中考数学复习专练：与圆有关的位置关系（原卷）

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】

>题型梳理1

【题型1点和圆的位置关系】...................................................................2

【题型2直线与圆的位置关系】.................................................................3

【题型3求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】...........................................4

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】..................................................5

【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】....................................................6

【题型6利用切线的性质求值】.................................................................8

【题型7证明某条直线是圆的切线】............................................................9

【题型8利用切线的性质定理证明］...........................................................11

【题型9切线的性质与判定的综合运用】.......................................................12

【题型10作圆的切线】........................................................................14

【题型11应用切线长定理求解或证明】.........................................................15

【题型12由外心的位置判断三角形形状】.......................................................17

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】...................................................17

【题型14由三角形的内切圆求值】..............................................................19

【题型15与三角形内心有关的应用】...........................................................20

【题型16三角形外接圆与内切圆综合】.........................................................22

，举一反三

【知识点与圆有关的位置关系】

1.点和圆的位置关系

设。。的半径为r,点P到圆心的距离为。P=d,则有：

点P在圆外U>d>r；

点P在圆上=d=r；

点P在圆内=d<r□

性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三

条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

2.直线和圆的位置关系

直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。

直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。

设。。的半径为r,圆心。到直线/的距离d,则有：

直线/和。。相交U>d<r；

直线/和。。相切。d=r；

直线/和。。相离o

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的

夹角。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形

的内心。

【题型1点和圆的位置关系】

【例1】（2023•上海闵行•校联考模拟预测）矩形4BCD中，4B=8,8。=3而，点「在边包上，且

BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外，点C在圆P内

C.点B在圆P内，点C在圆P外D.点B,C均在圆P内

【变式1-1]（2023•四川凉山•统考模拟预测）在Rt△力BC中，ZC=9O°,BC=3,4C=4,。为4B的中

点.以/为圆心，厂为半径作O/,若3、C、。三点中只有一点在。4内，则04的半径r的取值范围是

（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

【变式1-2]（2023•四川成都・统考二模）已知P是。。内一点（点P不与圆心。重合），点P到圆上各点的距

离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程aN—125-20=0的两个实数根，则。。的直径

为.

【变式1-3]（2023•江苏扬州・统考一模）如图，矩形/BCD中，AB=3,BC=4,点尸是平面内一点，以

P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则尸。的最小值为（）

47

A.-B.1C.~D.2.5

【题型2直线与圆的位置关系】

【例2】（2023•河北秦皇岛•模拟预测）如图,已知乙4cB=30。,CM=2,AM=5,以M为圆心，r为半径

作OM,OM与线段4C有交点时，则r的取值范围是.

【变式2-1］（2023•上海青浦•统考二模）如图，在直角梯形ABC。中，AD\\BC,^A=90°,£是4。上一定点,

AB=3,BC=6,AD=8,AE=2.点尸是3c上一个动点，以尸为圆心，PC为半径作。尸.若OP与以E为圆

心，1为半径的OE有公共点，且。尸与线段4D只有一个交点，则尸C长度的取值范围是.

【变式2-2］（2023•河北秦皇岛•统考模拟预测）如图，线段8c=16cm,过点2在线段BC的上方作射线

BA,且tanNHBC=/动点。从点8出发，沿射线84以lcm/s的速度运动，同时动点0从点C出发，沿线

段CB以2cm/s的速度向点8运动，当点。到达点8时，点O,。都停止运动.以点。为圆心，OB长为半

径的半圆与线段BC交于点。，与射线B4交于点P.连接PQ,设运动时间为t秒（t>0）

备用图

(1)求BD的长(用含f的式子表示)

(2)当/为何值时，线段PQ与半圆。相切？

(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围.

【变式2-3](2023•福建厦门•统考模拟预测)己知矩形力BCD,AD>AB

图1图2

(1)如图1,若点、B,。在以。为圆心，。4为半径的圆上，AB=OB,求证：AD=2AB；

(2)如图2,点£,尸分别在AD,BC边上，若点。，点C关于直线EF对称的点分别为点8和点尸，判断直线

DP与过4E,尸三点的圆的位置关系，并说明理由

【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】

【例3】(2023•河南南阳・统考一模)如图，直线y=—3交x轴于点/,交y轴于点3,点尸是x轴上一

动点，以点尸为圆心，以1个单位长度为半径作OP,当OP与直线相切时，点P的坐标是()

B.(-(,0)或(一耳,0)

C（4，。）D.一,，0)或(一0，。)

【变式3-1](2023•吉林松原•校联考二模)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的OP的圆心尸的坐标

为(-3,0),将OP沿x轴正方向平移，使OP与了轴相交，则平移的距离d的取值范围是

【变式3・2】（2023・四川凉山・统考模拟预测）如图，在半径为5c机的。。中，直线/交。。于/、5两点,

A.\cmB.2cmC.3cmD.4cm

【变式3-3］（2023•北京•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2.对于直线/和线段BC,给

出如下定义：若将线段BC关于直线/对称，可以得到。。的弦夕。（夕，。分别是8,C的对应点），则称线

段BC是以直线/为轴的。。的“关联线段”.例如，图1中线段BC是以直线/为轴的。。的“关联线段”.

（1）如图2,点Bi，的，B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.

①在线段B1J,B2c2,83c3中，以直线小y=x+4为轴的。。的“关联线段”是「

②在线段当的，B2c2,B3c3中，存在以直线％：y=—x+b为轴的。。的“关联线段”，求b的值；

（2）已知直线如y=-8乂+巾（＞1〉0）交x轴于点/.在△ABC中，AB=6,BC=2,若线段BC是以直线匕

为轴的。。的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的力C的长.

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】

【例4】（2023•河北沧州•校考三模）题目：“如图，在中，=90。，48=3,AC=S,以点B为

圆心的OB的半径为r,若对于r的一个值，OB与AC只有一个交点，求r的取值范围.”对于其答案，甲答:

12

r=4.乙答：3<r<4.丙答：r=y.则正确的是（）

A.只有乙答的对B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

【变式4-1]（2023•湖南・中考真题）已知的直径等于12cm,圆心。到直线/的距离为5cm,则直线/

与的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

【变式4-2]（2023・江苏盐城・统考模拟预测）在矩形4BCD中，AB=8,BC=6.点。为对角线AC上一点（不

与4重合）,OO是以点。为圆心，4。为半径的圆.当。0与矩形各边的交点个数为5个时，半径。4的范围

是.

【变式4-3]（2023•四川乐山・统考中考真题）如图，已知。4=6,0B=8,BC=2,OP与0B、4B均相

【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】

【例5】（2023•广东揭阳・统考一模）如图，AB是。。的直径，BC交于点D,DE1AC于点E,下列说法

不正确的是（）

A.若DE=DO,则DE是O。的切线B.若AB=AC,则DE是。。的切线

C.若CD=DB,贝IDE是。。的切线D.若。E是。。的切线，则A8=4C

【变式5-1]（2023・天津西青•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系X。中，半径为2的OP的圆心P

的坐标为（-3,0）,将。尸沿x轴正方向平移，使。尸与y轴相切，则平移的距离为.

【变式5-2]（2023•吉林•一模）已知△ABC内接于。0,过点4作直线EF.

（1）如图1所示，若为。。的直径，要使EF成为。。的切线，还需要添加的一个条件是

（2）如图2所示，如果4B是不过圆心。的弦，且NC4E=N8,那么EF是。。的切线吗？试证明你的判断.

图1图2

【变式5-3]（2023•贵州•中考真题）如图，AB是OO的直径，BC交OO于点D,DELAC于点E,要使

DE是。0的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

D

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.ACIIOD

【题型6利用切线的性质求值】

【例6】（2023・安徽•校联考模拟预测）如图，已知4B是。。的直径，BC与。。相切于点若

△ABCsACBO,贝i]sinN4CB=

【变式6-1］（2023•海南三亚•统考二模）如图，P4与O。相切于点4P。与。。相交于点B,点C是O。

上一点，若N2CB=32。，则NP的度数为.

【变式6-2］（2023•安徽・模拟预测）如图，E是。。的直径28延长线上一点，过点E作。。的切线EC,C为

切点，。是。。上一点（在直径2B的下方）.若N4EC=50。，贝此4DC的度数为.

D

【变式6-3](2023・广东汕头•汕头市第六中学校考一模)如图，△ABC内接于。0.4B是直径，过点力作

直线MN,且MN是。。的切线.

(1)求证：ZMXC=^ABC.

(2)设。是弧4C的中点，连接BD交4C于点G,过点。作DE1于点E,交AC于点F.

①求证：FD=FG.

②若BC=3,AB=5,试求4E的长.

【题型7证明某条直线是圆的切线】

【例7】(2023•江苏连云港•模拟预测)如图，直线PA交。。于/、8两点，4E是。。的直径，点C为。。

上一点，且4C平分NP2E,过C作CD1P4垂足为D

⑴求证：CD为。。的切线；

(2)若4C=5ZE=30°,求CD的长.

【变式7-1](2023•江苏淮安•校考模拟预测)如图，已知直线/与。。相离，于点/,交。。于点

尸，点B是。。上一点，连接BP并延长，交直线/于点C,使得=

(1)判断直线48与O。的位置关系并说明理由；

(2)PC=2V6,04=4,求线段PB的长.

【变式7-2](2023・广东肇庆•统考三模)如图，力B是。。的直径，C,。是。。上的两点，且BC=DC,BD

交力C于点E,点尸在47的延长线上，BE=BF.

■3

(2)若EF=6,cosNABC=于

①求BF的长；

②求。。的半径.

【变式7-3](2023•广东茂名•统考三模)如图，4B是。。的直径，点E是劣弧BD上一点，^PAD=^AED,

且DE=V2,4E平分NB4D,4E与BD交于点F.

⑴求证：P力是。。的切线；

⑵若tan/ZME=乎，求EF的长;

(3)延长。E,48交于点C,若0B=BC,求。。的半径.

【题型8利用切线的性质定理证明】

【例8】（2023•广东江门•统考一模）如图1,已知力B是O。的直径，AB=2,C为圆上任意一点，过点C

作圆的切线，分别与过48两点的切线交于尸，0两点.

⑴求CP・CQ的值；

（2）如图2,连接PB,4Q交于点证明直线MCI4B.

【变式8-1］（2023•内蒙古包头・统考一模）如图，P4PB是。。的两条切线，4B是切点，连接4。并延长,

与PB的延长线相交于点C,连接PO,交。。于点。，连接DB.

（1）求证：N4P0=NBP0；（用两种证法解答）

⑵若DP=DB,试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论.

【变式8-2］（2023•四川•校联考模拟预测）如图，圆。中内接△ABC,过点/作圆。的切线/,作直线CD

使得乙=并交48于£.

(1)证明：CD||I；

(2)若CE=CA=2EA=2,求ED的值；

(3)证明：BC2-ED=CE-BE-BA.

【变式8-3](2023•河南许昌•统考二模)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书

中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题.其中，命题4.2

的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形.

小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证:

HG是。。的切线，。为切点，乙EDH=^B,乙FDG=AC.

求证：ADEF-AACB.

小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3,连接并延长D。，交。。于点P,连接PE,PF.

(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：&DEF〜4ACB；

(2)若AB=4C=5,BC=8,EF=16,求。。的半径.

【题型9切线的性质与判定的综合运用】

【例9】(2023•广东肇庆•统考二模)如图，矩形48CD中，AB^13,4D=6.点E是CD上的动点，以4E为

直径的。。与4B交于点F,过点F作FG1BE于点G.

(1)当E是CD的中点时：tanN瓦4B的值为

(2)在(1)的条件下，证明：FG是。。的切线;

(3)试探究：BE能否与。。相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由.

【变式9-1](2023•山西太原•太原五中校考一模)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规

作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,

发明了一种简易操作工具-三分角器.图1是它的示意图，其中48与半圆O的直径BC在同一直线上，且A8

的长度与半圆的半径相等，DB与4C垂直与点比DB足够长.

使用方法如图2所示，若要把NMEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过NMEN的顶点E,点/落

在边EM上，半圆。与另一边EN恰好相切，则EB,E。就把NMEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写

出“证明”过程.

已知：如图2,点/,B,O,C在同一直线上，EBLAC,垂足为点8,.

求证：.

【变式9-2](2023•山东•统考中考真题)如图，已知力B是。。的直径，CD=CB,BE切。。于点B,过点C

作CFLOE交BE于点F,若EF=2BF.

(1)如图1,连接BD,求证：AADBmAOBE；

(2)如图2,N是力。上一点，在AB上取一点M,使NMCN=60。，连接MN.请问：三条线段MN,BM,DN有

怎样的数量关系？并证明你的结论.

【变式9-3](2023•浙江杭州•校考二模)知：如图1,4B是。。的弦，点C是。。的半径。B的延长线上一

点，将AA8C翻折得至40交半径OB于点。.

图1图2图3

(1)求证：BCIIOA.

(2)若力C与。。相切.

①如图2,点C，落在。。上，求sinC的值.

②如图3,若。4=10,AB=12,求的面积.

【题型10作圆的切线】

【例10】(2023・江苏南京•一模)过。。上一点/,可以用尺规按以下方法作出。。的切线;

①另取。。上一点3,以2为圆心，48为半径作圆，将OB与。。的另一个交点记为点C；

②以/为圆心，4C为半径作弧，将04与08的另一个交点记为点。，作直线2D.

直线力。即为。。的切线.

如图，小明已经完成了作图步骤①.

(1)用尺规完成作图步骤②；

(2)连接AC,AB,BC,BD,求证：平分NG4D；

(3)求证：直线为。。的切线.

【变式10-1】(2023•福建福州・统考三模)如图，已知。O及圆外一点P,请你利用尺规作。的切线

PA.(不写作法，保留作图痕迹)

【变式10-2】(2023•湖北•校联考三模)如图，在RtZXABC中，乙4=90。，BD平分N4BC交C4于。点，。

是8c上一点，经过8、。两点的O。分别交BC、84于点£、F.

(1)用尺规补全图形(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求证：CA与。。相切：

(3)当8。=2四，乙48。=30。时，求劣弧8。的长.

【变式10-3](2023•山东•统考中考真题)如图，NBPD=120。，点4、C分别在射线PB、PD上,

NP4C=30°,AC=2V3.

(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在尔C两点分别与射线PB和PD相切.要求：写出作法，并保留作

图痕迹；

(2)根据(1)的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

(3)求所得的劣弧与线段P4PC围成的封闭图形的面积.

【题型11应用切线长定理求解或证明】

【例11】(2023•河北邯郸・校考三模)如图，在四边形/BCD中，乙4=48=90。，4D=4,BC=1Q,sinC=

土以为直径作OO,把。。沿水平方向平移x个单位，得到。。，，4夕为直径平移后的对应线段.

(1)当x=0,且河为OO上一点时，求DM■的最大值；

(2)当夕与C重合时，设O。与CD相交于点N,求点N到48的距离;

(3)当与CD相切时，直接写出x的值.

【变式11-1】(2023・山东威海•统考一模)如图，。。的直径4B=12,AM,2N是。。的两条切线，DC切

O。于E,交BN于C,设久，BC=y.

(1)求证：AB2=4DE-CE；

(2)求〉与x的函数关系式；

(3)若x,y是方程2/-30x+a=0的两个根，求△OCD的面积.

【变式11-2】(2023•北京石景山•统考二模)如图，4D是。。的直径，P是。。外一点，连接P。交。。于

点C,PB,PD分别切。。于点B,D,连接4B,AC.

⑴求证：AB//OP-

(2)连接P4若24=2鱼，tanz_B力。=2,求PC长.

【变式11-3】(2023•广东中山•统考三模)如图，已知48是O。的直径，AB=2,C为圆上任意一点，过点

C作圆的切线，分别与过4B两点的切线交于P,Q两点.

(1)求CP-“的值;

（2）如图，连接PB,4Q交于点M,证明直线MCIAB.

【题型12由外心的位置判断三角形形状】

【例12】（2023•江苏无锡•模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相

等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三

角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式12-1】（2023•浙江温州•模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是

（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

【变式12-2】（2023•河北沧州•模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【变式12-3］（2023•广西玉林•统考中考真题）如图，在5X7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,

B,C,D,E均在格点上，点。是△48C的外心，在不添加其他字母的情况下，则除aaBC外把你认为外

心也是。的三角形都写出来.

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】

【例13】（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图，△力8c中，=O。是△力8c的外接圆，B。的延

长线交边AC于点D.

A

(1)求证：ABAC=2^ABD,

(2)若4D:DC=2:3,BC=2V7时，求。。的半径.

【变式13-1](2023•江苏南京•统考一模)如图，△ABC内接于。0,zBAC=45°,AD1BC,垂足为D,

BD=6,DC=4.

(1)求OO的半径；

(2)求AD的长.

【变式13-2】(2023•浙江温州•校考一模)如图，在平面直角坐标系中，点4(一1,1)

(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为；

(2)作出△ABC的外接圆；

(3)利用直尺作出乙4cB的角平分线.

【变式13-3】(2023•山东济宁•校考二模)如图，在平面直角坐标系中，△28C三个顶点的坐标分别为2(-2,1)

,B(-l,4),C(-3,2)

(1)以原点。为位似中心，位似比为2:1,在y轴的左侧画出△ABC放大后的△&B1Q；

(2)在(1)中，若点M(nvi)为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点眩的坐标.

(3)直接写出△&BiCi外接圆的圆心。坐标.

【题型14由三角形的内切圆求值】

【例14](2023•黑龙江鸡西•校考三模)如图，在直角坐标系中，一直线/经过点与X轴、y轴分

别交于4、B两点，且M4=MB,若。。1是△48。的内切圆，。。2与。。1、I、y轴分别相切，。。3与

。。2、I、y轴分别相切，……按此规律，则。。2023的半径72023=.

【变式14-1](2023•福建泉州•模拟预测)作图题：如图,在矩形4BCD中，已知4D=10,AB=6,

⑴用直尺和圆规在4。上找一点£,使EC平分NBED,(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求△CDE内切圆半径r的值.

【变式14-2】(2023•山东淄博•统考一模)如图，在Rt/ABC中，乙4=90。，点D,E分别在AC,BC上，且

CDBC=AC-CE,以E为圆心，DE长为半径作圆，OE经过点B,与AB,BC分别交于点F,G.

D

（1）求证：AC是OE的切线；

（2）若4F=4,CG=5,求OE的半径；

（3）在（2）的条件下，若RtzMBC的内切圆圆心为/,直接写出/E的长.

【变式14-3】（2014•江苏南京•统考中考真题）如图，在RfAABC中,^ACB=9Q°,AC=4cm,BC=3cm,

OO为A48C的内切圆，

（1）求O。的半径；

⑵点尸从点3沿边8/向点/以点1cm/s的速度匀速运动，以点P为圆心，尸8长为半径作圆，设点尸运

动的时间为ts,若。尸与。。相切，求/的值.

尔

【题型15与三角形内心有关的应用】

【例15】（2023・陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测）综合与实践：（1）如图（1）,有一块三角形材

料△2BC,准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知乙。=90。，BC=3,4C=4,求裁剪出的最大圆形面积.

（2）如图（2）,市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道力B上确定大门M的位置，且

在M与另外两个小门E、F连接而成的三角形区域内设计一个面积尽可能大的圆形花园，部分数据如下：

N8=NC=60。，BE=CD=2EC=400米，点尸为CD的中点，请按市政要求确定M的位置，画出图形并求出

长和最大的圆形花园的面积.

图⑴图(2)

【变式15-1]（2023•江苏镇江•统考中考真题）《九章算术》