向量压轴小题十大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总

anil

题型1平面向量的线性运算........................................................1

♦类型1基底法.............................................................1

♦类型2三点共线方程组法..................................................3

♦类型3坐标法............................................................3

♦类型4等和线法法........................................................5

题型2向量数量积最值取值范围问题...............................................6

♦类型1定义法............................................................6

♦类型2基底法（线性表示）................................................8

♦类型3坐标法............................................................9

♦类型4极化恒等式法......................................................9

♦类型5几何意义法.......................................................10

题型3向量模长最值取值范围问题................................................11

♦类型1坐标法............................................................11

♦类型2几何意义法.......................................................12

♦类型3三角换元法.......................................................13

♦类型4三角不等式法.....................................................13

题型4向量共线的应用...........................................................13

题型5向量夹角.................................................................15

题型6向量平行与垂直的应用.....................................................16

题型7投影向量.................................................................17

题型8解析几何与向量...........................................................18

题型9奔驰定理与面积比.........................................................20

题型10向量四心................................................................20

iQnai

题型1平面向量的线性运算

♦类型1基底法

即F期重点

平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）；若咒、冤是同一平面内的两个不共线向量,

则对于这一平面内的任一向量口有且只有一对实数入1、入2,使方=入1叼+入

1.选定基底，则人1、入2,是唯一的

2.处理技巧：可"绕三角形"，可待定系数，可建系.

【例题1-1】（多选）（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形4BCD中，点E为边CD中点,

点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接4尸，BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的

三等分点，记同=方，AD^b,则下列说法正确的是（）

A.点M,N,E三点共线

B,若力M=Aa+iib,贝m+/z=1

c.W=1BM

D.SAABM=yS,S为平彳丁四边形力BCD的面积

【变式1-1】1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在平行四边形ABC。中，点E是C。的中

点，点F为线段BD上的一动点，若万=xAE+yDC,且x>zn>0,y>0,则niy（x-m）的

最大值为（）

【变式1-112.（2022秋•辽宁沈阳•高三东北育才学校校考期末）已知。是2MBe内一点，

且U1+砺+配=0,点M在/OBC内（不含边界），若瓦=4费前，贝!U+2〃的取值范

围是

A.（1,|）B.（1,2）C,（|,1）D,（1,1）

【变式1-1】3.（2020春•湖北襄阳•高三襄阳四中校考阶段练习）在zMBC中，\AC\=2,\AB\

=2,^BAC=120°,AE=XAB.AF=MZC,M为线段EF的中点，若|胡|=1,贝!M+〃的最大

值为（）

A孚B.零C.2D.与

333

♦类型2三点共线方程组法

【例题1-2】（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图，在AABC中，前=方,E是线段BC

上的点，且满足前=2元，线段CD与线段4E交于点F,则下列结论正确的是（）

A.AE=^AB+|XCB.3DF=2CF

C.~AF=^AB+|lCD.4AF=3AE

♦类型3坐标法

【例题1-3】（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图，在菱形ABCD中，ABAD=60°,延

长边CD至点E,使得DE=CD.动点P从点4出发,沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到4点,

^AP=AAB+/1AE,则（）

A.满足4+〃=1的点P有且只有一个

B.满足2+4=2的点P有两个

C.4+〃存在最小值

D.4+〃不存在最大值

【变式1-3】1.（2024秋・安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特

图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知

AB=BC=CD=1,AB1BC,AC1CD,AC^BD^T0,若丽=4屈+屈，贝[j4+〃=

()

A.—1B.1—ypZC.+1D.—^[2,—1

【变式1-3】2.（多选）（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）

重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爰.

古人曾有诗赞曰："开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅

长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中NC。。=半，0C=40A=4,动点P在而上

（含端点）,连结0P交扇形OAB的弧近于点Q,且而=xOC+yOD,则下列说法正确的

是（）

A.若丫=%，则x+y=lB.若y=2久，则04-0P=0

C.AB-0P>-2D.

【变式1-3】3.（多选）（2023•全国•高三专题练习）正方形ABCD的边长为4,E是BC

中O点，如图，点P是以：AB为直径的半圆上任意点，AP=XAB+/1AE,贝（）

AB

A.4最大值为1B.4P/B最大值是8

C.2最大值为等D.AP-尼最大值是8+8立

【变式1-3】4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）已知点。是边长为4的正方形的中心,

点P是正方形ABCD所在平面内一点，|方|=1,若Q=AAB+/zAD.

（1）屈勺取值范围是；

（2）当4+〃取得最大值时，|丽|=

【变式1-3】5.（2023•全国•高三专题练习）在直角梯形4BCD中，AB1AD,AB//DC,

AD=DC=1,AB=2,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设和=2

AD+〃丽（尢〃eR）,则下+夕儿最大值是

♦类型4等和线法法

驷:一警11占

f.丰•、、、

等和线原理：=A.OB+〃°Co4+〃=1

OF=XOB+〃=7nm二焉

乙40B=：,C0的延长线与线段48交于点。，若无=丽+痂,则瓶+n的取值范围

为.

【例题2-1］（2023•全国•高三专题练习）如图，△ABC中，ZC=J,AC=2,BC=g

鱼.在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形4DEF绕点4按逆时针方向旋转（不少

于1周），则荏­丽的取值范围是（）

E

一

A.[-3,5]B.[-4,6]C.[-5,9]D.[-3,4]

【变式2-1】1.（2023・全国•高三专题练习）在△ABC中，”=60。，BC=2g,。为△ABC

的外I%D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，目丽之+赤？+而2=生则云.而+而

OC+OC-OA=.

【变式2-1】2.（2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试）"圆幕定理”是

平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条

相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆。的半径2,点P是圆。内的定点，

且。「=鱼，弦力C,BD均过点P,则下列说法错误的是（）

A.万•丽为定值B.瓦？•沆的取值范围是[-2,0]

C.当4C1BD时，乐•而为定值D.|福丽|的最大值为12

【变式2-1】3.（2023春•福建福州•高三校考阶段练习）圆。为锐角△ABC的外接圆，

4C=24B=2,点P在圆。上，则而•彩的取值范围为（）

A.[―],4）B.[0,2）C.[—1,2）D.[0,4）

【变式2-1】4.（2023・全国•高三专题练习）已知△4BC中，〃=60。，AB=6,AC=4,

。为△ABC的夕卜心，若而=4万+〃尼，贝以+〃的值为

【变式2-1】5.（2023•全国•高三专题练习）如图，菱形4BCD的边BC上有一点E,边DC上

有一点F（E,F不与顶点重合）目|BE|>|DF|,若△4EF是边长为g的等边三角形，则瓦^

BE的范围是.

♦类型2基底法（线性表示）

【例题2-2】（2023•全国•高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2,ABAD=120°,*E

在边BC上，BC=3BE,若G为线段DC上的动点，则而•赤的最大值为（）

A.2B.I

C.yD.4

【变式2-2】1.（2023・全国•高三专题练习）在直角△ABC中，ABVAC,AC=^3,AB=1,

平面ABC内动点P满足CP=1,则而■丽的最小值为.

【变式2-2】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图，已知直线点4是%%

之间的一个定点，点4到片办的距离分别为1,2.点B是直线已上一个动点，过点4作

AC1AB,交直线人于点C,耐+港+瓦=6,则（）

A.AG=l（jB+AC）B.△G4B面积的最小值是|

C.|^G|>1D.福•弱存在最小值

♦类型3坐标法

【例题2-3】（2023•全国•高三专题练习）在RtaABC中，乙4=90。/8=2,4C=4,D为

BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则丽•丽的取值范围为（）

A.[-5,0]B.[-3,0]C.[0,3]D.[0,5]

【变式2-3】1.（2023・上海・上海市七宝中学校考模拟预测）已知I为单位向量，向量五了满

足五-2e|=2,\b-3e|=3,则花,石的取值范围是_.

【变式2-3】2.（2023•上海黄浦格致中学校考三模）已知平面向量五，b,不满足同=1,

a-b=b-c=l,\a—b+c\<242,则五,西勺最大值为.

【变式2-3】3.（2023•天津河西•统考二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老

的传统民间艺术之一，图I是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形

的示意图.如图2,正八边形ABCDEFGH中，若荏=4瑟+〃而&〃eR）,则2+〃的值

为；若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动

点，则Q•前的取值范围是-

图1图2

【变式2-3]4.（2023秋・江苏南京・高三南京市第一中学校考期末）已知△ABC是面积为

3旧的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三

边上，且可在aABC内任意旋转，则加•我的最大值为（）

QO

A.--B.-C.V6—V2—2D.V6+V2-2

♦类型4极化恒等式法

为线段2B上的动点（包含端点），。为4c的中点.将线段AC绕着点。旋转得到线段£尸，则

ME■声的最小值为（）

A.-2B.-|

C.-1D.

【变式2-4】（2023•全国•高三专题练习）在四边形ABCD中，zB=60°,AB=3,BC=6,

且前=4就，而•同=—I，则实数4=；若M,N是线段BC上的动点，且|而|

=1,则奇•丽的最小值为.

♦类型5几何意义法

【例题2-5】（2023・新疆•校联考二模）已知平面向量工b,c,满足同=2,忖―司=2班,

若对于任意实数X,都有忸一4|2年一同成立，目尼一司W1,则刃白的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式2-5】（2023•陕西汉中•统考二模）已知4（—3,0）,B（3,0）,P为平面内一动点（不与4B

重合），且满足器|=2,则万•丽的最小值为.

题型3向量模长最值取值范围问题

♦类型1坐标法

【例题3-1】（多选）（2023・全国•高三专题练习）（多选题）已知向量乙肝满足同=3,回=1,

归一身=夕,同=2|工—目.设防=区1eR,则（）

A.|访—弓的最小值为近

B.|布—弓的最小值为2V^—2

C.\m—引的最大值为2g+2

D.|花—耳无最大值

【变式3-1】1.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量无b,苒满足同=|瓦=1,al（a

-2及,（c-2a）.（c-6）=0,则©的最大值为（）

A.0B.V3C.D.V7

【变式3-1】2.（2023春•上海黄浦・高三上海市大同中学校考阶段练习）已知平面向量第

b,c,满足同=1,{a,b）={7a—c,9a-c）=^,则仿一科的取值范围是.

【变式3-1】3.（2023・上海•高三专题练习）设x、yeR,若向量2,b,2满足豆=（乂1）,

b=（2,y）,c=（1,1）,且向量五一办与下互相平行，则同+2|向的最小值为-

【变式3-1】4.（2023・上海•高三专题练习）已知平面向量五石31满足同=3,|e|=1,

\b-a\=1,<a,e>=^,且对任意的实数t,均有|一电2年一2矶，则恬一回的最

小值为.

【变式3-1】5.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量无b,且满足五不=同=历

|=2,若苕为平面单位向量，则忖-e+b-成的最大值

【变式3-1】6.（2023春・上海虹口・高三统考期中）已知平面向量区b,c,3满足同=3,

|e|=l,\b-a\=l,<a,e>=y,且对任意的实数t,均有尼一比|21一2矶,则「一回的

最小值为.

♦类型2几何意义法

【例题30（2023•安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模）在RS4BC中，|阿=|园=4,

D是以BC为直径的圆上一点，则|四+而|的最大值为（）

A.12B.8V2C.5V6D.6V5

【变式3-2】1.（2023・全国•高三专题练习）已知非零向量为，b,工满足⑷=4,a-b=2

\b\,c2=|a-c-5,则对任意实数t,忆—曲的最小值为.

【变式3-2】2.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量扇b,I,满足式=2,|五+同

=1,"=点+而且4+2〃=1,若对每一个确定的向量石，记©的最小值为机，则当己变化

时，实数小的最大值为.

【变式3-2]3.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量嗨足同=<2\b\=V2,cos（a,b）

=-cos（c-a,c-b）=-苧，则以©为直径长的圆的面积的最大值为.

【变式3-2】4.（2023・上海•高三专题练习）已知点4B是平面直角坐标系中关于y轴对称

的两点，且|瓦?|=2a（a>0）.若存在使得+。4与+OB垂直，且

\（mAB+0A）-（nAB+OB'）\=a,则|4B|的最小值为

【变式3-2】5.（2020秋・浙江金华•高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知平面向量五%

满足同=回=莉=2,且0一矶|一不）=0,则加+2小勺最大值是.

【变式3-2】6.（2022秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考期中）设向量瓦?，而满足

|ox|=\OB\=2,~OA-~OB^2,若也nGR,m+n=1,贝加小同|+[就一n瓦?|的最小值

为

♦类型3三角换元法

【例题3-3］（2023•全国•高三专题练习）已知向量心至满足|2五+引=3,同=1,则同+2

\a+川的最大值为.

【变式3-3】1.（2023・全国•高三专题练习）已知正方形4BCD的边长为2,动点P在以。为

圆心且与4C相切的圆上，则而•乐的取值范围是

【变式3-3】2.（2023•全国•高三专题练习）已知五工总之是单位向量，满足花19,而=五+2书

访一讦+|记一42=20,则忻一团的最大值为.

♦类型4三角不等式法

【例题3-4】（2023・上海•高三专题练习）已知非零平面向量方、I才满足同=5,2\b\=

|c|,且五）,［一五）=0,则同的最小值是

【变式3-4］1.（2022秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）若直线ax-y=0

2rcq2、+1

^7（^与函数以为二卞父图象交于不同的两点4况且点C（6,0）,若点满足

（DA+~DB-DC）-DC=0,则m+n的取值范围是.

【变式3-4】2.（多选）（2020•北京•高三校考强基计划）设平面向量标2满足同W2,历

|<1,且二一21一21Vl五+2囱,则同的（）

A.最大值为4或B.最大值为2遍

C.最小值为0D.最小值为此

题型4向量共线的应用

、1,4\

#电重点

设平面上三点O,A,B不共线，则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数

入与出，使得0?=而彳+〃后且2+〃=1.特别地，当P为线段AB的中点时，。？=品

【例题4】（2023秋•江西•高三校联考开学考试）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,C,已知cos8=|,P为△48C内一点.若点P满足而+河且而=无瓦？+y

BC,贝!k+y的最大值为-

【变式4-1】1.（2023•全国•高三专题练习）如图，在△力BC中，点D在线段4B上，目

AD^AB,E是CD的中点，延长AE交BC于点H,点P为直线AH上一动点（不含点A）,且

AP=AAB+fiAC（儿〃GR）.若AB=4,且714c=贝！］△C4H的面积的最大值为.

C

【变式4-1】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，AC=4fAB=5,

BC=6,。为AC中点，E在上，SJE=^ED,2E延长线交BC于点艮则下列结论正确的

有（）

A.屈=3B.AE-~BC=-^

C.aACF的面积为3bD.AF=6EF

【变式4-1】3.（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图所示，在凸四边形A8CD中，对

边BC,4。的延长线交于点&对边SB,DC的延长线交于点F,若前=2次，ED=^DA,

AB=3BF（A,//>0）,则（）

A

/

B

tr'E

F

A.EB=^EF+^EAB.加=；

C.抖抽最大值为1D.>-J

【变式4-1】4.（2023・辽宁沈阳・东北育才学校校考一模）在△4BC中，AB-AC=9,sinB=

cosTlsinC,SAABC=6,P为线段AB上的动点，且而=x,篇+y・嵩，贝岭+：的最小值为

（）

A..+?B.C..+9D.含

。3t>lz31Z

【变式4-1】5.（2022秋・广西钦州•高三校考阶段练习）在△力BC中,AB=4,BC=3,

C4=2,点P在该三角形的内切圆上运动，若丽=小同+71万（m,n为实数）,则机+n的

最小值为（）

AAg1Q—D-

18,3189

【变式4-1】6.（2022・全国•高三专题练习）过△ABC重心。的直线PQ交AC于点P,交

BC于点Q,PC=（XC,QC=nBC,则n的值为L

题型5向量夹角

【例题5】（2023•山东济宁•统考二模）已知向量方、B不共线，夹角为。，且同=2,回

=1,\a+Ab\+\a-Ab\=4V2,若竽=4<2夜，则|cos8|的最小值为.

【变式5-1】1.（2023•福建泉州•统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行

身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，

常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设4（%i,yD，5（x2,y2）,则曼哈顿距离d（4B）

=|%1-X2|+|yi-711，余弦距离e（4B）=1-cos（4B）,其中cos（4,B）=cos0X砺）（。

为坐标原点）.已知M（2,l）,d（M,N）=l,则e（M,N）的最大值近似等于（）

（参考数据：V2«1.41,V5«2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

【变式5-1】2.（多选）（2023・福建•校联考模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，目与x

轴、y轴相切于以E两点.设量角器直径4B=4,圆心为C,点P为坐标系内一点.下列选项正

确的有（）

A.C点坐标为（2,2）B.\OA+OB\=2>/2

C.COSAAOBG[|,^）D,若同2+|国之+|网2最小,则明=竽

【变式5-1]3.（2023・全国・安阳市第二中学校联考模拟预测）已知m+而与沆为相反

向量，若|而|=2,\OB\+|OC|=4,则瓦5,而夹角的余弦的最小值为—.

【变式5-1】4.（2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）已知平面向量五=6?，b=

~OB,c^OC,满足4瓦•前=1一|瓦?『，4OB-CB=1-|OC|2,则向量2-4石与工一2后所成

夹角的最大值是（）

A.fB.fC.vD.

o336

题型6向量平行与垂直的应用

【例题6】侈选）（2023•全国•高三专题练习）如图，△力BC的外心'为O,三条高线他BE,CF

交于一点H,ED与4B的延长线交于点I,FD与4C的延长线交于点J,则（）

A.Z.BDF=Z.BACB.OB-TD=0

C.OC-JD=OD.OW-7/=O

【变式6-1】（2023•全国•高三专题练习）设4B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，

且=2.若存在m,nER,使得爪48+02与nAB+OB^直，且

\{mAB+OA）-（nAB+OB）|=2,则|四|的最小值为.

题型7投影向量

【例题7]（2023春•辽宁•高三辽师大附中校考阶段练习）已知点D在线段4B上,CD是△ABC

的角平分线，E为CD上一点,且满足旗=瓦?+几（备+需可一|函=6,|明

=14,设瓦＜=2则近在让的投影向量为.（结果用日表示）.

【变式7-1】1.（2023・天津・统考二模）在△4BC中，AB=3V2,角4为锐角，目向量同

在向量而上的投影向量的模是3,贝!M=；若不中=6,贝函数/仁）=卜刀—g而|+

|xZB-|xc|（xGR）的最小值为.

【变式7-1】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古

老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的

示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形4BCDEFG”边上任意一点，则下

列说法正确的是（）

图1

A.若函数/■(%)=|诟一x同|,则函数f(x)的最小值为2+四

B.可•丽的最大值为12+8四

C.E在而方向上的投影向量为-当

D.OA+OC=V30F

题型8解析几何与向量

【例题8】(多选)(2023秋・河南•高三校联考开学考试)0Q:(x+l)2+(y—l)2=2与

〃y=—久交于4B,M为曲线y=Kx>0)上的动点，贝U()

A.”到直线/距离最小值为鱼

B.MA-MF>0

C.存在点M,使得△M4B为等边三角形

D.拓■说最小值为1

22

【变式8-1】1.(2023•四川成都•校联考二模)已知直线Z：y="(k>0)与双曲线。今-襄

=19>0,6>0)相交于人，B两点，点力在第一象限，经过点4且与直线/垂直的直线与双曲

线C的另外一个交点为M,点N在y轴上，BN//NM,点。为坐标原点，目而？=7=I•布，

则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±V3^B.y=±V5xC.y=±V6xD.y=±V7x

【变式8-1]2.(2023・江苏扬州•统考模拟预测)已知向量五=(%+1,V5+y\b=(%-1,V5

-y),满足五1刃的动点M(x,y)的轨迹为E,经过点N(2,0)的直线1与E有且只有一个公共点4,

2

点P在圆N+(y—2伪=1上，贝”IP的最小值为().

A.3—2V2^B.—1

C.2V2-2D.1

【变式8-1】3.(2023•海南海口•海南中学校考二模)如图，2022年世界杯的会徽像阿拉

222

伯数字中的"8".在平面直角坐标系中，圆+(y+m)=n和N：%2+(y—l)=1外切

也形成一个8字形状，若尸(0,—2),/(I,-1)为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点(不

同于点A,P),则丽•丽的最大值为().

FIFAWORLDCUP

A.^|^B.2V2+1C.3+V2D,3V2+2

【变式8-1】4.(2023•全国•模拟预测)已知。为坐标原点，椭圆C：9+?=l上两点A,

B满足%・%=".若椭圆C上一点M满足加=4万？瓦贝！M+四的最大值为

()

A.1B.C.yjsD.2

【变式8-1】5.(2023秋•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试)已知双曲线C:§-g=l

(a>0,6>0)的左右焦点分别为Fi,F2,点A在C上，点B在y轴上，。•元1=0,

葩=|瓦?，则C的离心率为—.

【变式8-1】6.(2023春•全国•高三竞赛)设圆(x—3)2+(y—4)2=25的圆心为C,点N

(6,0),M(12,10),P为直线y=久上一点.若圆上存在两点A,B,使得点P满足加=丽+

M?,则△PCN面积的取值范围为()

A.[2,51]B.[3,51]C.[2,52]D.[3,52]

题型9奔驰定理与面积比

【例题9】（多选）（2023•全国•高三专题练习）有下列说法其中正确的说法为（）

A.若五IIb,b||c,则「||c

B.若花11另仿46）,则存在唯一实数%使得五=企

C.两个非零向量无b,若，一引=|可+㈤,贝值与3共线且反向

D.若2cM+OB+30c=6,S&AOC，S&IOB分别表小△AOC,△AOB的面积，则S^AOCSAAOB

=1:3

【变式9-1】（2023•全国•高三专题练习）"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰"轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称

其为"奔驰定理奔驰定理：已知。是AABC内的一点，△⑶。。，△^。。，△在。^的面积分

别为4SB，SC,则有力•福+SB•而+Sc•无=6.设。是锐角△回（7内的一点，

NB4C,乙4BC/ACB分别是△力BC的三个内角，以下命题不正确的有（）

A.^OA+OB+0C=0,则0为△ABC的重心

B.^OA+2OB+30C=0,贝！JS/SBSC=1:2:3

C.^[OA\=[OB\=2,^AOB=^,2OA+3OB+40C=0,则S44BC=T

D.若0为△力BC的垂心，贝!jtan/B力C•0A+tanzXBC-OB+tan/ACBOC=0

题型10向量四心

在AABC中:

1.重心：PA+PB+PC=O

2.外心：同|=|而|=|玩|

3.内心：向量4（爵+需）（％。。）所在直线过AABC内心&BAC角平分线所在直线）

4.垂心：~PA-~PB=TB-~PC=TA-TC

【例题10】侈选）（2023•全国•高三专题练习）设点”在△48C所在平面内，则下列结论正

确的是（）

A.若前=儡+裔，目前=49+（1—4）衣（0<2<1）,则前=标

B.若近1+2加+3标=6,则△ABC的面积与A/IBM的面积之比为2:1

C,^MA+2MB+3MC=6,且M为△ABC的垂心，贝！JCOS/AMB=—噜

D.若病=耳尸料一+产J）QeR）,贝UM的轨迹经过△ABC的垂心

\PB|COSB\AC\COSCJ

【变式10-1】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知点。在△力8c所在的平面内,

则下列命题正确的是（）

A.^OA-OB^OA-OC=OB-OCSAB-AC=1,^\\A0-AB=1

B.右屈一司—[OC-OA\^\OA-OC\_\OB^OC\'贝！