与圆有关的计算（6大考点与题型）-2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步训练（含答案）

第12讲与圆有关的计算

01学习目标

课程标准学习目标

1.了解圆内接正多边形的概念；2.掌握正多边形和

①能用尺规作图：作圆的内接正方

圆中的半径尺、边心距八中心角之间的等量关系，

形和内接正六边形；②会计算圆的

并能运用这个等量关系解决具体题；

弧长、扇形的面积；

3.认识弧长与扇形的面积公式，理解弧长与扇形面积

③了解正多边形的概念及正多边

公式的推导过程；

形与圆的关系.

4.能利用弧长与扇形的面积公式进行计算.

02思维导图

知识点一：正多边形的有关概念

知识点二：正多边形的有关计算

知识点三：正多边形的性质

知识清单

知识点四：正多边形的画法

知识点五：弧长公式

知识点六：扇形面积公式

第12讲与圆有关的计算e

题型01正多边形和圆的综合问题

题型02与正多边形有关的作图问题

题型03扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算

题型精讲

题型04图形旋转中的弧长与扇形面积计算

题型05不规则图形面积计算

题型06圆锥的常见运算

03知识清单知识点一：正多边形的有关概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

2、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

试卷第1页，共31页

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接

正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

3、(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

【即学即练】

1.下列关于正多边形说法错误的是()

A.正多边形不一定是中心对称图形

B.中心对称图形一定是正多边形

C.经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形

D.关于中心对称的两个图形是全等形

2.下列四个命题不正确的是()

A.各角相等的圆内接五边形是正五边形B.各边相等的圆内接五边形是正五边形

C.各角相等的圆内接六边形是正六边形D.各边相等的圆内接六边形是正六边形

3.给出下列说法：

①各边相等的圆内接多边形是正多边形;

②各边相等的圆外切多边形是正多边形;

③各角相等的圆内接多边形是正多边形;

④各角相等的圆外切多边形是正多边形.

其中正确的是()

A.①④B.②③C.①②③④D.都不正确

知识点二：正多边形的有关计算

(1)正〃边形每一个内角的度数是("-2)"80°；

YI

(2)正"边形每个中心角的度数是非21；

n

(3)正"边形每个外角的度数是迎.

n

(4)正"边形半径R,边长a,边心距r的关系F二产+《了；

试卷第2页，共31页

（5）正〃边形周长/=〃a；

（6）正〃边形面积

22

【即学即练】

4.下列说法：（1）三点可以确定一个圆，（2）同弦或等弦所对的圆周角相等，（3）等弧所

对的圆周角相等，（4）各角都相等的圆的内接多边形一定是正多边形，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.正六边形的周长为6,则它的面积为（）

A.973B.2C.-V3D.3G

6.一个正多边形的中心角为60。，则该正多边形的边数为（

A.6B.8C.10D.12

7.如图，4C圆。内接正六边形的一边，点3在弧4C上，且是圆。内接正八边形的一

边.此时是圆。内接正〃边形的一边，则〃的值是（）

A.12B.16C.20D.24

8.如图，已知正六边形4BCZ）好的外接圆半径为2cm,则该正六边形的边心距是（）

2cmC.V2cmD.Gem

9.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂

巢的房孔是边长为8的正六边形43CZ）斯，若O。的内接正六边形为正六边形/3CQE厂,

则好的长为（）

试卷第3页，共31页

A.12B.872D.1673

10.如图，正六边形48CDER内接于。O,CM=3,则正六边形/8C加下的面积为.

~-D

11.正六边形N8CDE/的边长为4,求对角线/C的长和正六边形的面积.

知识点三：正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正A边形的半径和边心距把正A边形分成2A个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正〃边形

的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积

的比等于相似比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【即学即练】

12.如图，点N,B,C,D,E,尸是圆。的六等分点，若AOB。与△C5D的周长分别为a,

b,则下列说法正确的是（）

试卷第4页，共31页

F

B

A.a<bB.a=b

C.a>bD.a,6的大小无法比较

13.如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于OO,4。和EF相交于点M,则ZAMF

的度数为（）

27°C.28°D.30°

14.如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这

个圆的外切正六边形，。。的半径是百，它的外切正六边形的边长为（）

C.2A/3D.V3

15.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接

正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形NBCDE/G用42的面积

作近似估计，可得万的估计值为（）

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B

D

II

A.GB.2V2C.3D.273

16.如图，正五边形45CDE的边AB,4E1与。。分别相切于点M,N,点P在加上，连

接PM,PN,则/MPN的度数为

17.如图，点G,H,I,J,K,工分别是正六边形/BCDE尸各边的中点，则六边形ASCDEV

边长为4,六边形GfflJAZ与的周长为.

18.如图，正六边形/BCDE尸与正方形/GD〃都内接于。。，连接2G,则弦2G所对圆

周角的度数为.

试卷第6页，共31页

H

19.一个边长为3cm的正△4BC它有一个外接圆OO,我们记为第1个圆，它的内切圆记为

第2个圆；在第2个圆内作一个内接正三角形的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一

个内接正三角形的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2024个圆的半径是一

cm.

知识点四：正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周

角）可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正〃边

形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正A边形，可以用圆规和直尺作图.

【即学即练】

20.如图，已知。。，求作：。。内接正六边形NBCDET"以下是甲、乙两同学的作业：

甲：①先作直径BE；②作03的垂直平分线交。。于点A、C；③作的垂直平分线交。。

于点。、F；④依次连接4―8fC-E—尸—4,六边形43CDE尸即为所求（如

图①）.

乙：①。。上任取点A,以点A为圆心，0/为半径画弧，交。。于点3；②以点3为圆心,

CM为半径画弧交。。于点C;③同上述作图方法逆时针作出点E、F；④依次连接

A-B今CTDFETFTA,多边形48CDE尸即为正六边形（如图②）.

试卷第7页，共31页

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

D

A.两人都不对B.甲对，乙不对C.两人都对D.甲不对，乙对

21.如图，/D为。。直径，作。。的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：

甲：1.作。/的中垂线，交圆。于2,尸两点；2.作OD的中垂线，交圆。于CE两点；

3.顺次连接4瓦C2瓦厂六个点，六边形即为所求；

乙：1.以A为圆心，。/长为半径作弧，交圆。于瓦尸两点；2.以。为圆心，04长为半

径作弧，交圆。于C,£两点；3.顺次连接43,C,2E,厂六个点，六边形即为所求；

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A

D

A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对

C.两人都不对D.两人都对

22.如图，已知。。，请用尺规作图法求作。。的内接正方形/8C0.（保留作图痕迹，不

写作法）

试卷第8页，共31页

23.如图，AB、CD是。。中互相垂直的两条直径，以点/为圆心，为半径画弧，与。。

交于£、厂两点.

(1)求证：是正六边形的一边；

(2)请在图上继续画出这个正六边形.

24.仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)

(1)如图①，画出。。的一个内接矩形.

(2)如图②，42是OO的直径，是弦，且ABIICD,画出。0的内接正方形.

知识点五：弧长公式

半径为r的圆周长公式：c=2tr

〃。的圆心角所对的弧长公式：/=也

180

【即学即练】

25.如图，直角三角板/8C叠放在量角器上，44=30。,48=6上,48均落在量角器的外圆

弧上，A点在量角器上的读数为30。,/。与圆弧交于点。，已知AB〃MN,则丽的长为

()

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c

A.兀B.2兀C.3兀D.6兀

26.如图，。。与正八边形ABCDE尸GH相切于点A、E,若。。的半径为7,则蓝的长为

27.如图，PA,分别切。。于点4B.若。。的半径为1.ZP=60°,则凝的长度

28.已知点4B、C在。。上，N4BC=30°,把劣弧8c沿着直线"折叠交弦4B于点。.

BD=9,AD=6,则就的长为.

.....、、、、

A'*—一38

29.如图，N5为半圆。的直径，C为半圆。上一点，且就=元，连接BC,以8为圆心，

BC长为半径画弧交N5于点。，若/8=4,则也的长是.

试卷第10页，共31页

c

30.已知正六边形/BCD斯的外接圆圆心为。，半径0/=5.

(1)求正六边形的边长;

(2)求公的长度.

知识点六：扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360。的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：S=rr2

"。的圆心角所对的扇形面积公式：S=-=-lR

3602

【即学即练】

31.如图，在矩形/BCD中，AB=2,AD=4,以点/为圆心，4D为半径的弧交2C于点

D',则阴影部分的扇形面积是()

32.如图，圆心重合的两圆半径分别为4,2,乙402=120。，则阴影部分图形的面积为

()

试卷第11页，共31页

A

C.8兀D.I671

33.如图，正五边形NBCDE边长为6,以/为圆心，N8为半径画圆，图中阴影部分的面积

为.（结果保留兀）

34.杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西

湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形048的半径为2cm,弧长为3-cm,大扇形。。的

半径为26cm,扇面的宽度C£为12cm,则扇面的面积（阴影部分）是cn?（结果保留

兀）.

/、k

35.如图，点P（-2a,a）是反比例函数＞=£（左＜0）与。。的一个交点，图中阴影部分的面积

为5兀，则反比例函数的解析式

>

X

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36.边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结43,则以/。为半

径的。/与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为.

37.如图，在zUBC中，4408=90。，以点C为圆心，C4长为半径的圆交42于点D.

（1）若ZB=28。，求乙4co的度数；

⑵若。是43的中点，AB=2,求阴影部分的面积;

国H题型精讲题型°】正多边形和圆的综合问题

例：

38.如图，正六边形48CDE/内接于。。，P为8c的中点，连接CM,OP,四边形40尸8

的面积为H，正六边形剩余部分的面积为邑，则今=（）

A.6B.4C.3D.2

39.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘/BCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等,

则飞镖落在阴影区域的概率为（）

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40.如图，4B是。。的直径，弦NC,/。分别是。。的内接正六边形和内接正方形的一边.若

NC=1,下列结论中错误的是（）

OO的直径为2B.连接。。，则OD_L48

C.BD=3CDD.连接CD,则4C=2C7)

41.如图，A/CD是一个黄金三角形（顶角为36。的等腰三角形），ZCAD=36°,作A/CD

的外接圆。.作/C的平分线交/。于点尸，延长交。。于点E；作一。的平分线分别交

AC,CE于点G,H,延长交。。于点3；连接3E,分别交/C,于点/,J.依次

连接BC,DE,EA.以下说法中不正确的是（）

A.五边形/3CDE和五边形/GAE/都是正五边形

B.AB2=AIBE

C.J、尸分别是/。的三等分点

D.BH=AG

42.如图，正六边形所和正六边形G//52均以点。为中心，连接

试卷第14页，共31页

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,H三点共线），若C/=2,〃=3,则正六边形/BCDEV

的边长为（）

43.如图，正„边形444…4的两条对角线44、44的延长线交于点P,若/尸=24。,

则n的值是（）

A.12B.15C.18D.24

44.如图，进行下列尺规作图：①将半径为逝的六等分，依次得到42£,厂六

个分点；②分别以点4。为圆心，NC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③从点G引

出。。的切线与ND所在的直线围成三角形.此三角形的面积是（）

A.4B.2近+3C.6D.273+1

45.某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六

边形的边长为1cm,目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6

支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案,

两种方案底面积差为（结果保留根号）

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46.点。是边长为小的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为1的扇形纸板的圆心放

在。点处，并将纸板绕。点旋转.

若正多边形为正三角形，扇形的圆心角。=120。时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正

三角形N3C的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m；

（1）若正多边形为正方形，扇形的圆心角a=90。时，

①如图3,求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度；

②如图4,正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；

（2）若正多边形为正五边形，如图5,当扇形纸板的圆心角1为多少度时，正五边形的边被扇

形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m.

47.【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面

积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2）,这时候就容易发现大

正方形面积是小正方形面积的_倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、6、c、d之间存在某种数量

关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接

写出图4中以矩形内一点尸为端点的四条线段之间的数量关系；

试卷第16页，共31页

图3

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△尸。C绕点尸逆时针旋转，他发现旋转过程

中ND4P存在最大值.若PE=8,PF=5,当NZMP最大时，求40的长;

题型02与正多边形有关的作图问题

例：

48.如图，点/是。。上一点.请利用直尺和圆规完成下列作图.(不写作法，保留作图痕

⑴画出。。的内接正△48C.

(2)在。。上画出M、N两点，使得/A£4N=3O。.(画一种即可)

49.如图，正五边形/3CDE内接于。O,阅读以下作图过程：

①作直径/尸；

②以点尸为圆心，尸。为半径作圆弧，与。。交于点N；

③连接NM,MN,AN.

结论I：A0W是等边三角形；

结论II：从点A开始，以DN长为半径，在。。上依次截取点，再依次连接这些分点，得到

试卷第17页，共31页

正十八边形.

对于结论I和结论n,下列判断正确的是（）

A.I和n都对B.I和II都不对C.I不对II对D.I对II不对

50.尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平

面几何的作图形式.用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以MN

为直径作出。。；②作出龙W的垂直平分线，交。。于点A；③作出ON的垂直平分线，与

ON交于点K；④连接NK,在/K上截取K沙=OK；⑤在。。上依次截取

AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=IJ=AW.则十边形ABCDEFGHIJ就是正十边

形.若。。的半径为2,则所作正十边形的边长为—.

51.我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是

圆内接正六边形周长和直径的比值.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的

周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的

算法.如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接

正十二边形，点G为弧CD的中点，连结2G,G，2G交CF于点尸，则APGF与△P8C

的面积之比为.

试卷第18页，共31页

52.将边长为1的正六边形28CDE尸折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开

后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕+且

BH>AG,若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的：，则8,的值为________

6

图2

53.在数学综合实践课上，李老师拿出了如图1所示的三个边长都为1cm的正方形硬纸板，

并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全

覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图2所

A.方案一中圆形纸片的直径最小，直径是胸cm

B.方案二中圆形纸片的直径最小，直径是2亚cm.

C.方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是2行cm

D.方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的

54.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，。、/都是格点，以。

试卷第19页，共31页

为圆心，CM为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图;

①②

(1)在图①中画。。的一个内接正六边形48CDM.

⑵在图②中画的一个内接正八边形4BCDE尸G//.

⑶图②中正八边形/BCDEFGH的面积为.

55.【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长

为18m的正方形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高

喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率2=8,s为待喷洒

S

区域面积，人为待喷洒区域中的实际喷洒面积.

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷

洒覆盖率。=.

试卷第20页，共31页

（2）如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为9:m的自动喷洒装置；如图4,设计安

装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；……，以此类推，如图5,设计安装“2个喷洒半

径均为'm的自动喷洒装置.与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半

n

径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.

（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的

喷洒覆盖率。=1.已知正方形/BCD各边上依次取点RG,H,E,使得

AE=BF=CG=DH,设NE=x（m）,0a的面积为y（m）,求了关于x的函数表达式，并

（4）该公司现有喷洒半径为3亚m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置

可使该草坪的喷洒覆盖率。=1?（直接写出结果即可）

56.古建中的数学：古亭探“优”.

【了解】

试卷第21页，共31页

“江山无限景，都聚一亭中八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称,

有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八

边形.

【探索】

先将正方形EFGH完全重合，再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度，就得

到了正八边形〃也跖\。尸，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法.

（1）旋转的角度最小为°;

（2）若正八边形ZTKLMVO尸的边长为2,则正方形ABCD的边长为；

（3）连接NC,则NC与/。之间有怎样的数量关系？请说明理由；

【作图】

（4）如图③，已知正方形/8CZ）请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有

顶点均落在正方形的边上.（保留作图痕迹，并写出必要的说明）

题型03扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算

例：

TT

57.（1）已知扇形的圆心角为45。，弧长等于］，则该扇形的半径是；

（2）如果一个扇形的半径是1,弧长是那么此扇形的圆心角的大小为.

58.为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制

作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10兀，侧面积为75兀的圆锥形草帽，则

制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（）

A.150°B.120°C.180°D.100°

59.一个扇形的圆心角为120%面积为3万，则此扇形的弧长为.

试卷第22页，共31页

4

60.已知扇形的面积是§乃，圆心角120。，则这个扇形的半径是.

61.已知圆心角为150。的扇形的弧长为10%,则该扇形的面积为.

62.已知扇形的圆心角为120。，弧长为20万，则这个扇形的半径为一.

63.如图，如果一个扇形的圆心角为150。，弧长为三万，那么该扇形的半径为.

64.一个扇形的面积是12兀cn?,圆心角是120。，则这个扇形的弧长是cm.

题型04图形旋转中的弧长与扇形面积计算

例：

65.已知△4BC在平面直角坐标系中位置如图所示.

12345678910^

（1）利用格点画出△NBC的外接圆。P,标注出圆心P,并写出圆心尸的坐标为一

⑵画出A4BC绕点C按顺时针方向旋转90°后的；

⑶求（2）中点/旋转到点4所经过的路线长（结果保留兀）.

66.如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地

面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最

低位置秋千底部所经过的路径长为（）

试卷第23页，共31页

7D.g兀米

C.米

67.如图所示，有一长为4cm,宽为3cm的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方

向），木板上的顶点A的位置变化为4-4-4,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,

使木板边沿4。与桌面成30。角，则点A翻滚到4时，共走过的路径长为（）

A.10兀cmB.3.57icmC.4.5兀cmD.2.5兀cm

68.将平行四边形的力。边与BC边分别绕点4点8逆时针旋转，得到矩形/BCD,

若此时C'、D、B恰好共线，48=2cm,AD=4cm,那么边CD扫过的面积为（）

C.12-3%

D.9

3

69.如图，矩形/白切中，AB=2,AD=20动点P从点/出发向终点。运动，连接

BP,并过点C作CHLAP,垂足为有下列说法:

试卷第24页，共31页

①的最小值为

②在运动过程中，2P扫过的面积始终等于CH扫过的面积；

③在运动过程中，点H的运动路径的长为ggir.

其中正确的有（）

A.①②B.①③C.①②③D.②③

70.如图，直角△NBC的直角顶点为C,且/C=3,2C=4,AB=5,将此三角形绕点/顺时

针旋转90。到直角△NB'C'的位置.则在旋转过程中，8c边扫过的面积是.（结果保

留兀）

71.如图，C为半圆内一点，。为圆心，直径4B长为2cm,ZBOC=60°,^BCO=90°.将

△2OC绕圆心。逆时针旋转至△B'OC,点C'在。/上，求边8c扫过区域（图中阴影部分）

72.如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△4BC

的三个顶点4B,C都在格点上.现将△4BC绕点A按逆时针方向旋转90。得到△NB'C'.

试卷第25页，共31页

(1)在正方形网格中画出A48'C'.

(2)计算线段NC在变换到AC的过程中扫过区域的面积.

73.在平面直角坐标中，边长为2的正方形。48c的两顶点/,C分别在y轴、x轴的正半

轴上，点。在原点.现将正方形04BC绕点。顺时针旋转，当点/第一次落在直线N=x

上时停止旋转，旋转过程中，边交直线.了=》于点M,8c边交x轴于点N(如图).

(1)求边0/在旋转过程中所扫过的面积；(结果保留或

⑵旋转过程中，当和/C平行时，求正方形旋转的度数；

(3)设的周长为〃，在旋转正方形O/8C的过程中，0值是否有变化？请证明你的

结论.

题型05不规则图形面积计算

例：

74.如图，在ZUBC中，AB=AC,以48为直径的。。分别交8C、AC于点、D、G,过点

D作EFL4c于点E,交48的延长线于点尸.

试卷第26页，共31页

⑴求证：所与。。相切；

（2）当08=8尸=3时，求阴影部分的面积.

75.如图，在正方形/BCD中，AB=1,以8为圆心，A4为半径作圆弧，交C8的延长线于

点、E,连结DE.则图中阴影部分的面积为（）

76.如图，48是。。的直径，弦CDL4B于点E,NODE=30°,48=4,则阴影部分的

面积为（）

77.如图，在扇形0/8中，乙4。8=90。，正方形CDEF的顶点C是弧的中点，点。在08

上，点£在06的延长线上，若正方形CDE尸的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

A.兀—2B.27r—2C.47r—4D.47r—8

78.如图，中，ZC=90°,BC=4,ZA=30°f以点4为圆心、4C为半径画弧,

交AB于点、E,以点8为圆心、8c为半径画弧，交4B于点、F,则阴影部分的面积为（）

试卷第27页，共31页

A-学一8代B.8舁午C.等一16®D.8力一3%

79.如图，将半径。8=4的半圆绕点3按顺时针方向旋转30。，此时点/到了点H,则图

中涂色部分的面积为.

80.如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积

分别记作H和$2.若/C=6,8C=8则'+岳的面积为.

81.如图，在扇形。灯中放置三个边长均为1的正方形方格，点。为扇形的圆心，格点4

B,C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为.

82.如图，正方形4BCD内接于。。，在凝上取一点E,连接DE.过点/作

AGLAE,交。。于点G,交DE于点尸，连接CG,DG.

试卷第28页，共31页

/)

⑴求证：A4FD咨ACGD；

⑵若/8=2,ZBAE=30°,求阴影部分的面积.

题型06圆锥的常见运算

83.如图，圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,那么这个圆锥的侧面积是—cm2.

84.若圆锥的侧面积为18%，底面圆的半径为6,则该圆锥的母线长为.

85.某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为9cm,

底面圆的直径为8cm,则该圆锥的全面积为cm2.

86.已知圆锥的底面半径为6,高为8,圆锥的表面积为

87.如图，△ABC是一个圆锥的主视图，若4B=4C=5,BC=6,则该圆锥的侧面展开图

的圆心角的度数为

A88.在直角三角形48c中，已知48=6,AC=8,4=90。，如果把该三角形绕直线NC

旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是.

89.如图，已知点。为圆锥母线S3的中点，为底面圆的直径，SB=6,48=4,一只

蚂蚁沿着圆锥的侧面从/点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为.

试卷第29页，共31页

s

A也B

90.在如图①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图②所示

的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为「，扇形的半径为R,试探索〃和R之间

91.在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠,

并围成圆锥形.

⑴取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为6cm,开口圆的直径为

6cm.当滤纸片重叠部分三层，且每层为:圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧

贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；

（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm,开口圆的直径为7.2cm,现将同样大小的滤

纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁.问重叠部分每层的面

积为多少？

92.【综合与实践】

主题：制作圆锥形生日帽.

素材：一张圆形纸板、装饰彩带.

步骤1：如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为/、圆心角为”。

的扇形.制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料.

试卷第30页，共31页

步骤2：如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽,

(1)现在需要制作一个r=10cm,/=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度

数;

(2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点/

处开始，绕侧面一周又回到点/的彩带(彩带宽度忽略不计)，求彩带长度的最小值.

试卷第31页，共31页

1.B

【分析】本题主要考查了正多边形.熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图

形的定义和性质，是解题的关键.每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在

平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后

的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称；

根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个

选项一一判断即可得出答案.

【详解】A.正多边形不一定是中心对称图形.

正确，正奇边形绕着中心点旋转180。后，不能与原来的图形重合，

二正多边形不一定是中心对称图形，

故本选项正确；

B.中心对称图形一定是正多边形.

错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形，

二中心对称图形不一定是正多边形，

故本选项错误；

C.经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形.

正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形,

绕对称中心转180。后，互相重合，

故本选项正确；

D.关于中心对称的两个图形是全等形.

正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转180。后互相重合，

故本选项正确.

故选：B.

2.C

【分析】本题考查多边形与圆的关系，根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断

即可，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键.

【详解】解：A、如图：

答案第1页，共69页

BC=EA，

BC=EA,

同理可得：AB=BC=CD=DE=EA,

，五边形43CDE是正五边形，则命题正确，故A不符合题意；

B、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，可以证明该五边形的各角相等，因此命题正确,

故B不符合题意；

BCDEF=CDEFA，

:.BC+CDEF=CDEF+FA'

BC=FA,

同理可得：BC=FA=DE,AB=CD=EF,

，只能证明该六边形的隔边相等，因此命题不正确，故C符合题意；

D、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系可以证明该六边形的各角相等，因此命题正确,

故D不符合题意.

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查了正多边形与圆的关系；根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的

关系对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数.

【详解】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；

答案第2页，共69页

②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；

③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；

④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；

・•・正确的为①④，

故选A.

4.A

【分析】本题综合考查了确定圆的条件、圆周角定理以及正多边形和圆等.根据确定圆的条

件对（1）进行判断；根据圆周角定理对（2）进行判断；根据圆心角、弧和弦的关系对（3）

进行判断；利用矩形对（4）进行判断.

【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误；

同弦或等弦所对的圆周角不一定相等，故（2）错误

等弧所对的圆心角相等，故（3）正确；

各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆的内接矩形，故⑤错误.

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积

计算是解题的关键.

利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可.

【详解】解：如图，设正六边形的一边为外接圆的圆心为。，作垂足为C,

360°

：.AB=\,/AOB=------=60°,△0/8是等边三角形,

6

：.AC=-AB=~,OC=y^OA2-AC2=—,

222

•••△048的面积为』N8xOC=4xlxg=g,

2224

答案第3页，共69页

・•.正六边形的面积为6x"=36,