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文档简介

第八早圆

第29讲与圆有关的计算

口题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

模拟基础练□题型10圆锥的实际问题

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

口题型01利用弧长公式求弧长

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半重难创新练

口题型03求某点的弧形运动路径长度

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

真题实战练

口题型05求图形旋转后扫过的面积

□题型06求弓形面积

口题型07求其它不规则图形面积

口题型08求圆锥的侧面积,底面半径,高,母线

模拟基础练

□题型01利用弧长公式求弧长

1.(2023•山东东营•二模)如图,用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了150。,假设绳索粗

细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升的高度为cm.(结果保留兀)

2.(2023・河南信阳•模拟预测)如图,正方形2BCD的边AB=2,将正方形力BCD以点4为旋转中心逆时针旋

转得到正方形力BO(旋转角小于90。),与CD相交于点E.若点夕恰好落在边力B的垂直平分线上,则

图中Cf,的长度为

3.(2023・湖南岳阳•模拟预测)以4B为直径的。。上三点A、B、C,作NB4C的平分线4。交O0于D点,如

图,过点。作DE1AC交AC的延长线于E点,交4B的延长线于尸点,若力B=4

(1)若4WE=3NF,则CD的弧长为.

(2)若DF=2V3,贝UtanN力DE=.

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径

4.(2023•江苏镇江•二模)扇形的弧长为6兀,半径是12,该扇形的圆心角为度.

5.(2023•黑龙江哈尔滨•三模)一个扇形的面积为10兀,弧长为等,则该扇形的圆心角的度数为

6.(2023・河南•模拟预测)已知扇形的面积是[兀,圆心角120。,则这个扇形的半径是.

口题型03求某点的弧形运动路径长度

7.(2023・辽宁大连•一模)如图,将AaOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4。夕,/V与。夕交于点C,

若N20B=15。,0A=3,则Ttf的长为.

8.(2023・四川绵阳•模拟预测)如图,正三角形的高是3厘米,正方形的边长是正三角形的2倍,木块从图

①的位置开始,沿着木桩的边缘滚动,滚动过程如图②,图③所示,木块滚动一周后回到原位置,那么正

三角形正中心的点A经过的路径长度为(兀=3).

9.(2023•北京东城•模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOy中,AOAB的顶点坐标分别为。(0,0),4(5,0),

B(4,—3).

⑴作出AOAB关于原点。成中心对称的图形△。4送1(点2与点为对应),并写出点名的坐标;

⑵将A04B绕点。顺时针旋转90。得到△O&B2,点B旋转后的对应点为B2,画出旋转后的图形△。&B?,并

写出点多的坐标;

(3)在(2)的条件下,求点B经过的路径醺2的长•

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

10.(2023•浙江温州・一模)若扇形的圆心角为150。,半径为4,则该扇形的面积为.

11.(2023・吉林白城•模拟预测)如图,在矩形力BCD中,AB=2,BC=®以点8为圆心,BA长为半径画

弧,交CD于点E,连接BE,则扇形B4E的面积为.

12.(2023•浙江丽水•模拟预测)小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型,该模型由四个形状、大小

完全一样的扇环组成,。为圆心.

cB

(1)若/。=60。,A为。8的中点,贝MB长为m;

(2)若使得模型的面积最大,则的值为m.

□题型05求图形旋转后扫过的面积

13.(2023・山东聊城・二模)如图,将△ABC绕点C旋转60。得到△49C,已知AC=10,8。=6,则线段48扫

过的图形面积为()

16「32

A.107TB.一71C.—nD.—7T

333

14.(2023•吉林白城•模拟预测)如图,点A,B,C对应的刻度分别为3,5,7,将线段绕点C顺时针旋转,

得到CA,当点A首次落在矩形BCDE的边8E上时,线段C4扫过的图形的面积为(结果保留口).

15.(2023•宁夏吴忠・模拟预测)在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,4aBC在平面直角坐标系中的

位置如图所示.

⑴以点C为位似中心,作出AABC的位似图形使AAiBiC与AaBC的位似比为2:1且位于点C两侧,

并写出点&的坐标;

(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90。后的图形4A2B2C;

⑶在(2)的条件下,求出线段C8所扫过的面积.

口题型06求弓形面积

16.(2023・河南周口・二模)如图,已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上,则丽和

弦AC构成的弓形的面积为.

17.(2023•河南周口•三模)如图,在△ABC中,BC=BA=4,4c=30。,以4B中点。为圆心、4。长为半

径作半圆交线段AC于点E,则图中阴影部分的面积为.

18.(2023•江西新余•一模)如图,有一个半径为6cm的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11

点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为cm2(结果保留兀).

19.(2023・广东佛山•一模)如图,在A4BC中,AB=AC,以力B为直径的。。与BC交于点D,连接4D.

⑴用无刻度的直尺和圆规作出劣弧4。的中点E.(不写作法,保留作图痕迹),连接BE交4。于F点,并证明:

AFXDF=BFxEF;

(2)若。。的半径等于4,且。。与力C相切于力点,求劣弧力D的长度和阴影部分的面积(结果保留兀).

□题型07求其它不规则图形面积

20.(2024•浙江宁波.二模)如图,在矩形4BC。中,AD=同厂是48上一点,AF=1,以点A为圆心4。为

半径画弧,交4B于点E,以尸为圆心,。尸为半径画弧,交CD于点M,48于点N,则阴影部分的面积为()

C

21.(2023・河南新乡•二模)如图,在RtAABC中,N力CB=90。,Z.B=30°,AC=2,以点C为圆心,C4为

半径画弧,分别与AB、CB交于点D、E,则图中阴影部分的面积为.

22.(2024•内蒙古包头•模拟预测)如图,已知,半圆的直径4B=8,。为圆心,点P是半圆上的一点,将经沿

直线4P折叠后的弧经过圆心。,则图中阴影部分的面积是

口题型08求圆锥的侧面积,底面半径,高,母线

23.(2024•湖南长沙•模拟预测)用圆心角为90。,半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),

则这个圆锥的底面半径为()

133

A.5B.;C,-D.3

24.(2024•江苏南京•模拟预测)圆锥的母线长为2cm.底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为.

25.(2024.江苏南京.模拟预测)若圆锥的母线长为4,底面圆的半径长为3,那么该圆锥的高是.

26.(2024•江苏扬州•模拟预测)圆锥的侧面展开图的面积为200ncm2,圆锥母线与底面圆的半径之比为2:1,

则母线长为.

[]题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

27.(2024•云南红河•模拟预测)为了拉动乡村经济振兴,某村设立了一个草帽手工作坊,让留守的老人也

能赚钱,其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10m侧面积为757T的圆锥形草帽,则制

作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为()

A.150°B.120°C.180°D.100°

28.(2024・湖南常德•模拟预测)若一个圆锥的底面圆的半径是2cm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图

的圆心角的度数是()

A.40°B.80°C.120°D.150°

29.(2024•江苏徐州•模拟预测)已知一个圆锥的高与母线之比为4:5,则其侧面展开图的圆心角度数为

口题型10圆锥的实际问题

30.(2020・四川眉山・二模)如图,小非同学要用纸板制作一个高为3cm,底面周长为87rcm的圆锥形漏斗模

型,若不计接缝和损耗,则她所需纸板的面积是—.

31.(2022・广西崇左•一模)如图,把矩形纸片4BCD分割成正方形纸片4BFE和矩形纸片EFCD,分别裁出扇

形力BF和半径最大的圆.若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则第=

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

32.(2024•宁夏银川.二模)如图,已知点C为圆锥母线SB的中点,2B为底面圆的直径,SB=6,AB=4,

一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点,则蚂蚁爬行的最短路程为.

33.(23-24九年级上•山东泰安・期中)如图,有一个圆锥形粮堆,正三角形ABC的边长为6m,粮堆母线4C的

中点尸处有一只老鼠正在吃粮食,此时小猫正在8处,它要沿圆锥侧面P处捉老鼠,小猫所经过的最短路

程是m.

34.(2024•浙江•模拟预测)一个圆锥形沙堆,底面周长是18.84米,高2.5米,用这堆沙在5米宽的路上铺3厘

米厚的路面,能铺多长?

35.(2024・广东阳江•一模)综合与实践

主题:制作圆锥形生日帽.

素材:一张圆形纸板、装饰彩带.

步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为/、圆心角为心的扇形.制作圆锥

形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料.

步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽.

在制作好的生日帽中,AB=6cm,I=6cm,C是PB的中点,现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰

彩带,求彩带长度的最小值.

重难创新练

1.(2024•山东德州•中考真题)如图,圆。。1与。。2都经过A,8两点,点。2在。。1上,点C是46B上的

一点,连接力C并延长交。G于点P,连接力B,BC,BP.

⑴求证:乙ACB=2乙P

(2)若NP=30°,AB=2V3.

①求。01的半径;

②求图中阴影部分的面积.

真题实战练

1.(2024.山东青岛.中考真题)如图,A,B,C,。是。。上的点,半径。4=3,左8=CB,KDBC=25°,

连接力O,则扇形40B的面积为()

O

A

B

A.-nB.-nC.-nD.—n

48212

2.(2024.山东东营・中考真题)习近平总书记强调,中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校

组织开展中华优秀传统文化成果展示活动,小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图,。4=20cm,OB=5cm,

纸扇完全打开后,外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角乙40c=120。.现需在扇面一侧绘制山水画,

则山水画所在纸面的面积为()cm?.

C.125nD.150TT

3.(2024・江苏无锡・中考真题)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为()

A.6irB.121rC.15nD.24n

4.(2024.山东泰安.中考真题)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆。’的一个直径端点与半圆。的圆

心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是()

4V3

A.)一8B.7C.-TT-V3D.-7T--------

34

5.(2024.广东广州.中考真题)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形,若扇形的半径,是5,

2遍

C.2V61TD.——TI

3

6.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图,在扇形40B中,4AOB=80°,半径CM=3,C是脑上一点,连接。C,

。是OC上一点,且。D=DC,连接BD.若BD1OC,则AC的长为()

A.?B.=C,=D,n

7.(2024•河南•中考真题)如图,。。是边长为4百的等边三角形ABC的外接圆,点。是区的中点,连接BD,

CD.以点。为圆心,BZ)的长为半径在。。内画弧,则阴影部分的面积为()

167T

C.D.16n

3

8.(2024.河北.中考真题)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇

张开的角度为120。时,扇面面积为S、该折扇张开的角度为n。时,扇面面积为治,若根=知,则根与n关系

的图象大致是()

9.(2024•山东威海•中考真题)如图,在扇形40B中,NAOB=90。,点C是4。的中点.过点C作CE14。交AB

于点E,过点E作ED1OB,垂足为点D.在扇形内随机选取一点P,则点尸落在阴影部分的概率是()

1112

A.B.C.D.

4323

10.(2024・云南・中考真题)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长

为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为()

A.700n平方厘米B.900几平方厘米

C.1200TT平方厘米D.1600n平方厘米

11.(2024•山西•中考真题)如图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一'部分,图2是其几何小意图(阴

影部分为花窗).通过测量得到扇形力。B的圆心角为90。,。/l=lm,点C,D分别为04OB的中点,则花

图1图2

12.(2024•江苏镇江•中考真题)如图,四边形4BCD为平行四边形,以点4为圆心,AB长为半径画弧,交BC

边于点E,连接4E,AB=1,ZD=60°,则明的长I=(结果保留it).

13.(2024•江苏宿迁・中考真题)如图,已知正六边形力BCDEF的边长为2,以点E为圆心,EF长为半径作圆,

则该圆被正六边形截得的衣■的长为.

14.(2024•甘肃兰州•中考真题)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具,在春秋战国时期被广泛应用,图

1是陈列在展览馆的仿真模型,图2是模型驱动部分的示意图,其中OM,ON的半径分别是1cm和10cm,

当OM顺时针转动3周时,ON上的点P随之旋转几。,贝加=.

图1

15.(2024•内蒙古通辽•中考真题)如图,为便于研究圆锥与扇形的关系,小方同学利用扇形纸片恰好围成

一个底面半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面,那么这个扇形纸片的面积是cm?(结果用含n的

16.(2024•辽宁.中考真题)如图,。。是A/IBC的外接圆,2B是O。的直径,点。在品t上,Af=55),E在

B4的延长线上,^CEA=ZCXD.

(1)如图1,求证:CE是。。的切线;

(2)如图2,^/.CEA=2/.DAB,=8,求ED的长.

17.(2024.江苏南通・中考真题)如图,△48C中,AB=3,AC=4,BC=5,。2与8c相切于点Z).

(1)求图中阴影部分的面积;

(2)设。力上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时,求BP的长.

18.(2024・山东济宁・中考真题)如图,ANBC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

6—;—;—;—;—;—

O123456x

(1)将AABC向下平移2个单位长度得△为B1G,画出平移后的图形,并直接写出点名的坐标;

⑵将△41aG绕点/逆时针旋转90。得画出旋转后的图形,并求点G运动到点。2所经过的路径长.

19.(2024・青海・中考真题)如图,直线力B经过点C,且。4=0B,CA=CB.

(1)求证:直线A8是。。的切线;

(2)若圆的半径为4,NB=30。,求阴影部分的面积.

20.(2024・广东・中考真题)综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示:

①一张直径为10cm的圆形滤纸;

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

图1

【实践操作】

步骤1:取一张滤纸;

步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;

步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;

步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留“)

第八早圆

第29讲与圆有关的计算

口题型09求圆锥侧面展开图的圆心角

模拟基础练□题型10圆锥的实际问题

□题型11圆锥侧面上最短路径问题

口题型01利用弧长公式求弧长

□题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半重难创新练

口题型03求某点的弧形运动路径长度

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

真题实战练

口题型05求图形旋转后扫过的面积

□题型06求弓形面积

口题型07求其它不规则图形面积

口题型08求圆锥的侧面积,底面半径,高,母线

模拟基础练

□题型01利用弧长公式求弧长

1.(2023•山东东营•二模)如图,用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了150。,假设绳索粗

细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升的高度为cm.(结果保留兀)

【分析】本题考查求弧长,根据题意,得到重物上升的高度为半径为12cm,圆心角为150。的弧长,根据弧

长公式进行计算即可.

【详解】解:由题意:重物上升的高度为半径为12cm,圆心角为150。的弧长,

---x12—10兀(cm);

180

故答案为:10兀.

2.(2023・河南信阳•模拟预测)如图,正方形4BCD的边4B=2,将正方形4BCD以点4为旋转中心逆时针旋

转得到正方形力B'C'D'(旋转角小于90。),夕厂与CD相交于点E.若点夕恰好落在边4B的垂直平分线上,则

图中比,的长度为.

【分析】连接B夕,AC,4C,根据旋转的性质可得:AC=AC,AB=AB',/.BAB'=^CAC,再利用线

段垂直平分线的性质可得=BB,,从而可得△ABB,是等边三角形,然后利用等边三角形的性质可得

NB4B'=60。,从而可得NB42'==60。,最后根据正方形的性质可得=BC=2,乙4BC=90。,

从而可得4c的长,再利用弧长公式进行计算,即可解答.

【详解】解:如图,连接BB,,AC,AC,

由旋转得:AC^AC,AB^AB',/.BAB'-A.CAC,

,•,点B’恰好落在边48的垂直平分线上,

:.AB'=BB',

■.AB=AB'=BB',

.•.△ABB'是等边三角形,

:/BAB,=60°,

:.£.BAB'=Z.CAC=60°,

•••四边形4BCD是正方形,

:.AB=BC=2,£ABC=90°,

AC=近AB=2V2,

.•・C。的长度是罂=g誉=乎兀,

故答案为:言死

【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,正方形的性质,弧

长的计算,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

3.(2023・湖南岳阳•模拟预测)以48为直径的。。上三点A、B、C,作ABAC的平分线4。交。。于。点,如

图,过点。作DE1AC交AC的延长线于£点,交AB的延长线于尸点,若4B=4

F.DF

(1)若Z71DE=3/F,贝l|CD的弧长为.

(2)若DF=2V3,贝!Jtan/ADE=.

【答案】yV3

【分析】(1)连接。C,。。,设NF=%,贝ikADE=3x,根据垂直定义可得NE=90。,从而可得NE4F=90°-%,

然后利用角平分线的定义可得ACME=亚瓦49=45。-%从而可得乙4/m=45。+),最后列出关于x的

方程进行计算,可求出N£ME=36。,从而利用圆周角定理可得NCOD=72。,再利用弧长公式进行计算,即

可解答;

(2)先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得ZEIIOD,从而可得NODF=4E=90°,然后在Rt△

ODF中,利用锐角三角函数的定义可得tanF=f,从而可得NF=30。,进而可得NE力尸=60。,再利用角平

分线的定义可得NE4D=30。,从而可得乙4OE=60°,即可解答.

设NF=X,

Z.ADE=3乙F,

Z.ADE=3%,

・•・DELAC,

・•・乙E=90°,

Z.EAF=90°—乙F=90°—x,

•・•4。平分/BAC,

111

・••^DAE==|(90°-x)=45°-1x,

・•・乙ADE=90°-乙DAE=45°+-x,

2

•••45+-%=3%,

2

解得:%=18。,

・•・^DAE=45°--x=36°,

2

・•・乙COD=2乙DAE=72°,

AB—4,

.•・。。=那=2,

72°XTTX247r

・•.CO的弧长=

180°5

故答案为:装;

(2)•・•OA=OD,

•••Z.OAD=Z-ODAf

•・•AD平分"AF,

•••Z.EAD=Z-OAD,

•••Z-EAD=Z-ODA,

AE||OD,

・•.Z.ODF=Z-E=90°,

在Rt^OD产中,。。=2,DF=2V3,

4厂。。26

••tan尸一一三一,

DF2V33

・•・Z.F=30°,

・•・Z-EAF=90°-Z-F=60°,

•••力。平分NE4F,

•••^EAD=-AEAF=30°,

2

・•・/,ADE=90°-^EAD=60°,

•••tanZ-ADE=V3,

故答案为:V3.

【点睛】本题考查了解直角三角形,角平分线的性质,圆周角定理,弧长的计算,根据题目的已知条件并

结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

口题型02由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径

4.(2023•江苏镇江•二模)扇形的弧长为6兀,半径是12,该扇形的圆心角为度.

【答案】90

【分析】设此扇形的圆心角为x。,代入弧长公式计算,得到答案.

【详解】解:设此扇形的圆心角为万°,

由题意得,粤=6兀,

180

解得,工=90,

故答案为:90.

【点睛】本题考查的是弧长的计算,掌握弧长的公式1=会是解题的关键.

180

5.(2023•黑龙江哈尔滨•三模)一个扇形的面积为10兀,弧长为等,则该扇形的圆心角的度数为

【答案】1007100度

【分析】根据弧长和扇形面积关系可得5=“心求出R,再根据扇形面积公式求解.

【详解】•••一个扇形的弧长是等,面积是10兀,

:.S=^IR,即10兀=[乂等R,解得:R=6,

-.S=10TT=蹩《,解得:n=100°,

360

故答案为:100。.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算;弧长的计算.熟记公式,理解公式间的关系是关键.

6.(2023•河南•模拟预测)已知扇形的面积是[兀,圆心角120。,则这个扇形的半径是.

【答案】2

【分析】本题考查的是扇形面积的计算,设该扇形的半径是r,再根据扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】解:设该扇形的半径是r,则

2

47T—120-7rr,

3360

询毕得厂=2.

故答案为:2.

□题型03求某点的弧形运动路径长度

7.(2023・辽宁大连•一模)如图,将△208绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4。夕,/T与。夕交于点C,

若乙4OB=15。,OA=3,则AC的长为.

【答案】若n

【分析】本题主要考查旋转的性质,弧长公式.根据旋转的性质得乙4'。星=Z.AOB=15°,乙404=45°,

AAOC=AAOA'-/.B'OA'=30°,根据弧长公式即可求解.

【详解】解:・•・将AAOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△4OB\AAOB=15°,

Z.A'OB'=/.AOB=15°,^AOA'=45°,

•••^AOC=/_AOA!-NB'。4'=30°,

河的长为片黑=热

故答案为:=.

8.(2023・四川绵阳•模拟预测)如图,正三角形的高是3厘米,正方形的边长是正三角形的2倍,木块从图

①的位置开始,沿着木桩的边缘滚动,滚动过程如图②,图③所示,木块滚动一周后回到原位置,那么正

【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质.找出点A轨迹是解题的关键.利用弧长公式,可以解决问

题.

【详解】解:如图,

•••4和4都是正三角形的中心,

=/.A2OD=|X60°=30°,

.•.乙41。4=120°,四个角上的弧所对圆心角为乙43。4=210°,。&=O&=|义3=2,

第1次滚动,点A运动轨迹是以圆心。、圆心角150。,4。为半径的弧&&,

第2次滚动,是以圆心。'、圆心角为210。,。'4半径的弧44接下来运动类似,

如图中虚线,

4点运动的路径长度=4(王鬻+暗)=?兀〜44.

\lol)lol)/3

故答案为:44.

9.(2023•北京东城•模拟预测)如图,在平面直角坐标系久Oy中,△。力B的顶点坐标分别为。(0,0),4(5,0),

B(4,-3).

(1)作出4。48关于原点。成中心对称的图形4。481(点4与点4对应),并写出点/的坐标;

⑵将A04B绕点。顺时针旋转90。得到△04B2,点B旋转后的对应点为B2,画出旋转后的图形△。力2殳,并

写出点殳的坐标;

(3)在(2)的条件下,求点8经过的路径立©2的长.

【答案】(1)图见解析;点丛的坐标为(4,3);

(2)图见解析;点殳的坐标为(—3,—4);

(3)点8经过的路径长座2为|n

【分析】本题考查了旋转与坐标,弧长的计算公式,解决本题的关键是找到旋转后的对应点,理解旋转时,

点的运动轨迹为弧形.

(1)根据中心对称的性质找到4B的对应点4、B],连接。、&、殳即可,观察图象直接得到名的坐标;

(2)根据旋转的性质找到A、2的对应点4、殳,连接。、人2、4即可,观察图象直接得到%的坐标;

(2)点8经过的路径为弧助2,求得弧助2的半径计算弧长即可.

【详解】(1)解:AOAB关于原点。成中心对称的图形AOaiBi如图所示;

点名的坐标为(4,3);

(2)解:旋转后的图形△。⑸/如图所示;

点夕2的坐标为(-3,-4);

(3)解:由题可得OB=V32+42=5,

90nx55

--1-8-0--=-T2I

•••点B经过的路径长阳2为|二

口题型04利用扇形面积公式计算扇形面积

10.(2023•浙江温州・一模)若扇形的圆心角为150。,半径为4,则该扇形的面积为.

【答案】g兀

【分析】此题考查了扇形的面积计算,属于基础题,解答本题的关键是掌握扇形的面积公式,难度一般.

直接根据扇形的面积公式计算即可.

【详解】由题意得,几=150。,丁=4,

故可得扇形的面积s=嘤=竺专答==兀.

故答案为:yTT.

11.(2023・吉林白城•模拟预测)如图,在矩形力BCD中,AB=2,BC=V3,以点B为圆心,B4长为半径画

弧,交CD于点E,连接BE,则扇形BAE的面积为.

【答案】|兀

【分析】本题考查扇形的面积,解直角三角形,矩形的性质等知识,解直角三角形求出NCBE=30。,推出

AABE=60°,再利用扇形的面积公式求解.解题的关键是求出NCBE的度数.

【详解】解:•••四边形4BCD是矩形,

•••4ABC="=90°,

BA=BE=2,BC=V3,

CE=>JBE2-BC2=1,则sinz_C8E

BE2

・•・乙CBE=30°,

.•・/.ABE=90°-30°=60°,

0_60-7T-22_2

扇形B4E兀,

故答案为:|TT.

12.(2023•浙江丽水•模拟预测)小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型,该模型由四个形状、大小

完全一样的扇环组成,。为圆心.

(1)若/。=60。,A为。B的中点,贝长为m;

(2)若使得模型的面积最大,则4B的值为m.

【答案】2加25

TT+24

【分析】本题为二次函数应用题,主要考查扇形的周长和面积的计算,正确记忆公式是解题关键.

60xnr+60xnx2r

(1)由1=2r+,即可求解;

180180

(2)每个扇环的圆心角为仇面积为S,由S=£・%(R2—r2),即可求解.

360

【详解】解:(1)设每个扇环的周长为3贝山=1,设。4=4B=rm,

60xnr+60X7tx2r

则1=2r+

180180

解得:r=2

TT+2

故答案为:总

(2)每个扇环的圆心角为0,面积为S,设每个扇环的周长为3贝!JL=1,设OB=C。=R,OD=r,

根据题意得:1=鬻+需+2(R—r),

lou1OU

Mg=180[Z--2(fi-r)]

Ti(7?+r)

TC-

,1,S=36O-0'(/?ro)

TT180[L-2(R-r)]

•(R2—r2)

360K(/?—r)

1

=-[L-2(7?-r)]x(/?-r)

-KO,所以抛物线开口向下,

-1

,式中0<R—r

R—r=工时,S取值最大,即43=工乙=工(111),

444

故答案为:?

口题型05求图形旋转后扫过的面积

13.(2023・山东聊城•二模)如图,将△力BC绕点C旋转60。得到△已知AC=10,BC=6,则线段力B扫

过的图形面积为()

c

n16c32

A.IOTTB.―几C.—71D.一71

333

【答案】D

【分析】本题考查扇形面积的计算;旋转的性质.由于将绕点。旋转60。得到夕C,可见,阴影

部分面积为扇形ZC4减扇形9,分别计算两扇形面积,再计算其差即可.

【详解】解:如图:

60TCAC260-7T10250

360360丁;

607rBe260-7T-62

扇形==6TT;

S360360

|50亡327r

则miSc阴影=W兀-6兀=亍

故选:D.

14.(2023・吉林白城•模拟预测)如图,点A,B,C对应的刻度分别为3,5,7,将线段绕点。顺时针旋转,

得到C4,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,线段C/扫过的图形的面积为.(结果保留7T).

【分析】本题考查了扇形的面积公式以及解直角三角形,由题意可知,4C扫过的图形为一个扇形,且半径

为4,求出NBAC=30。,Z-BCA'=60°,再根据扇形面积公式求解即可.

【详解】解:解:由图可知:AC=A'C=4,BC=2,

・号1

"ACT2

.ZBA'C=30%乙BCA'=60°,

线段C4扫过的图形为扇形,此扇形的半径为乙4二4,

c60°"8

••・S扇形"4=说加X4=-71,

故答案为:|lT.

15.(2023•宁夏吴忠•模拟预测)在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△力BC在平面直角坐标系中的

⑴以点C为位似中心,作出AABC的位似图形AAiBiC,使AaiBiC与AABC的位似比为2:1且位于点C两侧,

并写出点&的坐标;

(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90。后的图形4A2B2C;

(3)在(2)的条件下,求出线段CB所扫过的面积.

【答案】(1)作图见解析,4的坐标为(3,-3)

(2)作图见解析

⑶六

【分析】(1)延长4C到使&c=2ac,延长BC到B1,使B1c=2BC,则可得到△4道停,然后写出点公

的坐标;

(2)利用网格特点和旋转的性质画出2、8的对应点4、殳,然后连接&C、B2C,A2B2,可得△4为。;

(3)先利用勾股定理计算出CB,然后根据扇形面积公式计算线段BC所经过的面积.

【详解】(1)解:如图,△4/4即为所作,点4的坐标为(3,—3);

(2)如图,A&B2c为所作;

J4

线段CB所扫过的面积:吗兀.

3604

【点睛】本题考查作图一位似变换,旋转变换,坐标与图形,勾股定理,扇形的面积等知识点.解题的关

键是掌握画位似图形的一般步骤:先确定位似中心;再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;

然后根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;最后顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.

□题型06求弓形面积

16.(2023・河南周口•二模)如图,已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上,则丽和

弦2C构成的弓形的面积为

【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ,MN与PQ交于点。,则点。即为圆心.连接。4、OB、OC,构造

如图所示的三角形,易证明△力E。三△。尸C,易知4E=0F=3,EO=FC=4,贝ij04=OC=OB=5,且

^AOE=^OCF,AEAO=^FOC,则易证明44OC=90。.易求得扇形力C。的面积为之叱=陋,即可得出

3604

弓形的面积.

本题考查不规则图形面积,准确构造图形是解题的关键.

【详解】如图,分另I]作力8、BC的中垂线MN、PQ,MN与PQ交于点、0,则点。即为圆心.连接。4、OB、0C,

构造如图所示的三角形

如图可得:^AEOSAOFC,

4E=。尸=3,EO=FC=4,

0A=OC=OB=5,且N40E=AOCF,AEAO=zFOC,

.­.Z.AOC=90°.

.••扇形ac。的面积为殁手=亨,

3604

则弓形的面积为竽—;x5x5=三厘

424

故答案为:乏警.

4

17.(2023・河南周口・三模)如图,在AdBC中,BC=BA=4,zC=30°,以4B中点。为圆心、AD长为半

径作半圆交线段ac于点E,则图中阴影部分的面积为.

B

【答案】y-V3

【分析】连接OE,BE,然后根据已知条件求出乙4BE=60。,AE=2®从而得到乙4DE=120°,最后结

合扇形的面积计算公式求解即可.

【详解】解:如图,连接。氏BE.

B

必B为直径,

:ZBEA=90°.

■:BC=BA,

■■.ABAC=4BCA=30°,

­■/.ABE=60°,BE=^AB=2,AE=WBE==2®

,-BD=DE,

.•.△8DE是等边三角形,

:.^ADE=120°,

・•・阴影部分的面积=S扇形DM-SAME

_12071X221

S

=―3602AABE

故答案为:-j--V3.

【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题,涉及到扇形面积计算,等边三角形的判定与性质,直径所对的

圆周为直角等,掌握扇形面积计算公式是解题关键.

18.(2023•江西新余•一模)如图,有一个半径为6cm的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11

点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为cm2(结果保留兀).

A

【答案】(6兀-9V3)/(-9V3+6n)

【分析】连接OB,过点。作。C1AB,根据等边三角形的判定得出AAOB为等边三角形,再根据扇形

面积公式求出S扇形A.=6兀,再根据三角形面积公式求出SA40B=9次,进而求出阴影部分的面积.

【详解】解:连接。4、OB,过点。作0c148于点C,

由题意可知:2LA0B=60°,

•••OA=OB,

・•・△40B为等边三角形,

AB=AO=BO=6,

S扇形O4B=360=6兀'

•••OC1AB,

^OCA=90°,ac=3,

OC=3V3,

2

•••ShA0B=|i4S-OC=|X6X3A/3=9V3(cm),

・•・阴影部分的面积为:(6兀-9百)cm?.

故答案为:(67T-9V3).

【点睛】本题考查的是扇形的面积,熟练应用面积公式,其中作出辅助线是解题关键.

19.(2023・广东佛山•一模)如图,在A71BC中,AB=AC,以AB为直径的。。与BC交于点D,连接AD.

⑴用无刻度的直尺和圆规作出劣弧4。的中点E.(不写作法,保留作图痕迹),连接BE交2。于F点,并证明:

AFxDF=BFxEF;

(2)若。。的半径等于4,且。。与4C相切于4点,求劣弧4。的长度和阴影部分的面积(结果保留兀).

【答案】(1)见解析

(2)2it,4TT-8

【分析】(1)利用圆周角相等所对的弧相等解决中点,连接。凡先说明ABB4sADFE,再利用相似三角

形的性质得结论;

(2)连接OD,先求出N40D的度数,再利用弧长公式、扇形的面积公式及三角形的面积公式得结论.

【详解】(1)作乙4BC的角平分线交加于点E.

二点E为所求的劣弧4D的中点.

证明:连接DE,

Z-ABF=Z.ADE,Z-BAF=Z.FED.

BFADFE.

.BF_DF

•・AF~EF'

即/FxOF=BFxEF.

(2)连接。D,

・•・BA1AC.

•・•AB=AC,

.・.z_B=Z,C=45°.

OB=OD,

乙B=Z,ODB=45°.

・•・乙400=90°.

•••劣弧的长度=*>=2小

180

S阴影=S扇400_S&AOD

90X7TX421

=--------------------x4x4

3602

=4TT—8.

【点睛】本题主要考查了与圆有关计算,掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公

式是解决本题的关键.

16.(2023・河南周口•二模)如图,已知每个小正方形的边长均为1,其中点A、B、C均在格点上,则而和

弦AC构成的弓形的面积为.

【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ,

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