中考数学必刷题考点分类专练：动点综合问题（解析版）

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题29动点综合问题

一、单选题

1.（2022•山东潍坊•中考真题）如图，在口/5CZ）中，44=60。，AB=2,40=1,点、E,尸在％BCD的边上，

从点/同时出发，分别沿NtBtC和/-DfC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止,

线段防扫过区域的面积记为了，运动时间记为x,能大致反映〉与x之间函数关系的图象是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

分0W烂1,l<x<2,29W3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可.

【详解】

:乙4=60°,AE=AF=x,

-'■AG=^x,

由勾股定理得尸G呼x,

.启然沏当2,图象是一段开口向上的抛物线;

24

当l<x<2时，过点D作DHLAB于点H,

■■■/JDAH=60°,AE=x,AD=1,DF=x-l,

.必储,

由勾股定理得。〃=空，

・•.TDF+AE)XDH专笠,图象是一条线段;

当2<x<3时，过点E作EILCD于点/,

•."=9/2=60°,CE=CF=3-x,

同理求得EI卷G-x),

-.y=ABxDH上万*£/=百率(3b)2=孚2+塔学，图象是一段开口向下的抛物线；

观察四个选项，只有选项A符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角

形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象.

2.(2022•湖北鄂州•中考真题)如图，定直线A/MP。，点8、C分别为儿W、P。上的动点，且3C=⑵BC

在两直线间运动过程中始终有N2CQ=60。.点/是“N上方一定点，点。是尸。下方一定点，且/EILBCII

DF,AE=4,DF=8,40=24b，当线段2C在平移过程中，4B+CD的最小值为()

A.24V13B.24V15C.12V13D.12V15

【答案】C

【解析】

【分析】

如图所示，过点尸作F”IICD交BC于H,连接EH,可证明四边形CDFH是平行四边形，得至UCH=DF=3,

CD=FH,则AH=4,从而可证四边形是平行四边形，得至【J即可推出当£、尸、H三点共线时，

EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,延长AE交PQ于G,过点E作ETLPQ于T,过点A作AL1PQ

于3过点。作。K1P0于K,证明四边形8EGC是平行四边形，乙EGT=LBCQ=60。,得到EG=3C=12,然

后通过勾股定理和解直角三角形求出£7和7F的长即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，过点尸作FHIICD交BC于，，连接£〃，

■.-BCWDF,FHWCD,

••・四边形CDW是平行四边形，

:.CH=DF=8,CD=FH,

；.BH=4,

.■.BH=AE=4,

^•■AEWBC,

四边形/汨是平行四边形，

■■.AB=HE,

■-EH+FH>EF,

・•・当从F、〃三点共线时，EW+HF有最小值环即/B+CZ）有最小值斯，

延长4E交尸。于G,过点E作ET1尸。于T,过点/作尸。于£,过点。作。K1尸。于K,

•：MN\\PQ,BC\\AEf

・•・四边形BEGC是平行四边形,Z-EGT=Z.BCQ=6Q0,

：.EG=BC=12,

；.GT=GE-cosZ.EGT=6,ET=GE•sinZ-EGT=6V3»

同理可求得G£=8,AL=8V3，KF=4,DK=4g,

••.TL=2,

-AL1.PQ,DKA.PQ,

.'.ALWDK,

•,3LOFDKO,

:.——AL=——AO=2r,

DKDO

：.A0=^AD=16V3,DO=^AD=8后

■■OL=y/AO2—AL2=24,OK=VDO2—DK2=12,

：.TF=TL+OL+OK+KF=42,

■■EF=7ET2+TF2=12V13-

故选C.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作

出辅助线推出当E、F、//三点共线时，瓦什/小有最小值E尸即4B+CD有最小值即是解题的关键.

3.（2022・四川乐山・中考真题）如图，等腰A43C的面积为2g，AB=AC,BC=2.作4E||2C且4E冬C.点

P是线段上一动点，连接PE,过点E作PE的垂线交2C的延长线于点尸，M是线段E尸的中点.那么,

当点尸从/点运动到2点时，点M的运动路径长为()

A.V3B.3C.2V3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

当尸与/重合时，点F与C重合，此时点”在N处，当点尸与2重合时，如图，点”的运动轨迹是线段

MN.求出庭的长即可解决问题.

【详解】

解：过点/作NO18C于点。，连接CE,

•:AB=AC,

1

:.BD=DC与C=\,

■：AE=^BC,

：.AE=DC=1,

"AEWBC,

••・四边形/ECD是矩形，

.•.SA/18C=18Cx/Z)=|x2xAD=2g,

：.AD=2^,则CE=/D=2后

当尸与4重合时，点尸与C重合，此时点M在CE的中点N处，

当点尸与2重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MV.

■：BC=2,CE=2后

由勾股定理得3E=4,

cosZ£5C=g=g,即；羡

:.BF=3,

；.CF=BF-BC=6,

・・•点N是CE的中点，点〃是斯的中点，

1

.-.MN=jCF=3,

•••点河的运动路径长为3,

故选：B.

【点睛】

本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的

运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

4.（2022•湖北恩施•中考真题）如图，在四边形/5CD中，^=乙8=90。，4D=10cm,BC=8cm,点尸从点。

出发，以lcm/s的速度向点/运动，点M从点8同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到

达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为/（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当t=4s时，四边形48Mp为矩形

B.当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，t=4s

D.当CD=PM时，t=4s或6s

【答案】D

【解析】

【分析】

计算/P和的长，得到4P矩跖判断选项A；计算产。和CM的长，得到尸々CM,判断选项B；按

PM=CD,且尸河与CD不平行，或尸A/=CD,且PMICD分类讨论判断选项C和D.

【详解】

解：由题意得尸。=3AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=S-t,乙4=必=90。，

/、当t=4s时，4P=10-片6cm,W=4cm,AP^BM,则四边形/BMP不是矩形，该选项不符合题意；

B、当t=5s时，PD=5cm,CM=S-5=3cm,PD丰CM,则四边形不是平行四边形，该选项不符合题意

作CE1AD于点E,贝ljNCE/="=N3=90。，

••・四边形N2CE是矩形，

；.BC=AE=8cm,

•••DE=2cm,

PM=CD,且尸。与CD不平行，作MRL4。于点尸，CEL4D于点E,

・•・四边形CEFM是矩形，

・・.FM=CE：

­.RtAPFM=RtADEC(HL),

；.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

・・・4P=10-4-(8-£)=10-£,

解得t=6s；

PM=CD,且PM|C£),

••・四边形CDPM是平行四边形,

■■.DP=CM,

解得t=4s；

综上，当尸M=CD时，/=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】

此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助

线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的/的值.

5.（2022•黑龙江•中考真题）如图，正方形4BCD的对角线/C,2。相交于点O,点尸是CD上一点，OE1

OF交BC于点、E,连接BF交于点、P,连接OP.则下列结论①4E1BF；@^OPA=45°；@AP-BP

=V2OP：④若BE:CE=2:3,贝UtanNC4E=，⑤四边形OEC尸的面积是正方形/BCD面积的;.其中正确

的结论是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】

分别对每个选项进行证明后进行判断：

①通过证明△DOF经△C0EQ4S2)得至I]EC=FD,再证明△瓦4c三△FBD(SAS)得至！JNE4C=NF5D,从而证明

^BPQ=ZAOQ=90°,即2E1BF；

②通过等弦对等角可证明NOP力=N0B4=45°；

③通过正切定义得tanNB4E=啜=空，利用合比性质变形得到力P—BP=驾，再通过证明

-ADArDC,

4EC得到以=誓，代入前式得4P—位=啸总最后根据三角形面积公式得到力E-BP=48•BE,整

AOAOBE

体代入即可证得结论正确；

④作EG1/C于点G可得£G|山O,根据tanNC4E=^=。^；,设正方形边长为5a,分别求出EG、AC,

A(JAC-C(j

CG的长，可求出tanzC71E=m，结论错误；

⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用△DOF=△COEQASA),可证明S四边形

即可证明结论正确.

OECF=SACOE+SACOF=SADOF+SACOF=SACOD

【详解】

①•••四边形488是正方形，。是对角线NC、AD的交点，

：.OC=OD,OCLOD,AODF=AOCE=45°

,-'OE1OF

工乙DOF+dOC=dOC+乙EOC=90。

・•・乙DOF=^EOC

在尸与△口?£*中

(Z.ODF=Z-OCE

OC=OD

("OF=(EOC

・•.△DOF=△COE(ZSZ)

：,EC=FD

(EC=FD

•・•在与AFBD中|Z-ECA=乙FDB=45°

IAC=BD

・•・△EAC^△FBD(SAS)

：^EAC=LFBD

又・・・ABQP=UQO

；/BPQ=UOQ=9Q°

.-.AELBF

所以①正确;

@-：/-A0B=/-APB=9Q°

:点尸、。在以N8为直径的圆上

以。是该圆的弦

：./.OPA=乙OBA=45°

所以②正确;

③・而4四=喋=黑

ABAP

AB-BEAP-BP

BEBP

AP-BP_CE

BP~~BE

4r*nr»CE-BP

.••AP—BP=F

^^EAC=^OAPf^OPA=/-ACE=45°

.'.AAOP-AAEC

OP_AO

~CE~~AE

OPAE

1・CE=———

AO

4cncOPAEBP

MP-BP=s

AO-BE

■.^AE-BP^IAB-BE^SAABE

ME-BP=AB-BE

MP—BP=喘冷抑P=«OP

所以③正确;

④作EGL4C于点G,则£G|山O,

tEG_CE_CG

"~OB~~BC~~OC

设正方形边长为5a,则8c=5a,OB=OC=^a,

若BE:CE=2:3,则需=|，

CE3

.BE+CE_2+3

CE

,CE_3

"BC"5

■■.EG=—•OB=|x也a=迪a

BC522

-EGVAC,4C5=45。，

.・ZGEC=45。

：.CG=EG=^-a

2

4口EGEG乎a3

-'-tanZ-CAE=—="方=—厂2万=-

AGAC-CGS\[2a—7

所以④错误；

⑤•・•△DOF=△COE{ASA),S四边形OECF=S《OE+S^COF

四边形

・・・SOECF=SADOF+SACOF=SACOD

,：SACOD=^正方形ZBCD

•••S四边形OECF=^正方形ABCD

所以⑤正确；

综上，①②③⑤正确，④错误，

故选B

【点睛】

本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角

函数的定义是解题的关键.

6.（2022•广西玉林•中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形48CDEF

的顶点/处.两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟

跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形

的性质可进行求解.

【详解】

解：•••2022+3=674,2022-1=2022,

•••6744-6=112••…2,2022+6=337,

・•.经过2022秒后，红跳棋落在点/处，黑跳棋落在点E处，

连接过点尸作尸GL4E于点G,如图所示：

在正六边形4BCDEF中，AF^EF^2,^AFE=120°,

：.AG=^AE,/.FAE=/.FEA=30°,

,-.FG=^AF=1,

■■AG=7AF2一FG2=V3>

■-AE=2痘,

故选B.

【点睛】

本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律

问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键.

7.（2022•广西•中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB=4,ABAC=a,将△4BC绕点N逆时针旋转2a,

得到△AB'C',连接B'C并延长交于点。，当8'DIAB时，丽7的长是（）

B'

A.马B.乌C.吗D.』

3399

【答案】B

【解析】

【分析】

先证NB'AD=60。，再求出N8的长，最后根据弧长公式求得而7.

【详解】

解：■：CA=CB,B'DVAB,

.-.AD=DB=\AB,

•••△AB'C'是△4BC绕点A逆时针旋转2a得到，

：.AB=AB',AD=^AB',

在RtAAB'D中，cos^.B'AD=空=”,

AB2

・•・乙B'AD=60°,

•••Z-CAB=a/B'AB=2a,

；.MAB=^B'AB=1x60°=30°,

•••aC=BC=4,

•••AD=XC-cos30°=4x苧=2通,

AB=2AD=4V3，

,丽7的长式鬻=竽兀，

lot)3

故选：B.

【点睛】

本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运算三角函数定义求线

段的长度是解本题的关键.

8.(2022•江苏苏州・中考真题)如图，点/的坐标为(0,2),点3是x轴正半轴上的一点，将线段N2绕点/

按逆时针方向旋转60。得到线段/C.若点C的坐标为(犯3),则加的值为()

A型B2星c旭D4伍

-3-333

【答案】c

【解析】

【分析】

过C作CD1X轴于。，CEQ轴于E,根据将线段AB绕点/按逆时针方向旋转60。得到线段NC,可得AA2C

是等边三角形，又A(0,2),C(w,3),即得力C=用小2+1=BO=4B,可得8。=限匚标=

Vm2—8»OB=AB2—OA2=Vm2—3,从而/??!？—3+Vm2—8=M，即可解得m

【详解】

解：过。作CQlx轴于，CEQ轴于£,如图所示:

CDLx轴，CELy轴，

:.乙CDO=^CEO=3OE=90°,

••・四边形EODC是矩形，

•・•将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

-'-AB=AC,乙&4C=60°,

・・.A4BC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,

-A(0,2),C(m,3),

:.CE=m=OD,CD=3,OA=2,

：,AE=OE-OA=CD-OA=1,

'•AC—7AE?+CE2—Vzn2+1—BC—AB,

在RtA5CZ)中，BD=yjBC2-CD2=Vm2-8^

在RtA4O3中，OB='AB?_0.2=而2_3,

♦•,OB~\~BD=OD=m,

•'•Vm2—3+Vm2—8=n

化简变形得：3加4-22加2—25=0,

解得：6=竽或爪=—竽(舍去)，

.vm=苧，故C正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含“的代数式表示相关线段的长

度.

9.（2022•辽宁•中考真题）如图，在中，乙48C=90。/8=28C=4,动点尸从点/出发，以每秒

1个单位长度的速度沿线段4B匀速运动，当点尸运动到点3时，停止运动，过点P作PQ14B交AC于点

将△4PQ沿直线PQ折叠得到△A,PQ,设动点P的运动时间为/秒，△4PQ与△4BC重叠部分的面积为S,

则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意易得4P=t,tanz/l=p则有PQ=#,进而可分当点P在48中点的左侧时和在42中点的右侧时,

然后分类求解即可.

【详解】

解：vzXBC=90°,AB=2BC=4,

•••tan乙4=

由题意知：AP=t,

.•.PQ=AP-tanzX=1t,

由折叠的性质可得：A,P=AP,^APQ=N4PQ=90°,

当点尸与中点重合时，则有t=2,

当点尸在N8中点的左侧时，即0Wt<2,

△4PQ与△4BC重叠部分的面积为SMPQ=%P.PQ=#*=#2；

当点尸在中点的右侧时，即2W1W4,如图所示：

由折叠性质可得：A'P=AP=t,/.APQ=Z-A'PQ=90°,tanzX=tanzX'=p

••.BP=4—t,

••A'B—2t—4-）

；.BD=A'B•tan4T=t—2,

△4PQ与△ABC重叠部分的面积为S梯形PBDQ=|（BO+PQ）-PS=+t-2）-（4-t）--|t2+4t-4；

综上所述：能反映△4PQ与△ABC重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键.

10.（2022・贵州遵义•中考真题）遵义市某天的气温yi（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，

设及表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则及与t的函数图象大

致是（)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数为图象逐段分析，进而即可求解.

【详解】

解：•••根据函数外图象可知，从0时至5时，及先变大，从5到10时，外的值不发生变化

大概12时后变大，从14到24时，丫2不变，

・••乃的变化规律是，先变大，然后一段时间不变又变大，最后不发生变化,

反映到函数图象上是先升，然后一段平行于久的线段，再升，最后不变

故选A

【点睛】

本题考查了函数图象，极差，理解题意是解题的关键.

11.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点/出发,以每秒1个

单位长度的速度沿/-5—。一。一£路线匀速运动，AAFP的面积/随点P运动的时间x（秒）之间的函数

关系图象如图②所示，下列说法正确的是()

?A

图①

A.AF=5B.AB=4C.DE=3D.EF=8

【答案】B

【解析】

【分析】

路线为-C-DfE,将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论.

【详解】

解：坐标系中(4,12)对应点运动到2点

A\-------y\B

/C-------------\D

AB=v-t=lx4=4

B选项正确

1

^AABF=2AB'AF

即：12=；X4-AF

解得：AF=6

A选项错误

12-16s对应的DE段

=v­△t=1x(16-12)=4

C选项错误

6~12s对应的CD段

CD=v­△t=1X(12-6)=6

EF=AB+CD=4+6=10

D选项错误

故选：B.

【点睛】

本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键.

12.（2022•湖北武汉•中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，

小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为大正方形的面积为Si，小正方形与大

正方形重叠部分的面积为S2,若5=51—S2,则S随/变化的函数图象大致为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设小正方形运动的速度为匕分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形

穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S,可得答案.

【详解】

解：根据题意，设小正方形运动的速度为V,由于V分三个阶段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2x2-vfxl=4-vf（v/<l）；

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2x2-lxl=3；

③小正方形穿出大正方形，S=2*2-（lxl-叱）=3+vt

分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变

化情况，进而综合可得整体得变化情况.

13.（2022•甘肃武威・中考真题）如图1,在菱形4BCD中，乙4=60。，动点P从点4出发，沿折线AD-OCfCB

方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,

则的长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为3旧解答即可.

【详解】

解：在菱形48c。中，乙4=60。，

图1

•••△ABD为等边三角形,

设48=。，由图2可知，A4AD的面积为3旧，

：./\ABD的面积=^-a2-3V3

解得：。=28

故选B

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关

键.

第II卷（非选择题）

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二、填空题

14.（2022•山东烟台・中考真题）如图1,A48C中，zA8C=60。，。是3c边上的一个动点（不与点3,C

重合），DEWAB,交4c于点、E,EF\\BC,交48于点尸.设AD的长为x,四边形3。斯的面积为丹y与x

的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点尸的坐标为（2,3）,则的长为.

【答案】2V3

【解析】

【分析】

根据抛物线的对称性知，BC=4,作FH1BC于H,当2。=2时，口8DE尸的面积为3,则此时8尸=仃，

AB=2BF,即可解决问题.

【详解】

解：,•,抛物线的顶点为（2,3）,过点（0,0）,

■,■x=4时，y=0,

••.8C=4,

作下7715。于77,当2。=2时，口2。斯的面积为3,

图1

♦：3=2FH,

:・FH=；3

■：^ABC=60°,

•••5尸=二—=同

sin60°

"DEWAB,

:.AB=2BF=25

故答案为：2b.

【点睛】

本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识,

求出3c=4是解题的关键.

15.（2022•湖北黄冈•中考真题）如图1,在418c中，£B=36°,动点尸从点/出发，沿折线N—B—C匀

速运动至点C停止.若点尸的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为/（s）,N尸的长度为y（cm）,y与/

的函数图象如图2所示.当4P恰好平分乙B/C时，f的值为

【答案】2V5+2##2+2V5

【解析】

【分析】

根据函数图像可得48=4=3C,作乙B/C的平分线40,乙8=36。可得乙4c=36。，进而得到

BAC,由相似求出8。的长即可.

【详解】

根据函数图像可得43=4,AB+BC=S,

；.BC=AB=4,

•••Z5=36O,

.•2Ba4=NB4C=72。，

作乙B/C的平分线AD.

"BAD=3AC=36°=N8,

：.AD=BD,NBG4=NZMC=72。,

：.AD=BD=CD,

设4D=BD=CD=x,

•."/C=乙8=36°,

AADC-ABAC,

tAC_DC

••丽一就'

“4-x

■,,4=-T）

解得：M=-2+2-\/5^<*2=-2-2-\/5（舍去），

,-.AD=BD=CD=2y/5-2,

此时t=誓£=2而+2⑸，

故答案为：2席+2.

【点睛】

此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明△ADC-A

BAC.

16.（2022・广西•中考真题）如图，在正方形/BCD中，AB=4四,对角线相交于点。点£是对角

线/C上一点，连接BE,过点E作EF1BE,分别交CD,BD于点尸、G,连接2R交AC于点、H,将△EF”

沿£尸翻折，点〃的对应点H'恰好落在上，得到△EFH'若点尸为CD的中点，则△EGH'的周长是

AD

【答案】5+V5##V5+5

【解析】

【分析】

过点E作PQHAD交AB于点P,交DC于点。，得到BP=CQ,从而证得△BPE三△EQF,得到BE=EF,

再利用BC=4VL尸为中点，求得BF=7BC2+CF2=2国,从而得到BE=EF=智=2而，再求出E。=

7BE2—BO2=2,再利用AB〃尸C,求出△aBHsaCFH,得到平求得4H=|x8=?,CH=

2V2O!■33

|x8=|,从而得到£//=4/-/£=丹一2=多再求得△EOBs^GOE得到黑=字=3=，求得反?=遮，

33332V5z4Z

OG=1,过点/作FA/UC于点M,作FN1OD于点N,求得FA7=2,MH=^,FN=2,证得Rf△FH'N三Rt△

FMH得到9N=M”=I，从而得到ON=2,NG=1,G//,=|+1=|,从而得到答案.

【详解】

解：过点E作尸。///。交4B于点P交。。于点°,

-AD//PQ,

：.AP=D。,乙BPQ=/LCQE,

：.BP=CQ,

•・•乙4CD=45°,

:・BP=CQ=EQ,

-EFLBE,

；/PEB+4FEQ=90°

,・ZPBE+乙PEB=90°

；/PBE=Z-FEQ,

在△"£*与△EQF中

ZBPQ=Z-FQE

PB=EQ

Z-PBE=乙FEQ

・•.△BPE=△EQF,

；.BE=EF,

又:BC=AB=4a,方为中点,

••.CF=2立，

-BF=yjBC2+CF2=2V10，

.■.BE=EF=智=2信

,'•E0—7BE2—BO2=2,

；.AE=AO-EO=4-2=2,

•:AB“FC,

AABHFCFH,

tAB_AH

''~CF~~CH'

.4V2_AH_2

•塞一下一『

Vi4C=y[2AB—8,

.-.AH=|x8=y,

CH=|x8=|,

：.EH=AH-AE=^-2=y,

,:乙BEO+Z-FEO=90°,

乙BEO+(EBO=90°,

••/FEO=Z.EBO,

又•・・4EOB=4EOG=90。,

・•.△EOBGOE

EG_OG_OE

~BE~~OE~~OB9

EGOG21

2V5

・・.EG=GOG=1,

过点尸作91/C于点必

:.FM=MC=/^=2,

V2

：.MH=CH-MC^-2=|,

作FN1OD于点N,

DF

FN=L"

在Rt△FHW与Rt△FMH中

(FHr=FH

iFN=FM

.-.Rt△FH'NzRt△FHM

2

；HN=MH=§

：.ON=2,NG=3

2S

■"■GH'——+1——,

△EGH,=EH，+EG+GH'=EH+EG+GH=三+V^+|'=5+V^,

故答案为：5+V5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关

键.

17.（2022•四川广元・中考真题）如图，直尺48垂直竖立在水平面上，将一个含45。角的直角三角板CDE

的斜边0E靠在直尺的一边48上，使点E与点/重合，DE=12cm.当点。沿ZX4方向滑动时，点E同时

从点/出发沿射线/尸方向滑动.当点。滑动到点/时，点C运动的路径长为cm.

【答案】（24-12立）

【解析】

【分析】

由题意易得CD=CE=^E=6«cm,则当点。沿方向下滑时，得到△ZTCE,过点C作CW1HB于点

N,作。Ml4产于点然后可得△〃（?可三△££，〃，进而可知点。沿ZU方向下滑时，点。在射线/C

上运动，最后问题可求解.

【详解】

解：由题意得：乙DEC=45。，DE=12cm,

■.CD=CE=字）E=6V2cm,

如图，当点。沿N方向下滑时，得到△D£E,过点C作。NL4B于点N,作（7M1AF于点跖

■：^DAM=9Q°,

••・四边形AMMO是矩形，

；/NCM=9Q°,

■■.AD'C'N+乙NCE'=ANC'E'+^E'C'M=90°,

■■■/.D'C'N=/.E'C'M,

■■■D'C=E'C'Q'NC=Z-E'MC=90°,

；•AD'CNmAE'CM,

；.C'N=CM,

■■■C'N1AB,CMLAF,

•••40平分

即点。沿以方向下滑时，点C，在射线/C上运动，

二当。。14B时，此时四边形（7。71斤是正方形，CC的值最大，最大值为AD—AC=（12—6金）51,

・•・当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2x（12-6立）=（24-12V2）cm；

故答案为（24-12五）.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，

熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题

的关键.

18.（2022•湖北随州•中考真题）如图1,在矩形月BCD中,AB=8,AD=6,E,尸分别为48,4D的中点,

连接斯.如图2,将A4E厂绕点/逆时针旋转角0（0＜。＜90。），使EF14D,连接3E并延长交。尸于点

H,则A8HD的度数为，D”的长为

图1图2

【答案】90。##90度喑##|西

【解析】

【分析】

设£/交/。于点M,BH交AD于点、N,先证明ZV1DFSA48£,可得乙4DF=UBE,可得

乙BHD=&BAD=9Q°；然后过点£作EG1N8于点G,可得四边形NMEG是矩形，从而得到£G=/M,

AG=ME,乙ABE=LMEN,然后求出EG=4M=答，再利用锐角三角函数可得tan/ZEF=弟=今从而得到

AM

AG=ME=ACI7=进而得到BG=4B—AG=8—¥=W，可得到tanNMEN=tanN4BE=M=:从

tanz.AEF555BG2

而得到MN=£,进而得到DN=2,即可求解.

【详解】

解：如图，设EF交AD于点、M,BH交AD于点、N,

根据题意得：ABAE=^DAF,^EAF=90°,AF==3,AE=^AB=4,

,AE_3

^~AF~4

在矩形48c〃中，AB=8,AD=6,ABAD=90°,

,AD_3

••布-7：

；&DF〜AABE,

工乙ADF=cABE,

♦“NB=3NH,

工乙BHD=(BAD=900；

如图，过点£作近51/5于点G,

­.^AGE=/-AME=/LBAD=90°,

・•・四边形/MEG是矩形，

・・.EG=AM,AG=ME,ME\\AB,

：./-ABE=/.MEN,

在中，EF=y/AE2+AF2=5,

.••tanZi4EF=铝='，

AE4

■■SAAEF=\AM-EF=\AE-AF,

・・・EG=AM若12，

ACA"AM16

•-AG=ME=----=—,

tanz.AEF5

••.BG=AB-4G=8-16蓝=24年，

EG1

••.tan^MEN=tan^ABE=会=，

BG2

MN1„,-8

・•.就，，Rn即MrN=『

：.DN=AD-AM-MN=2f

■.Z.ADF=Z.ABE,

1

.•.tanzXDF=tanZ-ABE-

即DH=2HN,

)

-：DH2+HN2=DH2+@DH2=DN2=4,

解得：警或—警（舍去）.

故答案为：90。，竽

【点睛】

本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直

角三角形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

19.（2022•江苏苏州•中考真题）如图，在矩形/BCD中桨='.动点M从点/出发，沿边4D向点。匀速

运动，动点N从点3出发，沿边5c向点C匀速运动，连接儿W.动点N同时出发，点M运动的速度

为巧，点N运动的速度为"2，且巧＜"2.当点N到达点C时，M,N两点同时停止运动.在运动过程中，

将四边形M43N沿翻折，得到四边形M4BW.若在某一时刻，点2的对应点所恰好在CD的中点重合,

则：的值为

------

【答案】I

【解析】

【分析】

在矩形/BCD中黑=3设48=2a,BC=3a,运动时间为t,得到CD=AB=2a/D=BC=3a,BN=以1/时

=Vit,利用翻折及中点性质，在Rt△/CN中利用勾股定理得到叩=,a=BN,然后利用AEDq〜△9CN得

到DE=,a=4E,在根据判定的A4EM得至（JAM==a,从而代值求解即可.

【详解】

解：如图所示:

在矩形/5CD中芸=：设力B=2a,BC=3a,运动时间为t,

DCD

CD=AB—2a,AD=BC=3a,BN=V2t,AM=v1t,

在运动过程中，将四边形M45N沿翻折，得到四边形M4夕N,

f

・•.BN=BN=v2t,A'M=AM—

若在某一时刻，点B的对应点夕恰好在CD的中点重合，

•••DBr—B'C=a,

r

在Rt△夕CN中，Z-C=90°,B/C=a,BN=v2t,CN=3a—v2t9则u2t==BN,

vZ-A'B'N=Z-B=90°,

・•・/-A'B'D+乙CB，N=90°,

v^CNB'+(CBN=90°,

・••乙ABD=Z.CNBr,

・•.AEDB'〜XBtN,

.DE__空____3

•・DB'~~CN~BC-BN-3a-ia-4f

DB，=BrC—a,

2

•••DE=.DB，=则B,E=J(DBy+DE2=Ja2+ga)=^a,

coo

••・A'E=A'B'—B'E=2a--a=-a,即DE=-a=A'E,

444

在A4EM和ADE夕中，

"=4=90。

A'E=DE

^A'EM=乙DEB，

/HA'EMBADE9(AS/),

・,.A'M—BrD—a,即ZM=v^t—a,

.Zi_£i£_^£_-_2

••v2~v2t~~BN~g，

故答案为：

【点睛】

本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性

质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解

决问题的关键.

20.(2022•四川自贡•中考真题)如图，矩形/BCD中，ZB=4,BC=2,G是40的中点，线段EF在边上

左右滑动；若EF=1,贝！JGE+CF的最小值为.

【答案】3V2

【解析】

【分析】

如图，作G关于N8的对称点G，，在CD上截取C〃=l,然后连接"G交N5于£,在£3上截取EP=1,此

时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求

出77G的长，即可求解.

【详解】

解:如图，作G关于48的对称点G）在CD上截取C〃=l,然后连接“G交48于E,在班上截取£尸=1,

此时GE+CF的值最小，

：.G'E=GE,AG=AG',

,•・四边形N8CD是矩形，

：.AB\iCD,AD=BC=2

.-.CH\\EF,

■：CH=EF=\,

••・四边形EFCH是平行四边形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG^CF,

■.■AB=4,BC=AD=2,G为边N。的中点,

■■.AG=AG'=1

：.DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

■■HG'=yjDH2+DG'2=A/32+32=3五,

即GE+CF的最小值为32.

故答案为：3鱼

【点睛】

此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+C尸最小时E,F位

置是解题关键.

21.（2022•内蒙古通辽•中考真题）如图，。。是△A8C的外接圆，AC为直径，若4B=2g，8c=3,点P

从8点出发，在△ABC内运动且始终保持NC8P=NB4P,当C,P两点距离最小时，动点P的运动路径长为

【答案】争.

【解析】

【分析】

根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点尸的位置，进

而求出点P的运动路径长.

【详解】

解：•••4C为。。的直径，

•••^ABC=90°.

•••AABP+乙PBC=90°.

•••/-PAB—Z.PBC,

：.APAB+"BP=90°.

NAPB=90°.

.•.点尸在以N3为直径的圆上运动，且在△48C的内部，

如图，记以48为直径的圆的圆心为内,连接。iC交OOi于点P,连接。iP,CP.

A

O

•••CPNOiC—OiP,

・・・当点。1，P,C三点共线时，即点尸在点P处时，CP有最小值，

■：AB=2V3

；.O1B=V3

Be3_

在7?必8。。1中，tanzBOiC=y—z=—=V3.

V3

•••48。1。=60°.

・•・CP两点距离最小时，点P的运动路径长为争.

【点睛】

本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧