相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型-2023-2024学年九年级数学上册（解析版）

相似三角形重要模型・（双）A字型与（双）8字型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）/字模型和（双）8（X）字模型.

A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行

线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题

都是屡见不鲜的。

模型1.字模型

【模型解读与图示】

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等

或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似.

A

A

BC

图i图3

“N”字模型条件：如图1,DEWBC；结论：AADEsAABCo港=罪=等.

1)

ADACnC

ADAp

2)反“”字模型条件：如图2,乙4ED=^B；结论：AADE”AACB0万=蓊=钎.

ACADnC

3)同向双"”字模型

〃也-向…EGFGAG

条件：如图3,EFWBC；结论：AAEFsAABC,AAEG-AABD,AAGF“AADC=——=——=——

BDCDAD

例1.（2022•浙江杭州・中考真题）如图，在ABC中，点、D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接OE,EF,

DF7

已知四边形BFED是平行四边形,器=（.（1）若"=8,求线段AD的长.⑵若「AOE的面积为1,求平行

四边形BFED的面积.

A

【答案】⑴2(2)6

【分析】(1)禾烟平行四边形对边平行证明△ADES64BC,得到g|=空即可求出；

nCAD

(2)利用平行条件证明ADEs.EFC,分别求出：ADE与£FC、ADE与ABC的相似比，通过相似三角形的

面积比等于相似比的平方分别求出SVEFC、ABC,最后通过SBFED=SABC-SEFC—ADE求出.

DEAD

⑴•・•四边形8FE。是平行四边形，・・・。石〃5C,

.-.AADE^AABC,,BC-AB

DE1

薨。•••Ao4AjB=r8=2：

(2人四边形8FED是平行四边形，.•.DE〃BC,EF//AB,DE=BF,

ZAED=NECF,NEAD=NCEF,ADEyEFC.♦.也也=（三],

EFCVFCJ

DE1

'：=—,DE=BF,FC=BC—DE=4DE—DE=3DE,

BC4

DE=DE=1S||AP£JPE?1

FC3DE3，,•SEFC[3J9

DF1

--AADE^AABC,

=1，S,EFC=9,SQc=16SMED=S,ABC-S—S〔AOE=16-9-1=6.

【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证

明三角形相似并求出相似比是解题关键.

例2.(2023秋•安徽六安•九年级校考期末)如图，在ABC中，BD、CE分别是AC、4B边上的高.求证:

NACB^VAED.

【答案】见详解

AE_AC

【分析】先证明ACEsABD,即有益=茄，再结合NA=NA,即可证明VACRsVAED.

［详解］rBO、CE分别是AC、AB边上的高，...//@=44/汨=90。，

AEAC

■.■ZA=ZA,ACE^ABD,,..ADAB,

又；ZA=NA,VACBsVAED.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键.

例3.（2022•山东东营•中考真题）如图，在ASC中，点尸、G在8c上，点£、〃分别在AB、AC上，四

边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是ABC的高.BC=8,40=6,那么EH的长为.

24

【答案】5##4.8

【分析】通过四边形EFGH为矩形推出团〃比，因此4AEH与AABC两个三角形相似，将AM视为4AEH的

AM_EH

高，可得出AD-BC,再将数据代入即可得出答案.

【详解】••・四边形EFGH是矩形，.•.即〃比，AEFsABC,

•­•AM和AD分别是△AEH和4ABC的高,

—=—,DM=EF

...ADBC■,AM=AD-DM=AD-EF^6-EF,

江=里EF*

...EH=2EB,代入可得：68,解得5,

£H=2xt_2424

5,故答案为:T

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.

例4.（2022•浙江宁波・中考真题）（1）如图1,在「ABC中，D,E,F分别为A3,AC,BC上的点,

DE〃BC,BF=CF,AF交DE于点、G,求证：DG=EG.

DF

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CRCG.^CG±DE,CD=6,AE=3,求=的值.

⑶如图3,在［ABC。中，乙位）。=45。,4。与交于点O,E为AO上一点，EG〃BD交AD于点、G,EFLEG

交BC于点F.若NEGF=40。,尸G平分NE尸C,尸G=10,求8尸的长.

图3

【分析】（1）利用DE〃BC,证明"DGAABF,AAEG△Ab,利用相似比即可证明此问；

r）p

（2）由（1）得DG=EG,CG1DE,得出DCE是等腰三角形，利用三角形相似即可求出工片的值；

BC

（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE交A3于点M,连接尸作垂足为/V.构造出

等腰三角形、含30。、45。角的特殊直角三角形，求出3N、尸N的值，即可得出5歹的长.

(1)解：-DE//BC,AADGAABF,AAEGAACF,

DGAGEGAGDGEG

•；BF=CF,/.DG=EG.

BF--AF?,BF-CF

(2)解：由(1)得OG=EG,・.・CG1DE,；.CE=CD=6.

vAE=3,/.AC=AE+CE=9.-DE//BC,・•.ADEABC.

BCAC3

（3）解：如图，延长GE交AB于点M,连接尸W,作MN_LBC,垂足为M

在ABCD中，BO=DO,ZABC=ZADC=45°.

•:EG〃BD,.•・由(1)得ME=GE,

•••EFLEG,FM=FG=M;"EFM=/EFG.

・.・NEGF=40。，/.ZEWF=40°,：.ZEFG=50°.

••尸G平分/ER:,.・.N£FG=NCFG=50。,

/.ZBFM=180°-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30°.

・•・.在RtFMV中，MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30°=573.

•：NMBN=45°,MN1BN,BN=MN=5,

■■BF=BN+FN=5+5y/3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，

遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.

例5.（2022•安庆一模）如图，在△NBC中，点。、£、尸分别在边BC、N8、C4上，且。£〃C4,。尸〃N8.（1）

若点。是边5c的中点，且8E=CF,求证：DE=DF；

（2）若/。_LBC于。，且求证：四边形NEZW是菱形；

【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△/3C的中位线，进而可得。E=PC,同

理可得。尸=3E,即可解答；

（2）根据已知易证四边形/ED尸是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得

然后利用平行线的性质可得NED4=NC4。，从而可得/84D=NED4,进而可得£/=&）,即可解答；

（3）根据/字模型相似三角形可知LCDFsACBA,从而可得理=毁，更=%，然

ACBCABBC

后把两个式子相加进行计算，即可解答.

【解答】（1）证明：：点。是边2C的中点，DE//CA,

.•.点E是48的中点，是△/BC的中位线，C.DE^^AC,

2

;点。是边3c的中点，DF//AB,点尸是/C的中点，

：.FC=^AC,：.DE=FC,同理可得：DF=BE,

2

,:BE=FC,：.DE=DF；

（2）证明："JDE//CA,DF//AB,.•.四边形/£7加是平行四边形，

'：AD.LBC,BD=CD,是3c的垂直平分线，

：.AB=AC,：.ZBAD=ZCAD,"CDE//AC,：.AEDA=ACAD,

AZBAD=ZEDA,：.EA=ED,二四边形4EZ）尸是菱形;

(3),JDE//CA,:.NEDB=/C,

•：4B=/B,:.ABEDsABAC,DE=BD；'JDF//AB,：.NB=NFDC,

ACBC

VZC=ZC,:.△CDFs^CBA,.•.更=史，.•.必+更=理+型=四生1=1

ABBCACABBCBCBC

:四边形/瓦)厂是平行四边形，：.DE=AF,DF=AE,

：/£=/尸=1,；.DE=DF=\,，工+-1-=1,的值为1

ACABAC

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式

的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及/字模型相似三角形的关键.

模型2.“X，字模型（"8”模型）

【模型解读与图示】

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这

两个三角形相似.

图4

1）“8”字模型

ABOAOB

条件：如图1,ABWCD；结论:AAOBFCOD，~CD~~OC~~OD-

2）反“8”字模型

条件：如图2.,ZA=Z£）；结论：MOBs4DOC=*=*=*

3）平行双“8”字模型

AEBE_AB

条件：如图3,ABWCD；结论:

DFCF—CD

4）斜双“8”字模型

条件：如图4,Z1=Z2；结论：AAOD-^BOC,/^AOBsADOCo乙3=乙4.

例L（2022•河北・中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉

点8的连线与钉点C,。的连线交于点£,则

（1）与CD是否垂直？（填"是"或"否"）；（2）AE=

【答案】是述叫下

55

【分析】（1）证明ANCG三△CED,推出NG4G=N尸CD,证明NCE/=90。，即可得到结论；

（2）利用勾股定理求得的长，证明△/ECsASE。，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：（1）如图：AC=CF=2,CG=DF=1,乙4CG=NCED=90。，

心ACG2CFD,“CAG3CD,

•・・"CE+"CQ=90°,.-.z^CE+zG4G=90°,

.・zCE4=90。，与CD是垂直的，故答案为：是;

(2)/5=也2+42=2遥,-ACWBD,:.AAECSABED,

ACAE2AEAE2生I密警故答案为:警

.---=——,即Rn一二——,——=—,

BDBE3BEBE5

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，

找出所求问题需要的条件.

例2.（2022•广西・中考模拟）如图，已知在△A8C中，BE平分NABC交AC于E,点。在BE延长线上，且

•BC=BD・BE.（1）求证：AABDS^EBC;（2）求证：AD2=BD'DE.

A

【答案】见解析

【解答】证明：(1)平分NA8C,:.NABD=NEBC,

ABBD

,：BA-BC^BD'BE.即——=——，Z.^\ABD^/\EBC；

BCBE

(2)vAABD^AEBC,:.ZBAD=ZBEC,ZADB=ZBCE,

VZAED=ZBEC,：.ZBAD=ZAED,:.△ADES^BEC,

ADDE,

A/\AED^/\ABD,：.—=——，BPAD2=BD'DE.

BDAD

例3.（2023•浙江九年级期中）如图，AD与2C交于点O,即过点。，交48与点E,交CD与点F,BO

（1）求证：/A=ND.(2)若AE=BE,求证：CF=DF.

【答案】

Q9OBAO

【解析】证明：(1)V5O=1,CO=3,AO=2-DO=,

1.,ZAOB=ZCOD,:.△OABs^ODC,：.ZA=ZD.

(2)VZA=ZD,：.AB//CD,

.AE0EBE0E.AEBE

"DF-OF'CF-OF'"DF-CF

,:AE=BE,：.CF=DF.

例4.（2022•广西贵港・中考真题）己知：点C,。均在直线/的上方，AC与2。都是直线/的垂线段，且

在AC的右侧，BD=2AC,与BC相交于点O.

（1）如图1,若连接C。，则△BCD的形状为,大的值为；

AD

（2）若将2。沿直线/平移，并以AD为一边在直线/的上方作等边ADE.

3

①如图2,当AE与AC重合时，连接OE,若AC=j,求OE的长；

②如图3,当NACB=60。时，连接EC并延长交直线/于点尸，连接OF.求证：OFLAB.

图1图2

【答案】(1)等腰三角形，|⑵①OE=2币;②见解析

【分析】(1)过点C作CH1AD于可得四边形48AC是矩形，即可求得ZCS8,进而可判断△BCD的

形状，AC,5D都垂直于/,可得AAOCMBOD,根据三角形相似的性质即可求解.

(2)①过点E作E尸，AO于点H,AC,3。均是直线/的垂线段，可得AC〃m，根据等边三角形的性质

可得N5AD=30。，再利用勾股定理即可求解.

②连接8,根据AC//B。，得NCB£>=/ACB=60。，即△BCD是等边三角形，把△AB。旋转得

ApAni

NECD=ZABD=90°,根据30。角所对的直角边等于斜边的一般得到丁7=K=；，贝U可得^AOF^AADB,

ABAD3

根据三角形相似的性质即可求证结论.

(1)解：过点C作CW18D于况如图所示:

"ACX.I,DBll,CH1BD,:.乙CAB=UBD="：HB=90°,二四边形/5HC是矩形，:.AC=BH,

又•••8O=Z4C,.•.AC=BH=DH,且CH1BD,二△BCD的形状为等腰三角形,

AQA(JA。]

'：AC>BD都垂直于I,：./sAOCs/\BOD,———...-=—,即DO=2AO,

DODB2AC2

AOAO_AO\£

故答案为：等腰三角形,

而AO+DO~3AO~33

(2)①过点E作所，AD于点凡如图所示:

-AC,5。均是直线/的垂线段，・•.AC/ABD,•・•ADE是等边三角形，且AE与AC重合,

.■,Z^4r>=60°,ZADB=ZEAD=60°,.-.ZBAD=30°,.•.在RrADB中，AD=2BD,AB=y/3BD,

31

XvBD=2AC,AC=—,..AD=6,AB=3y/3：.AH=DH=—AD=3,

又MADB,EH=ylAH2+AE2=732+62=373，

又由（1）知¥=：,.-.A0=iAr>=2,则O"=l,.•.在放AEOH中，由勾股定理得：OE=2出.

AD33

②连接。，如图3所示：•••AC〃8£）,二/B£>=/ACB=60。，

•・・△BCD是等腰三角形，.•.△BCD是等边三角形，又•••AOE是等边三角形，

绕点。顺时针旋转60。后与一ECZ）重合，.•./成力=/，钻。=90。，

又：ZBCD=ZACB=60°,ZACF=ZFCB=ZFBC=30°,

APAQ1

：.FC=FB=2AF,—=—=一，5LZOAF=ZDAB,AAOF^/\ADB,

ABAD3

.-.ZAFO=ZABD=90°,：.OFLAB.

【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理

的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键.

模型3.“4*字模型（“48”模型）

【模型解读与图示】

图1图2图3

1）一“N”一“8”模型

ADAEDEDFFE

条件:如图1,DEWBC；结论:^ADE~/^ABC,/\DEFs△CBF。------------

ABACBCFCBF

2）两“工”一“8”模型

条件：如图2.,DE\\AF\\BC；结论：----1--------=-------.

BCDEAF

3）四一“8”模型

条件：如图3,DE\\AF\\BC,-------1--------=-------=-------；结论：AF=AG

BCDEAFAG

例1.（2022•山东东营・中考真题）如图，点。为AfiC边AB上任一点，交AC于点E,连接3区CD

相交于点R则下列等式中不感义的是（）

ADAEDEDFDEAEEFAE

---=---D.

DBEC1BC~~FCBC~EC~AC

【答案】c

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A,根据相似三角形的性质即可判断B、C、D.

【详解】解：TDE〃BC,

ADAE

:.BDEC,ADEF-ACBF,AADE-AABC,故A不符合题意；

DE_DF_EFDE_AE

CB~CF~BF,CB-AC,故B不符合题意，C符合题意；

EFAE

BF~AC,故D不符合题意；故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与

判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键.

例2.（2023•浙江・杭州九年级期中）如图，ABC中，中线AD,BE交于点F,EGHBC交AD千点、G.（1）

求当的值.（2）如果2。=4百，DF=4,请找出与VBD4相似的三角形，并挑出一个进行证明.

GE

【答案】(1)3；(2)ABDAsAFGE,证明见解析

【分析】(1)先证明&GES&LDC,再证明△GERSADB/，得到小=2Gb,则问题可解；

(2)根据题意分别证明八BDASMDB,ABDASAFGE问题可证.

【详解】解：(1)QD是BC的中点，E是AC的中点，:.BD=CD,AE=CE,

GE/IBC,:.Z\AGE^/\ADC,

,AGGEAE}

,AD-CD-AC_2,:.AG=GD,2GE=CD=BD,

GEGF_1

GEHBC,:△GEFs^DBF,"BD~15F~2,

*=3

:.DF=2GFy:.AG=DG=3GFfGF.

(2)当BD=4也,。尸=4时，由(1)可得

GF=-DF=2GE=-BD=2y/3

2,AG=DG=3G尸=6,AD=2AG=12,2,

胆_记_"占=6,AD_BD

DF4BD4J3,BDDF,

又・「NBDG=ZADB,:./\BDA^/\FDB,

色地理=与=6•他=些

GF,BD4J3,BDGF,

GE//BC,:.ZADB=NEGF,:.Z\BDA^Z\FGE_

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似.

例2.(2023•广东九年级期中)如图，在菱形ABCD中，NADE、NCDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对

CECD

角线AC于点M,且/ADE=NCDF.(1)求证：CE=AF；(2)连接ME,若——=——，AF=2,求ME的

BECE

长.

【解析】解：(1):四边形ABCD是菱形，=/DAF=/DCE,

又,：NADE=NCDF,；.NADE-NEDF=NCDF-NEDF,；.NADF=NCDE,

ZADF=ZCDF

在aADF和△CDE中，｛AD=CD,：./XADF^ACDE,:.CE=AF.

ZDAF=ZDCE

(2)\•四边形A8CD是菱形,：.AB=BC,由(1)得：CE=AF=2,：.BE=BF,

CECD2x+2__l

设BE=BF=x,——=——,4F=2,..=,解得x=jr5—l，..BE=BF=y/5-1,

BECEx2

・・CECD.CECDCD

------,且CE—AFt・

,BECE*BE-CE-AF?

CDCM

"：ZCMD=ZAMF,ZDCM=ZAMF,:.AAMFs^CMD,：.——=------,

AFAM

・3CMCE

=----=——，J1ZACB=ZACB,/.AABC-AMEC,ZCAB=ZCME=ZACB,，ME=CE=2.

**AFAMBE

ZB1

例3.(2022・浙江九年级期中)如图，已知侧S"与皿相交于点E,点尸在线段2c上，-=-

SAEBC：SAECD-

【答案】见解析

ABBE1

【解析】(1)证明：必BIICQ,

•,CD~ED~2

BF1BEBF

一=・•・一=一，.-.EF\\CD-.ABWEF,

CF2EDFCf

(2)设的面积为冽.

■■■ABWCD,.-.AABE-ACDE,-S^ABE=(—)2=.-.SACDE=4m,

SAEDCCD4

AEAB1

---=---=一，'S4BEC=2m,

CECD2

1・S4ABE：S^EBC：SAECD=m：2m：4加=1：2：4.

例4.(2022•安庆模拟)在四边形/BCD中，对角线ZC、相交于点。

(1)如图①，若四边形/BCD为矩形，过点。作0£_L8C,求证：OE=LCD.

2

(2)如图②，若AB〃CD,过点。作EF〃/8分别交BC、ND于点£、F.求证：空匣=2.

ABCD

(3)如图③，若0c平分D、£分别为。/、。2上的点，DE交OC于息M,作MV〃。心交。4于

一点、N,若。。=8,OE=6,直接写出线段MV长度.

图①图②图③

【分析】(1)由OE_L2C,DCLBC,可知EO〃CD,且08=0。，可得结论；

(2)由△DR9s△D/8,得胆同理见望_,箜0,典型_,利用等式的性质将比例式相加，

ABDBCDACABCACDBD

从而得出结论；(3)作。尸〃03交OC于点凡连接防，可知△OD尸是等腰三角形，得。尸=8,由

ADMF^/\EMO,可得及1/=SDM，由△DMNs^DOE,得典从而得出答案.

4OEDE7

【解答】(1)证明：•••四边形是矩形，是4c中点，ABLBC,

*=/cD；

'JOELBC,：.OE//AB,是8c中点，；.(

.FODO

(2)证明：•:EF//AB,:.△DFOS4DAB,••—,

ABDB

同理OF,A0OECOEQBO.F0_0FOEEO=D0AOCOBO

CD-AC'AB-CA7CD'BD''AB+CD+AB+CDDB+AC+CA4BD

.FO-KJEEO+OFAOKQBO+DO即EFEF弓

F—=2；

ABCDACBDABCDc

(3)解：作。尸〃02交0c于点尸，连接斯,

A

：OC平分//OB,:.NAOC=NBOC,'：DF//OB,：.ZDFO=ABOC=AAOC,

尸是等腰三角形，：.DO=DF=S,"：DF//OE,：./\DMF^^EMO,

DM二DM=DM=4

.EM_E0_E0_6_33砂，

"DM"DF"DOT"!.・瓦诉

.MNDM4.MN4.24

,JMN//OE,:.丛DMNs丛DOE,>•----—―--,•(一—='',••IVLly------

OEDE7677

【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,

对比例式进行恒等变形是解题的关键.

课后专项训练

1.（2021•山东淄博・中考真题）如图，A5CO相交于点£,且aa/£F〃。以点CR8在同一条直线上.已

厂之间满足的数量关系式是（

2111112

A.一十―=一B.—+-=-C---1_一=D.--F—=——

丫qpp丫qpqqrP

【答案】C

EFBFEF_CFEFEF

---=-------1---

【分析】由题意易得ts^BAC,CEFsCDB,则有正一卫TBDBC,然后可得ACBD

进而问题可求解.

【详解】解：■.AC//EFHDB,

,■,ABEFSABAC,CEFSCDB,

EF_BFEF_CF

.AC-BC

,,,BD~~BC,

_E_F__।__E_F_=_B__F_।__C_F_=]A

ACBDBCBC

..AC=P,EF=r,DB=q

；.pq，即夕9〃；

故选c.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

2.（2023春•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末）如图，A5C中，AD是它的角平分线，P是AO上的一点，

PE〃AB交BC于点、E,尸尸〃AC交于点尸,G为所的中点，若PE=3,PF=6,则5曲：5.=（）

35

A.2B.3C.-D.—

23

【答案】A

【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知△尸硝是等腰三角形，再根据相似三角形的判定与性质

EDEH\

可知尸£（一尸尸一耳，进而解答即可.

【详解】解：过点E作交AD的延长线于点

••・A。是的角平分线，

,.•ABADACAD，

VPE//AB,PF//ACf

；./BAC=/EPD,ZCAD=ZDPF,

,ZEPD=ZFPD,

EH//PFf

・•.ZH=ZDPF,

.•・ZEPD=ZH,

.・.△尸但是等腰三角形,

:.PE=EH,

:PE=3,

；.PE=EH=3,

EH//PF,

ZPFD=ZHED,

,EDHsFDP,

EDEH

,；PF=6,

EDEH31

...FD~PF~6~2,

,FD=2ED,

..设ED=a,FD=2a?

:.EF=ED+FD=3a,

•.•G是E/的中点，

13

EG=-EF=-a

,・,22，

31

DG-EG—ED——u.—Q——Q

22,

过户作PMLED,垂足为

SrPEFD——2ED,PMS尸PDC=—2DG,PM

•,，―

q-EDPM

>PED_2a=2T

q11

>PDG-DGPM-a

•.,229

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，中点的定义，等腰三角

形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

3.（2022秋•九年级单元测试）如图，在平行四边形N3CD中，E为边/。的中点，连接/C,8E交于点足若

尸的面积为2,则的面积为（）

DC

D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四边形的性质得AD〃BC,AD=BC,由四〃3c可判断△AEF-ACBF,根据相似三角形

EFAFAE_1L一_1

的性质得§尸然后根据三角形面积公式得屋4/k,则SAABC=6S峥=12.

【详解】•••平行四边形ABCD

AD//BCfAD二BC

••・E为边AD的中点

.*.BC=2AE

•­AE//BC

•••ZEAC=ZBCA

又・・2EFANBFC

.-.△AEF-ACBF

如图，过点F作FH1AD于点H,FG1BC于点G,

EF_AF_AEHF\

贝I」而一孑一正一而工

2

vAAEF的面积为2

5语=68AAm=6x2=12

故选c.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题.

4.（2023秋•山西阳泉•九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AC,对角线AC与BD相交于点

E,DE=3BE,ACrAD,NACB=75。，AE=3栏,则对角线AC与BO的长分别是（）

A.AC=4y/3,BD=12y/3B.AC=9,BD=4^/19

C.AC=6,BD=8«D.AC=8,BD=4A/19

【答案】D

【分析】过点B作AO交AC于点0,证明:AEDsOEB,可求得°E=若，A0=4石，根据勾股定

理求出8°的长，进而可求出入C的长，再根据勾股定理求出8E的长，进而求出8。的长.

【详解】过点B作80〃山》交AC于点。，如图所示:

..AC±AD,BO//AD,

...ZDAC=ZBOA=90°,

：•ZAED=ZOEB,

,.,AED^OEB,

BEEOBO

：/DE~~\E~~D\

.：DE=3BE,

EOBO_1

...A£DA-3.

..AE=3^/3,

...OE=5

...AO=4g.

-AB^AC,ZACB=15°,

■./ABC=ZACB=75。，

...ZBAC=30°,

.."=230.

2222

在Rt"03中，BO+AOAB,即卜何+BO=（2B0）^解得：B0=4

.AS=AC=8.

...OE=680=4,

...BE=4BOr+OE1=晒,

DE=3BE=3M,

：.BD=BE+DE=4M.

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股

定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度.

5.（2022秋•山西晋中•九年级统考阶段练习）如图，点尸在平行四边形ABCD的边上，延长交。的延

长线于点£,交AC于点。，若产些=3,则黑的值为（）

3△COE9DF

【答案】C

【分析】先由平行四边形性质得到相〃CD,至=8,证明△AOBS^COE得到3CE°S&COE9,进

AB_2_2

而得到。E7，再证明IA尸2sDFE求解即可.

【详解】解：•••四边形ABC。是平行四边形,

-.AB//CD,AB=CD,

,..ZABO=AE,ZBAO=AECO,

...△AOBs^COE,

^ABo_SAAOB_4

.eCE0SAC0E9

AB2AB2

----=-......=—=2

CE3,贝ijDE1

VZAFB=NDFE,ZABF=ZE,

...AFBsDFE,

AF四二2

.DFDE

故选：C.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

答的关键.

6.（2023•福建福州•校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝.在骨

架设计中，两条侧翼的长度设计AB=AC=50cm,风筝顶角/BAC的度数为110。，在AB,AC上取。，E

两处，使得AO=AE,并作一条骨架AF10E.在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B,C

）（参考数据：sin55°«=0.82,cos55°»0.57,tan55°~1.43）

B.57cmC.82cmD.143cm

【答案】C

【分析】设A尸与OE交于点G,连接2C,交AF于点根据已知易证△MESAABC,然后利用相似

三角形的性质可得NADE=//3C,从而可得OE〃3C,进而可得再利用等腰三角形的三线合

ZBAH=-ABAC=55°

一性质可得3C=28〃，2，最后在RtA4”中，利用锐角三角函数的定义求出28的长，

即可解答.

【详解】解：设4尸与DE交于点G,连接BC,交AF于点

AD=AEfAB=ACf

ADAE

/.AB-AC,

ZDAE=ZBACy

.•.△ADE<^AABC,