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文档简介
重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总
anil
题型1平面向量的线性运算........................................................1
♦类型1基底法.............................................................1
♦类型2三点共线方程组法..................................................3
♦类型3坐标法............................................................3
♦类型4等和线法法........................................................5
题型2向量数量积最值取值范围问题...............................................6
♦类型1定义法............................................................6
♦类型2基底法(线性表示)................................................8
♦类型3坐标法............................................................9
♦类型4极化恒等式法......................................................9
♦类型5几何意义法.......................................................10
题型3向量模长最值取值范围问题................................................11
♦类型1坐标法............................................................11
♦类型2几何意义法.......................................................12
♦类型3三角换元法.......................................................13
♦类型4三角不等式法.....................................................13
题型4向量共线的应用...........................................................13
题型5向量夹角.................................................................15
题型6向量平行与垂直的应用.....................................................16
题型7投影向量.................................................................17
题型8解析几何与向量...........................................................18
题型9奔驰定理与面积比.........................................................20
题型10向量四心................................................................20
iQnai
题型1平面向量的线性运算
♦类型1基底法
即F期重点
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系);若咒、冤是同一平面内的两个不共线向量,
则对于这一平面内的任一向量口有且只有一对实数入1、入2,使方=入1叼+入
1.选定基底,则人1、入2,是唯一的
2.处理技巧:可"绕三角形",可待定系数,可建系.
【例题1-1】(多选)(2023•全国•高三专题练习)在平行四边形4BCD中,点E为边CD中点,
点F为边BC上靠近点B的三等分点,连接4尸,BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的
三等分点,记同=方,AD^b,则下列说法正确的是()
A.点M,N,E三点共线
B,若力M=Aa+iib,贝m+/z=1
c.W=1BM
D.SAABM=yS,S为平彳丁四边形力BCD的面积
【变式1-1】1.(2022•全国•高三专题练习)如图,在平行四边形ABC。中,点E是C。的中
点,点F为线段BD上的一动点,若万=xAE+yDC,且x>zn>0,y>0,则niy(x-m)的
最大值为()
【变式1-112.(2022秋•辽宁沈阳•高三东北育才学校校考期末)已知。是2MBe内一点,
且U1+砺+配=0,点M在/OBC内(不含边界),若瓦=4费前,贝!U+2〃的取值范
围是
A.(1,|)B.(1,2)C,(|,1)D,(1,1)
【变式1-1】3.(2020春•湖北襄阳•高三襄阳四中校考阶段练习)在zMBC中,\AC\=2,\AB\
=2,^BAC=120°,AE=XAB.AF=MZC,M为线段EF的中点,若|胡|=1,贝!M+〃的最大
值为()
A孚B.零C.2D.与
333
♦类型2三点共线方程组法
【例题1-2】(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图,在AABC中,前=方,E是线段BC
上的点,且满足前=2元,线段CD与线段4E交于点F,则下列结论正确的是()
A.AE=^AB+|XCB.3DF=2CF
C.~AF=^AB+|lCD.4AF=3AE
♦类型3坐标法
【例题1-3】(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图,在菱形ABCD中,ABAD=60°,延
长边CD至点E,使得DE=CD.动点P从点4出发,沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到4点,
^AP=AAB+/1AE,则()
A.满足4+〃=1的点P有且只有一个
B.满足2+4=2的点P有两个
C.4+〃存在最小值
D.4+〃不存在最大值
【变式1-3】1.(2024秋・安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试)古希腊数学家特埃特
图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知
AB=BC=CD=1,AB1BC,AC1CD,AC^BD^T0,若丽=4屈+屈,贝[j4+〃=
()
A.—1B.1—ypZC.+1D.—^[2,—1
【变式1-3】2.(多选)(2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)
重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爰.
古人曾有诗赞曰:"开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅
长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中NC。。=半,0C=40A=4,动点P在而上
(含端点),连结0P交扇形OAB的弧近于点Q,且而=xOC+yOD,则下列说法正确的
是()
A.若丫=%,则x+y=lB.若y=2久,则04-0P=0
C.AB-0P>-2D.
【变式1-3】3.(多选)(2023•全国•高三专题练习)正方形ABCD的边长为4,E是BC
中O点,如图,点P是以:AB为直径的半圆上任意点,AP=XAB+/1AE,贝()
AB
A.4最大值为1B.4P/B最大值是8
C.2最大值为等D.AP-尼最大值是8+8立
【变式1-3】4.(2023•北京海淀•校考模拟预测)已知点。是边长为4的正方形的中心,
点P是正方形ABCD所在平面内一点,|方|=1,若Q=AAB+/zAD.
(1)屈勺取值范围是;
(2)当4+〃取得最大值时,|丽|=
【变式1-3】5.(2023•全国•高三专题练习)在直角梯形4BCD中,AB1AD,AB//DC,
AD=DC=1,AB=2,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆上或圆内移动,设和=2
AD+〃丽(尢〃eR),则下+夕儿最大值是
♦类型4等和线法法
驷:一警11占
f.丰•、、、
等和线原理:=A.OB+〃°Co4+〃=1
OF=XOB+〃=7nm二焉
乙40B=:,C0的延长线与线段48交于点。,若无=丽+痂,则瓶+n的取值范围
为.
【例题2-1](2023•全国•高三专题练习)如图,△ABC中,ZC=J,AC=2,BC=g
鱼.在△ABC所在的平面内,有一个边长为1的正方形4DEF绕点4按逆时针方向旋转(不少
于1周),则荏丽的取值范围是()
E
一
A.[-3,5]B.[-4,6]C.[-5,9]D.[-3,4]
【变式2-1】1.(2023・全国•高三专题练习)在△ABC中,”=60。,BC=2g,。为△ABC
的外I%D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,目丽之+赤?+而2=生则云.而+而
OC+OC-OA=.
【变式2-1】2.(2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试)"圆幕定理”是
平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条
相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,如图,已知圆。的半径2,点P是圆。内的定点,
且。「=鱼,弦力C,BD均过点P,则下列说法错误的是()
A.万•丽为定值B.瓦?•沆的取值范围是[-2,0]
C.当4C1BD时,乐•而为定值D.|福丽|的最大值为12
【变式2-1】3.(2023春•福建福州•高三校考阶段练习)圆。为锐角△ABC的外接圆,
4C=24B=2,点P在圆。上,则而•彩的取值范围为()
A.[―],4)B.[0,2)C.[—1,2)D.[0,4)
【变式2-1】4.(2023・全国•高三专题练习)已知△4BC中,〃=60。,AB=6,AC=4,
。为△ABC的夕卜心,若而=4万+〃尼,贝以+〃的值为
【变式2-1】5.(2023•全国•高三专题练习)如图,菱形4BCD的边BC上有一点E,边DC上
有一点F(E,F不与顶点重合)目|BE|>|DF|,若△4EF是边长为g的等边三角形,则瓦^
BE的范围是.
♦类型2基底法(线性表示)
【例题2-2】(2023•全国•高三专题练习)已知菱形ABCD的边长为2,ABAD=120°,*E
在边BC上,BC=3BE,若G为线段DC上的动点,则而•赤的最大值为()
A.2B.I
C.yD.4
【变式2-2】1.(2023・全国•高三专题练习)在直角△ABC中,ABVAC,AC=^3,AB=1,
平面ABC内动点P满足CP=1,则而■丽的最小值为.
【变式2-2】2.(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图,已知直线点4是%%
之间的一个定点,点4到片办的距离分别为1,2.点B是直线已上一个动点,过点4作
AC1AB,交直线人于点C,耐+港+瓦=6,则()
A.AG=l(jB+AC)B.△G4B面积的最小值是|
C.|^G|>1D.福•弱存在最小值
♦类型3坐标法
【例题2-3】(2023•全国•高三专题练习)在RtaABC中,乙4=90。/8=2,4C=4,D为
BC的中点,点P在△ABC斜边BC的中线AD上,则丽•丽的取值范围为()
A.[-5,0]B.[-3,0]C.[0,3]D.[0,5]
【变式2-3】1.(2023・上海・上海市七宝中学校考模拟预测)已知I为单位向量,向量五了满
足五-2e|=2,\b-3e|=3,则花,石的取值范围是_.
【变式2-3】2.(2023•上海黄浦格致中学校考三模)已知平面向量五,b,不满足同=1,
a-b=b-c=l,\a—b+c\<242,则五,西勺最大值为.
【变式2-3】3.(2023•天津河西•统考二模)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老
的传统民间艺术之一,图I是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形
的示意图.如图2,正八边形ABCDEFGH中,若荏=4瑟+〃而&〃eR),则2+〃的值
为;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动
点,则Q•前的取值范围是-
图1图2
【变式2-3]4.(2023秋・江苏南京・高三南京市第一中学校考期末)已知△ABC是面积为
3旧的等边三角形,四边形MNPQ是面积为2的正方形,其各顶点均位于△ABC的内部及三
边上,且可在aABC内任意旋转,则加•我的最大值为()
QO
A.--B.-C.V6—V2—2D.V6+V2-2
♦类型4极化恒等式法
为线段2B上的动点(包含端点),。为4c的中点.将线段AC绕着点。旋转得到线段£尸,则
ME■声的最小值为()
A.-2B.-|
C.-1D.
【变式2-4】(2023•全国•高三专题练习)在四边形ABCD中,zB=60°,AB=3,BC=6,
且前=4就,而•同=—I,则实数4=;若M,N是线段BC上的动点,且|而|
=1,则奇•丽的最小值为.
♦类型5几何意义法
【例题2-5】(2023・新疆•校联考二模)已知平面向量工b,c,满足同=2,忖―司=2班,
若对于任意实数X,都有忸一4|2年一同成立,目尼一司W1,则刃白的最大值为()
A.2B.4C.6D.8
【变式2-5】(2023•陕西汉中•统考二模)已知4(—3,0),B(3,0),P为平面内一动点(不与4B
重合),且满足器|=2,则万•丽的最小值为.
题型3向量模长最值取值范围问题
♦类型1坐标法
【例题3-1】(多选)(2023・全国•高三专题练习)(多选题)已知向量乙肝满足同=3,回=1,
归一身=夕,同=2|工—目.设防=区1eR,则()
A.|访—弓的最小值为近
B.|布—弓的最小值为2V^—2
C.\m—引的最大值为2g+2
D.|花—耳无最大值
【变式3-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量无b,苒满足同=|瓦=1,al(a
-2及,(c-2a).(c-6)=0,则©的最大值为()
A.0B.V3C.D.V7
【变式3-1】2.(2023春•上海黄浦・高三上海市大同中学校考阶段练习)已知平面向量第
b,c,满足同=1,{a,b)={7a—c,9a-c)=^,则仿一科的取值范围是.
【变式3-1】3.(2023・上海•高三专题练习)设x、yeR,若向量2,b,2满足豆=(乂1),
b=(2,y),c=(1,1),且向量五一办与下互相平行,则同+2|向的最小值为-
【变式3-1】4.(2023・上海•高三专题练习)已知平面向量五石31满足同=3,|e|=1,
\b-a\=1,<a,e>=^,且对任意的实数t,均有|一电2年一2矶,则恬一回的最
小值为.
【变式3-1】5.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量无b,且满足五不=同=历
|=2,若苕为平面单位向量,则忖-e+b-成的最大值
【变式3-1】6.(2023春・上海虹口・高三统考期中)已知平面向量区b,c,3满足同=3,
|e|=l,\b-a\=l,<a,e>=y,且对任意的实数t,均有尼一比|21一2矶,则「一回的
最小值为.
♦类型2几何意义法
【例题30(2023•安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模)在RS4BC中,|阿=|园=4,
D是以BC为直径的圆上一点,则|四+而|的最大值为()
A.12B.8V2C.5V6D.6V5
【变式3-2】1.(2023・全国•高三专题练习)已知非零向量为,b,工满足⑷=4,a-b=2
\b\,c2=|a-c-5,则对任意实数t,忆—曲的最小值为.
【变式3-2】2.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量扇b,I,满足式=2,|五+同
=1,"=点+而且4+2〃=1,若对每一个确定的向量石,记©的最小值为机,则当己变化
时,实数小的最大值为.
【变式3-2]3.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量嗨足同=<2\b\=V2,cos(a,b)
=-cos(c-a,c-b)=-苧,则以©为直径长的圆的面积的最大值为.
【变式3-2】4.(2023・上海•高三专题练习)已知点4B是平面直角坐标系中关于y轴对称
的两点,且|瓦?|=2a(a>0).若存在使得+。4与+OB垂直,且
\(mAB+0A)-(nAB+OB')\=a,则|4B|的最小值为
【变式3-2】5.(2020秋・浙江金华•高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知平面向量五%
满足同=回=莉=2,且0一矶|一不)=0,则加+2小勺最大值是.
【变式3-2】6.(2022秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考期中)设向量瓦?,而满足
|ox|=\OB\=2,~OA-~OB^2,若也nGR,m+n=1,贝加小同|+[就一n瓦?|的最小值
为
♦类型3三角换元法
【例题3-3](2023•全国•高三专题练习)已知向量心至满足|2五+引=3,同=1,则同+2
\a+川的最大值为.
【变式3-3】1.(2023・全国•高三专题练习)已知正方形4BCD的边长为2,动点P在以。为
圆心且与4C相切的圆上,则而•乐的取值范围是
【变式3-3】2.(2023•全国•高三专题练习)已知五工总之是单位向量,满足花19,而=五+2书
访一讦+|记一42=20,则忻一团的最大值为.
♦类型4三角不等式法
【例题3-4】(2023・上海•高三专题练习)已知非零平面向量方、I才满足同=5,2\b\=
|c|,且五),[一五)=0,则同的最小值是
【变式3-4]1.(2022秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)若直线ax-y=0
2rcq2、+1
^7(^与函数以为二卞父图象交于不同的两点4况且点C(6,0),若点满足
(DA+~DB-DC)-DC=0,则m+n的取值范围是.
【变式3-4】2.(多选)(2020•北京•高三校考强基计划)设平面向量标2满足同W2,历
|<1,且二一21一21Vl五+2囱,则同的()
A.最大值为4或B.最大值为2遍
C.最小值为0D.最小值为此
题型4向量共线的应用
、1,4\
#电重点
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数
入与出,使得0?=而彳+〃后且2+〃=1.特别地,当P为线段AB的中点时,。?=品
【例题4】(2023秋•江西•高三校联考开学考试)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,C,已知cos8=|,P为△48C内一点.若点P满足而+河且而=无瓦?+y
BC,贝!k+y的最大值为-
【变式4-1】1.(2023•全国•高三专题练习)如图,在△力BC中,点D在线段4B上,目
AD^AB,E是CD的中点,延长AE交BC于点H,点P为直线AH上一动点(不含点A),且
AP=AAB+fiAC(儿〃GR).若AB=4,且714c=贝!]△C4H的面积的最大值为.
C
【变式4-1】2.(多选)(2023•全国•高三专题练习)在△ABC中,AC=4fAB=5,
BC=6,。为AC中点,E在上,SJE=^ED,2E延长线交BC于点艮则下列结论正确的
有()
A.屈=3B.AE-~BC=-^
C.aACF的面积为3bD.AF=6EF
【变式4-1】3.(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图所示,在凸四边形A8CD中,对
边BC,4。的延长线交于点&对边SB,DC的延长线交于点F,若前=2次,ED=^DA,
AB=3BF(A,//>0),则()
A
/
B
tr'E
F
A.EB=^EF+^EAB.加=;
C.抖抽最大值为1D.>-J
【变式4-1】4.(2023・辽宁沈阳・东北育才学校校考一模)在△4BC中,AB-AC=9,sinB=
cosTlsinC,SAABC=6,P为线段AB上的动点,且而=x,篇+y・嵩,贝岭+:的最小值为
()
A..+?B.C..+9D.含
。3t>lz31Z
【变式4-1】5.(2022秋・广西钦州•高三校考阶段练习)在△力BC中,AB=4,BC=3,
C4=2,点P在该三角形的内切圆上运动,若丽=小同+71万(m,n为实数),则机+n的
最小值为()
AAg1Q—D-
18,3189
【变式4-1】6.(2022・全国•高三专题练习)过△ABC重心。的直线PQ交AC于点P,交
BC于点Q,PC=(XC,QC=nBC,则n的值为L
题型5向量夹角
【例题5】(2023•山东济宁•统考二模)已知向量方、B不共线,夹角为。,且同=2,回
=1,\a+Ab\+\a-Ab\=4V2,若竽=4<2夜,则|cos8|的最小值为.
【变式5-1】1.(2023•福建泉州•统考模拟预测)人脸识别,是基于人的脸部特征信息进行
身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中,主要应用距离测试检测样本之间的相似度,
常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设4(%i,yD,5(x2,y2),则曼哈顿距离d(4B)
=|%1-X2|+|yi-711,余弦距离e(4B)=1-cos(4B),其中cos(4,B)=cos0X砺)(。
为坐标原点).已知M(2,l),d(M,N)=l,则e(M,N)的最大值近似等于()
(参考数据:V2«1.41,V5«2.24.)
A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948
【变式5-1】2.(多选)(2023・福建•校联考模拟预测)半圆形量角器在第一象限内,目与x
轴、y轴相切于以E两点.设量角器直径4B=4,圆心为C,点P为坐标系内一点.下列选项正
确的有()
A.C点坐标为(2,2)B.\OA+OB\=2>/2
C.COSAAOBG[|,^)D,若同2+|国之+|网2最小,则明=竽
【变式5-1]3.(2023・全国・安阳市第二中学校联考模拟预测)已知m+而与沆为相反
向量,若|而|=2,\OB\+|OC|=4,则瓦5,而夹角的余弦的最小值为—.
【变式5-1】4.(2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测)已知平面向量五=6?,b=
~OB,c^OC,满足4瓦•前=1一|瓦?『,4OB-CB=1-|OC|2,则向量2-4石与工一2后所成
夹角的最大值是()
A.fB.fC.vD.
o336
题型6向量平行与垂直的应用
【例题6】侈选)(2023•全国•高三专题练习)如图,△力BC的外心'为O,三条高线他BE,CF
交于一点H,ED与4B的延长线交于点I,FD与4C的延长线交于点J,则()
A.Z.BDF=Z.BACB.OB-TD=0
C.OC-JD=OD.OW-7/=O
【变式6-1】(2023•全国•高三专题练习)设4B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,
且=2.若存在m,nER,使得爪48+02与nAB+OB^直,且
\{mAB+OA)-(nAB+OB)|=2,则|四|的最小值为.
题型7投影向量
【例题7](2023春•辽宁•高三辽师大附中校考阶段练习)已知点D在线段4B上,CD是△ABC
的角平分线,E为CD上一点,且满足旗=瓦?+几(备+需可一|函=6,|明
=14,设瓦<=2则近在让的投影向量为.(结果用日表示).
【变式7-1】1.(2023・天津・统考二模)在△4BC中,AB=3V2,角4为锐角,目向量同
在向量而上的投影向量的模是3,贝!M=;若不中=6,贝函数/仁)=卜刀—g而|+
|xZB-|xc|(xGR)的最小值为.
【变式7-1】2.(多选)(2023•全国•高三专题练习)窗花是贴在窗户上的剪纸,是中国古
老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出几何图形的
示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形4BCDEFG”边上任意一点,则下
列说法正确的是()
图1
A.若函数/■(%)=|诟一x同|,则函数f(x)的最小值为2+四
B.可•丽的最大值为12+8四
C.E在而方向上的投影向量为-当
D.OA+OC=V30F
题型8解析几何与向量
【例题8】(多选)(2023秋・河南•高三校联考开学考试)0Q:(x+l)2+(y—l)2=2与
〃y=—久交于4B,M为曲线y=Kx>0)上的动点,贝U()
A.”到直线/距离最小值为鱼
B.MA-MF>0
C.存在点M,使得△M4B为等边三角形
D.拓■说最小值为1
22
【变式8-1】1.(2023•四川成都•校联考二模)已知直线Z:y="(k>0)与双曲线。今-襄
=19>0,6>0)相交于人,B两点,点力在第一象限,经过点4且与直线/垂直的直线与双曲
线C的另外一个交点为M,点N在y轴上,BN//NM,点。为坐标原点,目而?=7=I•布,
则双曲线C的渐近线方程为()
A.y=±V3^B.y=±V5xC.y=±V6xD.y=±V7x
【变式8-1]2.(2023・江苏扬州•统考模拟预测)已知向量五=(%+1,V5+y\b=(%-1,V5
-y),满足五1刃的动点M(x,y)的轨迹为E,经过点N(2,0)的直线1与E有且只有一个公共点4,
2
点P在圆N+(y—2伪=1上,贝”IP的最小值为().
A.3—2V2^B.—1
C.2V2-2D.1
【变式8-1】3.(2023•海南海口•海南中学校考二模)如图,2022年世界杯的会徽像阿拉
222
伯数字中的"8".在平面直角坐标系中,圆+(y+m)=n和N:%2+(y—l)=1外切
也形成一个8字形状,若尸(0,—2),/(I,-1)为圆M上两点,B为两圆圆周上任一点(不
同于点A,P),则丽•丽的最大值为().
FIFAWORLDCUP
A.^|^B.2V2+1C.3+V2D,3V2+2
【变式8-1】4.(2023•全国•模拟预测)已知。为坐标原点,椭圆C:9+?=l上两点A,
B满足%・%=".若椭圆C上一点M满足加=4万?瓦贝!M+四的最大值为
()
A.1B.C.yjsD.2
【变式8-1】5.(2023秋•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试)已知双曲线C:§-g=l
(a>0,6>0)的左右焦点分别为Fi,F2,点A在C上,点B在y轴上,。•元1=0,
葩=|瓦?,则C的离心率为—.
【变式8-1】6.(2023春•全国•高三竞赛)设圆(x—3)2+(y—4)2=25的圆心为C,点N
(6,0),M(12,10),P为直线y=久上一点.若圆上存在两点A,B,使得点P满足加=丽+
M?,则△PCN面积的取值范围为()
A.[2,51]B.[3,51]C.[2,52]D.[3,52]
题型9奔驰定理与面积比
【例题9】(多选)(2023•全国•高三专题练习)有下列说法其中正确的说法为()
A.若五IIb,b||c,则「||c
B.若花11另仿46),则存在唯一实数%使得五=企
C.两个非零向量无b,若,一引=|可+㈤,贝值与3共线且反向
D.若2cM+OB+30c=6,S&AOC,S&IOB分别表小△AOC,△AOB的面积,则S^AOCSAAOB
=1:3
【变式9-1】(2023•全国•高三专题练习)"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,
因为这个定理对应的图形与“奔驰"轿车(Mercedesbenz)的log。很相似,故形象地称
其为"奔驰定理奔驰定理:已知。是AABC内的一点,△⑶。。,△^。。,△在。^的面积分
别为4SB,SC,则有力•福+SB•而+Sc•无=6.设。是锐角△回(7内的一点,
NB4C,乙4BC/ACB分别是△力BC的三个内角,以下命题不正确的有()
A.^OA+OB+0C=0,则0为△ABC的重心
B.^OA+2OB+30C=0,贝!JS/SBSC=1:2:3
C.^[OA\=[OB\=2,^AOB=^,2OA+3OB+40C=0,则S44BC=T
D.若0为△力BC的垂心,贝!jtan/B力C•0A+tanzXBC-OB+tan/ACBOC=0
题型10向量四心
在AABC中:
1.重心:PA+PB+PC=O
2.外心:同|=|而|=|玩|
3.内心:向量4(爵+需)(%。。)所在直线过AABC内心&BAC角平分线所在直线)
4.垂心:~PA-~PB=TB-~PC=TA-TC
【例题10】侈选)(2023•全国•高三专题练习)设点”在△48C所在平面内,则下列结论正
确的是()
A.若前=儡+裔,目前=49+(1—4)衣(0<2<1),则前=标
B.若近1+2加+3标=6,则△ABC的面积与A/IBM的面积之比为2:1
C,^MA+2MB+3MC=6,且M为△ABC的垂心,贝!JCOS/AMB=—噜
D.若病=耳尸料一+产J)QeR),贝UM的轨迹经过△ABC的垂心
\PB|COSB\AC\COSCJ
【变式10-1】1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知点。在△力8c所在的平面内,
则下列命题正确的是()
A.^OA-OB^OA-OC=OB-OCSAB-AC=1,^\\A0-AB=1
B.右屈一司—[OC-OA\^\OA-OC\_\OB^OC\'贝!
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