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文档简介
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)
专题29动点综合问题
一、单选题
1.(2022•山东潍坊•中考真题)如图,在口/5CZ)中,44=60。,AB=2,40=1,点、E,尸在%BCD的边上,
从点/同时出发,分别沿NtBtC和/-DfC的方向以每秒1个单位长度的速度运动,到达点C时停止,
线段防扫过区域的面积记为了,运动时间记为x,能大致反映〉与x之间函数关系的图象是()
【答案】A
【解析】
【分析】
分0W烂1,l<x<2,29W3三种情况讨论,利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
:乙4=60°,AE=AF=x,
-'■AG=^x,
由勾股定理得尸G呼x,
.启然沏当2,图象是一段开口向上的抛物线;
24
当l<x<2时,过点D作DHLAB于点H,
■■■/JDAH=60°,AE=x,AD=1,DF=x-l,
.必储,
由勾股定理得。〃=空,
・•.TDF+AE)XDH专笠,图象是一条线段;
当2<x<3时,过点E作EILCD于点/,
•."=9/2=60°,CE=CF=3-x,
同理求得EI卷G-x),
-.y=ABxDH上万*£/=百率(3b)2=孚2+塔学,图象是一段开口向下的抛物线;
观察四个选项,只有选项A符合题意,
故选:A.
【点睛】
本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象;也考查了平行四边形的性质,含30度的直角三角
形的性质,勾股定理,三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象.
2.(2022•湖北鄂州•中考真题)如图,定直线A/MP。,点8、C分别为儿W、P。上的动点,且3C=⑵BC
在两直线间运动过程中始终有N2CQ=60。.点/是“N上方一定点,点。是尸。下方一定点,且/EILBCII
DF,AE=4,DF=8,40=24b,当线段2C在平移过程中,4B+CD的最小值为()
A.24V13B.24V15C.12V13D.12V15
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示,过点尸作F”IICD交BC于H,连接EH,可证明四边形CDFH是平行四边形,得至UCH=DF=3,
CD=FH,则AH=4,从而可证四边形是平行四边形,得至【J即可推出当£、尸、H三点共线时,
EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,延长AE交PQ于G,过点E作ETLPQ于T,过点A作AL1PQ
于3过点。作。K1P0于K,证明四边形8EGC是平行四边形,乙EGT=LBCQ=60。,得到EG=3C=12,然
后通过勾股定理和解直角三角形求出£7和7F的长即可得到答案.
【详解】
解:如图所示,过点尸作FHIICD交BC于,,连接£〃,
■.-BCWDF,FHWCD,
••・四边形CDW是平行四边形,
:.CH=DF=8,CD=FH,
;.BH=4,
.■.BH=AE=4,
^•■AEWBC,
四边形/汨是平行四边形,
■■.AB=HE,
■-EH+FH>EF,
・•・当从F、〃三点共线时,EW+HF有最小值环即/B+CZ)有最小值斯,
延长4E交尸。于G,过点E作ET1尸。于T,过点/作尸。于£,过点。作。K1尸。于K,
•:MN\\PQ,BC\\AEf
・•・四边形BEGC是平行四边形,Z-EGT=Z.BCQ=6Q0,
:.EG=BC=12,
;.GT=GE-cosZ.EGT=6,ET=GE•sinZ-EGT=6V3»
同理可求得G£=8,AL=8V3,KF=4,DK=4g,
••.TL=2,
-AL1.PQ,DKA.PQ,
.'.ALWDK,
•,3LOFDKO,
:.——AL=——AO=2r,
DKDO
:.A0=^AD=16V3,DO=^AD=8后
■■OL=y/AO2—AL2=24,OK=VDO2—DK2=12,
:.TF=TL+OL+OK+KF=42,
■■EF=7ET2+TF2=12V13-
故选C.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,勾股定理,解直角三角形,正确作
出辅助线推出当E、F、//三点共线时,瓦什/小有最小值E尸即4B+CD有最小值即是解题的关键.
3.(2022・四川乐山・中考真题)如图,等腰A43C的面积为2g,AB=AC,BC=2.作4E||2C且4E冬C.点
P是线段上一动点,连接PE,过点E作PE的垂线交2C的延长线于点尸,M是线段E尸的中点.那么,
当点尸从/点运动到2点时,点M的运动路径长为()
A.V3B.3C.2V3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
当尸与/重合时,点F与C重合,此时点”在N处,当点尸与2重合时,如图,点”的运动轨迹是线段
MN.求出庭的长即可解决问题.
【详解】
解:过点/作NO18C于点。,连接CE,
•:AB=AC,
1
:.BD=DC与C=\,
■:AE=^BC,
:.AE=DC=1,
"AEWBC,
••・四边形/ECD是矩形,
.•.SA/18C=18Cx/Z)=|x2xAD=2g,
:.AD=2^,则CE=/D=2后
当尸与4重合时,点尸与C重合,此时点M在CE的中点N处,
当点尸与2重合时,如图,点M的运动轨迹是线段MV.
■:BC=2,CE=2后
由勾股定理得3E=4,
cosZ£5C=g=g,即;羡
:.BF=3,
;.CF=BF-BC=6,
・・•点N是CE的中点,点〃是斯的中点,
1
.-.MN=jCF=3,
•••点河的运动路径长为3,
故选:B.
【点睛】
本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找点M的
运动轨迹,学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹,属于中考填空题中的压轴题.
4.(2022•湖北恩施•中考真题)如图,在四边形/5CD中,^=乙8=90。,4D=10cm,BC=8cm,点尸从点。
出发,以lcm/s的速度向点/运动,点M从点8同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到
达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为/(单位:s),下列结论正确的是()
A.当t=4s时,四边形48Mp为矩形
B.当t=5s时,四边形CDPM为平行四边形
C.当CD=PM时,t=4s
D.当CD=PM时,t=4s或6s
【答案】D
【解析】
【分析】
计算/P和的长,得到4P矩跖判断选项A;计算产。和CM的长,得到尸々CM,判断选项B;按
PM=CD,且尸河与CD不平行,或尸A/=CD,且PMICD分类讨论判断选项C和D.
【详解】
解:由题意得尸。=3AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=S-t,乙4=必=90。,
/、当t=4s时,4P=10-片6cm,W=4cm,AP^BM,则四边形/BMP不是矩形,该选项不符合题意;
B、当t=5s时,PD=5cm,CM=S-5=3cm,PD丰CM,则四边形不是平行四边形,该选项不符合题意
作CE1AD于点E,贝ljNCE/="=N3=90。,
••・四边形N2CE是矩形,
;.BC=AE=8cm,
•••DE=2cm,
PM=CD,且尸。与CD不平行,作MRL4。于点尸,CEL4D于点E,
・•・四边形CEFM是矩形,
・・.FM=CE:
.RtAPFM=RtADEC(HL),
;.PF=DE=2,EF=CM=8-t,
・・・4P=10-4-(8-£)=10-£,
解得t=6s;
PM=CD,且PM|C£),
••・四边形CDPM是平行四边形,
■■.DP=CM,
解得t=4s;
综上,当尸M=CD时,/=4s或6s;选项C不符合题意;选项D符合题意;
故选:D.
【点睛】
此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助
线,应注意分类讨论,求出所有符合条件的/的值.
5.(2022•黑龙江•中考真题)如图,正方形4BCD的对角线/C,2。相交于点O,点尸是CD上一点,OE1
OF交BC于点、E,连接BF交于点、P,连接OP.则下列结论①4E1BF;@^OPA=45°;@AP-BP
=V2OP:④若BE:CE=2:3,贝UtanNC4E=,⑤四边形OEC尸的面积是正方形/BCD面积的;.其中正确
的结论是()
A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
分别对每个选项进行证明后进行判断:
①通过证明△DOF经△C0EQ4S2)得至I]EC=FD,再证明△瓦4c三△FBD(SAS)得至!JNE4C=NF5D,从而证明
^BPQ=ZAOQ=90°,即2E1BF;
②通过等弦对等角可证明NOP力=N0B4=45°;
③通过正切定义得tanNB4E=啜=空,利用合比性质变形得到力P—BP=驾,再通过证明
-ADArDC,
4EC得到以=誓,代入前式得4P—位=啸总最后根据三角形面积公式得到力E-BP=48•BE,整
AOAOBE
体代入即可证得结论正确;
④作EG1/C于点G可得£G|山O,根据tanNC4E=^=。^;,设正方形边长为5a,分别求出EG、AC,
A(JAC-C(j
CG的长,可求出tanzC71E=m,结论错误;
⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积,利用△DOF=△COEQASA),可证明S四边形
即可证明结论正确.
OECF=SACOE+SACOF=SADOF+SACOF=SACOD
【详解】
①•••四边形488是正方形,。是对角线NC、AD的交点,
:.OC=OD,OCLOD,AODF=AOCE=45°
,-'OE1OF
工乙DOF+dOC=dOC+乙EOC=90。
・•・乙DOF=^EOC
在尸与△口?£*中
(Z.ODF=Z-OCE
OC=OD
("OF=(EOC
・•.△DOF=△COE(ZSZ)
:,EC=FD
(EC=FD
•・•在与AFBD中|Z-ECA=乙FDB=45°
IAC=BD
・•・△EAC^△FBD(SAS)
:^EAC=LFBD
又・・・ABQP=UQO
;/BPQ=UOQ=9Q°
.-.AELBF
所以①正确;
@-:/-A0B=/-APB=9Q°
:点尸、。在以N8为直径的圆上
以。是该圆的弦
:./.OPA=乙OBA=45°
所以②正确;
③・而4四=喋=黑
ABAP
AB-BEAP-BP
BEBP
AP-BP_CE
BP~~BE
4r*nr»CE-BP
.••AP—BP=F
^^EAC=^OAPf^OPA=/-ACE=45°
.'.AAOP-AAEC
OP_AO
~CE~~AE
OPAE
1・CE=———
AO
4cncOPAEBP
MP-BP=s
AO-BE
■.^AE-BP^IAB-BE^SAABE
ME-BP=AB-BE
MP—BP=喘冷抑P=«OP
所以③正确;
④作EGL4C于点G,则£G|山O,
tEG_CE_CG
"~OB~~BC~~OC
设正方形边长为5a,则8c=5a,OB=OC=^a,
若BE:CE=2:3,则需=|,
CE3
.BE+CE_2+3
CE
,CE_3
"BC"5
■■.EG=—•OB=|x也a=迪a
BC522
-EGVAC,4C5=45。,
.・ZGEC=45。
:.CG=EG=^-a
2
4口EGEG乎a3
-'-tanZ-CAE=—="方=—厂2万=-
AGAC-CGS\[2a—7
所以④错误;
⑤•・•△DOF=△COE{ASA),S四边形OECF=S《OE+S^COF
四边形
・・・SOECF=SADOF+SACOF=SACOD
,:SACOD=^正方形ZBCD
•••S四边形OECF=^正方形ABCD
所以⑤正确;
综上,①②③⑤正确,④错误,
故选B
【点睛】
本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数,熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角
函数的定义是解题的关键.
6.(2022•广西玉林•中考真题)如图的电子装置中,红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形48CDEF
的顶点/处.两枚跳棋跳动规则是:红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点,黑跳棋按逆时针方向3秒钟
跳1个顶点,两枚跳棋同时跳动,经过2022秒钟后,两枚跳棋之间的距离是()
A.4B.2V3C.2D.0
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可分别求出经过2022秒后,红黑两枚跳棋的位置,然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形
的性质可进行求解.
【详解】
解:•••2022+3=674,2022-1=2022,
•••6744-6=112••…2,2022+6=337,
・•.经过2022秒后,红跳棋落在点/处,黑跳棋落在点E处,
连接过点尸作尸GL4E于点G,如图所示:
在正六边形4BCDEF中,AF^EF^2,^AFE=120°,
:.AG=^AE,/.FAE=/.FEA=30°,
,-.FG=^AF=1,
■■AG=7AF2一FG2=V3>
■-AE=2痘,
故选B.
【点睛】
本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质,熟练掌握图形规律
问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键.
7.(2022•广西•中考真题)如图,在△ABC中,CA=CB=4,ABAC=a,将△4BC绕点N逆时针旋转2a,
得到△AB'C',连接B'C并延长交于点。,当8'DIAB时,丽7的长是()
B'
A.马B.乌C.吗D.』
3399
【答案】B
【解析】
【分析】
先证NB'AD=60。,再求出N8的长,最后根据弧长公式求得而7.
【详解】
解:■:CA=CB,B'DVAB,
.-.AD=DB=\AB,
•••△AB'C'是△4BC绕点A逆时针旋转2a得到,
:.AB=AB',AD=^AB',
在RtAAB'D中,cos^.B'AD=空=”,
AB2
・•・乙B'AD=60°,
•••Z-CAB=a/B'AB=2a,
;.MAB=^B'AB=1x60°=30°,
•••aC=BC=4,
•••AD=XC-cos30°=4x苧=2通,
AB=2AD=4V3,
,丽7的长式鬻=竽兀,
lot)3
故选:B.
【点睛】
本题考查了图形的旋转变换,等腰三角形的性质,三角函数定义,弧长公式,正确运算三角函数定义求线
段的长度是解本题的关键.
8.(2022•江苏苏州・中考真题)如图,点/的坐标为(0,2),点3是x轴正半轴上的一点,将线段N2绕点/
按逆时针方向旋转60。得到线段/C.若点C的坐标为(犯3),则加的值为()
A型B2星c旭D4伍
-3-333
【答案】c
【解析】
【分析】
过C作CD1X轴于。,CEQ轴于E,根据将线段AB绕点/按逆时针方向旋转60。得到线段NC,可得AA2C
是等边三角形,又A(0,2),C(w,3),即得力C=用小2+1=BO=4B,可得8。=限匚标=
Vm2—8»OB=AB2—OA2=Vm2—3,从而/??!?—3+Vm2—8=M,即可解得m
【详解】
解:过。作CQlx轴于,CEQ轴于£,如图所示:
CDLx轴,CELy轴,
:.乙CDO=^CEO=3OE=90°,
••・四边形EODC是矩形,
•・•将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,
-'-AB=AC,乙&4C=60°,
・・.A4BC是等边三角形,
:.AB=AC=BC,
-A(0,2),C(m,3),
:.CE=m=OD,CD=3,OA=2,
:,AE=OE-OA=CD-OA=1,
'•AC—7AE?+CE2—Vzn2+1—BC—AB,
在RtA5CZ)中,BD=yjBC2-CD2=Vm2-8^
在RtA4O3中,OB='AB?_0.2=而2_3,
♦•,OB~\~BD=OD=m,
•'•Vm2—3+Vm2—8=n
化简变形得:3加4-22加2—25=0,
解得:6=竽或爪=—竽(舍去),
.vm=苧,故C正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查直角坐标系中的旋转变换,解题的关键是熟练应用勾股定理,用含“的代数式表示相关线段的长
度.
9.(2022•辽宁•中考真题)如图,在中,乙48C=90。/8=28C=4,动点尸从点/出发,以每秒
1个单位长度的速度沿线段4B匀速运动,当点尸运动到点3时,停止运动,过点P作PQ14B交AC于点
将△4PQ沿直线PQ折叠得到△A,PQ,设动点P的运动时间为/秒,△4PQ与△4BC重叠部分的面积为S,
则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是()
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得4P=t,tanz/l=p则有PQ=#,进而可分当点P在48中点的左侧时和在42中点的右侧时,
然后分类求解即可.
【详解】
解:vzXBC=90°,AB=2BC=4,
•••tan乙4=
由题意知:AP=t,
.•.PQ=AP-tanzX=1t,
由折叠的性质可得:A,P=AP,^APQ=N4PQ=90°,
当点尸与中点重合时,则有t=2,
当点尸在N8中点的左侧时,即0Wt<2,
△4PQ与△4BC重叠部分的面积为SMPQ=%P.PQ=#*=#2;
当点尸在中点的右侧时,即2W1W4,如图所示:
由折叠性质可得:A'P=AP=t,/.APQ=Z-A'PQ=90°,tanzX=tanzX'=p
••.BP=4—t,
••A'B—2t—4-)
;.BD=A'B•tan4T=t—2,
△4PQ与△ABC重叠部分的面积为S梯形PBDQ=|(BO+PQ)-PS=+t-2)-(4-t)--|t2+4t-4;
综上所述:能反映△4PQ与△ABC重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项;
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及三角函数,熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键.
10.(2022・贵州遵义•中考真题)遵义市某天的气温yi(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化如图所示,
设及表示0时到t时气温的值的极差(即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差),则及与t的函数图象大
致是()
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为图象逐段分析,进而即可求解.
【详解】
解:•••根据函数外图象可知,从0时至5时,及先变大,从5到10时,外的值不发生变化
大概12时后变大,从14到24时,丫2不变,
・••乃的变化规律是,先变大,然后一段时间不变又变大,最后不发生变化,
反映到函数图象上是先升,然后一段平行于久的线段,再升,最后不变
故选A
【点睛】
本题考查了函数图象,极差,理解题意是解题的关键.
11.(2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图①所示(图中各角均为直角),动点P从点/出发,以每秒1个
单位长度的速度沿/-5—。一。一£路线匀速运动,AAFP的面积/随点P运动的时间x(秒)之间的函数
关系图象如图②所示,下列说法正确的是()
?A
图①
A.AF=5B.AB=4C.DE=3D.EF=8
【答案】B
【解析】
【分析】
路线为-C-DfE,将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论.
【详解】
解:坐标系中(4,12)对应点运动到2点
A\-------y\B
/C-------------\D
AB=v-t=lx4=4
B选项正确
1
^AABF=2AB'AF
即:12=;X4-AF
解得:AF=6
A选项错误
12-16s对应的DE段
=v△t=1x(16-12)=4
C选项错误
6~12s对应的CD段
CD=v△t=1X(12-6)=6
EF=AB+CD=4+6=10
D选项错误
故选:B.
【点睛】
本题考查动点问题和坐标系,将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键.
12.(2022•湖北武汉•中考真题)如图,边长分别为1和2的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,
小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为大正方形的面积为Si,小正方形与大
正方形重叠部分的面积为S2,若5=51—S2,则S随/变化的函数图象大致为()
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,设小正方形运动的速度为匕分三个阶段;①小正方形向右未完全穿入大正方形,②小正方形
穿入大正方形但未穿出大正方形,③小正方形穿出大正方形,分别求出S,可得答案.
【详解】
解:根据题意,设小正方形运动的速度为V,由于V分三个阶段;
①小正方形向右未完全穿入大正方形,S=2x2-vfxl=4-vf(v/<l);
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形,S=2x2-lxl=3;
③小正方形穿出大正方形,S=2*2-(lxl-叱)=3+vt
分析选项可得,A符合,C中面积减少太多,不符合.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象,解决此类问题,注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变
化情况,进而综合可得整体得变化情况.
13.(2022•甘肃武威・中考真题)如图1,在菱形4BCD中,乙4=60。,动点P从点4出发,沿折线AD-OCfCB
方向匀速运动,运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,
则的长为()
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图1和图2判定三角形为等边三角形,它的面积为3旧解答即可.
【详解】
解:在菱形48c。中,乙4=60。,
图1
•••△ABD为等边三角形,
设48=。,由图2可知,A4AD的面积为3旧,
:./\ABD的面积=^-a2-3V3
解得:。=28
故选B
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象,根据菱形的性质和函数图象,能根据图形得出正确信息是解此题的关
键.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
14.(2022•山东烟台・中考真题)如图1,A48C中,zA8C=60。,。是3c边上的一个动点(不与点3,C
重合),DEWAB,交4c于点、E,EF\\BC,交48于点尸.设AD的长为x,四边形3。斯的面积为丹y与x
的函数图象是如图2所示的一段抛物线,其顶点尸的坐标为(2,3),则的长为.
【答案】2V3
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称性知,BC=4,作FH1BC于H,当2。=2时,口8DE尸的面积为3,则此时8尸=仃,
AB=2BF,即可解决问题.
【详解】
解:,•,抛物线的顶点为(2,3),过点(0,0),
■,■x=4时,y=0,
••.8C=4,
作下7715。于77,当2。=2时,口2。斯的面积为3,
图1
♦:3=2FH,
:・FH=;3
■:^ABC=60°,
•••5尸=二—=同
sin60°
"DEWAB,
:.AB=2BF=25
故答案为:2b.
【点睛】
本题主要考查了动点的函数图象问题,抛物线的对称性,平行四边形的性质,特殊角的三角函数值等知识,
求出3c=4是解题的关键.
15.(2022•湖北黄冈•中考真题)如图1,在418c中,£B=36°,动点尸从点/出发,沿折线N—B—C匀
速运动至点C停止.若点尸的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为/(s),N尸的长度为y(cm),y与/
的函数图象如图2所示.当4P恰好平分乙B/C时,f的值为
【答案】2V5+2##2+2V5
【解析】
【分析】
根据函数图像可得48=4=3C,作乙B/C的平分线40,乙8=36。可得乙4c=36。,进而得到
BAC,由相似求出8。的长即可.
【详解】
根据函数图像可得43=4,AB+BC=S,
;.BC=AB=4,
•••Z5=36O,
.•2Ba4=NB4C=72。,
作乙B/C的平分线AD.
"BAD=3AC=36°=N8,
:.AD=BD,NBG4=NZMC=72。,
:.AD=BD=CD,
设4D=BD=CD=x,
•."/C=乙8=36°,
AADC-ABAC,
tAC_DC
••丽一就'
“4-x
■,,4=-T)
解得:M=-2+2-\/5^<*2=-2-2-\/5(舍去),
,-.AD=BD=CD=2y/5-2,
此时t=誓£=2而+2⑸,
故答案为:2席+2.
【点睛】
此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程,关键是证明△ADC-A
BAC.
16.(2022・广西•中考真题)如图,在正方形/BCD中,AB=4四,对角线相交于点。点£是对角
线/C上一点,连接BE,过点E作EF1BE,分别交CD,BD于点尸、G,连接2R交AC于点、H,将△EF”
沿£尸翻折,点〃的对应点H'恰好落在上,得到△EFH'若点尸为CD的中点,则△EGH'的周长是
AD
【答案】5+V5##V5+5
【解析】
【分析】
过点E作PQHAD交AB于点P,交DC于点。,得到BP=CQ,从而证得△BPE三△EQF,得到BE=EF,
再利用BC=4VL尸为中点,求得BF=7BC2+CF2=2国,从而得到BE=EF=智=2而,再求出E。=
7BE2—BO2=2,再利用AB〃尸C,求出△aBHsaCFH,得到平求得4H=|x8=?,CH=
2V2O!■33
|x8=|,从而得到£//=4/-/£=丹一2=多再求得△EOBs^GOE得到黑=字=3=,求得反?=遮,
33332V5z4Z
OG=1,过点/作FA/UC于点M,作FN1OD于点N,求得FA7=2,MH=^,FN=2,证得Rf△FH'N三Rt△
FMH得到9N=M”=I,从而得到ON=2,NG=1,G//,=|+1=|,从而得到答案.
【详解】
解:过点E作尸。///。交4B于点P交。。于点°,
-AD//PQ,
:.AP=D。,乙BPQ=/LCQE,
:.BP=CQ,
•・•乙4CD=45°,
:・BP=CQ=EQ,
-EFLBE,
;/PEB+4FEQ=90°
,・ZPBE+乙PEB=90°
;/PBE=Z-FEQ,
在△"£*与△EQF中
ZBPQ=Z-FQE
PB=EQ
Z-PBE=乙FEQ
・•.△BPE=△EQF,
;.BE=EF,
又:BC=AB=4a,方为中点,
••.CF=2立,
-BF=yjBC2+CF2=2V10,
.■.BE=EF=智=2信
,'•E0—7BE2—BO2=2,
;.AE=AO-EO=4-2=2,
•:AB“FC,
AABHFCFH,
tAB_AH
''~CF~~CH'
.4V2_AH_2
•塞一下一『
Vi4C=y[2AB—8,
.-.AH=|x8=y,
CH=|x8=|,
:.EH=AH-AE=^-2=y,
,:乙BEO+Z-FEO=90°,
乙BEO+(EBO=90°,
••/FEO=Z.EBO,
又•・・4EOB=4EOG=90。,
・•.△EOBGOE
EG_OG_OE
~BE~~OE~~OB9
EGOG21
2V5
・・.EG=GOG=1,
过点尸作91/C于点必
:.FM=MC=/^=2,
V2
:.MH=CH-MC^-2=|,
作FN1OD于点N,
DF
FN=L"
在Rt△FHW与Rt△FMH中
(FHr=FH
iFN=FM
.-.Rt△FH'NzRt△FHM
2
;HN=MH=§
:.ON=2,NG=3
2S
■"■GH'——+1——,
△EGH,=EH,+EG+GH'=EH+EG+GH=三+V^+|'=5+V^,
故答案为:5+V5.
【点睛】
本题考查了正方形的性质应用,重点是与三角形相似和三角形全等的结合,熟练掌握做辅助线是解题的关
键.
17.(2022•四川广元・中考真题)如图,直尺48垂直竖立在水平面上,将一个含45。角的直角三角板CDE
的斜边0E靠在直尺的一边48上,使点E与点/重合,DE=12cm.当点。沿ZX4方向滑动时,点E同时
从点/出发沿射线/尸方向滑动.当点。滑动到点/时,点C运动的路径长为cm.
【答案】(24-12立)
【解析】
【分析】
由题意易得CD=CE=^E=6«cm,则当点。沿方向下滑时,得到△ZTCE,过点C作CW1HB于点
N,作。Ml4产于点然后可得△〃(?可三△££,〃,进而可知点。沿ZU方向下滑时,点。在射线/C
上运动,最后问题可求解.
【详解】
解:由题意得:乙DEC=45。,DE=12cm,
■.CD=CE=字)E=6V2cm,
如图,当点。沿N方向下滑时,得到△D£E,过点C作。NL4B于点N,作(7M1AF于点跖
■:^DAM=9Q°,
••・四边形AMMO是矩形,
;/NCM=9Q°,
■■.AD'C'N+乙NCE'=ANC'E'+^E'C'M=90°,
■■■/.D'C'N=/.E'C'M,
■■■D'C=E'C'Q'NC=Z-E'MC=90°,
;•AD'CNmAE'CM,
;.C'N=CM,
■■■C'N1AB,CMLAF,
•••40平分
即点。沿以方向下滑时,点C,在射线/C上运动,
二当。。14B时,此时四边形(7。71斤是正方形,CC的值最大,最大值为AD—AC=(12—6金)51,
・•・当点D滑动到点A时,点C运动的路径长为2x(12-6立)=(24-12V2)cm;
故答案为(24-12五).
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理,
熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题
的关键.
18.(2022•湖北随州•中考真题)如图1,在矩形月BCD中,AB=8,AD=6,E,尸分别为48,4D的中点,
连接斯.如图2,将A4E厂绕点/逆时针旋转角0(0<。<90。),使EF14D,连接3E并延长交。尸于点
H,则A8HD的度数为,D”的长为
图1图2
【答案】90。##90度喑##|西
【解析】
【分析】
设£/交/。于点M,BH交AD于点、N,先证明ZV1DFSA48£,可得乙4DF=UBE,可得
乙BHD=&BAD=9Q°;然后过点£作EG1N8于点G,可得四边形NMEG是矩形,从而得到£G=/M,
AG=ME,乙ABE=LMEN,然后求出EG=4M=答,再利用锐角三角函数可得tan/ZEF=弟=今从而得到
AM
AG=ME=ACI7=进而得到BG=4B—AG=8—¥=W,可得到tanNMEN=tanN4BE=M=:从
tanz.AEF555BG2
而得到MN=£,进而得到DN=2,即可求解.
【详解】
解:如图,设EF交AD于点、M,BH交AD于点、N,
根据题意得:ABAE=^DAF,^EAF=90°,AF==3,AE=^AB=4,
,AE_3
^~AF~4
在矩形48c〃中,AB=8,AD=6,ABAD=90°,
,AD_3
••布-7:
;&DF〜AABE,
工乙ADF=cABE,
♦“NB=3NH,
工乙BHD=(BAD=900;
如图,过点£作近51/5于点G,
.^AGE=/-AME=/LBAD=90°,
・•・四边形/MEG是矩形,
・・.EG=AM,AG=ME,ME\\AB,
:./-ABE=/.MEN,
在中,EF=y/AE2+AF2=5,
.••tanZi4EF=铝=',
AE4
■■SAAEF=\AM-EF=\AE-AF,
・・・EG=AM若12,
ACA"AM16
•-AG=ME=----=—,
tanz.AEF5
••.BG=AB-4G=8-16蓝=24年,
EG1
••.tan^MEN=tan^ABE=会=,
BG2
MN1„,-8
・•.就,,Rn即MrN=『
:.DN=AD-AM-MN=2f
■.Z.ADF=Z.ABE,
1
.•.tanzXDF=tanZ-ABE-
即DH=2HN,
)
-:DH2+HN2=DH2+@DH2=DN2=4,
解得:警或—警(舍去).
故答案为:90。,竽
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转,解直角三角形,矩形的性质和判定,相似三角形的判定和性质,熟练掌握直
角三角形的性质,矩形的性质和判定,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
19.(2022•江苏苏州•中考真题)如图,在矩形/BCD中桨='.动点M从点/出发,沿边4D向点。匀速
运动,动点N从点3出发,沿边5c向点C匀速运动,连接儿W.动点N同时出发,点M运动的速度
为巧,点N运动的速度为"2,且巧<"2.当点N到达点C时,M,N两点同时停止运动.在运动过程中,
将四边形M43N沿翻折,得到四边形M4BW.若在某一时刻,点2的对应点所恰好在CD的中点重合,
则:的值为
------
【答案】I
【解析】
【分析】
在矩形/BCD中黑=3设48=2a,BC=3a,运动时间为t,得到CD=AB=2a/D=BC=3a,BN=以1/时
=Vit,利用翻折及中点性质,在Rt△/CN中利用勾股定理得到叩=,a=BN,然后利用AEDq〜△9CN得
到DE=,a=4E,在根据判定的A4EM得至(JAM==a,从而代值求解即可.
【详解】
解:如图所示:
在矩形/5CD中芸=:设力B=2a,BC=3a,运动时间为t,
DCD
CD=AB—2a,AD=BC=3a,BN=V2t,AM=v1t,
在运动过程中,将四边形M45N沿翻折,得到四边形M4夕N,
f
・•.BN=BN=v2t,A'M=AM—
若在某一时刻,点B的对应点夕恰好在CD的中点重合,
•••DBr—B'C=a,
r
在Rt△夕CN中,Z-C=90°,B/C=a,BN=v2t,CN=3a—v2t9则u2t==BN,
vZ-A'B'N=Z-B=90°,
・•・/-A'B'D+乙CB,N=90°,
v^CNB'+(CBN=90°,
・••乙ABD=Z.CNBr,
・•.AEDB'〜XBtN,
.DE__空____3
•・DB'~~CN~BC-BN-3a-ia-4f
DB,=BrC—a,
2
•••DE=.DB,=则B,E=J(DBy+DE2=Ja2+ga)=^a,
coo
••・A'E=A'B'—B'E=2a--a=-a,即DE=-a=A'E,
444
在A4EM和ADE夕中,
"=4=90。
A'E=DE
^A'EM=乙DEB,
/HA'EMBADE9(AS/),
・,.A'M—BrD—a,即ZM=v^t—a,
.Zi_£i£_^£_-_2
••v2~v2t~~BN~g,
故答案为:
【点睛】
本题属于矩形背景下的动点问题,涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性
质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点,熟练掌握相关性质及判定,求出相应线段长是解
决问题的关键.
20.(2022•四川自贡•中考真题)如图,矩形/BCD中,ZB=4,BC=2,G是40的中点,线段EF在边上
左右滑动;若EF=1,贝!JGE+CF的最小值为.
【答案】3V2
【解析】
【分析】
如图,作G关于N8的对称点G,,在CD上截取C〃=l,然后连接"G交N5于£,在£3上截取EP=1,此
时GE+CF的值最小,可得四边形EFCH是平行四边形,从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求
出77G的长,即可求解.
【详解】
解:如图,作G关于48的对称点G)在CD上截取C〃=l,然后连接“G交48于E,在班上截取£尸=1,
此时GE+CF的值最小,
:.G'E=GE,AG=AG',
,•・四边形N8CD是矩形,
:.AB\iCD,AD=BC=2
.-.CH\\EF,
■:CH=EF=\,
••・四边形EFCH是平行四边形,
:.EH=CF,
:.G'H=EG'+EH=EG^CF,
■.■AB=4,BC=AD=2,G为边N。的中点,
■■.AG=AG'=1
:.DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,
■■HG'=yjDH2+DG'2=A/32+32=3五,
即GE+CF的最小值为32.
故答案为:3鱼
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题,矩形的性质,勾股定理等知识,确定GE+C尸最小时E,F位
置是解题关键.
21.(2022•内蒙古通辽•中考真题)如图,。。是△A8C的外接圆,AC为直径,若4B=2g,8c=3,点P
从8点出发,在△ABC内运动且始终保持NC8P=NB4P,当C,P两点距离最小时,动点P的运动路径长为
【答案】争.
【解析】
【分析】
根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹,然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点尸的位置,进
而求出点P的运动路径长.
【详解】
解:•••4C为。。的直径,
•••^ABC=90°.
•••AABP+乙PBC=90°.
•••/-PAB—Z.PBC,
:.APAB+"BP=90°.
NAPB=90°.
.•.点尸在以N3为直径的圆上运动,且在△48C的内部,
如图,记以48为直径的圆的圆心为内,连接。iC交OOi于点P,连接。iP,CP.
A
O
•••CPNOiC—OiP,
・・・当点。1,P,C三点共线时,即点尸在点P处时,CP有最小值,
■:AB=2V3
;.O1B=V3
Be3_
在7?必8。。1中,tanzBOiC=y—z=—=V3.
V3
•••48。1。=60°.
・•・CP两点距离最小时,点P的运动路径长为争.
【点睛】
本题主要考查了直径所对圆周角是直角,弧
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