




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题20直线方程应用
更盘点•置击看考
目录
题型一:斜率几何意义............................................................................1
题型二:倾斜角范围最值..........................................................................2
题型三:函数值域型求倾斜角......................................................................3
题型四:直线方向向量...........................................................................4
题型五:含参直线过定点..........................................................................5
题型六:双直线含参型定圆........................................................................5
题型七:截距式应用..............................................................................6
题型八:直线一般式方程理论......................................................................7
题型九:直线光学性质...........................................................................8
题型十:两点距离公式应用.......................................................................10
题型十一:平行线应用...........................................................................10
题型十二:对称:“将军饮马”型最值.............................................................11
题型十三:绝对值型.............................................................................12
题型十四:对称:叠纸型.........................................................................13
^突围・檐;住蝗分
题型一:斜率几何意义
:指I点I迷I津
:斜率型分式几何意义
■若P1(X1,力),B(X2,>2)在直线/上,且尤1W尤2,则/的斜率仁三心。
i若满足
y=f(xj—g(电),则可以构造两点(xpf(%)),(X”g(xj)型两点连线斜率,通过数形结合求解
Xl-X2
1?"(-24-25籥三王丘茜技卬|花菠标万丁兵旅菌嘀箕初菽质据前向而应藐落二起「最后霰藏场而―
鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的"太极图".图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括
边界)的动点.则三的最小值为(
4
C.D.1
3
2.(20-21高一下•辽宁大连•期中)设函数=的最大值为/(。),最小值为根(a),贝晨)
a+〃cos%+2
A.\/aGR,Af(a)♦皿。)=1B.eR,=2
C.\/aGR,+=2D.GR,A/(a)+加(a)=3
3.(2024高二•全国•专题练习)已知函数/(x)=log2(x+l),且c>b>a>0,则要,幺夕的大小
abc
关系是()
A.”叽〃叽A。)〃c)“6)
D.>>
abccba
f®八a)/(c)/(a)/(c)/⑸
u.>>
bacacb
4.(2023•黑龙江哈尔滨•二模)点”(%,%)在函数〉=6工的图象上,当%e[0,l),则,口可能等于()
A.-1B.-2C.-3D.0
5.(23-24高二上•安徽马鞍山•阶段练习)已知实数尤,y满足*+y2-2x-2y+l=0,则上二的取值范围
X+1
是.
题型二:倾斜角范围最值
指I点I迷I津
斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出:①当aG0,号时,斜率AG[0,+oo)且随着a增大而增大;
②当仁=鄂寸,斜率不存在,但直线存在;③当旌便力时,斜率正(—8,0)且随着a增大而增大.
I____________________________________________________________________________________________________
1.(24-25高二上・安徽滁州•阶段练习)过4(1,2加-1),以3,苏)两点的直线的倾斜角的取值范围为()
a-H]b-H,0]c-[o,Cd-H)
2.(24-25高二上•重庆•阶段练习)设直线/的方程为xcos6+y-3=。(0eR),则直线/的倾斜角。的取
值范围是()
3兀
T,7t
3.(24-25高二上・河北唐山・阶段练习)设直线/的方程为了-以山。+2=0,则直线/的倾斜角。的范围是()
「ci7T717L37r兀兀)।7T3兀
A.0,7iB.—C.—-D.
L」[42」[44」|_42)(24」
4.(24-25高二上•河北石家庄•阶段练习,多选)下列说法正确的是()
「兀]「3兀、
A.直线xsinor+y+2=。的倾斜角。的取值范围是0,-U—,?rI
B.函数/(2元-1)的定义域为(-1,2),则函数/(1-》)的定义域为(-2,4)
一炉—QX—5(尤<1)
C.已知函数/(%)=a八在(0,+8)上是增函数,则实数〃的取值范围是[-3,1]
—(zx>1)
lx
19-1
D.若事件A与事件8相互独立,且P(A)=§,P(B)=-,贝!JP(A3)=§
22
5.(2024•全国•模拟预测)已知%尸2分别是双曲线C:a-餐=1(。>0*>0)的上、下焦点,过点F?且与y
轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P,且尸在第四象限,四边形尸片。区为平行四边形.若直线。月的
2兀371
倾斜角ce,则C的离心率的取值范围是.
题型三:函数值域型求倾斜角
指I点I迷I津
;斜率与倾斜角的关系,可以通过正切函数来对应
由正切图象可以看出:①当ad0,§时,斜率左G[0,+8)且随着a增大而增大;
;当a=鄂寸,斜率不存在,但直线存在;
;当ad便兀)时,斜率々G(—oo,0)且随着a增大而增大.
1.(24-25高二上•浙江•阶段练习)已知A(g,0),B(0,-l),直线/:2以-2y-耳-3=0上存在点尸,满
足1M+|依|=2,贝心的倾斜角的取值范围是()
兀5兀
2,-6-
2.(2024高三・全国・专题练习)将函数y=C?7^_6(xe[l,3])的图象绕坐标原点逆时针旋转。(夕为锐
角),若所得曲线仍是一个函数的图象;则e的最大值为()
22
3.(23-24高二上•河北•阶段练习)已知片,耳分别是双曲线C:=-之=l(a>O,b>Q)的上、下焦点,经过点F,
且与y轴垂直的直线与c的一条渐近线相交于点p,且尸在第四象限,四边形尸月。月为平行四边形,若c的
4.(21-22高三上•辽宁铁岭•期末,多选)已知直线/:履-'-2左=0与抛物线C:V=8x交于A,B两点,F
为抛物线C的焦点,若|Ab|=3|3/|,则直线/的倾斜角可能为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
5.(24-25高二上•湖南长沙•阶段练习)直线(4/+3卜-4磔+1=0的倾斜角的取值范围是.
x2-.r+l,x<0
6.(22-23高三下•上海•阶段练习)已知曲线C:y=,点尸,0是曲线C上任意两个不同点,
,尤2+],x>0
若ZPOQV夕,则称尸,Q两点心有灵犀,若P,Q始终心有灵犀,则6的最小值%的正切值tan%=
题型四:直线方向向量
指I点I迷I津
与直线1平行的非零向量V都称为1的方向句量,用它们来表示直线的方向.
斜率为k的直线的方向向量为(l,k)的非零实数得•.
1.(24-25高二上•江苏南通•阶段练习已知%B是互相垂直的单位向量,若直线4和I的方向向量分别为
^a+bAa-b,贝U4和4所成的角的余弦值为()
2.(2024•安徽芜湖・二模)已知直线/:Ar+By+CnOlAZ+^wo)与曲线卬:y=V-x有三个交点£)、E、
F,且|DE|=|EF|=2,则以下能作为直线/的方向向量的坐标是().
A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)
3.(23-24高二上•安徽黄山•期中)已知直线/的一个方向向量为(-1,2),直线/的倾斜角为a,则
sin2c-cos?2-1的值为()
A.-2B.0C.-1D.2
4.(23-24高二上•福建三明•期中,多选)下列说法正确的是()
A.直线/:%+丁+2=0在y轴上的截距为2
B.直线x+y+l=O的方向向量为(1,-1)
C.经过点尸(2,1),且在无,y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0
D.已知直线/过点(2,1),且与无,y轴正半轴交于点4、8两点,则VA03面积的最小值为4
5.(2023•四川德阳•一模)已知实数久久c成公差非零的等差数列,集合A={(x,y)辰+6y+c=0},
P(-3,2),N(2,3),MwA,若希则幽时的最大值为.
题型五:含参直线过定点
指I点I迷I津
直线系:
过与A2X+B2J+C2=0的交点的直线可设:Aix+Biy+Ci+A(A2x+B2y+G)=0.
所以,含参直线,可以通过分离构造方程组解出定点
1.(24-25,全国•模拟)以直线/:x+(:"+2)y—3-m=0恒过的定点为圆心,半径为血的圆的方程为()
A.+y~一2x—2y=2B.x~+-2x—2y=1
C.x~+V—2x—2y+l=0D.无?+y~—2x—2y=0
2.(24-25高二上•湖南长沙•阶段练习)无论力为何值,直线(24+3户+(4+4方+2(几-1)=。过定点()
A.(—2,2)B.(-2,-2)C.(-1,-1)D.(—1,1)
3.(24-25高二上•河北石家庄•阶段练习)已知点4(2,-3),3(-5,-2),若直线/:小+>+根-1=0与线段A3
(含端点)有公共点,则实数根的取值范围为()
43
A.
i54
34
C.
453
4.(24-25高二上•浙江杭州•阶段练习,多选)已知圆C:(x+2)2+/=4,直线/:(7"+1卜+2>-1+7力=0(7”€2,
贝I()
A.直线/恒过定点
B.直线/与圆C有两个交点
C.当m=1时,圆C上恰有四个点到直线/的距离等于1
D.圆C与圆Y+y2-2x+8y+8=0恰有三条公切线
5.(23-24高二下•广东清远•阶段练习)如果直线版7-2左=0和曲线「:炉+4丫国=1恰有一个交点,那么
实数上的取值范围是.
题型六:双直线含参型定圆
:指I点I迷I津
如果两条直线都有参数,则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的,则可以分别求出各自斜率,通过斜率之积是否是7,确定两条
直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”,则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上,则可以通过设角,三角代换,进行线段的
:最值求解计算
1.(2024产泰'蔑文.模反帚测)己向加,neR,病+/*(),记宣展=6后i耍尔-〃y-"=。而
交点为P,点Q是圆C:(x+2y+(y-2)2=4上的一点,若PQ与C相切,则|尸。|的取值范围是()
A.[272,714]B.[2应,2近]
C.[2,V14]D.[2,2夕]
2.(2024•全国,二模)己知直线4:y=tr+5(teR)与直线/?:x+少T+4=0«eR)相交于点p,且点P到点
3)的距离等于1,则实数。的取值范围是()
A.[-2>/2-3,-2V2-l]
B.[-25/2-3,2A/2-1]
C.[-272-3,-2>/2-1]u[2A/2+1,2A/2+3]
D.[-2&-3,-2夜-l]u[2亚-3,2忘-1]
3.(24-25高二上•福建三明•阶段练习)已知直线4:x-阳-2=0与直线仆7蛆+y-2=0(meR)交于点A,
若点3(—1,3),则依目的最小值为()
A.&B.2C.2&D.3A/2
4.(22-23高二上•福建莆田•阶段练习,多选)已知“eR,若过定点A的动直线4:尤-冲+加-2=。和过定
点B的动直线4:y-4=T"(x+2)交于点尸(P与A,3不重合),则下列结论中正确的是()
A.A点的坐标为(2,1)B.点尸的轨迹方程尤2+y2-5y=0
C.PA2+PB2=25D.2丛+尸3的最大值为56
5.(2024高二上,江苏•专题练习)设,”eR,过定点A的动直线x+2+m(y-7)=0和过定点8的动直线
mx-y-m+3=0交于点P(x,y),贝I]|刈|+1PBi的取值范围是.
题型七:截距式应用
指I点I迷I津
直线的截距和直线方程的截距式,关键有两点:
1.要注意截距为零的情况,
2.在截距不为零时,转化求解
1.(22-23高三,重庆•模拟)记函数/(x)=,+加+法在点尸亿〃。)(0</<1)处的切线为/,若直
线/在'轴上的截距恒小于1,则实数。的取值范围是
1
A.(-1,+co)B.[-1,+co)D.——,+co
2
2.(19-20高一•云南普洱•阶段练习)过点尸(3,4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条()
A.4B.5C.6D.7
3.(22-23高三・上海模拟)过点A。,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为()
A.%-y+3=0B.x+y-5=0
C.4%—y=0或x+y-5=0D.4x—y=0或x—y+3=0
4.(23-24高二上•广东惠州•期中,多选)下列说法正确的有()
A.直线x+6y+3=0的倾斜角为150。
B.直线y-3=M-2)必过定点(2,3)
C.方程>=左(》-2)与方程%=*表示同一条直线
x—2
D.经过点尸(2,1),且在羽y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0
5.(22-23高三•内蒙古赤峰•模拟)已知过点p(l,4)的直线L在两坐标轴上的截距均为正值,当两截距之和最
小时,求直线L的方程为.
题型八:直线一般式方程理论
指I点I迷I津
直线系型:
(1)平行线系:与直线At+8y+C=0平行的直线方程可设为:Ax+By+m=0(m^C);
(2)垂直线系:与直线Ax+2y+C=0垂直的直线方程可设为:Bx—Ay+n—0;
(3)交点线系:过Aix+8iy+G=0与A2x+&y+C2=0的交点的直线可设:Aix+Biy+Ci+A(A^+B2y+C2)
=0.
1.(22-23高二上•上海浦东新•)在平面直角坐标系内,设河(石,%),N(马,必)为不同的两点,直线/的方
0ax,+by,+c
程为办+勿+c=0,6=J,下面四个命题中的假命题为()
ax2+by2+c
A.存在唯一的实数3,使点N在直线/上
B.若5=1,则过M,N两点的直线与直线/平行
C.若5=-1,则直线经过线段M,N的中点;
D.若5>1,则点N在直线/的同侧,且直线/与线段N的延长线相交;
2.(23-24高二上•湖南•期中)已知4(%,乂),鸟(龙2,%)是直线丁="+2。23(%为常数)上两个不同的点,
则关于x和y的方程组[科:的解的情况,下列说法正确的是()
yx2x+y2y=1
A.无论左,A,鸟如何,总是无解
B.无论左,片,2如何,总有唯一解
\x—\
C.存在左,片,鸟,使c是方程组的一组解
[y=2
D.存在%,P,,P2,使之有无穷多解
3.(21-22高三•全国•模拟)若点42,-3)是直线空+分+1=0和耍+3+1=。的公共点,则相异两点(《,伪)
和(%也)所确定的直线方程是()
A.2x-3^+l=0B.3%-2y+l=0
C.2%—3y—1=0D.3x—2y—1=0
4.(22-23高三•黑龙江哈尔滨•模拟,多选)己知爪4,伉)与£3也)是直线广爪+1(左为常数)上两个不
同的点,则关于4:。俨+3-1=。和3/尤+4>-1=。的交点情况说法错误的是()
A.存在人、<、鸟使之无交点
B.存在左、£、外使之有无穷多交点
C.无论左、R、鸟如何,总是无交点
D.无论左、片、鸟如何,总是唯一交点
5.(24-25高二上•上海•课堂例题)下列关于直线方程的说法正确的是.①直线尤-ysind+2=0的倾斜
角可以是T;②直线/过点(-2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为尤+>-1=0;③过点
P(x。,%)的直线士+协+。=0的直线方程还可以写成4(龙-%)+3(y-%)=0;④经过4(石,乂),
/、y-y,x-x.
巩斗,为)两点的直线方程可以表示为上4=——.
题型九:直线光学性质
指I点I迷I津
直线光学性质,即直线对称性质
关于轴对称问题:
⑴点4.㈤关于直线/k+By+C=0的对称点A'd〃),贝情“一"、7
,a+m八b+n-八
A--------+B--------+C=0
、22
(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1.(22-23•福建厦门•模拟)在直角坐标系xOy中,全集U={(x,y)艮yeR},集合
A={(x,y)kcosd+(y-4)sind=l,0WdV2;r},已知集合A的补集药A所对应区域的对称中心为点P是
线段x+y=8(x>0,>>0)上的动点,点。是x轴上的动点,贝卜儿根。周长的最小值为()
A.24B.4MC.14D.8+4&
2.(19-20•江苏无锡,期中)如图,已知A(T,0),8(4,0),C(0,4),矶-2,0),尸(2,0),一束光线从F点出
发射到2c上的。点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线ED的斜率的取
A.B.(4,+8)C.(2,+。)D.(1,-hx)
3.(21-22高二上•浙江绍兴•期中)如图,在直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,迅)、3(-1,0)、
C(l,0),。为原点,从。点出发的光线先经AC上的点[反射到边AB上,再由上的点鸟反射回到BC
边上的点A停止,则光线。《的斜率的范围为()
C.[A/3,3A/3]D.[73,273]
4.(23-24高二上•广东广州•期末,多选)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,
沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的
焦点.已知抛物线C:V=2px,0为坐标原点,一束平行于无轴的光线乙从点尸("0(/<4租)射入,经过C
上的点401,乃)反射后,再经C上另一点8(冷,火)反射后,沿直线4射出,且4经过点。,则()
]1
A.当p=],〃=l时,延长AO交直线于点。,则。、B、。三点共线
125
B.当夕=—,〃=1时,若P8平分448。,则加=§
216
C.ZAO3的大小为定值
D.设该抛物线的准线与x轴交于点K,则NA^F=N3KF
5.(2122高三•湖北宜昌•模拟)已知:A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-l,0),爪1,0),一束光线从下点
出发发射到BC上的。点经BC反射后,再经AC反射,落到线段4E上(不含端点)ED斜率的范围
为.
题型十:两点距离公式应用
指I点I迷I津
求解形如&_十+J(x-c)2+(y-d)2的式子的最小值思路:
(1)先将问题转化为点到点的距离之和问题;
(2)画出图示,必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析;
L_(3_)根_据距_离之_和_的最_小值_得到_原_式的_最小_值.___________
1.(21-22高二上•河北保定•期末),今+仃-咪++(y-5『的最小值为()
A.5B.2+^/F7C.6D.l+^/26
2.(23-24高三上•重庆南岸•阶段练习)已知%,y^R,若根<
m的最大值是()
A.2-^2B.0一1C.0+1
3.(23-24高二下•湖南长沙•期末)已知上+*=二+货=8,且玉入2+%%=。,则(玉+%2—2)+('1+%)的
最大值为()
A.9B.12C.36D.48
4.(2024甘肃定西•一模,多选)下列命题为真命题的是()
A.-Jx2-4X-8A/^-X+4+1-1|的最小值是2
B.y/x2-4x-8y[-x+4+1x-1|的最小值是石
C•yjx2—4x—8^—x+4+yfx2—2x—4y/—x+2的最小值是亚
D•yjx2—4x—8A/—x+4+yjx2—2x—4y[—x+2的最小值是班
5.(20-21高三上•浙江温州•阶段练习)若,>0乃>。,则&-2枇丫+(比〃-人产+b的最小值是
题型十一:平行线应用
指I点I迷I津
两直线平行
(1)斜截式判断法:
两条直线平行:对于两条不重合的直线/1、/2:
(1)若其斜率分别为/1、k2,则有/1〃/2O%1=比.
(ii)当直线展/2不重合且斜率都不存在时,h//h.
(2)一般式判断法:设两直线4x+Biy+G=0与A2%+B2y+C2=0,则有:
/i〃/20Al&=A2BI且4C2WA2Ci;
1.(22-23高二上•四川南充•期中)对于圆(x-a)2+(y-6)2=5上任意一点尸(x,y),
|x-2y+制+|x-2y+l|(mwl)的值与x,y无关,则加的范围为()
A.[1,+<»)B.1,+°°)
C.[11,-W)D.[-9,11]
22_
2.(23-24高二上•重庆江北•阶段练习)若椭圆卷+方=1上的点到直线丫=》+%的最短距离是&,则加最
小值为()
A.-1B.-3C.-7D.1
3.(23-24高二上•全国•课后作业)若动点4(看,%),8(尤2,%)分别在直线4"+>-7=0和/2:工+'-5=0上移
动,则A8的中点M到原点距离的最小值为()
A.372B.2C.72D.4
4.(24-25高二上•江苏连云港•阶段练习,多选)下列选项正确的是()
A.过点(一1,2)且和直线3x+2y_7=0垂直的直线方程是2x_3y+8=0
B.若直线/的斜率俎-1,网,则直线倾斜角1的取值范围是去露日子
C.若直线4:x-2y+l=。与4:2x+ay-2=0平行,贝也与的距离为手
D.已知圆G:x2+(y-2)2=l,圆C2:(x-4『+(y—4)2=9,M.N分别是圆C1、g上的动点,尸为直
线x+y+2=0上的动点,贝||PM|+|PN|的最小值为6
5.(2024・湖北•模拟预测)若函数=t1在不同两点3值,/(%))处的切线互相平
行,则这两条平行线间距离的最大值为.
题型十二:对称:“将军饮马”型最值
1.(23-24高二上,江苏盐城,期末)在平面直角坐标系中,军营所在区域的边界为V+y2=i,河岸所在直线
方程为无+y=3,将军从点A(0,2)处出发,先到河边饮马,然后再返回军营,如果将军只要到达军营所在
区域即回到军营,则这个将军所经过的最短路程为()_
A.75B.75-1C.5D.A/10-I
2.(23-24高二上•宁夏银川・期中)"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李顽《古从军行》这首诗
的开头两句.诗中隐含着一个数学问题一一"将军饮马”:将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮
马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为天2+9416,若将军从
点处出发,河岸线所在直线方程为'=-尤-6,并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营,
那么"将军饮马”的最短总路程为()
A.13B.11C.9D.7
3.(23-24高二上•河南新乡,期中)—4x+l+:5/+4x+4的最小值为()
A・警…,・等…
4.(23-24高二上•江西•阶段练习,多选).2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的
热情,唐诗中边塞诗又称出塞诗,是唐代汉族诗歌的主要题材,是唐诗当中思想性最深刻,想象力最丰富,
艺术性最强的一部分,唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交
河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边
饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设将军的出发点是A(2.4),军营所在位
置为3(6,2),河岸线所在直线的方程为尤+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马,再回到军营(“将军饮马”)
的总路程最短,则()
A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0
B.将军在河边饮马的地点的坐标为(5,
C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是尤-6y+6=0
D."将军饮马"走过的总路程为50
5.(24-25高二下•上海•单元测试)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮
马傍交河",诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出
发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为
4-3,0),若将军从山脚下的点以-1,1)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=l,则"将军饮马"的最短总路
程为.
题型十三:绝对值型
1.(23-24高二上•江苏盐城•期中)已知实数x,y满足x国-羽=1,则|也x-y+61的取值范围是()
A.[6-施3)B.3-
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 北京工业职业技术学院《中外建筑史》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 湖北生态工程职业技术学院《制造与材料》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 江苏省南京市江宁区2025届六年级下学期小升初真题数学试卷含解析
- 云南省江川一中2025届高三第二学期第三次月考试卷物理试题含解析
- 南京视觉艺术职业学院《品牌管理》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 吉首大学张家界学院《简笔画与英语书法》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 大连交通大学《合唱排练与实践2》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 绍兴市2025年四下数学期末统考试题含解析
- 河南财经政法大学《数学与数学软件》2023-2024学年第二学期期末试卷
- 江苏省靖江市滨江学校2024-2025学年八年级下学期3月月考地理试题(含答案)
- 部编版五年级道德与法治下册课程纲要
- Q∕SY 02006-2016 PVT取样技术规程
- 初中物理公式MicrosoftWord文档
- 冠心病临床路径
- 《专利纠纷与处理》PPT课件
- 基于PLC的电梯控制系统设计
- 北京某商贸大厦空调工程设计毕业设计
- 口腔科急救预案培训课件
- 新教科版5年级科学下册第二单元《6设计我们的小船》课件
- 农业技术推广知识课程教学大纲
- 部编版一年级《道德与法治》下册第9课《我和我的家》精品课件
评论
0/150
提交评论