直线与圆-2025年高考数学复习易错题（解析版）

专题08直线与圆

目录

题型一：直线方程

易错点01忽略斜率公式的应用条件

易错点02求直线方程忽略截距为零

易错点03判断直线的位置关系考虑不全面

题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系

易错点04忽略圆的一般方程的限制条件

易错点05处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

易错点06曲线方程变形不等价

易错点07两圆相切忽略内切、外切的区分

题型一：直线方程

易错点01：忽略斜率公式的应用条件

般易错陷阱与避错攻略

典例4.（24-25高三上•上海•专题训练）经过A®,3）（其中机21）、3（1,2）两点的直线的倾斜角a的取值范

围为.

【答案】［o,-|

【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率

【分析】分加＞1和相=1,求出倾斜角的取值范围.

3-21

【详解】由题意知，当机＞1时，tana=------=-------＞0,

m-1m-1

IT

当机=1时，ABLx轴，此时倾斜角为i，

7T

所以。＜£J.

故答案为：（。仁

【易错剖析】

在解题时容易忽略对m>1和%=1的讨论而出错.

【避错攻略】

1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线/与X轴相交时，取了轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/

的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）范围：直线/倾斜角的取值范围是［0,7T）.

【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于X轴正方向的倾斜程度.

②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.

2、直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母上表示，即左=tan_a,

倾斜角是W的直线没有斜率.

（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点Pi（xi，»）,尸2（忿，”）（无景尤2）的直线的斜率公式为左=£三%

3.倾斜角与斜率上的关系

由左向右上由左向右下

直线情况平行于X轴垂直于X轴

升降

0°<«<90°90°<6Z<180°

a的大小0°90°

k的范围0左>0不存在k<0

随a增大而随a增大而

k的增减性

增大增大

【解读】斜率和倾斜角的特点

①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的;

②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90。时，倾斜角相同的直线,

其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；

③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.

4.直线斜率与直线方向向量

（1）若直线/的斜率为左，它的一个方向向量的坐标为（尤,y）,则左=2.

（2）若直线/的斜率为左且直线过两点£（%，为），4（石，%），它的一个方向向量的坐标为

四=（%—%,%—乂），则左=

易错提醒：［当直线的倾斜角为90。时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于X

轴（平行于y轴或与y轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

举一反三

1.（24-25高二上•山西阶段练习）若倾斜角为45°的直线/经过两点4（2,〃?），以m,4）,则优的值为（）

A.-2

【答案】D

【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参.

【详解】经过4（2,加），川办4）的直线/的斜率左=警，又直线/的倾斜角为45°,

所以I=tan45°=l,解得%=3.

故选：D.

2.（24-25高三上•江西赣州•阶段练习）已知点A（»vw+l）,3（f?,2〃?）,C（4M）,D（l,0）,且直线4B与直线CD

垂直，则加的值为（）

A.一7或0B.0或7

【答案】B

【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解.

【详解】当机=0时，直线4B的斜率不存在，直线CD的斜率为0,

此时直线4B的方程为久=0,直线CD的方程为y=0,故AB_LC。；

则*3=・号=-1，解得m=7,

综上，根=0或7.

故选：B.

3.（24-25高三上•山东临沂•阶段练习）过A（3机-1,3m-2）,3（2病,/）两不同点的直线/的斜率为1,贝ljm=

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】c

【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案.

【详解】根据题意可得+2=],解得%=1或

2m-3m+l

当机=1时，点AI重合，不符合题意，舍去.

当机=-1时，经验证，符合题意.

故选：C.

■易错题通关

2兀

1.（23-24高一下•重庆•期末）若直线/：》+〃9+1=0的倾斜角为则实数旭值为（）

A.6B.-73C.走D.-且

33

【答案】C

【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.

【详解】由直线/：x+机y+l=O,则该直线的斜率上=-,，

m

由题意可得tan0=-6=-L,解得〃7=走.

3m3

故选：C.

2.（24-25高二上•上海•课后作业）直线（1-6卜+、+1=0的倾斜角的取值范围是（）

兀兀、「八3兀

A.B.0,—

[42）L4J

八兀\|「3兀、「八兀]/兀3兀

C.o,-U—，^D.0,-u

L2；L4）[_4J124J

【答案】C

【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角

【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解.

【详解】设（1一/卜+y+l=。的倾斜角为&目0,兀），

由题意可知：直线的斜率上=4-12-1,

即tanaN-1,且ae[0,兀），所以ee0,yjuj.

故选：C.

3.（24-25高三上•四川达州•阶段练习）已知a为直线y=2x-l的倾斜角，则cos2a=（）

3

5

【答案】A

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得tane=2,利用二倍角公式及齐次式可得结果.

【详解】•・・。为直线》二21一1的倾斜角，

二直线斜率％=tana=2,

cosa-sinal-tana1-43

cos2a=

cos2a+sin2a1+tan2a1+45

故选：A.

4.（24-25高三上•陕西商洛•阶段练习）已知直线/的方程为xsina+gy-l=0,a£R,则直线/的倾斜角范

围是（）

2

—71,71

【答案】B

【分析】根据条件得到左=-喈，又-iVsinaVl,从而得一3立，再利用正切函数的性质，即可

V333

求解.

sinCL

【详解】因为直线/的方程为％sina+gy-1=0,所以,=---7=~

sin6z

即直线/的斜率无=一再，又一IVsinaVl,

所以-也MkM也,又直线的倾斜角的取值范围为[0，码，

33

由正切函数的性质可得，直线/的倾斜角范围为Hu「等，力，

L6」L6）

故选：B.

5.（24-25高三上•河南许昌•期中）过点A0,-2）和点3（-1,-4）的直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角.

【详解】由已知直线48的斜率左=Y一（一2）=1,

-1-1

设直线倾斜角为a,则tan（z=l,（ze[0o,180。）,

所以々=45。.

故选：B.

6.（24-25高二上,河南濮阳•阶段练习）己知点A（2,2）,B（-l,3）,若过点夕（。,-1）的直线/与线段A3相交,

则直线/斜率左的取值范围是（）

B.-44

3

D.(-oo,-4]U—,+00

2

【答案】D

【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.

7_L133-1-1「3

【详解】由题设怎A='=；，怎3=三'=一4,如下图示，所以左五一%-4川+8

易错点02：求直线方程忽略截距为零

全易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•江西・期末）经过点A（3,4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（）

A.x+y-7=0或x-y+1=0B.x+y-7=0或x-y+l=0或4x-3y=0

C.x-y-7=0或尤+y+l=0D.x+y-7=0或x-y+l=0或3x-4y=0

【答案】B

【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.

【详解】①当直线经过原点时，斜率Z=；4-三0=；4,所以直线方程为：y=14x,即4x-3y=0；

②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为'+）=1,将点4（3,4）代入，的。+4=1,解得。=7,

aaaa

所以直线方程为：5+5=1，即x+y-7=0；

77

③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为二+2=1,将点4（3,4）代入，的』+±=1,

a—aci—a

解得。=-1,所以直线方程为：三+：=1，即x-y+i=o；

综上所述，直线方程为：4x-3y=。或x+y-7=。或x-y+l=O.

故选：B.

【易错剖析】

求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

【避错攻略】

直线方程的五种形式

形式几何条件方程适用范围

点斜式过一点（%o，yo）,斜率左y—yo=A(x—xo)与X轴不垂直的直线

斜截式纵截距b,斜率左y=kx+b与X轴不垂直的直线

y—y\x-x\与x轴、y轴均不垂直的

两点式过两点（方,yi）,（%2，＞2）

y2~yiX2-xi直线

不含垂直于坐标轴和过原

-+^=1

截距式横截距。，纵截距6

ab点的直线

Ax+By+C^0平面直角坐标系内所有直

一般式

(A2+BVO)线

易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.

举—反三

1.（24-25高二上•天津•期中）直线/经过点。,-2）,且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为（）

A.x-y-l=O或x-2y=0B.尤+y+l=0或尤+2〉=0

C.x-y+l=0或2x-y=0D.x+y+l=0或2x+y=0

【答案】D

【分析】分直线/过原点、不过原点两种情况讨论，设出直线/的方程，将点的坐标代入直线/的方程，求出

参数值，即可得出直线/的方程.

【详解】若直线/过原点，设直线/的方程为了=依，则上=-2,此时直线/的方程为＞=-2彳，即2x+y=0；

若直线/不过原点，设直线/的方程为日+）=1,则工一2=1,解得。=一1,止匕时直线/的方程为x+y+l=0.

aaaa

综上所述，直线/的方程为x+y+l=0或2x+y=。.

故选：D.

2.（2025高三・全国・专题练习）与圆/+"-1）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

【答案】A

【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为》+>+加=0,根

据圆心到直线的距离等于半径可得机有两解，综合可得结果.

【详解】圆Y+（y-l）2=l的圆心为（0,1）,半径为1,

由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；

当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为X+V+m=0,

圆心到直线的距离d=「备=1,解得根=±0-1，此时满足条件的直线有两条，

综上可得：满足条件的直线有两条，

故选：A.

3.（24-25高二上•河北唐山•期中）经过点尸（1,4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最

小，则直线的方程为

A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0

【答案】B

【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点尸（1,4）的坐标代入得。与匕的等式关系，把截

距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值.

解：设直线的方程为'+5=1=1（。>0,b>0）,贝ij有工+金=1,

abab

14b4〃

/.a+b=（q+b）xl=（a+b）x（—+—）=5+—+——>5+4=9,

abab

14

当且仅当一=不，即。=3,b=6时取二.

ab

・,•直线方程为2x+y-6=0.

故选B.

>易错题通关.

1.（23-24高三下.安徽六安.模拟）已知直线过点（1,2）,且纵截距为横截距的两倍，则直线/的方程为（）

A.2尤一y=0

B.2x+y-4=0

C.2%-y=0或x+2y—2=0

D.2x-y=0或2x+y-4=0

【答案】D

【分析】分直线/过原点与不过原点两种情况求解可得直线/的方程.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①直线/过原点，设直线/方程为＞=辰，又由直线/经过点(L2),

所以2=k*1,解得左=2,此时直线/的方程为y=2x,即2x—y=0；

②直线/不过原点，设其方程为土+4=1,又由直线/经过点(1,2),

a2a

1?

则有上+三=1,解可得。=2,此时直线/的方程为2x+y-4=o,

a2a

故直线/的方程为2x-y=。或2x+y-4=0.

故选：D.

2.(24-25高二上・江苏镇江•阶段练习)过点4(2,1)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为

()

A.x-y=\B.x+y=3

C.尤-2y=0或x+y=3D.x-2y=0或x-y=l

【答案】D

【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0,截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方

程后带点即可.

【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：a,b,则a+6=0

@a=b=0,则直线过原点，则直线方程为：x-2y=0

②。力0力力0贝股=r,则设直线方程为：±+±=1,即2+-L=i,则。=1,；.直线方程为：无一＞=1

a—〃a—ci

综上所述：该直线方程为尤-2y=0或无-＞=1

故选：D

3.(2025高三・全国・专题练习)过点4(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4元一y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或无一y+3=0

【答案】D

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.

【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意，

又因为直线过点A（L4）,所以直线的斜率为三=4,

1—0

所以直线方程为y=4无，即4x-y=0,

当直线不过原点时，设直线方程为二+2=1,

a-a

因为点A。,4）在直线上，

14

所以—+二=1,解得°=_3,

ci-a

所以直线方程为尤-y+3=o,

故所求直线方程为4x-y=0或尤-y+3=0.故D项正确.

故选：D

4.（23-24高三下.浙江•开学考试）直线/过抛物线C:f=-4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则/的

方程是（）

A.y=-x—lB.y=-x+\

C.y=x-lD.y=x+1

【答案】A

【分析】根据题意，求得抛物线C的焦点为尸设直线方程为x+y+根=0,代入直线方程求得优的

值，即可求解.

【详解】由抛物线C:/=-4y的焦点为/（0,-1）,

又由直线/在x轴与y轴的截距相同，可得直线方程为x+y+m=0,

将点W0,T）代入x+y+相=0,可得根=1,所以直线/的长为产-x-1.

故选：A.

5.（23-24高二上.河南开封.期中）若直线/：?+看=1（。＞0,6＞0）经过点（L2）,则直线/在x轴和y轴上的

截距之和取最小值时，7=（）

b

A.2B.gC.JiD.交

22

【答案】D

12

【分析】根据题意，由条件可得上+7=1,再结合基本不等式即可得到当4+6取最小值的条件，即可得到

ab

结果.

【详解】因为直线/—+；=1（。＞0,6＞。）经过点（1,2）,则,+£=1,

abab

贝lJa+b=（a+b）jL2]=3+2+&3+2&

\ab）ab

当且仅当2=当时，即。=缶时，等号成立，

ab

所以直线/在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3+20，

止匕时6=0°,则3=二=.

bV2a2

故选：D

6.（2024.陕西西安.一模）过点尸（L3）,在龙轴上的截距和在，轴上的截距相等的直线方程为

【答案】y=3x或x+y-4=0

【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.

【详解】当直线过原点时，直线，=3尤在x轴上的截距和在y轴上的截距相等，则直线方程为y=3无；

当直线不过原点时，设直线方程为2+）=1,则工+』=1,解得。=4,直线方程为尤+y-4=0,

aaaa

所以所求直线方程为y=3x或x+y-4=0.

故答案为：y=3x或x+y-4=0

7.（23-24高二上.广东广州•期末）已知直线/过点尸（1,2）且与x轴、y轴分别交于人（。,0）,3（08）（。>08>0）

两点，O为坐标原点，则|。4|+2|3的最小值为.

【答案】9

1o

【分析】先表示出直线的截距式，利用直线/过点尸（1,2）,得到:+3=1,借助基本不等式，即可求得最小

值.

【详解】•••直线/与与x轴、y轴分别交于4（°,0）,3（0,双。>0,6>0）,

可设直线的截距式土+斗=1,,••直线/过点尸（1,2）,.」+於=1,且。>0,6>0,

abab

八川cicnic,/\(12、_2b2a、上-12b2a_

OA|+21。同=Q+2b=(Q+2Z?)[—F—I=5H-----F25+2d--------=9,

2b2a

当且仅当"b,即。=八3时，|翻+2]。8|取得最小值9.

—I—=1

b

故答案为：9.

8.（24-25高三•全国•专题训练）设直线/的方程为2x+化一3）y—2%+6=0（%中3）,若直线/的斜率为一I,

贝1左=；若直线/在X轴、y轴上的截距之和等于0,则左=.

【答案】51

【分析】将一般式化为斜截式以及截距式即可求解.

【详解】因为直线/的斜率存在，所以直线/的方程可化为y=-二2％+2,

k-3

2

由题意得；一-=-1,解得左=5.

k-3

直线/的方程可以化为丁=+5=1,由题意得A-3+2=0,解得左=1.

k-32

故答案为：5,1

易错点03：判断直线的位置关系考虑不全面

般易错陷阱与避错攻略

典例(23-24高二下・四川泸州・期末)直线2x+("?+l)y+4=0与直线〃优+3卫一6=。平行，贝V"=

【答案】2

【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解.

［详解］由mx+3y_6=0,可得y=_gx+2,所以直线mx+3y_6=0的斜率为一g,

所以2x+(〃7+l)y+4=0的斜率存在，且为需匕

由两直线平行，可得一；=-＜，解得加=2或相=-3,

经检验，m=-3,两直线重合，机=2符合题意.

故答案为：2.

【易错剖析】

本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.

【避错攻略】

1.两条直线平行的判定

(1)对于斜率分别为后，上的两条不重合直线/i，h，有h〃120kl=k2.

【解读】

①/1〃/2+1=防成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②/1与，2不重合.

②%1=左2n/1〃/2或/1与/2重合(斜率存在).

③/1〃/2今历=心或两条直线的斜率都不存在.

(2)已知直线/i：Aix+Bi^+Ci=0,直线，2：A2x+&y+C2=0，贝!I：

AC2—A2G/)).

ll//h^AlB2-A2Bl=O,且BC一(或

2.两条直线垂直关系的判定

对应/1与，2的斜率都存在,分别为所,fa,小与＞中的一条斜率不存在,另一条斜

关系22=—Z1/1±；2

则/」，台狂人1率为零，则与12的位置关系是

——

图不1

0

【解读】(1)/1，/2小次2=—1成立的条件是两条直线的斜率都存在.

(2)当直线/1，/2时，有左次2=—1或其中一条直线垂直于X轴，另一条直线垂直于y轴；而若所42=—1,则

一定有/1X/2.

⑶当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜

率.

易错提醒：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵

坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步.

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.

(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.

2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.

3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.

举—反三

1.(24-25高三上•贵州•阶段练习)已知直线2x+3机y-2=0与直线2〃觊-5(机+1)、+1=。互相垂直，则加为

()

1111—1111—

A.——B.——或0C.—D.一或0

151544

【答案】B

【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.

【详解】因为直线2x+3切一2=。与直线2mx—5(帆+l)y+l=。互相垂直，

所以4帆一15mo+1)=。,角星得根=0或根=一|1.

故选：B

2.(24-25高三上•山东临沂•阶段练习)已知直线4：依+2y—4=0,/2:x-(tz-3)y-2=0,则“"/夕是"a=l”

的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行求出。的值，即可得出结论.

【详解】若“4,则〈/，解得〃=1,

[~2aN-4

所以，“〃/夕'是“a=1”的充要条件.

故选：A.

3.（24-25高二上•上海•课堂例题）已知/-3°+2=0,则直线乙：ax+（3-a）y—a=0和直线右：

（6-2a）x+（3a-5）y-4+a=0的位置关系为.

【答案】垂直或重合

【分析】求出。值，再代入方程并确定位置关系即得.

【详解】由a2-3a+2=0,得。=1或4=2,

当a=l时，4：x+2y—l=0,l2：4x—2y—3=0,k1=——,k2=2,

显然%能=-1，所以直线4与6垂直；

当4=2时，/1：2x+y-2=O,l2：2x+y-2=O,所以直线4与、重合.

故答案为：垂直或重合

易错题通关

1.（24-25高三上・吉林・期末）设aeR,则“直线/：，+y-2a=0与直线6：（〃—2）尤-y+2=0平行”是"a=±1"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解.

【详解】因为〃所以匕=履，则有=解得。=±1,

当。=1时，/］：x+y_2=0,/2:x+y-2=0,贝必,4重合,

当a=-1时，/]:x+y+2=0,l2:x+y-2=0,则4,4平行，

所以等价于。=—1，

所以“直线/1：苫+〉-24=0与直线/2：（/_2）尤_”2=0平行”能推出"a=±1"，

"a=±l"不能推出"直线4:尤+y-2a=0与直线J:（a?-2）x-y+2=0平行”，

所以“直线/1%+>-24=。与直线/2：（。2-2卜-、+2=0平行”是"a=±1”的充分不必要条件，

故选：A.

2.（23-24高二上・河南•期末）已知直线4：取+3>-5=0与/2：（3。一2卜+殴+4=0垂直，贝陷=（）

11、2

A.0B.0或—C.—D.0或一

333

【答案】B

【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式。（3a-2）+3a=0,即可求出结果.

【详解】因为4^/2,则有a（3a_2）+3o=0,解得a=0或a=_g,

故选:B.

3.（24-25高三上•云南•阶段练习）若两平行直线]：办+8y=。与4：3x+4y+6=。之间的距离是1,则°+6=

（）

A.T或11B.T或16C.1或11D.1或16

【答案】C

【分析】根据两直线平行求出。，再由距离公式求出b,即可得解.

【详解】因为直线4：ax+8y=0与/2：3x+4y+6=。平行，

所以4a=3x8,解得a=6,贝U直线4：6x+8y=。，即为3x+4y=0,

|/?|

又4与。之间的距离是1,所以d=1？=1,解得6=5或6=-5；

所以a+6=ll或a+8=l.

故选：C

4.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知直线4:（a-2）x-3y+5=0和：3%-。+1）,-7=0互相垂直，且

a,6eR+,则42+；1的最小值为______.

ab

【答案】3+2加/20+3

【分析】根据两直线垂直得到a+6=l,再利用基本不等式求解.

【详解】因为所以（。一2）x3+（—3）x［-（6+1）］=0,即a+6=l,

因为〃〉0,b>0,

g、［21（21Y7、c12ba、。_12ba__/r-

所以—I—=—I—（a+Z?）=2+1-1-----1—>3+2J--------=3+2,

ab\ab）ab\ab

当且仅当立=f,即“=2-0力=0-1时等号成立，所以2+1的最小值为3+2及.

abab

故答案为：3+20.

5.（24-25高三上•贵州铜仁•阶段练习）已知直线Z,:&x-y+2=0,直线4M，则直线4的倾斜角为（

.兀e兀-2兀_571

A.-B.-C.——D.—

6336

【答案】D

【分析】根据题意结合垂直关系可得直线4的斜率，进而可得倾斜角.

【详解】因为直线y+2=0的斜率匕=百，

且乙，"可知直线4的斜率匕=一且

3

5兀

所以4的倾斜角为9.

6

故选：D.

6.（24-25高三上•上海•随堂练习）己知户（知九）是直线/：4+6y+C=0外一点，则方程

Av+gy+C+lAxo+Byo+OnO与/的倾斜角（）

A.相等B.互余C.互补D.不相等

【答案】A

【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断.

【详解】由直线方程Ax+为+C+（Ax（）+Wo+C）=。，BPAx+By+Ax0+By0+2C=0,

又/：Ax+By+C^O,

又在直线山+3y+C=O外，所以心+3%+C*0,

则a=g3例+B%+2c

'ABC

所以直线与/平行，

即两直线倾斜角相等，

故选：A

7.（2024高三上.山东济南.专题练习）直线4：ax+3y+l=O,Z2:x+（a-2）y-l=0,当乙〃4时，直线4与6

之间的距离为.

【答案】逑

3

【分析】当时，a（«-2）=lx3,求出。=3或4=-1,将不符合题意的值舍去，再由两平行线间的距离

公式求出4,4之间的距离.

【详解】当《〃/?时，«（a-2）=lx3,解得a=3或°=一1；

当。=-1时，两直线重合，不符合题意，应舍去.

当［=3日寸:3x+3y+1=0,6:x+y—1—0,即4:3x+3y—3—0

•・•直线4与4之间的距离：d=^i=—.

V9+93

故答案为：逑

3

8.（24-25高二上•天津•期中）已知直线x+世-1=0与直线（4-1）龙+^+1=0平行，则实数。的值为.

【答案】2

【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案.

【详解】由题意可得」7=色片?，则。=。（。一1）,/一2°=0,解得°=0或2,

a-1a1

当。=0时，直线x-l=0与直线-x+l=0重合，不符合题意；

19-1

当。=2时，：=，显然成立，符合题意.

121

故答案为：2.

9.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）已知AABC的三个顶点是4（6,0）,3（2,8）,C（0,3）,求：

⑴边所在的直线的方程；

（2）边A5上的高所在直线的方程.

【答案】（l）A6:2x+y-12=。

⑵x-2y+6=0

【分析】（1）由两点式可直接得出.

（2）由斜率之积为-1,再用点斜式求出.

【详解】（1）由两点式可知

y-0_x-6

8-0

化简可得

2x+y-12=0

即为边A3所在的直线的方程，

（2）因为边上的高垂直A8,

所以斜率为A=1,

又点C（0,3）在高线上，

所以由点斜式可知

y-3=-x

-2

即x—2y+6=0

题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系

易错点04：忽略圆的一般方程的限制条件

，易错陷阱与避错攻略

典例（2024.黑龙江佳木斯•模拟预测）若点（-2,1）在圆/+/+尤一、+。=（）的外部，则实数”的取值范围是

()

A.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.

【详解】由于点（一2,1）在圆/+y2+x-y+a=o的外部，故

(-2)2+l2-2-l+a>0

解得-2<a<—,

l+(-l)2-4a>0

故选：c

【易错剖析】

本题容易忽略圆的一般方程f+y2+Dx+Ey+歹=0的限制条件£)?+石2一4厂>。而出错.

【避错攻略】

1、圆的一般方程

一■般地，圆的标准方程(x—a)~+(y—/?)"=厂可以化为x?+y"-2ax—2by+—厂=0

在这个方程中，如果令。=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,则这个方程就表示成

三+丁+瓜+石丫+/二。的形式，其中。，E,尸都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，

其中为圆心，［，。2+石2—4尸为半径.

(22J2

2、圆的一般方程的特点

(1)V,y2项的系数相同且不等于0(/和产的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以

这个常数即可)；

(2)不含孙项；

(3)D2+E2-4F>0.

3、一般方程与标准方程关系

把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得++J=^工-转，根据圆的标准方程可知：

DE

⑴当斤+炉―4/=。时，方程只有实数解》=-y=—它表示一个点―一一―I

22122)

(2)当。2十后2一4月<。时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

(3)当。2+石2—4/>0时，可以看出方程表示以1-2,-£］为圆心，L《D'E2-4F为半径的圆.

22)2

4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点4(％,%)，和圆的一般方程必+/+瓜+4+/=0(斤+£2—4/>0)则

位置关系代数关系

点M在圆A上Dx。+Ey0+F=0

点M在圆A内%；+)；+DXQ+Ey0+/<0

点M在圆A外XQ+y；+L)XQ+Ey。+方>0

5、方程x2+y2+Dx+Ey+F^O表示圆的两种判断方法

(1)配方法：对形如必+产+.+£丁+口=0的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察

是否表示圆.

(2)定义法：判断。2+石2—4产是否大于零，确定它是否表示圆.

易错提醒：不要把形如的结构都认为是圆，一定要先判断。2+序—4F的符号，

只有大于0时才表示圆.

若f+V+.+Ey+F=O表示圆，则有：

(1)当P=0时，圆过原点.

(2)当。=0,母0时，圆心在y轴上；当。加，E=0时，圆心在x轴上.

(3)当。=P=0,母0时，圆与x轴相切于原点；£=尸=0,小0时，圆与y轴相切于原点.

(4)当£>2=E2=4F时，圆与两坐标轴相切.

举—反三

1.(2024•吉林三模)已知曲线C：d+y2+2M_2y+2=0表示圆，则根的取值范围是()

A.(-co,-1)B.(1,+<»)C.(-1,1)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【答案】D

【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.

【详解】圆的标准方程为：(x+/n)2+(y-l)2=/n2-l,

故根2〉1即用<一1或相>1,

故选：D.

2.(24-25高三上•江苏南京•阶段练习)若点(2,1)在圆f+y2—%—y+〃=0的外部，则。的取值范围是()

A.(—2,+8)B.(—2,—)C.(—8,—2)D.(—co,—2)kj(―,+oo)

【答案】B

【分析】利用点与圆的位置关系列式求解即得.

【详解】由点(2,1)在圆尤2+y2_x_y+a=0的外部，得解得一2<a<:，

[22+l2-2-l+a>02

所以。的取值范围是(-2,；).

故选：B

22

3.（24-25高二上•浙江•阶段练习）已知点*0,2）关于直线x-y+l=O对称的点。在圆