小学奥数版讲义：任意四边形、梯形与相似模型（二）（学生版+解析）

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:

①S[母="-b1

②S[:S3：S2：S&=a1:b1:ab:ab；

③S的对应份数为（a+b『.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

【例。如图，S2=2,S3=4,求梯形的面积.

【巩固】如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知八轨由与△8OC的面积分

别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

DC

【巩固】如图所示，在梯形ABC。中，ABMCD,对角线AC,5。相交于点0。已知A5=5,CD=3>,且梯形

ABC。的面积为4,求三角形043的面积。

【例2】梯形ABCD的对角线AC与血交于点O,已知梯形上底为2,且三角形4?。的面积等于三角形

BOC面积的-，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.

3

如下图，四边形/WCD中，对角线AC和血交于。点，已知AO=1,并且以髻竺学理自=3

【例3】

三角形CBD的面积5

那么OC的长是多少？

【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9c机2,问三角形AOD的面积是多少？

AD

0

BC

【巩固】如图，梯形A5CD中，\AOB.ACOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形MCD的面积.

【例5】在梯形ABC。中，上底长5厘米，下底长10厘米，5AB℃=2。平方厘米，则梯形48。的面积是

平方厘米。

【例6】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11,三角形3a/的

面积是23,求四边形EGM的面积.

【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角

形1的面积为.

【例7】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【巩固】在下图的正方形项CD中，E是边的中点，短与即相交于P点，三角形班F的面积为1平

方厘米，那么正方形MCD面积是平方厘米.

【例8】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,尸是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【例9】如图，在长方形ABCD中，钻=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

DCDC

【例10】已知ABCD是平行四边形,BC:CE=3.2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积

是平方厘米.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是.平方厘米.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是..平方厘米.

【巩固】E是平行四边形的边上的一点，BD、AE相交于点歹，已知三角形A尸。的面积是6,三

角形OE尸的面积是4,求四边形BCE尸的面积为多少？

【例11］如图所示，BD、CF将长方形MCD分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，ACED的面积是10

平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米?

【巩固】如图所示，BD、CF将长方形9CD分成4块，9跖的面积是4平方厘米，ACED的面积是6

平方厘米.问：四边形的面积是多少平方厘米？

【巩固】如图，长方形ABCD被CE、止分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么

余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.

【巩固】正方形MCD的边长为6,E是BC的中点（如图）。四边形OECD的面积为

D

C

【巩固】如图，长方形ABCD中，是直角三角形且面积为54,8的长是16,05的长是9.那么四边

形OECD的面积是.

【例12］如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形EEGO的面积为

【巩固】如图5所示，矩形A8CD的面积是24平方厘米,、三角形与三角形8CN的面积之和是7.8平

方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。

【例13］如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段与CD相交于K点.已知正方形DEFG

的面积48,AK.KB=1:3,则ABQ的面积是多少？

【例14］如图所示，ABCD是梯形，AADE面积是1.8,ZVRE的面积是9,ABCF的面积是27.那么阴影AAEC

面积是多少？

【例15］如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少？

【例16］如图，已知。是中点，E是C。的中点，尸是AC的中点.三角形ABC由①〜⑥这6部分组成,

其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

【例17］如下图，在梯形ABCD中，与CD平行，且CD=2成，点、E、尸分别是AD和3c的中点，已

知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【例18］如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现

在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分

【例19］如图，在正方形ABCD中，E、P分别在3c与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接BF、DE,

相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形和P&VG,设正方形MGQA的面积为

正方形PCNG的面积为邑，则E:S2=.

【例20】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,ZM的

中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数‘，那么，（机+〃）的值等

,J

(SL任意四边形、梯形与相似模型

miin隹例题霜窗

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:

①S[:邑=/:从

②S]：S3：$2：$4=]：；

③S的对应份数为（°+by.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答

2

【解析】设£为/份，S3为/份，根据梯形蝴蝶定理，S3=4=b,所以6=2;又因为S?=2=a*b,所以

a=l;那么5]="=1,64=0x6=2,所以梯形面积5=51+52+邑+邑=1+2+4+2=9,或者根

据梯形蝴蝶定理，S=（4+6）2=（1+2）2=9.

【答案】9

【巩固】如下图，梯形回⑦的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知ZXAOB与△BOC的面积分

别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形MCD的面积是平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】填空

2

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=a:ab=25:35,可得a:6=5:7,再根据梯形蝴蝶定理,

2222

sAOB:SDOC=a:b=5:1=25:49,所以S=49（平方厘米）.那么梯形旗CD的面积为

25+35+35+49=144（平方厘米）.

【答案】144

【巩固】如图所示，在梯形中，AB//CD,对角线AC,50相交于点0。已知A3=5,CZ>=3,且梯形

4BCZ）的面积为4,求三角形045的面积。

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答

【关键词】华杯赛，决赛，15分，第3大题第，1题

【解析】根据题意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,

22

则根据蝴蝶模型SDOC:SAOD:SAOB:SCOB^a:ab:b:ab^9:15:25:15,令SA0B=25份，

ii75

则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份。所以1份为：4+64=—，则三角形OAB的面积为—x25=」。

161616

25

【答案】—

16

【例22】梯形ABCD的对角线AC与血交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形

30c面积的-，求三角形AOD与三角形30c的面积之比.

3

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

1

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=ab-.b=2:3,可以求出a:6=2:3,

2212

再根据梯形蝴蝶定理，SAOD:SBOC=a:b=2:3=4-.9.

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而干

辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.

【答案】4:9

【例23】如下图，四边形ABCD中，对角线AC和血交于。点，已知AO=1,并且三黑竺”|秀=3

二角形C8D的面积5

那么OC的长是多少？

B

D

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答

【关键词】华杯赛

三角形4瓦珀勺面积AO所以、40_3又所以

【解析】根据蝴蝶定理,40=1,CO=3.

三角形C即的面积一而'~CO~~53

【答案】-

3

【例24】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9c病，问三角形AOD的面积是多少？

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答

2222

【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:/=l:L5=2:3,S^AOD-.S^OC=a:b=2:3=4:9,

所以"A8=4（cm2）.

【答案】4

【巩固】如图，梯形ABCD中，AAOB、ACOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.

【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB-SACOD=cr:b-=4:9,所以口:。=2:3,

23

S、AOD：SAOB=ab：a=b:a=3:29SAOD=SCOB=1.2x—=1.8,

S梯形=1.2+1.8+1.8+2.7=7.5.

【答案】7.5

【例25】在梯形A5CZ＞中，上底长5厘米，下底长10厘米，5AB°C=2。平方厘米，则梯形4BC。的面积是

平方厘米。

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】华杯赛，决赛，第4题，10分

【解析】因为A£）〃BC,故乂=42=型又AD_5_=一1故“__A__O_=__D__O_

BCCOBOBC102'COBO2

在ABOC与ADOC中，因其高相等，且80:00=2:1,故S^oc:S^oc=2\\

=22

而20cm,故=10cmo同理，在ACOD与AAOD中,

因CO:AO=2:1,且在相应边上的高相等，故SACOQ：=2:1即=—x10=5cm2.

在AAOB与BOC中，因AO:CO=1:2,且其在相应边上的高相等，故510屋S^BOC=1:2O

AAOB2MOD=2

即S=10cm综上,S梯形=8AA03+\BOC+SACOD+10+20+10+5=45cm

【答案】45

【例26】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形4X?的面积是11,三角形BE的

面积是23,求四边形及才目的面积.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，连结EF,显然四边形AOEF和四边形3CEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面

积等于三角形AOG的面积；三角形8cH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积

是11+23=34.

【答案】34

【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角

形1的面积为.

【考点】梯形模型【难度】3星

【关键词】人大附中，入学测试题

【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

45

形3,所以1的面积就是36x----=16,3的面积就是36x——=20.

4+54+5

【答案】20

【例27］如图，正方形A5CD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】因为M是AO边上的中点，所以根据梯形蝴蝶定理可以知道

=

S/XAMG:S^ABG-S&MCG:*^ABCG：(1X2)：(1X2)：2?=1：2：2：4,设SAAOM=1份，则S^MCO=1+2=3份，

所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S阴影=2+2=4份，所以S阴影：S正方形=1:3,所以S阴影=1

平方厘米.

【答案】1

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与血相交于尸点，三角形的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

AD

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【解析】连接DE,根据题意可知3E:AD=1:2,根据蝴蝶定理得S梯形=（1+2>=9（平方厘米），SA£CD=3（+

方厘米），那么S他⑺=12（平方厘米）.

【答案】12

【例28］如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，及厂是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】因为E,尸是OC边上的三等分点，所以EF:AB=1:3,设入。所=1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

SAAO£=SA°FB=34分,S^AOB=9份，S△曲=S.CF=（1+3）份，因此正方形的面积为4+4+（1+3了=24

份,$阴影=6,所以S阴影：S正方形=6:24=1:4,所以S阴影=3平方厘米・

【答案】3

【例29］如图，在长方形ABCD中，A3=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：如图，连接DE,/史将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形4⑦的面积为

2x6+3+2=2平方厘米.

由于跖：。。=1:3,根据梯形蝴蝶定理，5的：5.。=3:1,所以5,.=^$加，而S.DEF=S.ADE=2

平方厘米，所以S°EO=\><2=L5平方厘米，阴影部分的面积为2+1.5=35平方厘米.

方法二:如图，连接八E,FC,由于EF:DC=1:3,设份，根据梯形蝴蝶定理，SAOED=3

份，S梯形.co=（1+3）2=16份，SAADE=SABCF=1+3=4^,因此S长方形wo=4+16+4=24份，

S阴影=4+3=7份，而S长方形板。=6x2=12平方厘米，所以S阴影=3.5平方厘米

【答案】3.5

【例30】已知AfiCD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积

是平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，六年级

【解析】连接AC.

由于A5co是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,

22

根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所以2加。=6（平方厘

米），5»0=9（平方厘米），又S"c=S皿>=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方

厘米）.

【答案】21

【巩固】右图中ASCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【解析】连接

由于AD与3c是平行的，所以AECD也是梯形，那么鼠。8=•

根据蝴蝶定理,SAOCDxS^OAE=S^OCExS^OAD=4x9=36,故SAOCJ=36,

所以SAOCD=6（平方厘米）.

【答案】6

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【关键词】三帆中学

【解析】连接至.

由于4）与3c是平行的，所以AECD也是梯形，那么&℃°=$人卸.

根据蝴蝶定理，SAOCDxSAOAE=S,OCExSAOAB=2x8=16,故%/=16,所以=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形AB田中，5皿=<5MED=gx（16+8）=12（平方厘米），

所以5AA0E二S.DE-5.“=12-8=4（平方厘米），

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8x2+4=4（平方厘米）.

【答案】4

【巩固】E是平行四边形A3C。的C。边上的一点，BD、AE相交于点F,已知三角形A歹。的面积是6,三

角形OEF的面积是4,求四边形5CE歹的面积为多少？

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，5年级，复赛，第15题

【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6,而顶上的三角形为6x6+4=9,“？”处的三角形面

积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.

【答案】11

【例3。如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，ACED的面积是10

平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】连接3尸，根据梯形模型，可知三角形庞广的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形3CE的面积为10x10+5=20（平方厘米），所以长方形的面积为

（20+10）x2=60（平方厘米）.四边形ABEF的面积为60—5—10—20=25（平方厘米）.

【答案】25

【巩固】如图所示，BD、CF将长方形9CD分成4块，AD£F的面积是4平方厘米，ACED的面积是6

平方厘米.问：四边形的面积是多少平方厘米？

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】（法1）连接班1,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形3印的面积和三角形DEC的面积

相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形3CE的面积为6X6+4=9（平方厘米），

所以长方形的面积为（9+6）x2=30（平方厘米）.四边形ABEF的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.

FF49FDFF2

（法2）由题意可知，一=-=-,根据相似三角形性质，一=—=-,所以三角形3CE的面积为：

EC63EBEC3

2

6+g=9（平方厘米）.则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15x2=30（平方厘米）.四边

形的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.

【答案】11

【巩固】如图，长方形ABCD被CE、D厂分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么

余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，4题

【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以5^。。=S/℃，又根据蝴蝶定理，

S^EOD■S^poc=S^OF,S^COD，所以5A£0£,•SAFoc=5.0尸,SACO。=2x8=16,所以先“=4（平方厘米），

SAECD=4+8=12（平方厘米）.那么长方形3CD的面积为12x2=24平方厘米，四边形OEBC的面积

为24-5-2-8=9（平方厘米）.

【答案】9

【巩固】正方形ABCD的边长为6,E是3C的中点（如图）。四边形OECD的面积为一。

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第4题，8分

【解析】连结。E,沁=沁=2=2,^SAD£O=fsAB£D=|xlx3x6=6,先位=白3/6=9,所

3MB03AABEJJ//

以SOECD=6+9=15o

【答案】15

【巩固】如图，长方形ABCD中，AC®是直角三角形且面积为54,OD的长是16,03的长是9.那么四边

形OECD的面积是.

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，初赛

【解析】解法一：连接。E,依题意S仞口=LxBOxAO=Lx9xAO=54,所以AO=12,

A0B22

则S=-xDOxAO=-xl6xl2-96.

■AAOnDn22

i3

又因为SACR=SDM=54=—X16XOE，所以O石=6—，

,AUUuuc,24'

1133

得SKCF=—xBOxEO=—x9x6—=30—，

BOE2248

35

所以S0E8=S皿c—S60E=S板_5研=（54+96）_30_=119_.

CZCCZJDZJCDCZCADL）tujtL\,88

解法二:由于543：5加8=0£）:08=16:9,所以SA8=54xg=96,而S的=S4改=54,根据

3

蝴蝶定理，sxS=SxS,所以SBOE=54x54+96=301

BOEAODAOBDOEo

35

所以S=SB/-SBOE=S初。-SBOE=（54+96）-30—=119—.

OUtELCCDHDCDvJtLADDD（ytL\/gg

【答案】119*

8

【例32］如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形£FGO的面积为

【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，六年级，初赛，第5题

【解析】根据容斥关系：

四边形EFGO的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积

三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60,

白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50

所以四边形的面积=60-50=10

【答案】10

【巩固】如图5所示，矩形ABC。的面积是24平方厘米,、三角形ADW与三角形8CN的面积之和是7.8平

方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。

【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第9题

【解析】1.8

【答案】1.8

【例33］如图，AA5c是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG

的面积48,AK:KB^1:3,则ABQ的面积是多少？

DAGDAG

【考点】梯形模型【难度】4星【题型】解答

【解析】由于DEFG是正方形，所以ZM与8C平行，那么四边形AD3C是梯形.在梯形AD3C中，ABDK和

AACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面积是AABC面积的」一=），那么ABDK

1+34

的面积也是AABC面积的1.

4

由于A/WC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是的中点，而且

AM=DE,可见AANM和AACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以AABC的面积与正

方形DEFG的面积相等，为48.

那么ABDK的面积为48x-=12.

4

【答案】12

【例34］如图所示，MCD是梯形，A4DE面积是1.8,AAB厂的面积是9,ABb的面积是27.那么阴影AAEC

面积是多少？

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到SMFBXSSFCUJA阳xS.「而S&四=5必用（等积变换），所以可得

c_S^FBXSACOF_9X9_

^MF£>_g—3,

、砧FC乙/

并且5皿=5收/-5AAa=3-L8=L2，而5凶"：S诩c=人尸：2=9:27=1:3，

所以阴影AAEC的面积是：5^=SAA£FX4=1,2X4=4.8.

【答案】1:3

【例35］如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少？

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

QQ

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积一x6=-.

183

【答案】-

3

【例36］如图，已知。是3C中点，E是CD的中点，尸是AC的中点.三角形ABC由①〜⑥这6部分组成,

其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?

【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答

【解析】因为E是。C中点，尸为AC中点，有且平行于AZ）,则四边形ADEF为梯形.在梯形

ADEF中有③=④，②x⑤二③义④，②：@=AD2:FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6+（4-1）=2,

②=⑤x4=8,所以②、⑤=④x④=16,而③=④，所以③=@=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、

⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有一CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，

444

即为1:4.所以ADC面积为梯形ADEF面积的——=—,即为18x-=24.因为。是3C中点，所以

4-133

人£。与_ADC的面积相等，而一ABC的面积为ABD、,ADC的面积和，即为24+24=48平方厘

米.三角形ABC的面积为48平方厘米.

【答案】48

【例37］如下图，在梯形ABCD中，钻与CD平行，且CD=2M,点E、尸分别是AD和3c的中点，已

知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空

【解析】连接EF,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积.

13

设梯形ABCD的上底为。，总面积为S.则下底为2a,EF^^a+2a）^-a.

一33

所以AB:EF=a:—a=2:3,EF:DC=­a:2a=3:4.

22

由于梯形ABEE和梯形EFCD的高相等，所以

:

S梯形AMES梯形=（.+EF）:（EF+℃）=［"+5”）：（万〃+2。）=5:7,

57

故S梯形ABFE=五S，S梯形后尸CD=五S.

根据梯形蝴蝶定理，梯形内各三角形的面积之比为22:2x3:2x3:32=4:6:6:9,所以

9953

S-EMF=4+6+6+9%3=云、方,=与5；

9973

=X=

同理可得S0rS梯形EFCD49125285，

9+12+12+16

339

所以SfMFN=SEMF+S=—S+—S=—5,由于SEMFN=54平方厘米,

ENFZUZo33

Q

所以S=54+行=210（平方厘米）.

【答案】210

【例38］如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现

在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分

的面积为.

【考点】梯形模型【难度】4星【题型】填空

【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况.

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,

因此空白处的总面积为6x1.5+2x4+2x2=22,阴影部分的面积为6x6—22=14.

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,

上底、下底之比为2:6=1:3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

比为俨：1><3:1><3:32=1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的二，阴影部分的面

16

77

积占该梯形面积的,，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的’,那么阴影部分的面积为

1616

—X(62-22)=14.

16

【答案】14

【例39]如图，在正方形ABCD中，E、尸分别在3C与8上，且CE=2BE,CF=2DF,连接班'、DE,

相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为3,

正方形PCNG的面积为S2,

【考点】梯形模型【难度】4星