y=优与y=x"的图象如图所示，则实数a的值可能是（）.

【答案】B

【分析】利用指数函数与幕函数的图像性质判断得a的可能取值.

【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数了=优，图像②是塞函数.，，=/,

因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知0＜。＜1,排除D；

再由图像②存在（-8,0）的图像，由基函数的图像性质可知。的分母为奇数，排除AC；

综上：g满足a的取值要求，故a的可能取值为，

故选：B.

2.（23-24高一上•河北张家口•期末）函数y=x（e，-eT）的图象大致为（）

【答案】D

【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可.

【详解】/(-x)=-x(e-J-e^)=/(x),故〃x)为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数〃x)在(0,+⑼为

增函数，增长方式上应与指数函数相似.

.故选：D.

3.(23-24高一上•重庆•期中)已知函数/(x)=(x-a)(x-6)(a>6)的图象如下图所示,则g(x)=a'-6的图

【分析】由二次函数性质即可得。>1>6>0,再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.

【详解】根据函数/(》)=(》-。)(第=6)(。>6)的图象可知0>1>6>0,

再由指数函数图象及性质可知，g（x）=a，-b为单调递增，可排除AB,

且与V轴交点为（01-6）,又1>6>0,所以即交于V轴正半轴上，排除D,可知C正确;

故选：C

二、填空题

4.（23-24高一上•福建泉州•阶段练习）已知函数/（x）=3-+6的图象不过第二象限，则实数6的取值范围

是.

【答案】,9-?

【分析】利用指数函数图象性质可知>=3一至少向下平移g个单位长度才能满足题意，即可求得

【详解】由已知可知〃x）=3.+6在R上单调递增，

故答案为：［-叫-：­

5.（23-24高一上•全国・单元测试）若直线y=2a与函数y=|ox—l|+l（a>0,且存1）的图象有两个公共点,

则a的取值范围是.

【答案】1<«<1

【分析】分a>l和OVaVl两种情况讨论交点的情况即可.

当a>l时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知IV2a<2,即;<aVl,与

a>l矛盾；

当0<a<l时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知l<2a<2,即g<aV

1.综上可知，-<a<l.

故答案为：­<a<l.

【题型三指数（型）函数过定点问题】

一、单选题

1.（23-24高一上•云南昭通•阶段练习）已知函数y=2广3Tm>（）,且。工D恒过定点/G,%）,且满足

31

mx+ny=l,其中见〃是正实数，则一+一的最小值是（）

00mn

A.16B.6C.2A/3D.百

【答案】A

【分析】通过尤-3=0可得定点A,代入等式得3加+〃=1,然后通过展开』+'=F+!］（3〃?+"）可求最小

mn\mn）

值.

【详解】令x-3=0,得x=3,此时y=l,.•./(%,%)为(3,1),

3机+〃=1.

31f31V_x._3n3m_l3n3m.「

—I—=—1—(3加+〃)=10H1210+2.---------=16,

mn\mn)mn\mn

当且仅当3也l?=也3H2，即〃7=1；,”=1；时，等号成立，

mn44

故选：A.

二、填空题

J3

2.(23-24高一上•江西九江・期末)若函数/(x)=a2+1,(a>0,且。*1力>0）的图象过定点A,且点A

在哥函数〃(x)=(3机一2卜"用上，则b=_______.

【答案】V7

【分析】求出事函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入基函数解析式可得.

【详解】人（X）是塞函数，贝!J3:“-2=1,

〃司=产+]中，令x-1=0,得x=J,/（：）=1,.••定点为（f）,

一乙乙/（rI

.•.（夕:彳，又6＞0,•,-Z?=V7.

故答案为：V7.

3.（23-24高一上•福建泉州・期末）对于任意。＞0且。片1,函数/（x）=ai'+6的图象恒过定点（1,2）,

若〃x）的图象也过点（T10）,则〃x）=

x-1

【答案】II+1

【分析】由题意首先得〃=-叽6=1,然后代入（-1,1。）得屋"=；,由此即可得解.

m+n=0

【详解】因为函数/（x）=+6的图象恒过定点（1,2）,所以6+1=2'所以"=一心力=1'

所以"x)=a"'(z)+l,

又的图象也过点（T10）,

所以/（一l）=a-2，"+i=io,又葭＞。,解得优"=；

所以/(x)=

X-1

故答案为:II+1.

【题型四指数（型）函数的定义域与值域】

一、单选题

1.（2024高三•全国•专题练习）设函数〃x）=，4-2、，则函数/0的定义域为（）

A.[2,+oo）B.[4,+8）C.（-oo,2]D.（一与4]

【答案】D

【分析】求出/（X）的定义域后可求/的定义域，

【详解】因为/（耳=49,所以4一2*20,故XW2,

故〃x）的定义域为（-叫2],

令则x44,故，£|的定义域为（-8,4].

故选：D.

二、解答题

2.（2023高一•江苏•专题练习）求下列函数的定义域和值域:

1

⑴歹=2。；

z1xX2—2x—3

⑶

（4）y=4*+2田+1.

【答案】⑴定义域四"4},值域为{y|y»o且ynl}

⑵定义域为（-叫。］,值域为［01）

（3）定义域为R,值域为（016］

⑷定义域为R,值域为{了卜>1}

【分析】（1）由x-4/O得定义域，求出占的范围，结合函数>=2"的性质可得值域；

（2）由被开方数非负得定义域，由指数函数性质结合二次根式得值域；

（3）定义域为实数集，求出%2-2x-3的最小值（取值范围后，由指数函数性质得值域）;

（4）配方得了=（2，+1）2,再利用二次函数的图象和性质求解.

【详解】（1）要使函数式有意义，则》-420,解得"4.

所以函数了=2±的定义域为Wx*4}.

因为占w0,所以22片1，即函数>=2*的值域为切y>。且

（2）由题意知1一2工20,所以2'41=2°,所以x40,

所以函数y=FF的定义域为（-8,0］.

因为x40,所以0<2Vl,所以一1工一2*<0,BP0<l-2A<1,

所以函数了二口7的值域为［0』）.

（3）由题意知函数y=2"3的定义域为R.

因为x?-2x-3=-42-4,所以g）WU=16,

又出>0,所以函数昨出“的值域为（0,16].

（4）由题意易知函数了=平+2同+1的定义域为R,

因为y=4*+22+1=（2*丫+2•2*+1=（2'+1）2,

又2'>0,所以>>1,故函数y=4'+2用+1的值域为{用丁>1}.

3.（23-24高一・上海•课堂例题）已知。>1,6>0.求证：对任意给定的实数后，a2b+k-ab+k>ab+k-ak.

【答案】证明见解析

【分析】利用指数式的非负性结合基本不等式证明

【详解】由指数函数的性质可知，时，y^ax>0,故/"%>0,/>0,小匕0,

2b+kk2b+kkb+k

由基本不等式，a+a>2ylaxa=2a.

注意到0>0,故2b+k>k,即基本不等式中°加

故等号取不到,贝（-+d>2a"*,

于是户+Q/木>/J/得证.

【题型五指数（型）函数的单调性与最值】

一、单选题

1.（23-24高一上•浙江温州•期中）若正数x,V满足孙=2,贝的最小值为（）

A.27B.81C.6D.9

【答案】B

【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值.

【详解】因为x>0,J>。，可得x+2y227^=4,当且仅当x=2y=2时，等号成立，

所以x+2y的最小值为4,所以产9乙=3"32-=3工+2-所=81.

故选：B

233

2.（23-24高一上•福建福州•期中）已知a=6=\卜c=[j，则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c、>a>b

【答案】A

【分析】根据塞函数、指数函数的单调性判定大小即可.

3>--1I6

【详解】易知

又>=[：）定义域上单调递减，|<1<|,所以6>：>c,

2432

易知y=x]x>0）单调递增，y>->3>

综上a>b>c.

故选:A

3.（23-24高一上•贵州•阶段练习）若则（）

xy

A.e-"T>lB.6丫">1

C.ev-A<1D.eE<l

【答案】A

【分析】根据不等式可构造函数/（x）=x--,x>0,再利用函数单调性可得由指数函数单调性即可

得e、r>1.

【详解】由x-y」」可得x-L<y_L,

.XyXy

令函数〃x）=xT，x>0,易知/（x）在（0,+s）上单调递增，

由x—可得/（x）</（y）,即可得x<y；

因此y-x>0,即一.一.

故选：A

4.（23-24高一上•河南南阳•期末）已知函数〃x）=3'-3T,若Vxe（0,+8）,9'+9--#（x）>0,则实数

。的最大值为（）

A.372B.272C.2D.72

【答案】B

【分析】令/=3'3、根据单调性可求出t的取值范围，将9'+9—4320转化成/+，*在（0,+司上

恒成立，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为尸3,在（0,+8）上单调递增，了=3一，在（0,+8）上单调递减，

所以/（x）=3-3-、在（0,+功上单调递增，所以“X）>0,

令1=3*-3-,>0,

2

因为9*+9一,-叭幻20恒成立，所以产+22行恒成立，亦即恒成立，

又f+222VL当且仅当公正时，等号成立，

故3=2/，所以2vL

x，Jmin

故选：B

二、填空题

5.（23-24高一上•重庆•阶段练习）已知函数丁=/，+2优-1（“>0,。=1）在区间[-1,1]上的最大值是7,贝|

a=.

【答案】2或g

【分析】设公优，把函数化为关于/的一元二次函数，分离讨论。的范围，根据函数最大值建立方程，解

出即可.

【详解】设/=",又xe[T』，

若。>1,贝！Ue-,a,

a_

函数V=Q2X+2诡一1="+2/-1=«+1『—2,

对称轴为/=-1,

则才=〃，即X=1时，歹皿以=（。+1）2一2=7,

解得〃=2或。=一4（舍）；

H4「1一

若0<。<1时，tEa,一,

a_

函数>=j+2优-1="+2I=（Z+1）2-2,

对称轴为l=T,

则/=，，即x=-l时，ymax=f—+1^|-2=7,

a\aJ

解得"、或（舍）；

24

故答案为：2或;.

6.（23-24高一下•湖南长沙•开学考试）若函数=，X~0,若在区间（加,"）上既有最大

—x~+2x+1,x>0

值，又有最小值，则"-加的取值范围是.

【答案】（1,3]

【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，

列式求解即得.

【详解】当xWO时，函数/(x)=gj在(-叱0］上单调递减，/(x)^/(O)=l,

当x>0时，/(X)=-X2+2X+1=-(X-1)2+2,函数/(x)在(0』上单调递增，

则⑴=2,

函数/(x)在［1,+动上单调递减，则〃x)V〃l)=2,此时函数f(x)的值域为(-刊』,

当xVO时，由/'(x)=(g］=2,得x=-l,

当x>0时，由/'(x)=-x?+2x+l=1,得x=2,

由在(加,〃)既有最大值，又有最小值，得-1<根<0,1<"W2,

则0<-加W1,由不等式的基本性质可得1<"-加W3.

因此，"一心的取值范围是(L3］.

故答案为：(1,3］.

三、解答题

7.(23-24高一上•内蒙古巴彦淖尔•期末)已知/(x)=/m(4>0且“工1)是偶函数.

(1)求加的值；

⑵若/(%)在［。』上的最大值比最小值大(，求”的值.

【答案】⑴0.

3-1

(2)］或

【分析】(1)根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解；

(2)分”>1和0<。<1两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.

【详解】(1)若/(x)为偶函数,则〃T)=/(X)恒成立,

所以产„»=/+*即一—加工=工2+加工恒成立，解得加=().

故加的值为0.

（2）由（1）可得/（x）=J（。＞0且awl）.

1a

当时，/（X）在（0,+司上单调递增，⑼卜。-1=子解得。=去

当0＜a＜1时，在（0,+司上单调递减，|/⑴-〃0）|=1-。=；,解得”;.

故0的值为:3或会1

一＞+1

8.（23-24高一上•湖北荆州•期末）已知函数f（x}=^-±L.

（1）求“X）的值域;

⑵判断并证明了（X）的单调性.

【答案】（O

（2）函数在R上为减函数，证明见解析

【分析】（D分离常数，结合指数函数的值域求复合型指数函数的值域即可.

（2）直接由函数单调性的定义结合指数函数单调性证明即可.

1

【详解】（1）/W=^r7i=-2^J=-4-^TlJ

J=2,+1的值域为（1,+℃）,

一=六的值域为（0,2）,

—=1一三7的值域为（一11），/3=一以1一六）的值域为〔一另〕.

-

乙1乙\乙I1J乙乙）

（2）Vx1；x2eR,不妨设王＜/，则/（再）-/（马）

」一J

2U（2X1+1J42（2X2+1J

•・•王＜x2,.\2超〉2』，2』+1〉0,2打+1〉0,

从而/（6小2）=（2二£+1）＞。，

即/（再）＞/（工2）,

.J（x）在R上为减函数.

9.（23-24高一・上海•课堂例题）设f是实数，且f＜4.求函数》=|22-8|,xe上,4］的最小值.

2,+1-8,2<Z<4

【答案】y=

min0j<2

【分析】先将函数/（x）=|2㈤-8|去绝对值符号化为分段函数并求其单调性，进而可求得参数/的不同取值

对函数＞=|2"J8|,xe［f,4］单调性的影响，从而依据单调性即可求得函数最值.

【详解】令2Z-820nx+l23nxz2,

2x+,-8,x>2

所以函数〃同=|2川-8/

-2A'+1+8,x<2,

又因为y=23是增函数，所以函数/（x）在（-吗2）上单调递减，在［2,+8）上单调递增，如图:

所以当2Vt＜4时，函数＞=|2向-8|,xe卜,4］在儿4］上单调递增，

此时函数＞=|2x+1-8|,xe［f,4］的最小值为=2W-8；

当/＜2时，函数＞=|2田-8口€上,4］在在,2）上单调递减，在［2,4］上单调递增,

此时函数＞=|2x+1-8|,xe［z,4］的最小值为％”=22+1-8=0.

所以函数＞=|2加一8卜xe匕4］的最小值为几也=＜:/f

【题型六指数（型）函数与不等式】

一、解答题

1.（23-24高一上•北京通州•期末）函数/（x）=e”+%eT-4,weR.

⑴若/（x）为偶函数，求机的值及函数“X）的最小值；

（2）当xe［-1,1］时，函数"X）的图象恒在x轴上方，求实数，”的取值范围.

【答案】（1）加=1,-2

（2）加e（4,+oo）

【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数/。）=/+旌7-4计算加，利用换元法"=e，＞0,结合基本不等

式进行最小值的求解即可.

(2)由于函数〃x)图像恒在x轴上方，所以函数〃x)>0,进行参数分离，得到机>4e'-e2，,xe[-11恒

成立，结合换元法进行讨论即可.

【详解】(1)因为函数〃x)=e'+加b-4为偶函数.

x

所以/(-x)=/(x)恒成立，即b+me-4=e+me~-4恒成立.

即(1一加)(尸-6=0恒成立，解得加=1,

所以/(无)=/+-，-4=/+二一4,令〃=e，>0,

e

=u+--4>2.u---4=-2,当且仅当〃=1,即x=0时，等号成立.

yuVu

所以函数/(X)的最小值为-2.

(2)当xe[-1J时，函数“X)的图象恒在x轴上方,

故当xe[-1,1]时/(x)=ex+me-x-4>0恒成立.

即m>4ex-e2x,xe[-1,1]恒成立.

令/?(x)=4e*-e?*,令/=3,te-,e.

e

因为y=4-2,对称轴为(=2,

故当1=2即X=ln2时,〃(无)取最大值4,故加e(4,+oo).

2.(23-24高一上•广东湛江•期末)已知函数〃x)是定义在R上的偶函数，当x20时，/卜)=分2，-2一',

且/(-1)=子

⑴求。的值，并求出“X)的解析式；

⑵若rnf(x)-4、-4一工40在(0,+8)上恒成立，求m的取值范围.

xx

…田、x\2-2-,x>0

【答案】(1)。=1，f()=\xx

[2-2,x<0

(2)(-oo,2V2].

a

【分析】(1)由/(-1)=；,求得。=1,再结合函数的奇偶性，求得x<0时，/(x)=2-t-2\进而求得函

数〃x)的解析式；

(2)由(1),把的(耳-4*-4-*W0在(0,+s)上恒成立，转化为机w与金，结合基本不等式，即可求

解.

1Q

【详解】(1)解：因为/'(X)是偶函数，所以-1)=/(1)=2。-5=：,解得“=1,

当x<0时，可得-x>0,可得/(xh/f-xHZr-ZYrlzT-Z”,

2x-2-x,x>0

所以函数“X）的解析式为〃x）=

2-x-2x,x<0

（2）解：由（1）知，当x>0时，/（切=2，-2-'>0,

因为时⑺-4'-4-V0在（0,+司上恒成立,

(2工一2-7+2

4'+4T2

即mV=2X-2-X+----------

2X-2-X「一~2X-2~X-2X-2-X

又因为2工一2-x+—-—>2,(2X-2-x\—--=272,

2X-2~xV'2X-2~x

当且仅当2,-2T=时，即x=log2（1+班卜;时等号成立,

所以旌2百，即加的取值范围是卜叫2回.

3.（23-24高一下•湖南张家界•阶段练习）已知函数/（力=半詈为奇函数.

⑴求。的值；

（2）判断函数/（x）的单调性，并加以证明；

⑶若对任意的feR,不等式/俨-2。+/（2产-外>0恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】⑴"T

（2）函数/（x）在定义域R上单调递增，证明见解析

⑶后

【分析】（1）由奇函数的性质可得出/（0）=0,求出实数。的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可;

（2）判断出函数/（X）为R上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为/（2〃-左）>八2""），利用函数的单调性可得出

3产-2/-4>0对任意的feR恒成立，由△<0可求得实数k的取值范围.

【详解】（1）解：对任意的xeR,3工+1>0,则函数/（x）的定义域为R,

则/（。）=手=0,解得。=一1，此时，

N3I1

yx-i3”

所以,/(-x)==-/(x)，

3一,+13X(3-J+1)1+3"

所以，当a=T时，函数=为奇函数.

(2)解：由(1)知：/(x)=^-^=3+1~2=l一一—,

I，3%+13%+13'+1

则函数/(x)在定义域R上单调递增，证明如下：

2?2(3为-3”

设任意的再＜/，则〃再)一/卜)=1一_—1+刊=(3台.3二1)

因为再〈尤2，贝！|3'2＞3』＞0,则34-3工2＜0,

又3皆+1＞0,3也+1＞0,所以，/(x1)-/(4)＜0,即“再)＜。＞2),

所以，函数/(x)在定义域R上单调递增.

(3)解：因为不等式/(r-2f)+/(2/-后)＞0对任意的/eR恒成立，

所以，f(2t2-k)＞-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的feR恒成立，

因为函数〃x)为R上的奇函数，且为增函数，贝!12/一后＞2-»,

则3〃-2/-后＞0对任意的feR恒成立，所以，A=4+12后＜0,解得上＜-；.

因此，实数左的取值范围是卜叫

4.(23-24高一上•浙江•阶段练习)已知函数/(x)=(x-2乂2'-a),aeR.

⑴当。=1时，解关于x的方程〃x)=0；

(2)当x23时，恒有/(x)21,求实数。的取值范围；

⑶解关于X的不等式〃x)20.

【答案】⑴x=2或x=0；

(2)(-00,7］；

(3)答案见解析；

【分析】(1)将。=1代入即可解出方程〃司=0的根为x=2或x=0；

(2)将不等式/(x)21恒成立问题转化为-一二］,xe［3,+=o),再利用函数单调性即可得。47满

足题意；

(3)对参数。的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.

【详解】(1)当”=1时，方程/(x)=0即为〃尤)=(x-2)(2-l)=0,

解得x=2或x=0；

(2)当x23时，不等式〃x)21可化为aW2,--二，

x-2

依题意可知，需满足-一二］,xe［3,+co),

Vx-27min

由于函数>=2,在［3,+8)上单调递增，函数y=-一二在［3,+⑹上单调递增;

x—2

所以函数了=2*-一］在［3,+⑹上单调递增,因此乏2、一为I=23---=7,

x-2Ln3-2

即实数。的取值范围是(-吟7］;

(3)由〃x)20可得(x-2)(2'-a”0,

①当时，可得2;0>0,不等式等价为x-220,此时不等式解集为［2,+8)；

②当0<a<4时，方程@-2乂2,-a)=0有两根，即X］=2,x?=log2。，且2>log?a；

此时不等式解集为［2,+«)u(-a),log2«］；

③当a=4时，方程(x-2乂2,-a)=0仅有一根，即x=2,此时不等式解集为R；

④当a>4时，方程(尤-2乂2"-a)=0有两根，gpxj=2,X2=log2a,且2<log2“；

此时不等式解集为［log?d+°°)2］；

5.(23-24高一上•山东济宁・期中)设函数〃司=后优-2u(“>0,awl,左eR),/(x)是定义域为R的奇函

数.

⑴确定人的值.

⑵若〃1)=3,判断并证明〃x)的单调性；

(3)若a=3,使得2/(x)«X+l)〃x)对一切xe［-2,-U恒成立，求出彳的范围.

【答案】(1)2

(2)/(X)在R上单调递增，证明见解析

⑶(-训

【分析】(1)根据奇函数的性质/(—x)+/(x)=0计算可得；

(2)首先求出。的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可；

(3)依题意可得2(2-。(3'-3-，"0对xe［-2,-“恒成立，由3，-3-，<0,即可得到2("1)«0,从而得

解.

【详解】(1)因为/(x)=后优-2a”是定义域为R的奇函数，

贝！If(-x)+/(x)=ka~x-2ax+kax-2a~x=(左一2)(a"+a~x)=0,

而优+「〉0,解得左=2,

所以左的值是2.

(2)由⑴得/(x)=2/-2「,〃无)是定义域为R的奇函数，

又/⑴=3,贝！)2。一2°T=3,即2/一3a-2=0,又解得。=2,

则/(X)=2(2「2T)

所以函数/(x)在R上单调递增，证明如下：

设VXi，%61^且王<X2，

则仆)-/(尤2)=2(2'-2』)-2(2,2H)=2(2'5)[1+而、],

因为X[<X2，则0<2",<2应，即2不-2均<0,1+—->0,

21-22

于是得〃再)-〃Z)<0,即/&)</(%),

所以函数/(x)在定义域R上单调递增.

(3)当a=3时，/(x)=2(3v-3-'),

因为Vxe[-2，T，2/(x)<(^+l)/(x)<=>2(A-l)(3^-3I)>0,

因为函数y=3、-3，在[-2,-1]上单调递增，所以3「3-"3--3<0,

所以2(47)40,解得441,所以X的取值范围为(-8』.

”压轴能力测评”

一、单选题

1.(23-24高一上•浙江杭州・期中)函数/(x)=2、+3r的图象可能为()

一

-2-1012x-2-1012x

-2-1012x-2-1012x

【答案】A

【分析】由/⑴>〃0)排除D；由〃T)</(-2)排除C；由/出</(0)排除B,即得答案.

【详解】解：因为/'(x)=2x+3T,xeR,

/(0)=2°+3°=2,/(1)=2+|>2=/(0),故排除D；

又因为〃一2)=2一2+32=9+^1=》47，/(-1)=2-1+3=7|<a^7=/(-2),故排除C；

又因为出厚+3气夜+也嘤，

(而+1)2_7+2痛_7+@<7+后_4

所以母1<2,

V3

即/出</(0),

符合题意的只有A,故排除B.

故选：A.

2.(23-24高二下•浙江•期中)已知〃同=2*-2,则使/⑺</(―+4)成立的实数x的取值范围是

()

A.,B.1《JC.D.(一<»,­|卜(1,+(»)

【答案】A

【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.

【详解】因为/■(力=2=2-'=2「6[,所以3)是单调递增函数，

又因为/(x)</(-3x2+4),所以尤<-3/+4,3x2+x-4<0,

所以(3x+4)(x-l)<0,

所以x的取值范围为j

故选：A.

3.(24-25高三上•江西九江•开学考试)已知函数小)=[：；1[；；；；">1在7?上单调递减，则0的取值范

围为()

A.[-2,4]B.[4,+oo)C.