直线方程应用 -2025年高考数学一轮复习知识清单（原卷版）

专题20直线方程应用

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目录

题型一：斜率几何意义............................................................................1

题型二：倾斜角范围最值..........................................................................2

题型三：函数值域型求倾斜角......................................................................3

题型四：直线方向向量...........................................................................4

题型五：含参直线过定点..........................................................................5

题型六：双直线含参型定圆........................................................................5

题型七：截距式应用..............................................................................6

题型八：直线一般式方程理论......................................................................7

题型九：直线光学性质...........................................................................8

题型十：两点距离公式应用.......................................................................10

题型十一：平行线应用...........................................................................10

题型十二：对称：“将军饮马”型最值.............................................................11

题型十三：绝对值型.............................................................................12

题型十四：对称：叠纸型.........................................................................13

^突围・檐;住蝗分

题型一：斜率几何意义

:指I点I迷I津

：斜率型分式几何意义

■若P1(X1,力)，B(X2,>2)在直线/上，且尤1W尤2,则/的斜率仁三心。

i若满足

y=f(xj—g(电),则可以构造两点(xpf(%)),(X”g(xj)型两点连线斜率，通过数形结合求解

Xl-X2

1?"(-24-25籥三王丘茜技卬|花菠标万丁兵旅菌嘀箕初菽质据前向而应藐落二起「最后霰藏场而―

鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的"太极图".图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包括

边界)的动点.则三的最小值为(

4

C.D.1

3

2.（20-21高一下•辽宁大连•期中）设函数=的最大值为/（。），最小值为根（a）,贝晨）

a+〃cos%+2

A.\/aGR,Af(a)♦皿。)=1B.eR,=2

C.\/aGR,+=2D.GR,A/(a)+加(a)=3

3.（2024高二•全国•专题练习）已知函数/（x）=log2（x+l）,且c>b>a>0,则要，幺夕的大小

abc

关系是()

A.”叽〃叽A。)〃c)“6)

D.>>

abccba

f®八a)/(c)/(a)/(c)/⑸

u.>>

bacacb

4.（2023•黑龙江哈尔滨•二模）点”（%,%）在函数〉=6工的图象上，当％e[0,l）,则，口可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

5.（23-24高二上•安徽马鞍山•阶段练习）已知实数尤，y满足*+y2-2x-2y+l=0,则上二的取值范围

X+1

是.

题型二：倾斜角范围最值

指I点I迷I津

斜率与倾斜角关系是正切图像

由正切图象可以看出：①当aG0,号时，斜率AG[0,+oo）且随着a增大而增大；

②当仁=鄂寸，斜率不存在，但直线存在；③当旌便力时，斜率正（—8,0）且随着a增大而增大.

I____________________________________________________________________________________________________

1.（24-25高二上・安徽滁州•阶段练习）过4（1,2加-1）,以3,苏）两点的直线的倾斜角的取值范围为（）

a-H]b-H,0]c-[o,Cd-H）

2.（24-25高二上•重庆•阶段练习）设直线/的方程为xcos6+y-3=。（0eR）,则直线/的倾斜角。的取

值范围是（）

3兀

T,7t

3.（24-25高二上・河北唐山・阶段练习）设直线/的方程为了-以山。+2=0,则直线/的倾斜角。的范围是（）

「ci7T717L37r兀兀）।7T3兀

A.0,7iB.—C.—-D.

L」[42」[44」|_42）（24」

4.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习，多选）下列说法正确的是（）

「兀]「3兀、

A.直线xsinor+y+2=。的倾斜角。的取值范围是0,-U—,?rI

B.函数/（2元-1）的定义域为（-1,2）,则函数/（1-》）的定义域为（-2,4）

一炉—QX—5(尤<1)

C.已知函数/（%）=a八在（0,+8）上是增函数，则实数〃的取值范围是[-3,1]

—(zx>1)

lx

19-1

D.若事件A与事件8相互独立，且P（A）=§,P（B）=-,贝！JP（A3）=§

22

5.（2024•全国•模拟预测）已知%尸2分别是双曲线C:a-餐=1（。>0*>0）的上、下焦点，过点F?且与y

轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P,且尸在第四象限，四边形尸片。区为平行四边形.若直线。月的

2兀371

倾斜角ce,则C的离心率的取值范围是.

题型三：函数值域型求倾斜角

指I点I迷I津

;斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应

由正切图象可以看出：①当ad0,§时，斜率左G[0,+8）且随着a增大而增大；

；当a=鄂寸，斜率不存在，但直线存在；

；当ad便兀）时，斜率々G（—oo,0）且随着a增大而增大.

1.（24-25高二上•浙江•阶段练习）已知A（g,0）,B（0,-l）,直线/：2以-2y-耳-3=0上存在点尸，满

足1M+|依|=2,贝心的倾斜角的取值范围是（）

兀5兀

2，-6-

2.（2024高三・全国・专题练习）将函数y=C?7^_6（xe[l,3]）的图象绕坐标原点逆时针旋转。（夕为锐

角），若所得曲线仍是一个函数的图象；则e的最大值为（）

22

3.（23-24高二上•河北•阶段练习）已知片，耳分别是双曲线C:=-之=l（a>O,b>Q）的上、下焦点，经过点F,

且与y轴垂直的直线与c的一条渐近线相交于点p,且尸在第四象限，四边形尸月。月为平行四边形，若c的

4.（21-22高三上•辽宁铁岭•期末，多选）已知直线/：履-'-2左=0与抛物线C：V=8x交于A,B两点，F

为抛物线C的焦点，若|Ab|=3|3/|,则直线/的倾斜角可能为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.（24-25高二上•湖南长沙•阶段练习）直线（4/+3卜-4磔+1=0的倾斜角的取值范围是.

x2-.r+l,x<0

6.（22-23高三下•上海•阶段练习）已知曲线C:y=,点尸，0是曲线C上任意两个不同点,

，尤2+],x>0

若ZPOQV夕，则称尸，Q两点心有灵犀，若P,Q始终心有灵犀,则6的最小值％的正切值tan%=

题型四：直线方向向量

指I点I迷I津

与直线1平行的非零向量V都称为1的方向句量，用它们来表示直线的方向.

斜率为k的直线的方向向量为（l,k）的非零实数得•.

1.（24-25高二上•江苏南通•阶段练习已知％B是互相垂直的单位向量，若直线4和I的方向向量分别为

^a+bAa-b,贝U4和4所成的角的余弦值为（）

2.（2024•安徽芜湖・二模）已知直线/：Ar+By+CnOlAZ+^wo）与曲线卬：y=V-x有三个交点£）、E、

F,且|DE|=|EF|=2,则以下能作为直线/的方向向量的坐标是（）.

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

3.（23-24高二上•安徽黄山•期中）已知直线/的一个方向向量为（-1,2）,直线/的倾斜角为a,则

sin2c-cos?2-1的值为（）

A.-2B.0C.-1D.2

4.（23-24高二上•福建三明•期中，多选）下列说法正确的是（）

A.直线/：%+丁+2=0在y轴上的截距为2

B.直线x+y+l=O的方向向量为（1,-1）

C.经过点尸（2,1）,且在无，y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0

D.已知直线/过点（2,1）,且与无，y轴正半轴交于点4、8两点，则VA03面积的最小值为4

5.（2023•四川德阳•一模）已知实数久久c成公差非零的等差数列，集合A={（x,y）辰+6y+c=0},

P（-3,2）,N（2,3）,MwA,若希则幽时的最大值为.

题型五：含参直线过定点

指I点I迷I津

直线系：

过与A2X+B2J+C2=0的交点的直线可设：Aix+Biy+Ci+A（A2x+B2y+G）=0.

所以，含参直线，可以通过分离构造方程组解出定点

1.（24-25,全国•模拟）以直线/：x+（："+2）y—3-m=0恒过的定点为圆心，半径为血的圆的方程为（）

A.+y~一2x—2y=2B.x~+-2x—2y=1

C.x~+V—2x—2y+l=0D.无？+y~—2x—2y=0

2.（24-25高二上•湖南长沙•阶段练习）无论力为何值，直线（24+3户+（4+4方+2（几-1）=。过定点（）

A.（—2,2）B.（-2,-2）C.（-1,-1）D.（—1,1）

3.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知点4（2,-3）,3（-5,-2）,若直线/：小+>+根-1=0与线段A3

（含端点）有公共点，则实数根的取值范围为（）

43

A.

i54

34

C.

453

4.（24-25高二上•浙江杭州•阶段练习，多选）已知圆C:（x+2）2+/=4,直线/：（7"+1卜+2>-1+7力=0（7”€2,

贝I（）

A.直线/恒过定点

B.直线/与圆C有两个交点

C.当m=1时，圆C上恰有四个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆Y+y2-2x+8y+8=0恰有三条公切线

5.（23-24高二下•广东清远•阶段练习）如果直线版7-2左=0和曲线「:炉+4丫国=1恰有一个交点，那么

实数上的取值范围是.

题型六：双直线含参型定圆

:指I点I迷I津

如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。

1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。

2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是7,确定两条

直线是否互相“动态垂直”。

3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。

4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的

:最值求解计算

1.（2024产泰'蔑文.模反帚测）己向加，neR,病+/*（）,记宣展=6后i耍尔-〃y-"=。而

交点为P,点Q是圆C：（x+2y+（y-2）2=4上的一点，若PQ与C相切，则|尸。|的取值范围是（）

A.[272,714]B.[2应,2近]

C.[2,V14]D.[2,2夕]

2.（2024•全国,二模）己知直线4：y=tr+5（teR）与直线/?:x+少T+4=0«eR）相交于点p,且点P到点

3）的距离等于1,则实数。的取值范围是（）

A.[-2>/2-3,-2V2-l]

B.[-25/2-3,2A/2-1]

C.[-272-3,-2>/2-1]u[2A/2+1,2A/2+3]

D.[-2&-3,-2夜-l]u[2亚-3,2忘-1]

3.（24-25高二上•福建三明•阶段练习）已知直线4：x-阳-2=0与直线仆7蛆+y-2=0（meR）交于点A,

若点3（—1,3）,则依目的最小值为（）

A.&B.2C.2&D.3A/2

4.（22-23高二上•福建莆田•阶段练习，多选）已知“eR,若过定点A的动直线4：尤-冲+加-2=。和过定

点B的动直线4：y-4=T"（x+2）交于点尸（P与A,3不重合），则下列结论中正确的是（）

A.A点的坐标为（2,1）B.点尸的轨迹方程尤2+y2-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2丛+尸3的最大值为56

5.（2024高二上,江苏•专题练习）设，”eR,过定点A的动直线x+2+m（y-7）=0和过定点8的动直线

mx-y-m+3=0交于点P（x,y）,贝I]|刈|+1PBi的取值范围是.

题型七：截距式应用

指I点I迷I津

直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点:

1.要注意截距为零的情况，

2.在截距不为零时，转化求解

1.（22-23高三，重庆•模拟）记函数/（x）=，+加+法在点尸亿〃。）（0</<1）处的切线为/,若直

线/在'轴上的截距恒小于1,则实数。的取值范围是

1

A.(-1,+co)B.[-1,+co)D.——,+co

2

2.（19-20高一•云南普洱•阶段练习）过点尸（3,4）在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）

A.4B.5C.6D.7

3.（22-23高三・上海模拟）过点A。,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.%-y+3=0B.x+y-5=0

C.4%—y=0或x+y-5=0D.4x—y=0或x—y+3=0

4.（23-24高二上•广东惠州•期中，多选）下列说法正确的有（）

A.直线x+6y+3=0的倾斜角为150。

B.直线y-3=M-2）必过定点（2,3）

C.方程>=左（》-2）与方程％=*表示同一条直线

x—2

D.经过点尸（2,1）,且在羽y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0

5.（22-23高三•内蒙古赤峰•模拟）已知过点p（l,4）的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最

小时，求直线L的方程为.

题型八：直线一般式方程理论

指I点I迷I津

直线系型：

（1）平行线系：与直线At+8y+C=0平行的直线方程可设为：Ax+By+m=0（m^C）；

（2）垂直线系：与直线Ax+2y+C=0垂直的直线方程可设为：Bx—Ay+n—0；

（3）交点线系：过Aix+8iy+G=0与A2x+&y+C2=0的交点的直线可设：Aix+Biy+Ci+A（A^+B2y+C2）

=0.

1.（22-23高二上•上海浦东新•）在平面直角坐标系内，设河（石,％）,N（马，必）为不同的两点，直线/的方

0ax,+by,+c

程为办+勿+c=0,6=J,下面四个命题中的假命题为（）

ax2+by2+c

A.存在唯一的实数3,使点N在直线/上

B.若5=1,则过M,N两点的直线与直线/平行

C.若5=-1,则直线经过线段M,N的中点；

D.若5>1,则点N在直线/的同侧，且直线/与线段N的延长线相交；

2.（23-24高二上•湖南•期中）已知4（%,乂），鸟（龙2，%）是直线丁="+2。23（%为常数）上两个不同的点,

则关于x和y的方程组[科：的解的情况，下列说法正确的是（）

yx2x+y2y=1

A.无论左，A，鸟如何，总是无解

B.无论左,片，2如何，总有唯一解

\x—\

C.存在左，片，鸟，使c是方程组的一组解

[y=2

D.存在％,P,,P2,使之有无穷多解

3.（21-22高三•全国•模拟）若点42,-3）是直线空+分+1=0和耍+3+1=。的公共点，则相异两点（《，伪）

和（%也）所确定的直线方程是（）

A.2x-3^+l=0B.3%-2y+l=0

C.2%—3y—1=0D.3x—2y—1=0

4.（22-23高三•黑龙江哈尔滨•模拟，多选）己知爪4，伉）与£3也）是直线广爪+1（左为常数）上两个不

同的点，则关于4：。俨+3-1=。和3/尤+4>-1=。的交点情况说法错误的是（）

A.存在人、<、鸟使之无交点

B.存在左、£、外使之有无穷多交点

C.无论左、R、鸟如何，总是无交点

D.无论左、片、鸟如何，总是唯一交点

5.（24-25高二上•上海•课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是.①直线尤-ysind+2=0的倾斜

角可以是T；②直线/过点（-2,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为尤+>-1=0；③过点

P（x。,%）的直线士+协+。=0的直线方程还可以写成4（龙-%）+3（y-%）=0；④经过4（石,乂），

/、y-y,x-x.

巩斗,为）两点的直线方程可以表示为上4=——.

题型九：直线光学性质

指I点I迷I津

直线光学性质，即直线对称性质

关于轴对称问题：

⑴点4.㈤关于直线/k+By+C=0的对称点A'd〃），贝情“一"、7

,a+m八b+n-八

A--------+B--------+C=0

、22

（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

1.（22-23•福建厦门•模拟）在直角坐标系xOy中，全集U={（x,y）艮yeR},集合

A={（x,y）kcosd+（y-4）sind=l,0WdV2;r},已知集合A的补集药A所对应区域的对称中心为点P是

线段x+y=8（x>0,>>0）上的动点，点。是x轴上的动点，贝卜儿根。周长的最小值为（）

A.24B.4MC.14D.8+4&

2.（19-20•江苏无锡,期中）如图，已知A（T,0）,8（4,0），C（0,4）,矶-2,0）,尸（2,0）,一束光线从F点出

发射到2c上的。点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线ED的斜率的取

A.B.(4,+8)C.(2,+。)D.(1,-hx)

3.（21-22高二上•浙江绍兴•期中）如图，在直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A（0,迅）、3（-1,0）、

C（l,0）,。为原点，从。点出发的光线先经AC上的点[反射到边AB上，再由上的点鸟反射回到BC

边上的点A停止，则光线。《的斜率的范围为（）

C.[A/3,3A/3]D.[73,273]

4.（23-24高二上•广东广州•期末，多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，

沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的

焦点.已知抛物线C：V=2px,0为坐标原点，一束平行于无轴的光线乙从点尸（"0（/<4租）射入，经过C

上的点401，乃）反射后，再经C上另一点8（冷,火）反射后，沿直线4射出，且4经过点。，则（）

]1

A.当p=],〃=l时，延长AO交直线于点。，则。、B、。三点共线

125

B.当夕=—,〃=1时，若P8平分448。，则加=§

216

C.ZAO3的大小为定值

D.设该抛物线的准线与x轴交于点K,则NA^F=N3KF

5.（2122高三•湖北宜昌•模拟）已知：A（-2,0）,B（2,0）,C（0,2）,E（-l,0）,爪1,0）,一束光线从下点

出发发射到BC上的。点经BC反射后，再经AC反射，落到线段4E上（不含端点）ED斜率的范围

为.

题型十：两点距离公式应用

指I点I迷I津

求解形如&_十+J(x-c)2+(y-d)2的式子的最小值思路:

(1)先将问题转化为点到点的距离之和问题；

(2)画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；

L_(3_)根_据距_离之_和_的最_小值_得到_原_式的_最小_值.___________

1.(21-22高二上•河北保定•期末)，今+仃-咪++(y-5『的最小值为()

A.5B.2+^/F7C.6D.l+^/26

2.(23-24高三上•重庆南岸•阶段练习)已知％,y^R,若根＜

m的最大值是()

A.2-^2B.0一1C.0+1

3.(23-24高二下•湖南长沙•期末)已知上+*=二+货=8,且玉入2+%%=。，则(玉+%2—2)+('1+%)的

最大值为()

A.9B.12C.36D.48

4.（2024甘肃定西•一模，多选）下列命题为真命题的是（）

A.-Jx2-4X-8A/^-X+4+1-1|的最小值是2

B.y/x2-4x-8y[-x+4+1x-1|的最小值是石

C•yjx2—4x—8^—x+4+yfx2—2x—4y/—x+2的最小值是亚

D•yjx2—4x—8A/—x+4+yjx2—2x—4y[—x+2的最小值是班

5.(20-21高三上•浙江温州•阶段练习)若，＞0乃＞。，则&-2枇丫+(比〃-人产+b的最小值是

题型十一：平行线应用

指I点I迷I津

两直线平行

（1）斜截式判断法：

两条直线平行：对于两条不重合的直线/1、/2:

（1）若其斜率分别为/1、k2,则有/1〃/2O%1=比.

（ii）当直线展/2不重合且斜率都不存在时，h//h.

（2）一般式判断法：设两直线4x+Biy+G=0与A2%+B2y+C2=0,则有:

/i〃/20Al&=A2BI且4C2WA2Ci；

1.（22-23高二上•四川南充•期中）对于圆（x-a）2+（y-6）2=5上任意一点尸（x,y）,

|x-2y+制+|x-2y+l|（mwl）的值与x,y无关,则加的范围为（）

A.[1,+<»）B.1,+°°）

C.[11,-W）D.[-9,11]

22_

2.（23-24高二上•重庆江北•阶段练习）若椭圆卷+方=1上的点到直线丫=》+%的最短距离是&,则加最

小值为（）

A.-1B.-3C.-7D.1

3.（23-24高二上•全国•课后作业）若动点4（看,%）,8（尤2，%）分别在直线4"+>-7=0和/2：工+'-5=0上移

动，则A8的中点M到原点距离的最小值为（）

A.372B.2C.72D.4

4.（24-25高二上•江苏连云港•阶段练习，多选）下列选项正确的是（）

A.过点（一1,2）且和直线3x+2y_7=0垂直的直线方程是2x_3y+8=0

B.若直线/的斜率俎-1,网，则直线倾斜角1的取值范围是去露日子

C.若直线4：x-2y+l=。与4：2x+ay-2=0平行，贝也与的距离为手

D.已知圆G：x2+（y-2）2=l,圆C2：（x-4『+（y—4）2=9,M.N分别是圆C1、g上的动点，尸为直

线x+y+2=0上的动点，贝||PM|+|PN|的最小值为6

5.（2024・湖北•模拟预测）若函数=t1在不同两点3值,/（%））处的切线互相平

行，则这两条平行线间距离的最大值为.

题型十二：对称：“将军饮马”型最值

1.（23-24高二上,江苏盐城,期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为V+y2=i,河岸所在直线

方程为无+y=3,将军从点A（0,2）处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在

区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（）_

A.75B.75-1C.5D.A/10-I

2.（23-24高二上•宁夏银川・期中）"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李顽《古从军行》这首诗

的开头两句.诗中隐含着一个数学问题一一"将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮

马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为天2+9416,若将军从

点处出发，河岸线所在直线方程为'=-尤-6,并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，

那么"将军饮马”的最短总路程为（）

A.13B.11C.9D.7

3.（23-24高二上•河南新乡,期中）—4x+l+:5/+4x+4的最小值为（）

A・警…，・等…

4.（23-24高二上•江西•阶段练习，多选）.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的

热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，

艺术性最强的一部分，唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交

河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边

饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2.4）,军营所在位

置为3（6,2）,河岸线所在直线的方程为尤+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）

的总路程最短，则（）

A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0

B.将军在河边饮马的地点的坐标为（5,

C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是尤-6y+6=0

D."将军饮马"走过的总路程为50

5.（24-25高二下•上海•单元测试）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮

马傍交河"，诗中隐含着一个有趣的数学问题一一"将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为

4-3,0）,若将军从山脚下的点以-1,1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=l,则"将军饮马"的最短总路

程为.

题型十三：绝对值型

1.（23-24高二上•江苏盐城•期中）已知实数x,y满足x国-羽=1,则|也x-y+61的取值范围是（）

A.[6-施3）B.3-