中考数学复习：二次函数综合问题（共40题）

专题13二次函数综合问题（共40题）

一.解答题（共40小题）

1.（2022•孝感）抛物线y=1-4x与直线y=x交于原点。和点8,与x轴交于另一点A,顶点为D

（1）直接写出点2和点。的坐标；

（2）如图1,连接O。，P为x轴上的动点，当tan/PDO=」时，求点P的坐标；

2

（3）如图2,M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0<m<

S,

5），连接M。，BQ,M0与直线。3交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为Si和S2,求一工的最大

So

图1

图2

2.（2022•武汉）抛物线y=/-2x-3交x轴于A,B两点（A在8的左边），C是第一象限抛物线上一点,

直线AC交y轴于点P.

（1）直接写出A,8两点的坐标；

（2）如图（1）,当OP=OA时，在抛物线上存在点。（异于点8）,使8,。两点到AC的距离相等，

求出所有满足条件的点D的横坐标；

（3）如图（2）,直线8尸交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点凡点C的横坐标为相.求器的值

（用含机的式子表示）.

3.(2022•娄底)如图，抛物线〉=1(：2-2%-6与犬轴相交于点4、点3,与y轴相交于点C.

2

(1)请直接写出点A,B,C的坐标；

(2)点尸Gn,〃)(0<m<6)在抛物线上，当相取何值时，△P3C的面积最大？并求出△PBC面积的

最大值.

(3)点尸是抛物线上的动点，作尸E〃AC交无轴于点E,是否存在点凡使得以A、C、E、尸为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

4.(2022•广元)在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴交于点4,与y轴交于点B,抛物线y=

ax2+bx+c(a>0)经过A,8两点，并与无轴的正半轴交于点C.

(1)求a,b满足的关系式及c的值；

(2)当。=工时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求AAB尸周长的最小值；

4

(3)当a=l时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点。作于点D,当QD的值

最大时，求此时点。的坐标及的最大值.

5.（2022•宿迁）如图，二次函数〉=工/+公+。与无轴交于。（0,0）,A（4,0）两点，顶点为C,连接

2

OC、AC,若点B是线段OA上一动点，连接BC,将AABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线

段A'C与x轴交于点。，且点。与。、A点不重合.

（1）求二次函数的表达式；

（2）①求证：SABD-,

△OC£>/\'

②求理的最小值；

BA

6.（2022•湘潭）已知抛物线y=/+bx+c.

（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3,0）,与y轴交点8（0,-3）,连接4B.

（I）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（II）若点尸是抛物线上一动点（与点A不重合）,过点尸作尸打，无轴于点式与线段AB交于点M,

是否存在点尸使得点M是线段9的三等分点？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）如图②，直线y^lx+n与y轴交于点C,同时与抛物线y=/+bx+c交于点。（-3,0）,以线段

3

CD为边作菱形CDFE,使点F落在无轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围.

7.（2022•邵阳）如图，已知直线y=2x+2与抛物线＞=—+6尤+c相交于A,B两点，点A在x轴上，点8

在y轴上，点C（3,0）在抛物线上.

备用图（-）备用图（二〉

（1）求该抛物线的表达式.

（2）正方形OPDE的顶点。为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上,顶点E在y轴正半轴上，若^

AOB与△OPC全等，求点P的坐标.

（3）在条件（2）下，点。是线段C。上的动点（点。不与点。重合），将△PQ。沿PQ所在的直线翻

折得到△P。。，连接CO,求线段CO长度的最小值.

8.（2022•台州）如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口H离地

竖直高度为h（单位：相）.如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛

物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形QEFG,其水平宽度。E=3根，竖直高度为跖的长.下边

缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2加，高出喷水

口0.5m,灌溉车到/的距离。。为d（单位：.

（1）若/z=1.5,EF—0.5m.

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围.

（2）若EF=lm.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出/?的最小值.

图i图2

9.（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y=-/-4x+c与X轴交于点A,8（点A在点8的左侧），

与y轴交于点C,且点A的坐标为（-5,0）.

（1）求点C的坐标；

（2）如图1,若点尸是第二象限内抛物线上一动点，求点尸到直线AC距离的最大值；

（3）如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A,C,M,N

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

10.（2022•天津）已知抛物线yuad+bx+c（a,b,c是常数，a>0）的顶点为P,与x轴相交于点A（-1,

0）和点艮

（I）若b=-2,c=-3,

①求点尸的坐标；

②直线x=m（m是常数，与抛物线相交于点M,与BP相交于点G,当MG取得最大值时，

求点M,G的坐标；

（II）若36=2c,直线尤=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，尸是y轴的负半轴上的

动点，当尸F+FE+EN的最小值为5时，求点E,尸的坐标.

11.（2022•苏州）如图，二次函数y=-/+2"a+2相+1（根是常数，且相>0）的图象与x轴交于A,B两

点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与无轴交于点

F.连接AC,BD.

（1）求A,B,C三点的坐标（用数字或含相的式子表示），并求N02C的度数；

（2）若NACO=NCBD,求小的值；

(3)若在第四象限内二次函数y=-/+27nx+25+1(机是常数，且机>0)的图象上，始终存在一点P,

使得/ACP=75°,请结合函数的图象，直接写出，"的取值范围.

备用图

12.(2022•嘉兴)已知抛物线Li：y=a(x+1)2-4QW0)经过点A(1,0).

(1)求抛物线L1的函数表达式.

(2)将抛物线以向上平移机(m>0)个单位得到抛物线若抛物线乙2的顶点关于坐标原点。的对称

点在抛物线匕上，求机的值.

(3)把抛物线£1向右平移n(«>0)个单位得到抛物线乙3,若点B(1,yi),C(3,”)在抛物线£3

上，且yi>y2,求w的取值范围.

13.(2022•乐山)如图1,已知二次函数y=a/+6x+c(a>0)的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(2,

0),与y轴交于点C,且tan/。4c=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作C£)〃x轴交二次函数图象于点。，尸是二次函数图象上异于点。的一个动点，连

结PB、PC,若SAPBC=SABCD,求点P的坐标；

(3)如图3,若点尸是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交8C于点Q.设点尸的横坐

标为f,试用含f的代数式表示电的值，并求里的最大值.

14.(2022•衡阳)如图，已知抛物线y=/-x-2交无轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿

x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.

(1)写出图象卬位于线段上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y=-尤+6与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)P为x轴正半轴上一动点，过点尸作PM〃y轴交直线BC于点交图象W于点N,是否存在这

样的点P,使△CMN与AOBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

15.(2022•宁波)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其

平均单株产量y千克与每平方米种植的株数X(2WxW8,且X为整数)构成一种函数关系.每平方米种

植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减

少0.5千克.

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

16.(2022•杭州)设二次函数yi=2?+Zzr+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.

(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数yi的表达式及其图象的对称轴.

(2)若函数yi的表达式可以写成yi=2(x-A)2-2(〃是常数)的形式，求6+c的最小值.

(3)设一次函数”=x-%(m是常数)，若函数yi的表达式还可以写成yi=2(x-m)(x-m-2)的

形式，当函数y=yi-,2的图象经过点(xo,0)时，求xo-机的值.

17.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘A8在x轴上，且AB=

8dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8加.现计划将此余料进行切割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘A8上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3力w的圆，请说明理由.

18.(2022•湖州)如图1,已知在平面直角坐标系尤Oy中，四边形0ABe是边长为3的正方形，其中顶点

A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=-7+6x+c经过A,C两点，与x轴交于另一个

点D.

(1)①求点A,B,C的坐标；

②求6,c的值.

(2)若点尸是边BC上的一个动点，连结AP,过点P作尸交y轴于点M(如图2所示).当

点尸在2c上运动时，点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含机的代数式表示"，并求出”的最

大值.

19.(2022•泰安)若二次函数y^a^+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(0,-4),其对称轴为直线尤

=1,与x轴的另一交点为C

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作跖V，无轴于点N.

①若点N在线段0C上，且MN=3NC,求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形(点尸在右侧)，当点P在抛物线上时，求点〃的坐标.

20.(2022•株洲)己知二次函数yuaf+ia+c(a＞0).

(1)若。=1,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(xi,0)、B

(X2,0),其中刘＜0＜也、㈤|＞应|,且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边防上，其对称轴与

x轴、8E分别交于点M、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan/A8E=3.

4

①求关于x的一元二次方程o?+6x+c=0的根的判别式的值;

②若NP=2BP,令丁二士害。，求T的最小值.

a25

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为

“当判别式△》()时，关于x的一元二次方程(a/0)的两个根尤1、尤2有如下关系：xi+x2=

上，X1X2=£”.此关系通常被称为“韦达定理”.

21.(2022•怀化)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=af+2x+c经过点A(-1,0)、8(3,0),

与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点尸作PELBC于点E,作

PF〃AB交BC于点、F.

(1)求抛物线和直线8c的函数表达式.

(2)当的周长为最大值时，求点尸的坐标和△PEF的周长.

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为

顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

图一备用图

22.(2022•江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛

物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准

点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标

准台的起跳台的高度为66口，基准点K到起跳台的水平距离为75m高度为〃相(/?为定值).设运

动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=o?+6x+cQWO).

(1)c的值为；

(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时b=&,求基准点K的高度场；

5010

②若。=-上时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；

50

(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76口，试判断他的落地点能否超过K点，并

说明理由.

23.(2022•武威)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线>=工(x+3)(尤-a)与x轴交于A,B(4,0)

4

两点，点C在y轴上，MOC=OB,D,E分别是线段AC,A8上的动点(点。，E不与点A,8,C重

合).

(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接。E并延长交抛物线于点P,当。轴，且AE=1时，求。尸的长；

(3)连接2D

①如图2,将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3,连接CE,当时，求BD+CE的最小值.

图1图2图3

24.(2022•云南)已知抛物线y=-x2-'Rx+c经过点(0,2),且与无轴交于A、B两点.设左是抛物线

y=-x2-\[3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-\[3x+c上的点，常数m>0,S为△ABM

的面积.已知使成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和.

(1)求c的值；

(2)直接写出T的值；

,4

（3）求f―——--的值.

k8+k6+2k4+4k2+16

25.（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息:

①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1）,发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的

函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=/+。，部分对应值如下表:

售价无（元/千克）・・・2.533.54・・・

・・・.・・

需求量y需求（吨）7.757.26.555.8

②该蔬莱供给量y供绐（吨）关于售价尤（元/千克）的函数表达式为y供绐=尤-1,函数图象见图1.

③1〜7月份该蔬莱售价无售价（元/千克）、成本无成本（元/千克）关于月份f的函教表达式分别为无售价1

2

t+2,x成本•产-旦/+3,函数图象见图2.

42

请解答下列问题:

C1）求a,c的值.

（2）根据图2,哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.

以及按此价格出售获得的总利润.

图1

26.（2022•达州）如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a/+bx+2的图象经过点A（-1,0）,

B（3,0）,与y轴交于点C.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）连接8C,在该二次函数图象上是否存在点P,使/PCB=/ABC?若存在，请求出点尸的坐标；若

不存在，请说明理由；

（3）如图2,直线/为该二次函数图象的对称轴，交无轴于点E.若点。为x轴上方二次函数图象上一

动点，过点。作直线AQ,8。分别交直线/于点N,在点。的运动过程中，EM+EN的值是否为定值?

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

备用图

27.(2022•舟山)已知抛物线％：y=a(x+1)2-4QW0)经过点A(1,0).

(1)求抛物线小的函数表达式.

(2)将抛物线心向上平移优(m>0)个单位得到抛物线L2.若抛物线乙2的顶点关于坐标原点。的对称

点在抛物线%上，求相的值.

(3)把抛物线匕向右平移〃(n>0)个单位得到抛物线乙3.已知点尸(8-f,s),Q(r-4,r)都在抛

物线L3上，若当f>6时，都有s>r,求w的取值范围.

28.(2022•连云港)已知二次函数y=/+(m-2)x+m-4,其中相>2.

(1)当该函数的图象经过原点。(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y=/+(〃2-2)x+m-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后

所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求AAOB面积的最大值.

29.(2022•安徽)如图1,隧道截面由抛物线的一部分和矩形ABC。构成，矩形的一边为12米，

另一边A2为2米.以BC所在的直线为x轴，线段8C的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,

规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)在隧道截面内(含边界)修建“E”型或“FI”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点尸1,尸4

在X轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长/为图中粗线段P1P2,P2P3,P3P4,MN长

度之和，请解决以下问题：

(i)修建一个“E”型栅栏，如图2,点尸2,P3在抛物线AED上.设点Pi的横坐标为m

6),求栅栏总长/与，"之间的函数表达式和/的最大值；

(ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“E”型和“日”型两种设计方案，请你从中选

择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P\的横坐标的取值范围(P1在尸4

30.(2022•凉山州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-/+6x+c经过点4(-1,0)和点8(0,

3),顶点为C,点。在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点。按顺时针方向旋转90。，点

C落在抛物线上的点尸处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M,使得

MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

31.(2022•滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3与x轴相交于点A、8(点A在点8

的左侧)，与y轴相交于点C,连接AC、BC.

(1)求线段AC的长；

(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当尸A=PC时，求点尸的坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标.

32.(2022•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-当2+bx+c与光轴交于点A(4,0),与y轴

4

交于点B(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线A8上方抛物线上一动点，过点P作无轴于点。，交A8于点求PM+2的

5

最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点P'与点P关于抛物线y=-1^+bx+c的对称轴对称.将抛物线y=-1

44

7+6无+c向右平移，使新抛物线的对称轴/经过点A.点C在新抛物线上，点。在/上，直接写出所有使

得以点A、P、C、。为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点。的坐标的过程

写出来.

33.(2022•丽水)如图，已知点M(xi,yi),N(%2,”)在二次函数y=a(%-2)2-1(a>0)的图象

上,日.xi-xi=3.

(1)若二次函数的图象经过点(3,1).

①求这个二次函数的表达式；

②若yi=y2,求顶点到MN的距离；

(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1,点N在对称轴的异侧，求a的取值范围.

34.(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=axL+x+c经过4(-2,0),B(0,4)

两点，直线x=3与无轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)经过点。的直线分别与线段直线x=3交于点Z),E,且△2D。与△OCE的面积相等，求直线

DE的解析式；

(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F,G,使B,F,

G,尸为顶点的四边形是以8尸为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

35.(2022•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=lx2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B

2

(4,0).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平

行线交无轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P

的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线

上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标,

并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

36.(2022•成都)如图，在平面直角坐标系尤Oy中，直线y=Ax-3(%W0)与抛物线y=--相交于A,B

两点(点A在点2的左侧)，点2关于y轴的对称点为夕.

(1)当人=2时，求A,8两点的坐标；

(2)连接。4,OB,AB',BB',若的面积与△。48的面积相等，求上的值；

(3)试探究直线A3是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

备用图

37.(2022•德阳)抛物线的解析式是y=-f+4x+a.直线y=-x+2与x轴交于点M,与y轴交于点E,点

/与直线上的点G(5,-3)关于x轴对称.

(1)如图①，求射线板的解析式；

(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是xi,X2(xi<x2),

求X1+X2的值；

(3)如图②，当抛物线经过点C(0,5)时，分别与X轴交于A,B两点，且点A在点8的左侧.在尤

轴上方的抛物线上有一动点尸，设射线AP与直线y=-x+2交于点N.求理的最大值.

AN

38.(2022•南充)抛物线>=[(：2+法+0与％轴分别交于点A,B(4,。)，与y轴交于点C(0,-4).

-3

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,口BCPQ顶点尸在抛物线上，如果口BCP。面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，

求点P的坐标.

(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON,连接BN并延长到点D,

使ND=NB.交无轴于点E,与/均为锐角，tanZDEB=2tanZZ)BE,求点M■的坐标.

39.(2022•自贡)已知二次函数y=a?+6x+c(aWO).

(1)若。=-1,且函数图象经过(0,3),(2,-5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线

与x轴交点及顶点坐标；

(2)在图①中画出(1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y23时自变量x的取值范围；

(3)若a+b+c=O且a>b>c,一元二次方程ax2+bx+c—O两根之差等于a-c,函数图象经过P(--c,

yi),2(l+3c,yi)两点,试比较yi、”的大小.

y八

5-5-

44

33

22

11

J——>

AL1

-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345”

-1-1-

-2

-3

-4

-5

图①备用图

40.（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+"+c与无轴交于4、8两点，与y轴交于点

C,其中点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,E为△ABC边上的一动点，尸为8C边上的一动点，£）点坐标为（0,-2）,求△QEF

周长的最小值；

（3）如图2,N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线

图1图2备用图

专题13二次函数综合问题(解析版)

一.解答题(共40小题)

1.(2022•孝感)抛物线y=/-4x与直线y=x交于原点。和点8,与x轴交于另一点A,顶点为D

(1)直接写出点2和点。的坐标；

(2)如图1,连接P为X轴上的动点，当12!1/尸。。=」时，求点尸的坐标；

2

(3)如图2,M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0<m<

Si

5)，连接M。，BQ,与直线交于点E.设△BE。和的面积分别为Si和S2,求的最大

图1

图2

【分析】(1)令y=7-4x=无，求出x的值即可得出点2的坐标，将函数y=/-4x化作顶点式可得出

点D的坐标；

(2)过点。作。E_Ly轴于点E,易得tan/O£)E="1,作NODG=NODE,则点尸为直线。G与x轴的

交点；过点。作OGLDP于点G,过点G作x轴的垂线，交OE所在直线于点尸，交尤轴于点H,易证

△ODE迫AODG,△GDFsAOGH,贝UDG=DE=2,OG=OE=4,DG-.OG=DF-.HG=GF：OH,设

DF=t,贝ijHG=23FG=4-2t,OH=8-4t,又OH=EF,贝！］8-4f=2+f,解得/的值可得出点G的坐

标，进而可得直线OG的解析式，令y=0即可得出点尸的坐标；

(3)分别过点M,。作y轴的平行线，交直线08于点N,K,则Si=2QK(期-XE),S?=LMN(XB

22

-XE),由点。的横坐标为加，可表达蔡，再利用二次函数的性质可得出结论.

【解析】(1)令y=/-4x=x,

解得x=0或x=5,

：.B(5,5)；

"."y—x1-4x—(x-2)2-4,

顶点。(2,-4).

(2)如图，过点。作DELy轴于点E,

：.DE=2,OE=4,

tanZODE——,

2

作/O〃G=NOOE,则点P为直线OG与x轴的交点；过点。作。GLOP于点G,过点6作工轴的垂线,

交DE所在直线于点尸，交x轴于点H,

:.△ODEQXODG(A4S),

：.DG=DE=2,OG=OE=4,

；NOHG=NF=90°,ZOGH+ZDGF=90°,ZOGH+ZGOH=90°,

:./DGF=4G0H,

:.△GDFs/\OGH,

：.DG：OG=DF：HG=GF：OH=1：2,

设£>B=r,则7/G=2f,FG=4-2t,0H=8-4t,

VZDEO=ZF=ZOHG=90°,

四边形。项田是矩形，

：.OH=EF,

.'.8-4t—2+t,解得r=旦，

5

：.GH=H,0H=2+f=W

55

，G(K,-必.

55

直线DG的解析式为y=1x-20,

33

令y=0,解得尤=5,

：.P(5,0).

(3);点2(5.5)与点M关于对称轴x=2对称，

：.M(-1,5).

如图，分别过点。作y轴的平行线，交直线。2于点N,K,

：.N(-1,-1),MN=6,

'''点。横坐标为m,

Q(m,m2-4m),K(m,m),

•\KQ=m-(m2-4m)=-m2+5m.

：S1=JLQK(XB-XE),S2=LMN(XB-XE),

22

-A(m2-5m)=-A(m-_)2+-25,,

s2MN66224

；-A<o,

6

c

当机=5时，_L的最大值为空.

2S224

y

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积

和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比.

2.（2022•武汉）抛物线y=7-2x-3交x轴于A,8两点（A在8的左边），C是第一象限抛物线上一点,

直线AC交y轴于点P.

（1）直接写出A,B两点的坐标；

（2）如图（1）,当时，在抛物线上存在点。（异于点2）,使8,。两点到AC的距离相等，

求出所有满足条件的点D的横坐标；

（3）如图（2）,直线2尸交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点R点C的横坐标为相.求器的值

【分析】（1）令y=0,解方程可得结论；

（2）分两种情形：①若点Z）在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为Dx.②若点D

在AC的上方时，点。1关于点尸的对称点G（（0,5）,过点G作AC的平行线/交抛物线于点Z>2,D3,

。2,符合条件.构建方程组分别求解即可；

（3）设E点的横坐标为〃，过点尸的直线的解析式为丁=丘+/?,由《y=kx+b，可得（2+左）%-

y=x-2x-3

3-b=0,设xi,X2是方程/-（2+左）x-3-。=0的两根，贝!J%1%2=-3-。，XA*XC=XB*XE=-3-

b可得n=-1--,设直线CE的解析式为y=px+q,同法可得mn=-3-q推出q=-mn-3,推出q=

3

-（3+。）（-1-A）-3=工2+24推出OF=4+b,可得结论.

333

【解析】（1）令y=0,得？-2x-3=6

解得x=3或-1,

AA(-1,0),B(3,0)；

(2)•；OP=OA=1,

：.P(0,1),

直线AC的解析式为y=x+l.

①若点。在AC的下方时，

过点B作AC的平行线与抛物线交点即为Di.

,；B(3,0),BDi//AC,

直线BDi的解析式为y=x-3,

由W,解得(x=3或卜=0,

y=x-2x-3IY=0lv=-3

：.Di(0,-3),

：.Dx的横坐标为0.

②若点。在AC的上方时，点。i关于点尸的对称点G((0,5),

过点G作AC的平行线/交抛物线于点。2,。3,D2,。3符合条件.

直线I的解析式为y=x+5,

Z_

y=X+5

由＜，可得x2-3x-8=0,

y=x-2x-3

解得x=2z垣或空匣，

22

：.D2,。3的横坐标为主返L,3+低,

22

综上所述，满足条件的点。的横坐标为o,支返L,

22

(3)设E点的横坐标为“，过点P的直线的解析式为

y=kx+b

由＜,可得x2-(2+女)x-3-b=0f

y=x2-2x-3

设xi,X2是方程x2-(2+无)x-3-。=0的两根，贝！Jxix2=-3-

.'.XA9XC=XB9XE=-3-。

-1,

/.xc=3+/?,

.*.m=3+Z?,

•.•切=3,

；・XE=-1-―,

3

.\n--1-A,

3

设直线CE的解析式为y=px+q,

同法可得mn=-3-q

:・q=~mn-3,

:.q=-(3+b)(-1-A)-3=皂2+26

33