中考数学复习专项提升：与圆有关的计算（练习）含答案及解析

第八早圆

第29讲与圆有关的计算

口题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

模拟基础练□题型10圆锥的实际问题

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

口题型01利用弧长公式求弧长

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半重难创新练

径

口题型03求某点的弧形运动路径长度

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

真题实战练

口题型05求图形旋转后扫过的面积

□题型06求弓形面积

口题型07求其它不规则图形面积

口题型08求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线

模拟基础练

□题型01利用弧长公式求弧长

1.（2023•山东东营•二模）如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150。，假设绳索粗

细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为cm.（结果保留兀）

2.（2023・河南信阳•模拟预测）如图，正方形2BCD的边AB=2,将正方形力BCD以点4为旋转中心逆时针旋

转得到正方形力BO（旋转角小于90。），与CD相交于点E.若点夕恰好落在边力B的垂直平分线上，则

图中Cf，的长度为

3.（2023・湖南岳阳•模拟预测）以4B为直径的。。上三点A、B、C,作NB4C的平分线4。交O0于D点，如

图，过点。作DE1AC交AC的延长线于E点，交4B的延长线于尸点，若力B=4

（1）若4WE=3NF,则CD的弧长为.

(2)若DF=2V3,贝UtanN力DE=.

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径

4.（2023•江苏镇江•二模）扇形的弧长为6兀，半径是12,该扇形的圆心角为度.

5.（2023•黑龙江哈尔滨•三模）一个扇形的面积为10兀，弧长为等，则该扇形的圆心角的度数为

6.（2023・河南•模拟预测）已知扇形的面积是［兀，圆心角120。，则这个扇形的半径是.

口题型03求某点的弧形运动路径长度

7.（2023・辽宁大连•一模）如图，将AaOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4。夕，/V与。夕交于点C,

若N20B=15。，0A=3,则Ttf的长为.

8.（2023・四川绵阳•模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图

①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的点A经过的路径长度为（兀=3）.

9.（2023•北京东城•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，AOAB的顶点坐标分别为。（0,0）,4（5,0）,

B(4,—3).

⑴作出AOAB关于原点。成中心对称的图形△。4送1（点2与点为对应），并写出点名的坐标;

⑵将A04B绕点。顺时针旋转90。得到△O&B2,点B旋转后的对应点为B2,画出旋转后的图形△。&B?,并

写出点多的坐标;

（3）在（2）的条件下，求点B经过的路径醺2的长•

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

10.（2023•浙江温州・一模）若扇形的圆心角为150。，半径为4,则该扇形的面积为.

11.（2023・吉林白城•模拟预测）如图，在矩形力BCD中，AB=2,BC=®以点8为圆心，BA长为半径画

弧，交CD于点E,连接BE,则扇形B4E的面积为.

12.（2023•浙江丽水•模拟预测）小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小

完全一样的扇环组成，。为圆心.

cB

（1）若/。=60。，A为。8的中点，贝MB长为m；

（2）若使得模型的面积最大，则的值为m.

□题型05求图形旋转后扫过的面积

13.（2023・山东聊城・二模）如图，将△ABC绕点C旋转60。得到△49C,已知AC=10,8。=6,则线段48扫

过的图形面积为（）

16「32

A.107TB.一71C.—nD.—7T

333

14.（2023•吉林白城•模拟预测）如图，点A,B,C对应的刻度分别为3,5,7,将线段绕点C顺时针旋转,

得到CA,当点A首次落在矩形BCDE的边8E上时，线段C4扫过的图形的面积为（结果保留口）.

15.（2023•宁夏吴忠・模拟预测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,4aBC在平面直角坐标系中的

位置如图所示.

⑴以点C为位似中心，作出AABC的位似图形使AAiBiC与AaBC的位似比为2:1且位于点C两侧,

并写出点&的坐标；

（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90。后的图形4A2B2C；

⑶在（2）的条件下，求出线段C8所扫过的面积.

口题型06求弓形面积

16.（2023・河南周口・二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上，则丽和

弦AC构成的弓形的面积为.

17.（2023•河南周口•三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4,4c=30。，以4B中点。为圆心、4。长为半

径作半圆交线段AC于点E,则图中阴影部分的面积为.

18.（2023•江西新余•一模）如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11

点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为cm2（结果保留兀）.

19.（2023・广东佛山•一模）如图，在A4BC中，AB=AC,以力B为直径的。。与BC交于点D,连接4D.

⑴用无刻度的直尺和圆规作出劣弧4。的中点E.（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交4。于F点，并证明:

AFXDF=BFxEF；

（2）若。。的半径等于4,且。。与力C相切于力点，求劣弧力D的长度和阴影部分的面积（结果保留兀）.

□题型07求其它不规则图形面积

20.（2024•浙江宁波.二模）如图，在矩形4BC。中，AD=同厂是48上一点，AF=1,以点A为圆心4。为

半径画弧，交4B于点E,以尸为圆心，。尸为半径画弧，交CD于点M,48于点N,则阴影部分的面积为（）

C

21.（2023・河南新乡•二模）如图，在RtAABC中，N力CB=90。，Z.B=30°,AC=2,以点C为圆心，C4为

半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E,则图中阴影部分的面积为.

22.（2024•内蒙古包头•模拟预测）如图，已知，半圆的直径4B=8,。为圆心，点P是半圆上的一点，将经沿

直线4P折叠后的弧经过圆心。，则图中阴影部分的面积是

口题型08求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线

23.（2024•湖南长沙•模拟预测）用圆心角为90。，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），

则这个圆锥的底面半径为（）

133

A.5B.;C,-D.3

24.（2024•江苏南京•模拟预测）圆锥的母线长为2cm.底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为.

25.（2024.江苏南京.模拟预测）若圆锥的母线长为4,底面圆的半径长为3,那么该圆锥的高是.

26.（2024•江苏扬州•模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200ncm2,圆锥母线与底面圆的半径之比为2:1,

则母线长为.

[]题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

27.（2024•云南红河•模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也

能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10m侧面积为757T的圆锥形草帽，则制

作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（）

A.150°B.120°C.180°D.100°

28.（2024・湖南常德•模拟预测）若一个圆锥的底面圆的半径是2cm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图

的圆心角的度数是（）

A.40°B.80°C.120°D.150°

29.（2024•江苏徐州•模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为4:5,则其侧面展开图的圆心角度数为

口题型10圆锥的实际问题

30.（2020・四川眉山・二模）如图，小非同学要用纸板制作一个高为3cm,底面周长为87rcm的圆锥形漏斗模

型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是—.

31.（2022・广西崇左•一模）如图，把矩形纸片4BCD分割成正方形纸片4BFE和矩形纸片EFCD,分别裁出扇

形力BF和半径最大的圆.若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则第=

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

32.（2024•宁夏银川.二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，2B为底面圆的直径，SB=6,AB=4,

一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为.

33.（23-24九年级上•山东泰安・期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC的边长为6m,粮堆母线4C的

中点尸处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在8处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路

程是m.

34.（2024•浙江•模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高2.5米，用这堆沙在5米宽的路上铺3厘

米厚的路面，能铺多长？

35.（2024・广东阳江•一模）综合与实践

主题：制作圆锥形生日帽.

素材：一张圆形纸板、装饰彩带.

步骤1：如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为/、圆心角为心的扇形.制作圆锥

形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料.

步骤2：如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽.

在制作好的生日帽中，AB=6cm,I=6cm,C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰

彩带，求彩带长度的最小值.

重难创新练

1.（2024•山东德州•中考真题）如图,圆。。1与。。2都经过A，8两点，点。2在。。1上，点C是46B上的

一点，连接力C并延长交。G于点P,连接力B,BC,BP.

⑴求证：乙ACB=2乙P

（2）若NP=30°,AB=2V3.

①求。01的半径；

②求图中阴影部分的面积.

真题实战练

1.（2024.山东青岛.中考真题）如图，A,B,C,。是。。上的点，半径。4=3,左8=CB,KDBC=25°,

连接力O,则扇形40B的面积为（）

O

A

B

A.-nB.-nC.-nD.—n

48212

2.（2024.山东东营・中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校

组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，。4=20cm,OB=5cm,

纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角乙40c=120。.现需在扇面一侧绘制山水画，

则山水画所在纸面的面积为（）cm?.

C.125nD.150TT

3.（2024・江苏无锡・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6irB.121rC.15nD.24n

4.（2024.山东泰安.中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。’的一个直径端点与半圆。的圆

心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

4V3

A.）一8B.7C.-TT-V3D.-7T--------

34

5.（2024.广东广州.中考真题）如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径，是5,

2遍

C.2V61TD.——TI

3

6.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在扇形40B中，4AOB=80°,半径CM=3,C是脑上一点，连接。C,

。是OC上一点，且。D=DC,连接BD.若BD1OC,则AC的长为（）

A.?B.=C,=D,n

7.（2024•河南•中考真题）如图，。。是边长为4百的等边三角形ABC的外接圆，点。是区的中点，连接BD,

CD.以点。为圆心，BZ）的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

167T

C.D.16n

3

8.（2024.河北.中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇

张开的角度为120。时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为n。时，扇面面积为治,若根=知，则根与n关系

的图象大致是（）

9.（2024•山东威海•中考真题）如图，在扇形40B中，NAOB=90。，点C是4。的中点.过点C作CE14。交AB

于点E,过点E作ED1OB,垂足为点D.在扇形内随机选取一点P,则点尸落在阴影部分的概率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

10.（2024・云南・中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长

为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.700n平方厘米B.900几平方厘米

C.1200TT平方厘米D.1600n平方厘米

11.（2024•山西•中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一'部分，图2是其几何小意图（阴

影部分为花窗）.通过测量得到扇形力。B的圆心角为90。，。/l=lm,点C,D分别为04OB的中点，则花

图1图2

12.（2024•江苏镇江•中考真题）如图，四边形4BCD为平行四边形，以点4为圆心，AB长为半径画弧，交BC

边于点E,连接4E,AB=1,ZD=60°,则明的长I=（结果保留it）.

13.（2024•江苏宿迁・中考真题）如图，已知正六边形力BCDEF的边长为2,以点E为圆心，EF长为半径作圆,

则该圆被正六边形截得的衣■的长为.

14.（2024•甘肃兰州•中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图

1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中OM,ON的半径分别是1cm和10cm,

当OM顺时针转动3周时，ON上的点P随之旋转几。，贝加=.

图1

15.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成

一个底面半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm?(结果用含n的

16.(2024•辽宁.中考真题)如图，。。是A/IBC的外接圆，2B是O。的直径，点。在品t上，Af=55),E在

B4的延长线上，^CEA=ZCXD.

(1)如图1,求证：CE是。。的切线；

(2)如图2,^/.CEA=2/.DAB,=8,求ED的长.

17.(2024.江苏南通・中考真题)如图，△48C中，AB=3,AC=4,BC=5,。2与8c相切于点Z).

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)设。力上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长.

18.(2024・山东济宁・中考真题)如图，ANBC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

6—；—；—；—；—；—

O123456x

(1)将AABC向下平移2个单位长度得△为B1G，画出平移后的图形，并直接写出点名的坐标；

⑵将△41aG绕点/逆时针旋转90。得画出旋转后的图形，并求点G运动到点。2所经过的路径长.

19.(2024・青海・中考真题)如图，直线力B经过点C,且。4=0B,CA=CB.

(1)求证：直线A8是。。的切线；

(2)若圆的半径为4,NB=30。，求阴影部分的面积.

20.(2024・广东・中考真题)综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

图1

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留“)

第八早圆

第29讲与圆有关的计算

口题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

模拟基础练□题型10圆锥的实际问题

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

口题型01利用弧长公式求弧长

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半重难创新练

径

口题型03求某点的弧形运动路径长度

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

真题实战练

口题型05求图形旋转后扫过的面积

□题型06求弓形面积

口题型07求其它不规则图形面积

口题型08求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线

模拟基础练

□题型01利用弧长公式求弧长

1.（2023•山东东营•二模）如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150。，假设绳索粗

细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为cm.（结果保留兀）

【分析】本题考查求弧长，根据题意，得到重物上升的高度为半径为12cm,圆心角为150。的弧长，根据弧

长公式进行计算即可.

【详解】解：由题意：重物上升的高度为半径为12cm,圆心角为150。的弧长,

---x12—10兀（cm）；

180

故答案为：10兀.

2.（2023・河南信阳•模拟预测）如图，正方形4BCD的边4B=2,将正方形4BCD以点4为旋转中心逆时针旋

转得到正方形力B'C'D'（旋转角小于90。），夕厂与CD相交于点E.若点夕恰好落在边4B的垂直平分线上，则

图中比，的长度为.

【分析】连接B夕，AC,4C,根据旋转的性质可得：AC=AC,AB=AB',/.BAB'=^CAC,再利用线

段垂直平分线的性质可得=BB，，从而可得△ABB，是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得

NB4B'=60。，从而可得NB42'==60。，最后根据正方形的性质可得=BC=2,乙4BC=90。,

从而可得4c的长，再利用弧长公式进行计算，即可解答.

【详解】解：如图，连接BB，，AC,AC,

由旋转得：AC^AC,AB^AB',/.BAB'-A.CAC,

,•,点B’恰好落在边48的垂直平分线上，

：.AB'=BB',

■.AB=AB'=BB',

.•.△ABB'是等边三角形，

:/BAB，=60°,

：.£.BAB'=Z.CAC=60°,

•••四边形4BCD是正方形，

：.AB=BC=2,£ABC=90°,

AC=近AB=2V2,

.•・C。的长度是罂=g誉=乎兀，

故答案为：言死

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧

长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

3.(2023・湖南岳阳•模拟预测)以48为直径的。。上三点A、B、C,作ABAC的平分线4。交。。于。点，如

图，过点。作DE1AC交AC的延长线于£点，交AB的延长线于尸点，若4B=4

F.DF

(1)若Z71DE=3/F,贝l|CD的弧长为.

(2)若DF=2V3,贝!Jtan/ADE=.

【答案】yV3

【分析】(1)连接。C,。。，设NF=%,贝ikADE=3x,根据垂直定义可得NE=90。,从而可得NE4F=90°-%,

然后利用角平分线的定义可得ACME=亚瓦49=45。-%从而可得乙4/m=45。+),最后列出关于x的

方程进行计算，可求出N£ME=36。，从而利用圆周角定理可得NCOD=72。，再利用弧长公式进行计算，即

可解答；

(2)先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得ZEIIOD,从而可得NODF=4E=90°,然后在Rt△

ODF中，利用锐角三角函数的定义可得tanF=f，从而可得NF=30。，进而可得NE力尸=60。，再利用角平

分线的定义可得NE4D=30。，从而可得乙4OE=60°,即可解答.

设NF=X,

Z.ADE=3乙F,

Z.ADE=3%,

・•・DELAC,

・•・乙E=90°,

Z.EAF=90°—乙F=90°—x,

•・•4。平分/BAC,

111

・••^DAE==|(90°-x)=45°-1x,

・•・乙ADE=90°-乙DAE=45°+-x,

2

•••45+-%=3%,

2

解得：％=18。，

・•・^DAE=45°--x=36°,

2

・•・乙COD=2乙DAE=72°,

AB—4,

.•・。。=那=2,

72°XTTX247r

・•.CO的弧长=

180°5

故答案为：装；

(2)•・•OA=OD,

•••Z.OAD=Z-ODAf

•・•AD平分"AF,

•••Z.EAD=Z-OAD,

•••Z-EAD=Z-ODA,

AE||OD,

・•.Z.ODF=Z-E=90°,

在Rt^OD产中，。。=2,DF=2V3,

4厂。。26

••tan尸一一三一,

DF2V33

・•・Z.F=30°,

・•・Z-EAF=90°-Z-F=60°,

•••力。平分NE4F,

•••^EAD=-AEAF=30°,

2

・•・/,ADE=90°-^EAD=60°,

•••tanZ-ADE=V3,

故答案为：V3.

【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并

结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

口题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径

4.（2023•江苏镇江•二模）扇形的弧长为6兀，半径是12,该扇形的圆心角为度.

【答案】90

【分析】设此扇形的圆心角为x。，代入弧长公式计算，得到答案.

【详解】解：设此扇形的圆心角为万°,

由题意得，粤=6兀，

180

解得，工=90,

故答案为：90.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式1=会是解题的关键.

180

5.（2023•黑龙江哈尔滨•三模）一个扇形的面积为10兀，弧长为等，则该扇形的圆心角的度数为

【答案】1007100度

【分析】根据弧长和扇形面积关系可得5=“心求出R,再根据扇形面积公式求解.

【详解】•••一个扇形的弧长是等，面积是10兀，

：.S=^IR,即10兀=［乂等R,解得：R=6,

-.S=10TT=蹩《，解得：n=100°,

360

故答案为:100。.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算.熟记公式，理解公式间的关系是关键.

6.（2023•河南•模拟预测）已知扇形的面积是［兀，圆心角120。，则这个扇形的半径是.

【答案】2

【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是r,再根据扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】解：设该扇形的半径是r,则

2

47T—120-7rr，

3360

询毕得厂=2.

故答案为：2.

□题型03求某点的弧形运动路径长度

7.（2023・辽宁大连•一模）如图，将△208绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4。夕，/T与。夕交于点C,

若乙4OB=15。，OA=3,则AC的长为.

【答案】若n

【分析】本题主要考查旋转的性质，弧长公式.根据旋转的性质得乙4'。星=Z.AOB=15°,乙404=45°,

AAOC=AAOA'-/.B'OA'=30°,根据弧长公式即可求解.

【详解】解：・•・将AAOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4OB\AAOB=15°,

Z.A'OB'=/.AOB=15°,^AOA'=45°,

•••^AOC=/_AOA!-NB'。4'=30°,

河的长为片黑=热

故答案为:=.

8.（2023・四川绵阳•模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图

①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正

【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质.找出点A轨迹是解题的关键.利用弧长公式，可以解决问

题.

【详解】解：如图,

•••4和4都是正三角形的中心，

=/.A2OD=|X60°=30°,

.•.乙41。4=120°,四个角上的弧所对圆心角为乙43。4=210°,。&=O&=|义3=2,

第1次滚动，点A运动轨迹是以圆心。、圆心角150。，4。为半径的弧&&，

第2次滚动，是以圆心。'、圆心角为210。，。'4半径的弧44接下来运动类似，

如图中虚线，

4点运动的路径长度=4(王鬻+暗)=?兀〜44.

\lol)lol)/3

故答案为：44.

9.(2023•北京东城•模拟预测)如图，在平面直角坐标系久Oy中，△。力B的顶点坐标分别为。(0,0),4(5,0),

B(4,-3).

(1)作出4。48关于原点。成中心对称的图形4。481(点4与点4对应)，并写出点/的坐标；

⑵将A04B绕点。顺时针旋转90。得到△04B2,点B旋转后的对应点为B2,画出旋转后的图形△。力2殳，并

写出点殳的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点8经过的路径立©2的长.

【答案】(1)图见解析；点丛的坐标为(4,3)；

(2)图见解析；点殳的坐标为(—3,—4)；

(3)点8经过的路径长座2为|n

【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时,

点的运动轨迹为弧形.

(1)根据中心对称的性质找到4B的对应点4、B],连接。、&、殳即可，观察图象直接得到名的坐标;

(2)根据旋转的性质找到A、2的对应点4、殳，连接。、人2、4即可，观察图象直接得到％的坐标；

(2)点8经过的路径为弧助2,求得弧助2的半径计算弧长即可.

【详解】(1)解：AOAB关于原点。成中心对称的图形AOaiBi如图所示；

点名的坐标为(4,3)；

(2)解：旋转后的图形△。⑸/如图所示;

点夕2的坐标为(-3,-4)；

(3)解：由题可得OB=V32+42=5,

90nx55

--1-8-0--=-T2I

•••点B经过的路径长阳2为|二

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

10.(2023•浙江温州・一模)若扇形的圆心角为150。，半径为4,则该扇形的面积为.

【答案】g兀

【分析】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般.

直接根据扇形的面积公式计算即可.

【详解】由题意得，几=150。,丁=4,

故可得扇形的面积s=嘤=竺专答==兀.

故答案为：yTT.

11.（2023・吉林白城•模拟预测）如图，在矩形力BCD中，AB=2,BC=V3,以点B为圆心，B4长为半径画

弧，交CD于点E,连接BE,则扇形BAE的面积为.

【答案】|兀

【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形，矩形的性质等知识，解直角三角形求出NCBE=30。，推出

AABE=60°,再利用扇形的面积公式求解.解题的关键是求出NCBE的度数.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形，

•••4ABC="=90°,

BA=BE=2,BC=V3,

CE=>JBE2-BC2=1,则sinz_C8E

BE2

・•・乙CBE=30°,

.•・/.ABE=90°-30°=60°,

0_60-7T-22_2

扇形B4E兀，

故答案为：|TT.

12.（2023•浙江丽水•模拟预测）小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小

完全一样的扇环组成，。为圆心.

（1）若/。=60。，A为。B的中点，贝长为m；

（2）若使得模型的面积最大，则4B的值为m.

【答案】2加25

TT+24

【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键.

60xnr+60xnx2r

(1)由1=2r+,即可求解;

180180

(2)每个扇环的圆心角为仇面积为S,由S=£・%(R2—r2),即可求解.

360

【详解】解：(1)设每个扇环的周长为3贝山=1,设。4=4B=rm,

60xnr+60X7tx2r

则1=2r+

180180

解得：r=2

TT+2

故答案为：总

(2)每个扇环的圆心角为0,面积为S,设每个扇环的周长为3贝!JL=1,设OB=C。=R,OD=r,

根据题意得：1=鬻+需+2(R—r),

lou1OU

Mg=180[Z--2(fi-r)]

Ti(7?+r)

TC-

,1,S=36O-0'(/?ro)

TT180[L-2(R-r)]

•(R2—r2)

360K(/?—r)

1

=-[L-2(7?-r)]x(/?-r)

-KO,所以抛物线开口向下,

-1

,式中0<R—r

R—r=工时，S取值最大，即43=工乙=工(111),

444

故答案为：?

口题型05求图形旋转后扫过的面积

13.(2023・山东聊城•二模)如图，将△力BC绕点C旋转60。得到△已知AC=10,BC=6,则线段力B扫

过的图形面积为()

c

n16c32

A.IOTTB.―几C.—71D.一71

333

【答案】D

【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质.由于将绕点。旋转60。得到夕C,可见，阴影

部分面积为扇形ZC4减扇形9，分别计算两扇形面积，再计算其差即可.

【详解】解：如图:

60TCAC260-7T10250

360360丁;

607rBe260-7T-62

扇形==6TT；

S360360

|50亡327r

则miSc阴影=W兀-6兀=亍

故选：D.

14.（2023・吉林白城•模拟预测）如图，点A,B,C对应的刻度分别为3,5,7,将线段绕点。顺时针旋转,

得到C4,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，线段C/扫过的图形的面积为.（结果保留7T）.

【分析】本题考查了扇形的面积公式以及解直角三角形，由题意可知，4C扫过的图形为一个扇形，且半径

为4,求出NBAC=30。，Z-BCA'=60°,再根据扇形面积公式求解即可.

【详解】解：解：由图可知：AC=A'C=4,BC=2,

・号1

"ACT2

.ZBA'C=30%乙BCA'=60°,

线段C4扫过的图形为扇形，此扇形的半径为乙4二4,

c60°"8

••・S扇形"4=说加X4=-71,

故答案为：|lT.

15.(2023•宁夏吴忠•模拟预测)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△力BC在平面直角坐标系中的

⑴以点C为位似中心，作出AABC的位似图形AAiBiC,使AaiBiC与AABC的位似比为2:1且位于点C两侧,

并写出点&的坐标；

(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90。后的图形4A2B2C；

(3)在(2)的条件下，求出线段CB所扫过的面积.

【答案】(1)作图见解析，4的坐标为(3,-3)

(2)作图见解析

⑶六

【分析】(1)延长4C到使&c=2ac,延长BC到B1，使B1c=2BC,则可得到△4道停,然后写出点公

的坐标；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出2、8的对应点4、殳，然后连接&C、B2C,A2B2,可得△4为。；

(3)先利用勾股定理计算出CB,然后根据扇形面积公式计算线段BC所经过的面积.

【详解】(1)解：如图，△4/4即为所作，点4的坐标为(3,—3)；

(2)如图，A&B2c为所作;

J4

线段CB所扫过的面积：吗兀.

3604

【点睛】本题考查作图一位似变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，扇形的面积等知识点.解题的关

键是掌握画位似图形的一般步骤：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；

然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

□题型06求弓形面积

16.（2023・河南周口•二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上，则丽和

弦2C构成的弓形的面积为

【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ,MN与PQ交于点。，则点。即为圆心.连接。4、OB、OC,构造

如图所示的三角形，易证明△力E。三△。尸C,易知4E=0F=3,EO=FC=4,贝ij04=OC=OB=5,且

^AOE=^OCF,AEAO=^FOC,则易证明44OC=90。.易求得扇形力C。的面积为之叱=陋，即可得出

3604

弓形的面积.

本题考查不规则图形面积，准确构造图形是解题的关键.

【详解】如图，分另I］作力8、BC的中垂线MN、PQ,MN与PQ交于点、0,则点。即为圆心.连接。4、OB、0C,

构造如图所示的三角形

如图可得：^AEOSAOFC,

4E=。尸=3,EO=FC=4,

0A=OC=OB=5,且N40E=AOCF,AEAO=zFOC,

.­.Z.AOC=90°.

.••扇形ac。的面积为殁手=亨，

3604

则弓形的面积为竽—；x5x5=三厘

424

故答案为：乏警.

4

17.（2023・河南周口・三模）如图，在AdBC中，BC=BA=4,zC=30°,以4B中点。为圆心、AD长为半

径作半圆交线段ac于点E,则图中阴影部分的面积为.

B

【答案】y-V3

【分析】连接OE,BE,然后根据已知条件求出乙4BE=60。，AE=2®从而得到乙4DE=120°,最后结

合扇形的面积计算公式求解即可.

【详解】解：如图，连接。氏BE.

B

必B为直径，

:ZBEA=90°.

■：BC=BA,

■■.ABAC=4BCA=30°,

­■/.ABE=60°,BE=^AB=2,AE=WBE==2®

,-BD=DE,

.•.△8DE是等边三角形，

：.^ADE=120°,

・•・阴影部分的面积=S扇形DM-SAME

_12071X221

S

=―3602AABE

=­

故答案为：-j--V3.

【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的

圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键.

18.（2023•江西新余•一模）如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11

点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为cm2（结果保留兀）.

A

【答案】（6兀-9V3）/（-9V3+6n）

【分析】连接OB,过点。作。C1AB,根据等边三角形的判定得出AAOB为等边三角形，再根据扇形

面积公式求出S扇形A.=6兀，再根据三角形面积公式求出SA40B=9次，进而求出阴影部分的面积.

【详解】解：连接。4、OB,过点。作0c148于点C,

由题意可知：2LA0B=60°,

•••OA=OB,

・•・△40B为等边三角形,

AB=AO=BO=6,

S扇形O4B=360=6兀'

•••OC1AB,

^OCA=90°,ac=3,

OC=3V3,

2

•••ShA0B=|i4S-OC=|X6X3A/3=9V3（cm）,

・•・阴影部分的面积为：（6兀-9百）cm?.

故答案为：（67T-9V3）.

【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键.

19.（2023・广东佛山•一模）如图，在A71BC中，AB=AC,以AB为直径的。。与BC交于点D,连接AD.

⑴用无刻度的直尺和圆规作出劣弧4。的中点E.（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交2。于F点，并证明：

AFxDF=BFxEF；

（2）若。。的半径等于4,且。。与4C相切于4点，求劣弧4。的长度和阴影部分的面积（结果保留兀）.

【答案】（1）见解析

（2）2it,4TT-8

【分析】（1）利用圆周角相等所对的弧相等解决中点，连接。凡先说明ABB4sADFE,再利用相似三角

形的性质得结论；

（2）连接OD,先求出N40D的度数，再利用弧长公式、扇形的面积公式及三角形的面积公式得结论.

【详解】（1）作乙4BC的角平分线交加于点E.

二点E为所求的劣弧4D的中点.

证明：连接DE,

Z-ABF=Z.ADE,Z-BAF=Z.FED.

BFADFE.

.BF_DF

•・AF~EF'

即/FxOF=BFxEF.

(2)连接。D,

・•・BA1AC.

•・•AB=AC,

.・.z_B=Z,C=45°.

OB=OD,

乙B=Z,ODB=45°.

・•・乙400=90°.

•••劣弧的长度=*>=2小

180

S阴影=S扇400_S&AOD

90X7TX421

=--------------------x4x4

3602

=4TT—8.

【点睛】本题主要考查了与圆有关计算，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公

式是解决本题的关键.

16.（2023・河南周口•二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上，则而和

弦AC构成的弓形的面积为.

【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ,