2022年北京市一零一中初三9月月考数学试卷及答案

第1页/共1页2022北京一零一中初三9月月考数学一、选择题：本大题共8小题，共16分．1.下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.已知一元二次方程，下列判断正确的是（）A.该方程有两个不相等的实数根 B.该方程有两个相等的实数根C.该方程无实数根 D.该方程根的情况无法确定3.二次函数的图象与y轴的交点坐标是（）A. B. C. D.4.若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A.

B. C.

D.5.如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为（）A.5 B.4 C.3 D.26.已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（）A. B. C. D.7.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A. B.13 C. D.8.关于x的方程，有下面5个说法：①存在实数k，使得方程无实数根；②存在实数k，使得方程恰有1个实数根；③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根；④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根；⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根；其中正确的说法有（）个A.0 B.2 C.3 D.5二、填空题：本大题共8小题，共16分．9.方程的根是______．10.分解因式：___________．11.将抛物线沿y轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为______________．12.已知射线OM．以O圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)13.若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+3的值为__________．14.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了______________m．15.如图，线段的垂直平分线、相交于点O，若，则的度数是______________．16.抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，；②若点，在该抛物线上，则；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．三、解答题：本大题共12小题，第17-20，22，23，25题，每题5分，第21，24，26题，每题6分；第27题7分，第28题8分，共68分．17.计算：．18.解方程：．19.求不等式组的最小整数解．20.如图，与都是等边三角形，连接，求证：．21.在二次函数中，部分x，的对应值如下表：x……0123…………232……（1）求该函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（3）作直线，当在的图象下方时，直接写出x的取值范围．22.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD．点E在AB边上，且CE∥AD．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）如果点E是AB的中点，AC=8，EC=5，求四边形ABCD的面积．23.为了解我国2022年第一季度25个地区快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：快递业务收入x频数61013c．第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：20.220.422.424.226.526.528.534.439.139.8d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：前5位的地区其余20个地区全部25个地区平均数p29.9n中位数270.3m28.5根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值为______________；（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______________（填写序号）①75；②80；③85．（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______________亿元．24.已知关于x的方程（1）求证：此方程总有实数根；（2）若m为整数，且此方程有两个互不相等非负整数根，求m的值．25.某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．为尽快减少库存，商场决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．（1）如果降价x元，每星期可以卖出______________件，x的取值范围是______________；（2）如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？26.有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣m…标格中m的值为m=；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．27.阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则，．解决下面问题：已知关于x的一元二次方程有两个非零不等实数根，设．（1）求n的取值范围；（2）试用含n代数式表示出m；（3）是否存在这样的n值，使m的值等于4？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．28.在等腰直角三角形中，．点P为直线上一个动点（点P不与点A，B重合），连接，点D在直线上，且．过点P作于点P，点D，E在直线的异侧，且，连接．（1）如图1，当点P在线段上时，请依题意补全图形1，并证明；（2）如图2，当点P在的延长线上时，请依题意补全图2，猜想和的位置关系和数量关系，并证明你的结论；（3）如果点P在直线上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段之间的数量关系（用等式表示）．

参考答案一、选择题：本大题共8小题，共16分．1.【答案】B【解析】【详解】A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选B．2.【答案】C【解析】【分析】把a=1，b=1，c=1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1，∴Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3.【答案】A【解析】【分析】令，代入解析式即可求解．【详解】解：由，令，解得∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是故选A．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点问题，理解题意是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+20，解得：x-2在数轴上表示为：故答案选D【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．5.【答案】B【解析】【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，推出是等腰三角形，从而推出，再用进行计算即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．当题目中既有平行又有角平分线时，往往会有等腰三角形．6.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系进行解答．【详解】∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，∴关于x的一元二次方程的一个根是，∵二次函数（m为常数）的图象的对称轴为，∴关于x的一元二次方程的两个根为，，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数解析式与一元二次方程的关系．7.【答案】C【解析】【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得，∴l=0.15t2-4t+27，∵0.15＞0，∴l有最小值，当t=-=≈13.33时，该地影子最短；故选C．【点睛】错因分析中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.8.【答案】C【解析】【分析】设，则原方程可变形为（1），利用一元二次方程根的判别式可得，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解．【详解】解：设，则原方程可变形为（1），∴，∴当，即时，方程（1）没有实数根，即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确；当，即时，方程（1）有两个相等实数根，∴，解得：，即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确；当，即时，方程（1）有两个不相等实数根，∴，∴，∵，∴，，∴无实数根，有2个不相等的实数根，∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实数根，故④⑤错误；∴正确的说法有3个．故选：C【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题．二、填空题：本大题共8小题，共16分．9.【答案】，【解析】【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．【详解】解：．移项，得．两边同时开方，得．则，．故答案为：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．10.【答案】【解析】【分析】先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．11.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线沿y轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为；故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．12.【答案】60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为60【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．13.【答案】3．【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2﹣4m=0，将其代入2m2﹣8m+3中即可得出结论．【详解】∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，∴△=（﹣m）2﹣4m=m2﹣4m=0，∴2m2﹣8m+3=2（m2﹣4m）+3=3．故答案3．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．14.【答案】9.375【解析】【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．【详解】解：∵，∴汽车刹车后到停下来前进了m，即9.375m．故答案为9.375．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键．15.【答案】72°##72度【解析】【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠BAO+∠OCA)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG=54°−∠BAO，∠COF=54°−∠OCA，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，计算即可求解．【详解】解：如图，连接BO并延长，∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，∴∠BAO=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90°−36°=54°，∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG=54°−∠A，∠COF=54°−∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，∴54°−∠A+2∠A+2∠C+54°−∠C+36°=180°，∴∠A+∠C=36°，∴∠AOC=2(∠BAO+∠OCA)=72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键．16.【答案】①③【解析】【分析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线经过，两点一元二次方程的根为，，则结论①正确抛物线的对称轴为时的函数值与时的函数值相等，即为当时，y随x的增大而减小又，则结论②错误当时，则抛物线的顶点的纵坐标为，且将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即恒成立则对于任意实数，总有，即，结论③正确将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为函数对应的一元二次方程为，即因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或对应的的值只有三个，则结论④错误综上，结论正确的是①③故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．三、解答题：本大题共12小题，第17-20，22，23，25题，每题5分，第21，24，26题，每题6分；第27题7分，第28题8分，共68分．17.【答案】7-2【解析】【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂运算法则，绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．【详解】解：=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则，绝对值的意义和二次根式的性质，是解题的关键．18.【答案】，．【解析】【分析】方程利用配方法求出解即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19.【答案】-2【解析】【分析】先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；所以这个不等式组的解集是，∴最小整数解是．【点睛】题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题关键．20.【答案】见解析【解析】【分析】根据△ABC与△AED都是等边三角形，由等边三角形的性质得到AC=AB，AD=AE，∠CAB=∠DAE，从而可证利用SAS证△CAD≌△BAE，即可由全等三角形的性质得出结论．【详解】证明：∵△ABC与△AED都是等边三角形，∴AC=AB，AD=AE，∠CAB=∠DAE，∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB，即∠CAD=∠BAE，∴△CAD≌△BAE(SAS)，∴CD=BE．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据表中的数据选取两个点代入解析式求解即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据函数图象得出在的图象下方时x的取值范围．【小问1详解】由题意可得将(-1，-1)和(1，3)带入解析式中，，解得，∴该函数解析式为；【小问2详解】抛物线的图象如图所示：【小问3详解】观察函数图象，当在的图象下方时，x的取值范围是．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．22.【答案】（1）见解析；（2）36【解析】【分析】（1）由AB∥CD，CE∥AD可得四边形AECD是平行四边形，根据平行线的性质、角平分线的定义可得∠DAC＝∠ACD，于是可得AD＝CD，进一步即可推出结论；（2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可推知△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线的性质可得AB的长，进而可根据勾股定理求出BC的长，于是△ABC的面积可得，再结合直角三角形的性质和菱形的性质即可求出结果．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠EAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：∵四边形AECD是菱形，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACE，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝CE，∴∠B＝∠ECB，∵∠ACE+∠ECB+∠BAC+∠B＝180°，∴∠ACE+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°；∵点E是AB的中点，EC＝5，∴AB＝2EC＝10，∴BC＝6．∴S△ABC＝BC•AC＝24．∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，∴S△AEC＝S△EBC＝S△ACD＝12．∴四边形ABCD的面积＝S△AEC+S△EBC+S△ACD＝36．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，属于常考题型、熟练掌握上述知识是解题的关键．23.【答案】（1）25.35；（2）③；（3）8500．【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；

（2）由平均数的计算法则进行计算即可；

（3）利用（2）中的结果进行计算即可．【小问1详解】解：将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为=25.35，即中位数m=25.35，故答案为：25.35；【小问2详解】解：∵n==85.276≈85，∴表中n的值最接近的是85；所以答案为:③；【小问3详解】解：85×25×4=8500（亿元），故答案为：8500．【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的定义及计算方法是正确解答的前提．24.【答案】（1）见解析；（2）m=1或4．【解析】【分析】（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为-4x+4=0，解得x=1；当m≠0时，计算判别式得Δ=4，由于4≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，关于x的方程m+4x+4-m=0总有实数根；（2）根据求根公式可得，，再根据方程有两个互不相等的非负整数根，得到m=1或2或3，再进行讨论得到m的值．【小问1详解】证明：当m=0时，此方程为-4x+4=0，解得x=1.即m=0时此方程有一个实数根.当m0时，此方程为一元二次方程∵≥0，∴方程总有两个实数根．综上所述,无论m取何值方程均有实数根.【小问2详解】解：由题意得：m≠0，∵，∴，，∵方程有两个互不相等的非负整数根，∴整数m=1或2或4．当m=1时，，符合题意；当m=2时，，不符合题意；当m=4时，，符合题意．∴m=1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法．25.【答案】（1）；0≤x≤20；（2）定价为每件57.5元时，可获得最大利润6125元．【解析】【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖出20件，即可得出降价x元，每星期可卖出件；根据降价之后的售价不能低于每件的进价，即可得出x的取值范围．（2）设降价x元，对应利润为y元，列出二次函数的解析式，再将二次函数解析式写成顶点式，即可求出最大利润．【小问1详解】解：∵每降价1元，每星期可多卖出20件，∴降价x元，每星期可多卖出20x件，∵原来每星期可卖出300件，∴降价x元，每星期可卖出件；∵降价之后的售价不能低于每件的进价，因此0≤x≤20；故答案为：；0≤x≤20；【小问2详解】解：设降价x元，对应的利润为y元，根据题意得，，∴当时，y有最大值，最大值为6125，此时，（元），因此定价为每件57.5元时，可获得最大利润6125元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用题，理解题意并根据题意列出函数表达式是本题的关键．26.【答案】（1）x≠0；（2）；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）x≠0；（2）当x=3时，；（3）注：要用平滑的曲线连接，图象不能与y轴相交；（4）函数的性质有很多．如：①当x<0时，y值随着x值的增大而减小；②该函数没有最大值；③该函数图象与y轴没有交点．27.【答案】（1）且；（2）m=；（3）．【解析】【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系可得，然后把所给代数式通分后代入整理即可；（3）令（2）中化简的结果等于4列方程求解即可．【小问1详解】解：将方程整理得：，∵方程有两个非零不等实数根，∴且，解得且，∴的取值范围是且．【小问2详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，∴．【小问3详解】解：当时，，即，解得，经检验，不符合题意，舍去，∴使的值存在，此时．【点睛】本题考查了一元二次方程的关系根的判别式及根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答本题的关键．28.【答案】（1）见解析；（2）补全图形见解析，BD=BE，BD⊥BE，证明见解析；（3）当点P在线段AB上时，BP=BC-BE，当点P在线段BA的延长线上时，BP=BE＋BC，当点P在线段AB的延长线上时，BP=BE-BC．【解析】【分析】（1）依据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形的性质得到∠1=∠D根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）作AP延长线PG，先证明∠DPG=∠ACP=∠EPG，再证明△EPB≌△DPB，即可得出结论；（3）分三种情况，①当点P在线段AB上时，②当点P在线段AB的延长线上时，③当点P在线段BA的延长线上时，分别求解即可得出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示；证明：∵∠BAC=90°，∴∠ACP+∠APC=90°．∵PE⊥PC，∴∠ACP+∠BPE=90°．∴∠ACP=∠BPE．【小问2详解】解：补全图形如图所示，结论：BD=BE，BD⊥BE证明：作AP延长线PG，如图，∵P