中考数学复习专项提升：章节检测验收卷一数与式（测试）含答案及解析

章节检测验收卷一数与式

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.我国是最早使用负数的国家，在数据—sin45?,V2,0,+7,-0.5,n中是负数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【新考法】生活中的数学

2.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显

示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记数法表示为3.07艮10十则n的

值是（）

A.4B.5C.6D.7

3.有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期.下列各组有理数大小比较，正确的是（）

A.1<-1B.-（-0.3）<|-||C.D.-（-5）<0

4.已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（）

A.a+bB.abC.1D.Va2+b2

b

5.若x?+mx+4=（x—2尸，则下列结论正确的是（）

A.等式从左到右的变形是乘法公式，m=4

B.等式从左到右的变形是因式分解，m=4

C.等式从左到右的变形是乘法公式，m=-4

D.等式从左到右的变形是因式分解，m=-4

【新考法】新定义问题

6.如果三个连续整数"、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列〃

的值不满足“和谐数组”条件的是(

A.-1B.-3C.1D.3

3m-4

7.已知〃一+工=则常数A,B的值分别是（）

m-lm-2

A.A=1,B=2B.A=2,B=1

C.A=-1,B=-2D.A=-2,B=-1

8.如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（）

已知a+b=-8,ab=12.求拾的值.

A.方程B.整体C.数形结合D.函数

【新考法】图形类规律探究问题

9.无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为

比严格的数学证明更优雅、更有条理.借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数

形结合.如图，请利用数形结合思想猜测，住了+（=）"+…+（习’"的值最接近的有理数为（）

2n+l2n+l

C.D.

2n22n

【新考法】数式类规律探究问题

10.将三项式展开，得到下列等式:

(a2+a+1)°=1

(a2+a+l)1=a2+a+1

(a2+a+l)2=a4+2a3+3a2+2a+1

(a2+a+l)3=a6+3a5+6a4+7a3+6a2+3a+1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1,以

下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第左行共有（2k+1）

个数，则关于x的多项式Q2+ax-3）（x2+x+1户的展开式中，乂8项的系数为（）

广义杨辉三角形

第

0行

1

第

1行

行

第7111

-

行

第12321

3

行

第4136763

1410161916101

A.15(a2+a—1)B.15(a2+a+1)

C.15(a2+2a+3)D.15(a2+2a-3)

二.填空题（共6小题满分18分，每小题3分）

11.某班开展图书交换阅读活动.甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学4本，丙同

学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，

借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本.

12.黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域.黄金分割点比例计

算公式为与其中版-1介于整数n和n+1之间，贝Un的值是.

13.因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.因

式分解：a3-4a=.

【新考法】跨学科类问题

14.如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压U=I%+IR2+IR3，若线路AB的电流I=2.5A,三个

电阻阻值分别为129(1,238。，9.311，则电压为V.

L-^rJLxJ_L_^rJ%

【新考法】新定义类问题

15.对于实数。、b,定义运算：①m④丁='®兀=丁，

tn+rtnv—rr

例如①3①5=--=乙：3❷5=="兰，依此定义方程*®2-2❷％,=1的解为___________-

2+5S3'—3'16

【新考法】获取信息类问题

16.古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为

基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205,那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应

为.

110100100010000100001000000①②

三.解答题(共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分,

23题10分，24题13分)

17.(1)计算：4cos30°+Vn；

(2)化简：耳+(1+

a2\a/

18•化简分式：六%+胃，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

6是大于1且小

于右的整数。

小宇小丽

19.先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m—3),其中m=|.

20.以下是某同学化简分式7?（a-空p）的部分运算过程:

解：原式=±±+a-小+辿立........第一步

aaa

=.a.-.b..1....fl.-b.....a...........牛一—*।H

aaa2db-b2

a—ba-b片封--TH

=~^~~2ab-b2........弟二“

（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误;

⑵请你写出完整的解答过程.

21.课堂上，老师提出了下面的问题：

已知3a>b>0,M=3N=誓，试比较M与N的大小.

bb+3

小华：整式的大小比较可采用“作差法”.

老师：比较x2+1与2x-1的大小.

小华：(x2+1)-(2x-1)=x2+1-2x+1=(x-I)2+1>0,

.'.x2+1>2x—1.

老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？

(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.

(2)比较大小：——.(填“>”"=”或“<”)

6865

【新考法】开放性试题

22.已知a>3,代数式：A=2a2—8,B=3a2+6a,C=a3-4a2+4a.

(1)因式分解A;

(2)在A,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【新考法】阅读理解类问题

23.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2(X,y均为自然数)”的问题.

(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数):

N奇数4的倍数

1=I2-024=22-02

3=22-I28=32-l2

5=32—2212=42-22

表示结果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62—42

—...

一般结论2n—1=n2—(n—l)24n=_______

按上表规律，完成下列问题：

(i)24=()2_()2.

(il)4n=；

⑵兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y

均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

假设4n-2=x2—y2,其中/y均为自然数.

分下列三种情形分析：

O若T,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,均为自然数，

则X?-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m?)为4的倍数.

而4n-2不是4的倍数，矛盾.故K,Y不可能均为偶数.

②若K,y均为奇数，设x=2k+l,y=2m+l,其中匕阳均为自然数，

则X?-y2=(2k+I)2-(2m+l)2=为4的倍数.

而4n-2不是4的倍数，矛盾.故T,丫不可能均为奇数.

③若盯一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数.

而4n-2是偶数，矛盾.故r,y不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

【新考法】利用数形结合解决计算问题

24.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得

直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中数学里的一些代数公式，很多

都可以借助几何图形进行直观推导和解释.例如：求1+2+3+4+...+”的值（其中〃是正整数）.如果采用数

形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求

1+2+3+4+...+"的值，方案如下：如图1,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,…，

n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+...+»的值.为求式子的值,

现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有“

行，每行有（〃+i）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为“5+1）个，因此，组成一个三角形小

圆圈的个数为+即1+2+3+4+…++

22

【问题提出】求9+23+33+…+〃3的值（其中”是正整数）.

【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结

合法，借助图形进行推理获得结论.

探究1：如图2,F可以看成1个1X1的正方形的面积，即/=1X12=12

探究2：如图3,A表示1个1x1的正方形，其面积为：IxF=13；8表示1个2x2的正方形，其面积为：1x2?;

CD分别表示1个1x2的长方形，其面积的和为：2x1x2=1x22;民CD的面积和为

1X22+1X22=(1+1)X22=23,而A,B,C,O恰好可以拼成一个(l+2)x(l+2)的大正方形.由此可得：

13+23=(1+2)2=32.

(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：F+23+33==.(要求自己构造图形并写

出推证过程)

(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：

F+23+33+…+“3==(要求直接写出结论，不必写出推证过程)

(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为

了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1,2,3,4,5,6的正方体的个

数，再求总和.

例如：棱长是1的正方体有：6x6x6=63个，

棱长是2的正方体有：5x5x5=53个，

棱长是6的正方体有：lxlxl=P个;

图4

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为.

(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么

棱长为1的小正方体的个数为.

(5)【拓展探究】

观察下列各式：

I3=1；23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;…

若加3(加为正整数)按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则机的值______.

章节检测验收卷一数与式

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.我国是最早使用负数的国家，在数据-SBSI,＞/2°,+7,-OR7r中是负数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键.

小于0的数即为负数，据此即可求得答案.

【详解】解：-Sin45°=-g，一°3是负数，共2个，

故选：B.

【新考法】生活中的数学

2.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显

示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30；万辆.将307万用科学记数法表示为3.07x10n.贝心的

值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为aXion的形式，其中1EG10,w为整数,

确定w的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，w的绝对值与小数点移动的位数相同，

307

【详解】解：,万=307000=3.07x1（）5,

则”5,

故选：B.

3.有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期.下列各组有理数大小比较，正确的是（）

A1＜一］c-k；「（一5）＜。

【答案】B

【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可.

【详解】；-原说法错误，不符合题意；

-（-03）-03卜4=：-一4

B.（以3）一吧I可3,贝u।31,说法正确；

当一|_£>_!

C.1211171,则217,原说法错误，不符合题意；

口-（-5）=5>0,原说法错误，不符合题意；

故选：B.

4.已知°是有理数，”是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（）

22

a+iatiVa+b

AA.DR.rU.Un.

【答案】A

【分析】本题考查了无理数和有理数，根据无理数和有理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的

关键.

【详解】解：°是有理数，0是无理数，

则°一,必定为无理数，

巴=0

当a=0时，ab=0「是有理数，

当a一公百时，庐中是有理数，

A

故选：

5.若“+m*+4=（*-2）2,则下列结论正确的是（）

A.等式从左到右的变形是乘法公式，⑶二4

B.等式从左到右的变形是因式分解，6=4

C.等式从左到右的变形是乘法公式，m=-4

D.等式从左到右的变形是因式分解，巾=一”

【答案】D

【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可.

本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键.

【详解】解：..•/+忆+4=(4-2)2,

:.产+mx+4=x:-4x+4，

则小1

原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式.

故选：D.

【新考法】新定义问题

6.如果三个连续整数八n+1>n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列〃

的值不满足“和谐数组”条件的是()

-1-3

A.B.C.1D.3

【答案】D

【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数”、n+1、n+2的和等于它们的积，进

而判断出哪个n的值不满足“和谐数组”条件即可.

此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给71的值，是否满足三个连续整数

,1+2的和等于它们的积.

【详解】解：A、4=1%,

-1+(-1+1)+(-1+2)=0

-1x(-1+1)x(-1+2)=0，

..0=0

•，

:.n=-1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；

B、当―时，

-3+(-3+1)+(-3+2)=-6

-3X(-3+1)x(-3+2)=-6,

..-6=-6

•，

..满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；

C、当"1时，

1+(1+1)+(1+2)=6

1x(1+1)x(1+2)=6，

..6=6

•，

.1.n=1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；

D、用=3时，

3+(3+1)4-(3+2)=12

3x(34-1)x(3*2)=60，

..12^0

=3不满足"和谐数组,，条件，故选项符合题意.

故选：D.

4.B=3mT

7.已知—I一(id,则常数4%值分别是()

4=104=28=1

AA.B=2B.

4=-1B=-2n4=-2B=-l

【答案】A

AR

【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出'

的值即可.

A+3_1)_wt(A+3)-2A-b_3m-4

［详角星］角军'm—2(m—l)(nt-2)(tn-l)(m—2)(m—l)(m—2)

M+B=3

3+5=4

(A=l

解得:S=2；

故选A.

8.如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是()

已知a+b=T,昉=12,求/十J的值.

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.根

据求代数式值中的整体思想，即可解答.

【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，

故选：B.

【新考法】图形类规律探究问题

9.无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为

比严格的数学证明更优雅、更有条理.借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数

【答案】A

【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键.根

据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题.

【详解】解：由所给图形可知,

1

当〃越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的3,

1

所以当〃无穷大时，(i)2+(i)4+…+&)”的值最接近3.

故选：A.

【新考法】数式类规律探究问题

10.将三项式展开，得到下列等式:

(a2+a+1)0=1

(a2+a+l)1=a2+a+l

(a2+a+l)2=a4+2a3+3a2+2a+l

(a2+a+l)3=a6+3a5+6a4+7a3+6a2+3a+1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第。行为1,以

下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第左行共有+1）

个数，则关于X的多项式（次+-3）（'+X+11的展开式中,速项的系数为（）

广义杨辉三角形

第

0行

第

1行

第

2行11

2

第

3行1231

行

第41367631

14101619161041

A15(a2+a-l)口15(a2+a+l)

A•D.

C15(a2+2a+3)D15(a2+2a-3]

【答案】D

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据广义杨辉三角形的定义可得（片+*+1厂的展开式,

257

、什次将士（x+x+1）.国工分岳M可知不1+10+4=15万1否田亍拈不16+10+4=30包心咨

进而确的展开式中项的系数为，项的系数为，据此确

定缶2+ax-3)(/+X+1)5的展开式中,/项的系数.

r、””"(x2+x+1)4=x8+4x74-lOx6+16xs+19X4+16X3+10x2+4x+1

【详解】解：由题意得，

.(x2+x+l)5

(^+4X7+10X6+16X5+19X4+16X3+10X2+4X+1)(X2+X+1)

2

.（x+x+1）5%向否MN站%1+10+4=1516+10+4=30

..的展开式中项的系数为，项的系数为

2

...(a2+ax-3)(/+x+1)5的展开式中，f项的系数为出+30a_45,Hp15(a+2a-3)

故选：D.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.某班开展图书交换阅读活动.甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学4本，丙同

学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，

借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本.

【答案】9

【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有无本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有

图书(X+4+2)本，而甲、丙剩余图书之和为6一4+2),再根据题意列式求解即可.

【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，

x+4+2一4了-2=.+6-(x_3)=9

由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为2本,

故答案为：9.

12.黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域.黄金分割点比例计

算公式为百，其中、片一1介于整数.和之间，贝的值是.

【答案】1

【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得6<弓<'2即得2<3,进而得1<VG-I<2,

据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键.

【详解】W：V^<V5<79；

,2<V5<3

••，

.1<V5-1<2

••，

.n=l

••，

故答案为：’

13.因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.因

式分解：、.

【答案】以01+2)(a-2)

【分析】该题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解常见方法：提取公因式法、公式法、分

组分解法、十字相乘法等.

先提取公因式，再用平方差公式分解即可；

【详解】解”一短=ad-4)=a(a+2)(a-2),

故答案为：a(a+2)(a-2)

【新考法】跨学科类问题

14.如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压+%，若线路'8的电流'=2卅三个

电阻阻值分别为12.9。，23.8(1,9.3(1，则电压为V.

IIIIII-----1I

ARia&B

【答案】115

7=2

【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为12.9。，23.811,9.30，代入

'/吉

U=1+//?2/+/R3'r+中1H即n—可T求T值.

J=JC.A

【详解】：三个电阻阻值分别为12.9。，23.8(1,9.3C，

=/(比+&+R,=2.5x(12.9+23.8+9.3)=2,5x46=115V,

故答案为：I”.

【新考法】新定义类问题

15.对于实数。、bi定义运算：①m©〃=’一:②巾®九=———

m-HtJm2-n2

例如①3㊉5=-4=；；305=等=一竺依此定义方程丫Q2-2©x=1的解为___________.

B+585尸16

【答案】*=3

【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键.

先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0.

=1

【详解】解：由题意得，L-2，2+工，

2x-(%-2)=X2-4

x2-%—6=0

(x-3)(x+2)=0

解得：*=3或》=-2,

当”=-2时，2+x=0,不符合题意，

...原方程的解为：*=3,

故答案为："3.

【新考法】获取信息类问题

16.古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为

基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205,那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应

为.

110100100010000100001000000①②

1.227106

【答案】

【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXion的形

式，其中n为整数，表示时关键要正确确定“的值以及n的值.

先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1式旧＜10,"为整数.确定71的

值时，要看把原数变成°时，小数点移动了多少位，？1的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210

时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数.

【详解】解：图②中的数为：1000000+2x10000+2x100000=122000(，

•••1220000=1.22X106-

故答案为：1?27106

三.解答题(共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分，

23题10分，24题13分)

17.(1)计算：4cos30°+Vn；

⑵化简：詈+(1+沙

1

【答案】⑴1;(2)°

【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幕、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则

是解题的关键.

(1)根据零指数幕、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可;

(2)根据分式的混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：原式一l—4xg+2网

=1

_。+2?以+2

(2)解：原式一八

o+2a

a2'a+2

i

a

—,并求值(请从小宇和小丽的对话中确定","的值)

18.化简分式：

6是大于1且小

于有的整数。

小宇小丽

11

【答案】°-4;5

【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a,0的值，将原分式化简后代入数值计

算即可.

【详解】解：依题意，。=一3,且b为整数，又2＜行＜3,则匕=2,

22

a-b1-Q-b

a2—2ab+&2+a­b

(a+b)(Q-b)1-a-d

(a”Q-b

a+b+l-a-&

a-&a-b

i

当。=-3,匕=2时，原式=关=-；

C

19.先化简,再求值：2m_m(m_2)+(m+3)(m_3),其中1n一彳.

【答案】4m-9；1

【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可.

【详解】解：2m-m(m-2)+(7n+3)(m-3)

=2m—nf+2m+m2—9

=4m—9

5

m=-

当一时，原式=4x?-9=10-9=L

—?(a-

20.以下是某同学化简分式“'的部分运算过程:

解：原式=I+a-1+辿尤.......第一步

aaa

a-A1a-ba第二步

aaaZab-b2

第三步

(1)上面的运算过程中第步开始出现了错误;

(2)请你写出完整的解答过程.

【答案】(1)一

(2)见解析

【分析】(1)根据解答过程逐步分析即可解答；

(2)根据分式混合运算法则进行计算即可.

—?(a--9—1

【详解】⑴解：a1°7

Q-b?a22ab-b2

aaa

一2ab+b2

aa

故第一步错误.

故答案为:

⑵解：°\

Q-b?a22ab—b2

aaa

a-ba2-2ab+&2

aa

2

g-b9(a-d)

aa

_a_-__b7___a___

a(a-b)2

_i

a-i

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键.

21.课堂上，老师提出了下面的问题：

已知3a>b>0,"-=可试比较"与"的大小.

小华：整式的大小比较可采用“作差法”.

老师：比较出+1与2*一1的大小.

小华.必+1)-(2x-1)=d+1-2x+1=(x-l)2+l>0

.r2+1>2x-1

老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？

(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.

2322

⑵比较大小："6s.(填“〉”“三，或“<”)

【答案】⑴M>"

(2)<

M-N

【分析】(1)根据作差法求的值即可得出答案;

23_22

(2)根据作差法求65的值即可得出答案.

zafl+1a(计3)­b(a+l)。计3c一如一b_初一力

iyi2V

-d(b+3)39+3)

【详解】(1)解：

•1•3a>&>0>

2ah.

.-'：.V；

(2)解：丫典一空=丝"一9=一」_<0

6S654420^14^04420

2S^22

一《一・

□2u5

故答案为：<

【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法.

【新考法】开放性试题

小口a>3A=2a2-8B=3a2+6aC=a3-4a2+4o

22.已知1，代数式：，，

⑴因式分解A；

(2)在A,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【答案】⑴2(Q+2)(Q—2)

(2)见解析

【分析】(1)先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可;

(2)将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可.

【详解】⑴解心=2。2-8=21-4)=2(。+2)("2)

(2)解：①当选择A、8时:

B_3a2+6a_3A(G+2)_初

A-2^-8-2(G+2)(O-2)-2a7

4_2--8_2GH~2)(0-2)_2a7

B3G2+6G初(C+2)3fi

②当选择A、C时：

C_G3-4a2+4<2_G(a-2)2_a2-2a

A-2a2-8--2(a+2)(a-2)-2*4

A_2--8_2(a+2)(。-2)_2H4

Ca3-4G2+4Ga(a-2)za2-2G

③当选择B、C时：

C_4c_a(a-2)2_4G+4

B-3a2+6c-3ag+2)-M+6

ff_初46c_3a(a+2)_初+6

CG3-4a斗4Qa(a-2)zG

【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化

简的方法.

【新考法】阅读理解类问题

23.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为片一炉(*y均为自然数)”的问题.

(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(”为正整数)：

N奇数4的倍数

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

表

示

5=32-2212=M-22

结

果

7=42-3216=52—32

9=52-4220=62-4:

••••••

般2n-1=n2-4n=

结(n-1)2

论

按上表规律，完成下列问题:

⑵兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4n一2个为正整数)的正整数”不能表示为片一户a,

均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

假设4n-2=?-炉，其中x,均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若K,y均为偶数，设“2A,y=2m其中％析均为自然数，

则/-俨=(2*)2-(2m)2=4(好-*为4的倍数.

4n—24

而不是的倍数，矛盾.故x,y不可能均为偶数.

②若盯y均为奇数，设“2k+l,y=2m+l其中勤也均为自然数，

则/守=(2k+1产-(2m+1尸=为4的倍数.

而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,],不可能均为奇数.

③若y一个是奇数一个是偶数，则炉一好为奇数.

4n—2

而是偶数，矛盾.故X,I，不可能一个是奇数一个是偶数.

由①Q:③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

22

【答案】⑴(i)7,5；(⑪)(n+l)-(n-l)；

(2产"2—一+"m)

【分析】(\(i)根据规律即可求解；(ii)根据规律即可求解；

2

()利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；

本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键.

24=72—S2

【详解】(1)(i)由规律可得，

75

故答案为：，；

(ii)由规律可得，4n=5+1)2-(”-1)2,

故答案为：S+1n一02；

(2)解：假设4"-2=必一』，其中X,丫均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若r,T均为偶数，设”=2匕)'=2刃其中3m均为自然数，

则F-2=磔)2_(27n尸=4(/一优2)为4的倍数.

4九一24

而不是的倍数，矛盾.故x,y不可能均为偶数.

②若X,y均为奇数，设“=2"+1,y=2m+l,其中均为自然数，

则x2-y2=(2Z+1)2-(2m+1)2=4(fc2-m2+”间为4的倍数

4m—24

而不是的倍数，矛盾.故X,y不可能均为奇数.

③若%,y一个是奇数一个是偶数，则X-广为奇数.

4九一2

而是偶数，矛盾.故X,y不可能一个是奇数一个是偶数.

由①，②③可知，猜测正确.

故答案为：4(j2+j)

【新考法】利用数形结合解决计算问题

24.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得

直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中数学里的一些代数公式，很多

都可以借助几何图形进行直观推导和解释.例如：求1+2+3+4+...+〃的值(其中〃是正整数).如果采用数

形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求

1+2+3+4+…+”的值，方案如下：如图1,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,…，

〃个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+...+”的值.为求式子的值,

现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有〃

行，每行有(〃+1)个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为〃(〃+1)个，因此，组成一个三角形小

圆圈的个数为中，即l+2+3+4i+〃=当1

图1图3

【问题提出】求