直线的相交（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第01讲直线的相交

（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）

E学习目标

课程标准学习目标

①对顶角的性质；

1.了解相交线和对顶角的概念；

②利用有关对顶角的性质，并且

2.理解对顶角相等；

包含较多的说理过程；

3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行,有关角的计算。

iiH思维导图

知识点01：对顶角

对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的

四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。

【即学即练1】

1.如图，N1和22是对顶角的是（)

【答案】C

【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的

反向延长线，那么这两个角是对顶角.一般地，两条直线相交能形成两对对顶角.

【详解】解：A、N1和N2的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；

B、N1和N2没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；

C、N1和/2是对顶角，符合题意；

D、N1和N2的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；

故选C.

【即学即练2】

2.如图所示，如图所示，直线A3,C。相交，所形成的Nl,Z2,Z3,N4中，N2的对顶角是（）

C.Z4D.N1和N3

【答案】C

【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，解答即可.

【详解】解：N2的对顶角是N4.

故选：C.

【点睛】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键.

知识点02：垂直

1.垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线。

与直线6互相垂直，记作或者交点。就是垂足.其中。是6的垂线，》也是。的垂线.垂线是

直线，且相对于另一条直线而言.

a

b

0

a

图1

2.垂直定义的应用：

（1）判定：若直线和。相交，交点为。，ZB0C=9Q°,则

ABLCD.这个推理过程可表示为：

,/ZBOC=90°,

ABVCD.（垂直的判定）.

（2）性质：若两条直线AB,CD,垂足为点O,则

ZAOC=ZAOD=NBOC=ZBOD=90°,

这个推理过程可表示为：

•?AB1CD

：.N8OC=90。（垂直的定义）.

3.如图，在同一平面内，OALl,OBLI,垂足为0,则。4与08

重合的理由是（）

、、B

<<A

01

A.两点确定一条直线

B.垂线段最短

C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.垂直于同一直线的两条直线平行

【答案】C

【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案.

【详解】解：OALl,OBU,垂足为0,

与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），

故选：D.

【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键.

【即学即练4】

4.如图，Q4LOB于点0,直线。经过点0,4。9=33。33',则的度数是（）

A.123067,B.123033,C.146067,D.146°33'

【答案】B

【分析】由得出NAOB=90。，再根据/40。=33。33',由余角的定义可得出/30D,再根据补

角的定义可得出ZBOC的度数即可.

【详解】解：；,

ZAOB=90°,

---ZAOD=33°33',

：.Z.BOD=90°-33。33'=56。27',

Z.Z.BOC=180-56°27,=123°33',

故选：B.

【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用90。和180。的数据进行计算.

知识点03邻补角

邻补角是指两个角有一条公共边，并且它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补

角。具体来说，邻补角具有以下特征：

公共边和公共顶点：邻补角有一个公共的顶点和一条公共边12o

反向延长线：两个角的另一条边互为反向延长线心

角度和为180度：邻补角的度数之和为180度，即它们是互补的心

成对出现：邻补角是成对出现的，一个角是另一个角的邻补角2。

平角：互为邻补角的两个角相拼成一个平角，即180度2。

定义和性质

邻补角的定义是：两个角有一条公共边和共同的顶点，且它们的另一条边互为反向延长线，这

样的两个角互为邻补角。例如，在一条直线上，相邻的两个直角（90度）就是邻补角口

实际应用

邻补角在几何学中有重要的应用。例如，在解决一些几何问题时，可以利用邻补角的性质来简

化计算。止匕外，邻补角在平面几何中也有广泛的应用，特别是在直角三角形中，一个锐角的邻

补角必然是钝角

题型精讲

题型01相交线

【典例1】下列图形满足“直线4与直线相交，点M既在直线4,又在直线4上”的是（）

【答案】c

【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交

线.根据直线4与直线4相交，点M既在直线4,又在直线4上进行判断，即可得出结论.

【详解】解：A.直线4与直线4相交，点M在直线4,不在直线4上，故本选项不符合题意；

B.直线4与直线4相交，点〃不在直线4，在直线上，故本选项不符合题意；

c.直线4与直线4相交，点M既在直线4,又在直线4上，故本选项符合题意；

D.直线4与直线力相交，点M既不在直线4,也不在直线上，故本选不项符合题意；

故选：C.

【变式1】平面上的三条直线最多可将平面分成（）部分

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键.

【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分，

①②

③

®\r®

故选C.

【变式2】直线AB,BC,C4的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点。；

③直线AC,BC交于点C；④点C在直线4B外；⑤直线AB,BC,G4两两相交.以上表述正确的有.（只

填写序号）

【答案】②③④⑤

【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识

图是解题的关键.

【详解】解：由图可知，点A在直线3C外，故①错误；

由图可知，直线BC经过点。，故②正确；

由图可知，直线AC,交于点C,故③正确；

由图可知，点C在直线4B外，故④正确；

由图可知，直线AB,BC,C4两两相交，故⑤正确；

以上表述正确的有②③④⑤，

故答案为：②③④⑤.

【变式3】一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直

线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有一个交点.

【答案】28

【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5

条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，w条直线两两相交，则有处二9个交点，代

2

入即可求解.

【详解】解：•••由已知总结出在同一平面内，〃条直线两两相交，则最多有"4"一、个交点,

2

•♦.8条直线两两相交，交点的个数最多为8x（8f=28.

2

故答案为：28.

【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、

归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法.

【变式4】平面内"条直线最多将平面分成多少个部分?

n2+n+2

【答案】

2

【分析】根据题意画出图形，然后可寻找规律，进而问题可求解.

【详解】解：首先画图如下，列表如下：

当〃=1时，平面被分成2个部分；

当〃=2时，增加2个，最多将平面分成2+2=4（个）部分；

当〃=3时，增加3个，最多将平面分成2+2+3=7（个）部分；

当〃=4时，增加4个，最多将平面分成2+2+3+4=11（个）部分；…；

所以当有“条直线时，最多将平面分成2+2+3+4+...+〃=1+1+2+3+4+...+”=1+"（"+1）="+”+2（个）

22

部分.

【点睛】本题主要考查图形规律及几何初步，解题的关键是得到直线把平面分成几个部分的一般规律.

题型02垂线的定义理解

【典例1】如图，直线以b相交于点。，射线垂足为点。，若Nl=40。，则N2的度数为（）

A.50°B.120°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出N3的度数是解题的关键.根据垂直的定义可求

N3的度数，然后根据邻补角的定义求解即可.

【详解】解：如图，

''cLa,Zl=40°,

/.Z3=9O°-Z1=5O°,

/.Z2=180°-Z3=130°.

故选：C.

【变式1】如图，已知ONJL。，OMYa,所以。M与ON在同一条直线上的理由是（）

oa

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键.利用同一平面

内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可.

【详解】解：因为ON，。，OMLa,

所以直线ON与重合，

其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：B.

【变式2】如图，直线A3、相交于点。，于点。，ZDOB=43°,ZCOE=度.

D

E

【答案】47

【分析】本题考查垂直的定义，角的和差.根据垂直的定义得到/友花=90。，再根据角的和差即可求解.

【详解】解：

/BOE=90°,

---NDOB=43。,

：.ZCOE=180°-ZDOB-ZBOE=180°-43°-90°=47°.

故答案为：47

【变式3】如图，直线AB,CD相交于点。，于点。，NDOB=43°,NCOE=度.

【答案】47

【分析】此题主要考查了垂线的性质.根据垂直定义可得NBOE的度数，然后再根据

ZCOE=180°-NDOB-ZBOE可得.

【详解】解：OE1AB,

:./BOE=90。,

NDOB=43°,

"COE=18。。一NDOB-ZBOE=180°-43°-90°=47°.

故答案为：47.

【变式4】如图，交直线于点O,射线OnOE在N3OC内，OE平分/30D,其中NCOD=34。.

⑴求/30D的度数;

⑵求/AOE的度数.

【答案】⑴56°

(2)152°

【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键:

(1)垂直得到ZBOC=90°,利用ZBOC-ZCOD即可得出结果；

(2)角平分线的定义求出/BOE的度数，平角的定义求出/AOE的度数.

【详解】(1)W：,：OC±AB,

：.NBOC=90。,

,/ZCOD=34°,

：.ZBOD=ZBOC-ZCOD=56°；

(2)ABOD=56°,OE平分/BOD,

：./BOE=-ZBOD=28°,

2

ZAOE=180°-ZBOE=152°.

题型03画垂线

【典例1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是()

A.1B.2C.无数D.不存在

【答案】A

【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键.即在平面内,

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【详解】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1,

故选：A.

【变式1】下列各图中，过直线/外的点P画/的垂线8.三角尺操作正确的是()

C

【答案】D

【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与/重合，另一条直角边过点尸后沿直角边画直

线即可.

【详解】解：用直角三角板的一条直角边与/重合，另一条直角边过点尸后沿直角边画直线，

，D选项的画法正确，

故选：D.

【变式2】如图，一束光线以入射角为50。的角度射向斜放在地面A8上的平面镜CD经平面镜反射后与

水平面成30。的角，则与地面A3所成的角/CD4的度数是.

【详解】解：过点E作于E.

根据题意得：Zl=Z2=50°,NEND=30°,

：./DEN=40°,

：.ZCDA^ZDEN+ZEND=3Qo+4Q°=10°.

故答案为70°.

【点睛】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理.属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数

形结合思想的应用.

【变式3】如图，过直线/外一点A,作直线/的垂线，可以作条.

■

A

【答案】1

【详解】试题解析：过直线/外一点4作直线/的垂线，可以作1条.

故答案为1.

点睛：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【变式4】如图，平面上有四个点A、B、C、D,按照要求作图:

%

⑴画出线段A3.

⑵画出直线CD.

(3)在直线CD上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析，垂线段最短

【分析】本题考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质.

(1)以A、B为端点,画线段即可；

(2)过C、。画直线即可；

(3)过点2作直线CD的垂线段BE即可.

【详解】(1)解：如图，线段即为所求，

(2)解：如图，直线CD即为所求;

(3)解：如图，点E即为所求，

理由是垂线段最短.

题型04垂线段最短

【典例1】如图，点P是直线。外的一点，点A、B、C在直线。上，且垂足为点BPA1PC,

则下列正确的语句是()

A.线段尸C的长是点尸到直线。的距离B.PA,PB、尸C三条线段中，尸8最短

C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段AC的长是点C到直线上4的距离

【答案】B

【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质.解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一

点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短.

根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的

长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答.

【详解】A.线段PC的长是点C到9的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；

B.PA,PB、尸。三条线段中，依据垂线段最短可知依最短，原说法正确，故此选项符合题意；

C.线段R4的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；

D.线段尸C的长是点C到直线承的距离，原说法错误，故此选项不符合题意.

故选:B.

【变式1】小峰同学家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公

路边，这一选择用到的数学知识是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短D.过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

【答案】B

【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短.根据垂线段的性质解答即

可.

【详解】解：小峰同学的家在点尸处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段尸C

去公路边，是因为垂线段最短；

故选：B.

【变式2】如图，在VA3C中，过点C作CDLAB于点D,M是边A3上的一个动点，连接CM.若8=6,

则线段CM的长的最小值是.

R

【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论.

【详解】解：；且CD=6,

根据“垂线段最短”可知，当点M与点。重合时，CM最短,

所以，CM的最小值为8的长，

所以，CM的最小值为6,

故答案为：6.

【变式3】如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出CP垂直AB,

垂足为P,然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是：.

C

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案.

【详解】解：解：己知在河岸A3上某处尸点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线

的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，

故答案为：垂线段最短

【变式4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1,A、8、C都在格点上.

(1)利用网格作图：过点C画直线A3的垂线CE,垂足为点E；

(2)线段CE的长度是点到直线的距离；

(3)比较大小：CECB(填＞、＜或=),理由：

【答案】(1)见解析

⑵CAB

(3)＜垂线段最短

【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离:

(1)取格点K，作直线CK,交直线AB于点E；

(2)根据点到直线的距离的定义即可解答；

(3)根据垂线段最短即可解答.

【详解】(1)

(2)线段CE的长度是点C到直线的距离.

故答案为：CAB

(3)CE<CB,理由：垂线段最短.

故答案为：<垂线段最短

题型05点到直线的距离

【典例1】若尸为直线/外一定点，A为直线/上一点，且办=1，1为点尸到直线/的距离，则d的取值范

围为()

A.0<rf<lB.0<rf<lC.0<dWlD.0<rf<l

【答案】C

【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案.

【详解】解：由垂线段最短可知：0<dWl,

当4=1时，

此时PA_L/,

故选：C.

【变式1】如图，量得直线/外一点尸到/的距离PB的长为5cm,点A是直线/上的一点，那么线段%的

长不可能是()

——f----------/

A.4cmB.5cmC.5.5cmD.8cm

【答案】A

【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念，熟练掌握点到直线的距离的概念是

解题的关键.

从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论.

【详解】解：直线/外一点尸到/的距离PB的长为5cm,点A是直线/上的一点，

，线段出的长最短等于5cm,

故不可能是4cm.

故选：A.

【变式2】如图，在三角形ABC中，NACB=90。，CD，AB,垂足为Z).若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

则点A到直线BC的距离为cm,点B到直线AC的距离为cm,点C到直线AB的距离为cm.

【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积

法求出C。，再根据点到直线的距离的定义即可得解.

【详解】解：SABC=^ABCD=^ACBC,

.-,-x5-CZ)=-x4x3,

22

/.CD=2.4cm,

・・・点A到直线5c的距离为AC=4cm,点3到直线AC的距离为3c=3cm,点。到直线A5的距离为

CD=2.4cm,

故答案为：4,3,2.4.

【变式3】如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且于点2,ZAPC=90°,若B4=4,

【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由

点到直线的距离的定义即可得解.

【详解】解：由题意可知，出的长即为点A到直线PC的距离.

因为E4=4,

所以点A到直线PC的距离是4,

故答案为：4.

【变式4】如图，点P是-403的边。4上的一点，请过点P画出0A,03的垂线，分别交02于点M,N,

哪条线段的长度表示点P到直线03的距离？

【答案】作图见详解，线段PN表示点P到直线08的距离

【分析】本题考查了点到直线的距离，先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可.能

熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键.

【详解】解：如图,

线段PN的长度表示点P到直线OB的距离.

题型06对顶角的定义

【答案】c

【分析】本题考查了对顶角.两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可.

【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；

D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

故选：C.

【变式1】下列说法正确的是（）

A.如果N1=N2,则N1和N2是对顶角

B.如果N1和N2有公共的顶点，则N1和/2是对顶角

C.对顶角都是锐角

D.锐角的对顶角也是锐角

【答案】D

【分析】此题考查了对顶角的定义，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.

根据对顶角的定义进行分析即可.

【详解】解：A.如果N1=N2,则N1和N2不一定是对顶角，故本选项错误；

B.如果/I和N2有公共的顶点，则N1和N2不一定是对顶角，故本选项错误；

C.对顶角不一定都是锐角，故本选项错误；

D.锐角的对顶角也是锐角，故本选项正确.

故选：D.

【变式2】若一个角的对顶角是它的补角的g,则这个角的度数为.

【答案】45。/45度

【分析】本题主要考查对顶角和补角，一元一次方程的几何应用，设这个角的度数是为根据一个角的对顶

角是它的补角的;，列出方程求解即可.

【详解】解：设这个角的度数是了,

，角的对顶角也为X,

根据题意得：尤=；（180。-可，

解得：x=45°,

故答案为：45°.

【变式3】若〃条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角.

【答案】

【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键.根据对顶角的概念即可求解.

【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，6对对顶角；

四条直线两两相交，最多有6个交点，12对对顶角;

几条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角；

故答案为：«(«-1)■

【变式4】如图，直线和C。相交于点。，OELCD-,垂足为O,平分NAOE,ZCOF=34°.解

(D/COF的邻补角是二/BOD的对顶角是「

⑵求上4OC的度数.

【答案】(1)/00尸；NAOC

(2)ZAOC=22°

【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义.

(1)根据邻补角和对顶角的定义即可得出结果；

(2)根据NCO尸=34。，OE1CD,可以得出NEO尸，再由。/平分/AQE,得出/AOF=/EOF,进而

求出NZOC.

【详解】(1)解：.NCQF+NZX用=180。，

:.ZCOF的邻补角是，

「直线A3和CD相交于点。，

/30£)的对顶角是，AOC.

故答案为：/DOF^AOC.

(2)解：ZCOF=34°,ZCOE=90°,

ZEOF=ZCOE-ZCOF=90°-34°=56°,

平分NAOE,

ZAOF=ZEOF=56°,

ZAOC=ZAOF-ZCOF=56°-34°=22°.

题型07对顶角相等

【典例1】如图，直线A3、。相交于点O,平分NEOC,NBOD=37°,则NOOE的度数为()

ED

AVB

C

A.106°B.74°C.96°D.84°

【答案】A

【分析】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质.解决本题的关键是熟记对顶角相等.根据对顶角相

等可得N4OC=48=37。，由于。4平分/COE,可得NAOE的度数，再由平角的定义可求出/EOD的

度数.

【详解】解：：ZAOC=ZBOD,ZBOD=37°,

ZAOC=ZBOD=3T,

Q4平分/COE,

ZAOE=ZAOC=3T,

：.ZEOD=180°-(ZAOE+ABOD)=180°-(37°+37°)=106°.

故选:A.

【变式1】如图，直线AB、CD相交于点。，/COE为直角，ZAOE=60°,则ZBO£>=()

C.120°D.140°

【答案】B

【分析】本题主要考查了对顶角相等，根据对顶角相等和己知条件求出N38=NAOC=150。，即可得到答

案.

【详解】解：为直角，NAOE=60。,

NBOD=ZAOC=ZCOE+ZAOE=150°,

故选：B.

【变式2】如图，直线。和直线b相交于点O,/1=50。，则N2=

a

12

O

【答案】50。/50度

【分析】此题考查了对顶角的性质.根据对顶角相等进行解答即可.

【详解】解：：/1=50。，N1与N2是对顶角，

N2=21=50。，

故答案为：50°

【变式3】如图，直线A3、CD相交于点O,OE平分NBOD,ZAOC=74°,ZDOF=90°,NBOE=

【分析】由邻补角定义即可得出结果；由对顶角相等得出N38=NAOC=74。，由角平分线定义即可得出

结果；求出N3Ob=NOOF-N5OD=16。，即可得出ZEO9的度数.本题考查了对顶角相等的性质以及角

平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键.

【详解】解：ZBOD=ZAOC=74°,OE平分ZBOD,

ZBOE=-NBOD=37°；

2

,?ZDOF=90°

ZBOF=ZDOF-ZBOD=90°-74°=16°,

ZEOF=ZBOE+ZBOF=37°+16°=53°.

故答案为：37,53

【变式4】如图，已知直线A3、8相交于点。，NCOE=90。.

(1)若/AOC=40。，求/30E的度数.

(2)若NBOC=2NBOD,O尸平分4OC,求NDO尸的度数.

【答案】⑴50°

(2)150°

【分析】本题主要考查互补、互余的定义，角平分线的定义，对顶角相等，理解图示，掌握角平分线的定

义，几何中角度的和差计算即可求解.

（1）根据对顶角相等可得/30D=NA0C=40。，根据互余的计算即可求解；

（2）根据补角的性质可得/BOD=60。，由对顶角相等可得NAOC=N3OD=60。，根据角平分线的定义可

得ZCOF=1ZAOC=30°,再根据互补的定义即可求解.

2

【详解】（1）解：：/COE=90。，ZAOC=40。，

ZDOE=NCOE=90°,ZBOD=ZAOC=40°,

ZBOE=ZDOE-Z.DOB=90°-40°=50°.

⑵解：ZBOC=2NBOD,ZBOD+ZBOC=180°,

ZBOD=60。,

：.ZAOC=ZBOD=60°,

；OF平分ZAOC,

：.ZCOF=-ZAOC=30°,

2

：.NDOF=180°-ZCOF=180°-30°=150°.

题型08邻补角的定义理解

【典例1】下列四个图中，4=N2一定成立的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键，根

据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可.

【详解】解：A、图形中的/I与/2互补，不能判断是否相等，故本选项不符合题意；

B、图形中的N1与N2不能判断是否相等，故本选项不符合题意；

C、图形中的N1与22是对顶角，能判断相等，故本选项符合题意；

D、图形中的N1与N2不能判断是否相等，故本选项不符合题意；

故选：c.

【变式1】如图，直线AB,CD相交于点O,于点。，。尸平分/A0E若/1=20。,则下列结论中

不正确的是（）

B.Z3=20°

C.N1与NAOD互为邻补角

D.N3O歹与NEOP互为邻补角

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，先由垂线的定义得

到/4OE=90。，则由角平分线的定义可得/2=1/AOE=45。，即可判断A；根据对顶角相等即可判断B；

有公共顶点和一条公共边，且两个角的另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角，据此可判断C、

D.

【详解】解：

ZAOE=ZBOE=90°,

•：0/平分/AOE,

AZ2=1ZAOE=45°,故A结论正确，不符合题意；

4=20。，

/3=/1=20。，故B结论正确，不符合题意；

由图可知，/I与/AOD互为邻补角，ZBO尸与NEOb不互为邻补角，故C中结论正确，不符合题意，D

中结论错误，符合题意；

故选：D.

【变式2】如图，直线A3、CD相交于点。、OD平分NH9尸、OELCD于点。，则/£。3:/40b=.

【答案】1:2

【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得NBOD=gNBOF,

由补角的定义得ZAOF=180°-ZBOF,能表示出比例式中的两个角是解题的关键.

【详解】解：OD平分N3O尸，

ZBOD=-ZBOF,

2

OE工CD,

ZEOB=900-ZBOD

=90°--ZBOF,

2

ZAOF=180°-ZBOF,

ZEOB.ZAOF

=^90°-1:(180°-ZBOF)

=1:2；

故答案：1:2.

【变式3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的

两个角，互为•

【答案】邻补角

【分析】本题考查邻补角，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互

为邻补角，由此即可得到答案.

【详解】解：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系

的两个角，互为邻补角.

故答案为：邻补角.

【变式4】如图，射线Q4的方向是北偏东15。，射线02的方向是北偏西40。，ZAOB=ZAOC,射线。。是

的反向延长线.

(1)射线OC的方向是；

⑵求NCOD的度数；

(3)若射线平分ZCOD,求NAOE的度数.

【答案】⑴北偏东70。

(2)70°

(3)NAQE=90。

【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)先求出NAOB=55。，再求得NNOC的度数，即可确定OC的方向；

(2)根据NAO5=55。，ZAOC=ZAOB,得出N5OC=110°,进而求出NCOD的度数；

(3)根据射线OE平分NCOD,即可求出NCO£=35。再利用/4。。=55。求出答案即可.

:.ZNOB=40°,ZNOA=15°,

\ZAOB=ZNOB+ZNOA=55°,

ZAOB=ZAOC,

/.ZAOC=55°,

/.ZNOC=ZNOA+ZAOC=70°,

.•.OC的方向是北偏东70。；

故答案为：北偏东70。；

(2)解：如图，

,\ZBOC=1W°.

又二射线OD是05的反向延长线,

/.ZBOD=180°.

ZCOD=180°-110°=70°.

(3)解：如图，

西------'fNCOD=70°,OE平分Z.COD,

K(

南

ZCOE=35°.

ZAOC=55°.

/.ZAOE=350+55°=90°.

题型09找邻补角

【典例1】如图，直线A3、MN相交于一点。，OCLAB,则NCOM的邻补角是()

N

A.ZAONB.ZAOCC.ZNOCD.ZMOB

【答案】c

【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角

【详解】解：/COM与NM9C相邻且互补，所以互为邻补角.

故选：C

【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.

【变式1】如图，两条直线A8与CD相交于点。，OE是射线,则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为

()

O

D

A

A.6对，2对B.4对，2对C.8对，4对D.4对，4对

【答案】A

【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.

【详解】解：•.•两条直线A3与CD相交于点。，OE是射线，

对顶角有：ZAOC与NBOD,ZCOB^ZAOD,共2对，

邻补角有：NAOC与NCO3,/AOE与NEOB,/COE与/EOD,NCOB与/BOD,ZAOD与NBOD,

/AOD与，AOC,共6对

故选:A

【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键.

【变式2】如图，点。是直线4B上一点，自点。引射线OC、OD、OE、OF,图中共有一对邻补角.

【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接

解答.

【详解】解：根据图形可知，

ZAOC+ZBOC=1SQ°,ZAOD+ZBOD=180°,ZAOE+ZBOE=180°,ZAOF+ZBOF=180°,

故答案为4.

【变式3】如图，直线AB,CD,EF相交于点0,则ZAOD的对顶角是,ZAOC的邻补角是；

若4OC=50°,贝,NCOB=.

【答案】ZBOC/ZCOBZAOD或—BOC50。/50度130°/130度

【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角

的定义和性质是解题的关键.

【详解】解：由题意得，NAOD的对顶角是一3OC,—AOC的邻补角是NAOD或23OC；

,/ZAOC=50°,

：.ZBOD=ZAOC=50°,/COB=180°-ZAOC=130°；

故答案为：NBOC；/AOD或—BOC；50°:130°.

【变式4】如图，直线A3、CO交于点。，已知。'_LCD,NCOE=2ZAOC

EF

(1)分别写出/COE的邻补角、余角；

⑵若NBOF=60。，试说明OE.

［答案】(1)/COE的邻补角是NDOE,ZCOE的余角是ZEOF

(2)见解析

【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，余角和邻补角的定义：

(1)根据邻补角的定义和余角的定义求解即可；

(2)由垂线的定义得到NOO尸=90。，则/AOC=/3OD=30。，进而得到NCOE=2NAOC=60。，据此推

出NAOE=90。，即OELAB.

【详解】(1)解：由题意得，/COE的邻补角是NOOE；

---OFLCD,

NCOE+/EOF=90°,

：./COE的余角是/EOb；

(2)证明：'：OFVCD,

：.NOO尸=90°,

ZfiOF=60°,

/.ZAOC=ZBOD=30°,

：.ZCOE=2ZAOC=60°

ZCOE+ZAOC=90°,

：.ZAOE=90°,即OELAB.

题型10利用邻补角互补求角度

【典例1］如图，已知。是直线上一点，Zl=40°,OD平分NBOC,则N2的度数是()

【答案】C

【分析】本题主要考查了邻补角的计算及角平分线的应用，熟练掌握邻补角及角平分线的相关知识点是解

决本题的关键.

根据角的和差由N1先求出ZBOC=140°,再根据角平分线的定义求出Z2的度数即可.

【详解】解：：/1=40。，

NBOC=180°-Zl=140°,

OD平分/BOC,

Z2=-ZBOC=70°,

2

故选：C.

【变式1】如图，直线AB,C。相交于点O,OELAS于。，"08=43。，/C0E的度数是（）

A.43°B.137°C.57°D.47°

【答案】D

【分析】本题考查了对顶角相等，垂直的意义，熟练掌握知识点是解题的关键.根据垂直得到NAQE=90。,

根据对顶角相等得到ZAOC=ZDOB=43。，再利用角度和差计算即可.

【详解】解：

ZAOE=90°,

"："03=43°,

/.ZAOC=ZDOB=43°,

ZCOE=ZAOE-ZAOC=47°,

故选：D.

【变式2】如图，直线A3、CO相交于点。，若NAOD=2NAOC+30。，则直线A3与CO的夹角/BQD的

度数为—.

【答案】50。/50度

【分析】本题考查对顶角，平角的知识，解题的关键是根据题意，则/4OC+NAOD=180。，根据

ZAOD=2ZAOC+30°,求出/AOC,再根据对顶角相等，即可.

【详解】解：VZAOC+ZAOD=180°,ZAOD=2ZAOC+30°,

：.ZAOC+2ZA0C+30°=180°,

ZAOC=50°,

,：ZBOD=ZAOC,

：.ZfiOD=50°.

故答案为：50°.

【变式3】如图，直线A3与直线CD相交于点。，OELAB于点。，且/BOD:NEOD=1:2,则/EOC的

【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角，数形结合是解题的关键.根据垂直的定义可得：ZBOE=90°,

由N3OD:/EOD=1:2,求出/OOE=60。，最后利用平角的定义求解即可.

【详解】解：

ZBOE=90°,

ZBOD:ZEOD=1:2,

ZDOE=-ZBOE=60°,

3

ZEOC=180°-ZDOE=180°-60°=120°,

故答案为：120。.

【变式4】如图，直线A3,CD相交于点。AB.

M

(1)若Nl=/2,则N2的余角有.

⑵若Zl=-NBOC,求ZBOD和ZAOD的度数.

4

【答案】(1)—AOC,ZBOD

(2)NAQD=120。，ZBOD=60°.

【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一

要点.

（1）由垂线的性质求得/AQ0=/3OM=9O。，然后根据等量代换及余角的定义解答；

（2）根据垂直的定义求得NAOM=/BQM=90。，再由N1=9N8OC求得NBOC=120°,然后根据邻补角

4

定义和对顶角的性质即可求解.

【详解】（1）解：OM1AB,Z1=Z2,

.-.Zl+ZAOC=N2+ZAOC=90°,即ZCON=90°,

•:NAOC=/BOD,

.•.N2的余角有：ZXOC,/BOD；

故答案为：ZAOC,NBOD；

（2）解：OM1AB,

ZAOM=ZBOM=90°,

Zl=-NBOC,NBOC=ZBOM+Z1,

4

Zl=-ZBOM=30°,

3

ZBOC=ZAOD=120°,

：.Z.BOD=180°-ZBOC=60°.

强化训练

1.如图，直线力B、CD相交于点O,EO1AB,垂足为O,?AOD125?.则/EOC的度数为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得NAOC,根据

余角的定义即可求得NEOC的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键.

【详解】解：7，40。=125°,

ZAOC=180°-125°=55°,

,EO1AB,

:.^EOC=90°-55°=35°,

故选：C.

2.如图，直线ABLCD于点O,直线跖经过点O,若Zl=37。，则N2的度数是（）

D

A.37°B.53°C.43°D.63°

【答案】B

【分析】本题考查了相交线.熟练掌握垂线的定义，是解题的关键.

先得出20090。，再结合N1+N2+NAOC=180。，4=37。,进行角的运算，即可作答.

【详解】VAB1CD,

：.ZAOC=90°,

'：Zl+Z2+ZA（9C=180°,

Zl+Z2=90°,

,/Zl=37°,

Z2=53°.

故选：B.

3.a,b,。为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（）个

A.1,2或3B.0,1,2或3C.1或2D.以上都不对

【答案】B

【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键.

分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条

直线两两相交不交于同一点解答即可.

【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点；

②三条直线交于一点，有一个交点；

③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；

④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点.

综上，它们的交点可能有0,1,2或3个.

故选：B.

4.如图所示，直线AB、CD相交于点。，射线OD平分/比出，射线平分/30D,则/AQW

等于（）

A.135°B.157.5°C.155°D.145.5°

【答案】B

【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由得NEOB=90。,再根据

角平分线的定义求出=22.5。