线段中双（多）中点-2025年广东中考数学常见几何模型解读与提分训练（解析版）

专题01线段中双（多）中点模型

线段是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先

由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写

出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。

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目录

模型1.线段中的双中点模型

模型解读

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点M、N分别为线段A3、的中点，结论：MN=-AC.

2

证明：①当点5在线段AC上，如图1,

AMBNC

图1

N分别为A3、的中点,

ABM=-AB;BN’BC；

22

•；MN=BM+BN,

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

AMCNB

图2

N分别为48、BC的中点,

/.BM^-AB-,BN==BC;

22

,:MN=BM-BN,

1111

W=-AB--BC=-（AB-BC）=-AC

③当点B在线段CA的延长线上

BMAN

图3

N分别为AB、8c的中点,

11

；・BM=—AB;BN=—BC;

22

,:MN=BN-BM,

=一也乙回一网.AC;

模型运用

例1.已知点AB,C都在同一条直线上，AB=38C,D,E分别为AC,BC的中点.若以=6,则AC的长为.

【答案】8或16/16或8

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查与中点有关的线段和差计算，分两种情况：点C在点8的左边时，点C在点B的右

边时，再根据相应线段的关系进行解答即可.

【详解】解：当点C在点8的左边时，如图所示.

IIIII

ADCEB

团3E分别为AC,3C的中点，

^DC=AD=^AC,CE=BE=~BC,

^DE=DC+CE,DE=6,

0-AC+-BC=6,

22

0AC+BC=12,即AB=12.

团AB=3BC,

团5C=4,

^AC=AB-BC=8；

当点C在点B的右边时，如图所示.

IIIII

ADBEC

HD,E分别为AGBC的中点，

SDC=AD=-AC,CE=BE=-BC.

22

团DE=DC—CE,DE=6,

^\-AC--BC=6,

22

^\AC-BC=12.

回AB=AC—BC,

国AB=12.

回AB=3BC,

0BC=4,

^AC=AB+BC=16.

综上所述，AC的长为8或16,

故答案为：8或16.

例2.如图，一条线段A8:5C:CD=3:2:4,E,尸分别是线段A民8的中点，且£F=22cm,则线段BC的

长为.

I____________I________________I________________________I_______________________I_______________________I

AEBCFD

【答案】8的/8厘米

【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解.设AB=3k,BC=2k,CD=4k,

由点E,尸分别是AB,。的中点可得E3,CF的长，已知EF=22cm,可列方程解得左的值，可得BC的

长.

【详解】解：丫AS：3C:CD=3:2:4,n\^AB=3k,BC=2k,CD=4k,

,••点E,歹分别是AB,CD的中点，

13”1

二.EB=-AB=—,CF=-CD=2k,

222

3“11”

EF=EB+BC+CF=—+2k+2k=—,

22

又'/EF=22cm,

11”

.-.—=22,解得攵=4,

BC=Ik=2x4=8(cm),

即线段5C的长为8cm.

故答案为：8cm.

例3.如下图，C为线段上一点，M为AC的中点，N为5c的中点，其中AC=8,AC<BC.若D为BC

上一点，且满足2cD=BN-4,试说明：。是线段MN的中点.

AMCDNB

IIII।।

【答案】说明见解析

【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算

【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得地=4+CD,再根据线段

中点的定义及2CD=8N-4表示出£W=CD+4,即可说明问题.解题的关键是理解线段的中点定义：一条

线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把

这条线段分为相等的两条线段.

【详解】解：回M为AC的中点，AC=8,

HMC=-AC=-X8=4,

22

SMD=MC+CD=4+CD,

S2CD^BN-4,

SBN=2CD+4,

回N为BC的中点,

©CN=NB=2CD+4,

国DN=CN—CD=2CD+4—CD=CD+4,

^MD=DN,

由题意及图形知：点。在线段MN上，

即。是线段MN的中点.

例4.如图，A,B,C,。是直线/上的四个点，M,N分别是AB,C。的中点.

MN

I_____________II1___________________111________

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,则AD的长为cm；

（2）如果MN=10cm,BC=6cm,则AD的长为cm；

（3）如果肱V=a,BC=b,求AD的长，并说明理由.

【答案】⑴12.6；

⑵14；

（3）2a-b,见解析.

【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算

【分析】（1）根据线段的和，可得（M8+CN）的长，根据线段中点的性质，可得与MB的关系，CD与CN

的关系，根据线段的和，可得答案；

（2）先根据线段的和与差，计算出3M+CN的长，再根据线段中点的性质，可得48与MB的关系，CD与

CN的关系，根据线段的和，可得答案；

（3）根据（2）的解题过程，即可解答；

此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键.

【详解】（1）解：0MB=2cm,NC=1.8cm,

07WB+?/C=3.8（cm）,

,N分别是42,8的中点，

^AB=2BM,CD=2CN,

回AB+CD=2BM+2CN=2（+CN）=7.6（cm）,

0AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6（cm）,

故答案为：12.6：

（2）解：ElMN=10cm,BC=6cm,

0BM+C7V=ACV-BC=lO-6=4（cm）,

0M,N分别是48,CD的中点，

^AB^2BM,CD=2CN,

团AB+CD=23"+2C7V=2（3"+CZV）=8（cm）,

0AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm）,

故答案为：14；

（3）解：SMN=a,BC=b,

SBM+CN=a-b,

0M,N分别是48,8的中点，

^AB=2BM,CD=2CN,

团AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）,

团AB+CD=2（a—,

0AD=AB+CD+BC,

SAD=2^a—b^+b=2a—2b+b—2a—b.

模型2.线段中的多中点模型

模型解读

条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MV=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点、

3•,第2次操作:分别取线段4%和AM的中点A/?,%；第3次操作:分别取线段AM?和AN?的中点AG，

N,；…连续这样操作〃次，结论：MN=

AN3M3N2M2N\M[NM

模型证明

证明：•.•"]、V是AM和AN的中点,

AM.=~AM,AN,=-AN,

22

/.MN=；AM.AN=；MN=a,

,:M»生是4必和AM的中点，

/.AM,=-AM.,AN,=-AN,,

22

M2N2=-^AMX——ANt=—MlNl=—«,

VM3,M是41%和4%的中点，

AM3=|AM2,AN3,

M3N3=1A«2-^AN2=^M2N2=^a=^\-a,...发现规律：M“N”=(gj-a,

模型运用

例I.若线段A4=2,在线段A4的延长线上取一点A3,使4是44的中点；在线段A4的延长线上取一

点A"使&是A&4的中点；在线段AA,的延长线上取一点4,使&4是AA的中点；…这样操作下去，则线

段人必&。25的长度为（）

A.22021B.22022C.22023D.22024

【答案】C

【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键.根据线段中点的定义，找出题目

中的规律求出44=2"、因此44025=223,进而中点的定义即可解答.

【详解】解：回44=2,4是44的中点，

回=2A4=4=22.

回44=22,是的中点，

团44=2AA3=8=2，.

团444=23,A4是AA的中点,

团4A=2AA4=16=24,

团44=2"T,

0AAO25=22°24.

回4()24是A4025的中点,

20242023

0AO2AO25=1A^O25=1x2=2.

故选：c.

例2.线段AB=1,Q是AB的中点，G是GB的中点，G是C/的中点，C4是c/的中点：依此类推……,

线段AC2S4的长为.

|IIII

AGGC3B

［答案］

【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出

规律是解此题的关键.

先分别求出Cf、C/、gB的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案.

【详解】解：因为线段AB=1,G是筋的中点，

所以GB;AB=gxl=；；

因为G是G5的中点，

所以G*C*0十

因为a是C?B的中点，

所以G*c/f泉

***，

所以。202/=3?，

=

所以人。2024=”-。2024与^~22024,

故答案为：1-22024,

例3.学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGeHa做了〃次取线段中点实验：如图，设线段。稣=1,

第1次，取。%的中点4;第2次，取4片的中点打；第3次，取《2的中点片，第4次，取£鸟的中点与；…

II一牛?i

OPlP3P5Po

⑴请完成下列表格数据.

次数P-P,线段。月的长

叱；

第1次

。£=。4+摩=1一：+：

第2次T

OP.=OP-PP=l-^+^-^

第3次223

尸T

第4次OR=°鸟+鸟鸟=i

第5次①_______②________

(2)小明对线段。舄的表达式进行了如下化简:

因为°71-；+*一泉+泉

所以2OE=2(lf一：+升2一H+J,

两式相加，得3。乙=2+下，

21

所以

请你参考小明的化简方法，化简。心的表达式.

(3)类比猜想：,OPn=,随着取中点次数w的不断增大，。匕的长最终接近的值是

【答案】(1)①勺心=*;②。一乙心=1一；+摄一/+摄一:

(2)0/?=-:

33x25

【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、线段中点的有关计算

【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键.

(1)根据表中的规律可求出根据。4=。舄-乙乙可得出答案；

(2)参照小明对线段。乙的表达式的化简可得。鸟的表达式；

（3）根据类比猜想可得答案.

【详解】⑴解：=op-pp=1-^+^--^-+^--^-;

P4P5=­,OPS4i5

故答案为：利=*，。4=。匕-匕4=1-：+*-£+最-:；

⑵因为OR=1-；+:一:+最一：,

所以2。-211=+»+：［

两式相加，得3优=2-5.

21

所以国丁而；

（3）匕6=3,0匕=2+f%,随着取中点次数〃的不断增大°匕的长最终接近的值是:.

233x23

习题练模型

一、单选题

1.如图，c、D、E、产是线段48上的四点，AB=18,AC=BD=12,E、尸分别是AD、BC的中点，

则EP的长为（）

IIIIII

AEDCFB

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握"线段的中点与和差关系求解未知线段的

长度”是解本题的关键.

首先求出8=AC+如一AB=6,然后根据线段中点的性质得到DE+CF=^AD+^BC=^AD+BC）=6,

进而求解即可.

【详解】m45=18,AC=BD=12,

SCD=AC+BD-AB=6

团AD+BC=AB—CD=18—6=12

回E、尸分别是AD、BC的中点

S\DE+CF=-AD+-BC=-（AD+BC）=6

222、7

^\EF=ED+CF+CD=6+6=12.

故选：D.

2.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm,。、E分别是AC、48的中点，则OE的

长度为（）

IIIII

ADECB

A,6cmB.4cmC.10cmD.5cm

【答案】B

【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离

【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义.首先根据线段的和差得到A5的长度，然后根据中点

的性质分别求出A。，AE,最后根据。£=AE-AO即可求出DE的长.

【详解】解：0AC=12cm,CB=8cm,

团AB=AC+BC=20cm,

团。，£分别是AC,AB的中点，

11

团AD=—AC=6cm,AE=—AB=10cm,

22

I?]DE=AE-AD=4cm，

故选：B.

3.如图：数轴上点A、B、。表示的数分别是-9,-1,1,且点C为线段AB的中点，点。为原点，点石在

数轴上，点b为线段OE的中点.若DE=3,则Cb=（）

ABOD

।111A

-9-11

A.4.5或5.5B.5.5或6.5C.5.5或7.5D.4.5或7.5

【答案】D

【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算公式，先求出点c表示的数，再根

据数轴上两点距离计算公式求出点E表示的数，据此可得答案.

【详解】解：回A、8表示的数分别是-9,-1,且点C为线段4?的中点，

团点C表示的数为苫2=-5,

团点。表示的数为1,DE=3,

回点E表示的数为1一3=-2或1+3=4,

回点厂为线段OE的中点，

-2+11+4

回点尸表示的书为二^=-0.5或==2.5,

22

0CF=-0.5-(-5)=4.5或CF=2.5—5)=7.5

故选：D.

4.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10,第一次操作：分别取线段40和AN的中点加|、

Ni；第二次操作：分别取线段AM和AM的中点加2，%.第三次操作：分别取线段41%和AN?的中点加3,

M；......连续这样操作20次,则%g=()

AN.M.N2M2N.NM

5555

A•萍艮漉C萍D.乎

【答案】B

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查中点公式和数轴上两点之间距离，掌握以上知识是解决此题的关键.

本题首先通过两次迭代找到规律，得到M“N”=£,然后当〃=20代入所求规律，即可解得第20次操作的

结果.

【详解】解：BMN=10,M分别为AM、4V的中点，

SMlNl=AMl-ANl=^AMAN=^(AM-AN)=^xl0=5,

0M2,N2分别为AN,的中点，

^M2N2=AM2-AN1=-AM1--AN,=-(AMl-ANl)=-x5=~,

根据规律得到

»2105

0M2O7V2O.

故选：B.

二、填空题

5.线段AB=10cm,点C在线段AB上，点〃、N分别是线段AC、3c的中点，则MN=.

【答案】5c〃z/5厘米

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题考查与线段中点有关的运算，根据线段中点得到=gAC,NC=g8C,结合MN=MC+NC

求解即可.

【详解】解：如图，

II111

AMCNB

回点C在线段AB上，点M、N分别是线段AC、的中点，

0MC=-AC,NC=-BC,

22

团线段AB=10cm,

SMN=MC+NC=^（AC+BC）=^AB=5cm,

故答案为：5cm.

6.若线段A4=1,在线段A4的延长线上取一点Aj,使为是A4的中点；在线段A4的延长线上取一点44，

使人是A4的中点；在线段A4的延长线上取一点a,使4是44的中点；……这样操作下去，则线段

^2024-^2025的长度为-

【答案】22022

【知识点】图形类规律探索、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键.根据线段中点的定义，依次求出44、

AA……，由此规律可得44=2"2,得到443和Ad.的长度，再根据线段和差即可解答.

【详解】解：••・44=1，4是AA的中点，

AA=244=2,

^A3=2,4是A4的中点，

/.T4JA4=2A]&=4=22,

A4=22-是AA的中点,

AA=2AA4=23,

由此规律可得，44=2〃-2,

2022

.•.AAO24=2.A出必=2的

"AA=AA-AA-72023_72022-o2022

…c2024c2025一个多025个飞024一乙乙一乙

故答案为：22022.

7.如图，点”在线段AN的延长线上，且线段〃N=10,第一次操作：分别取线段AM和AN的中点加|、

N、；第二次操作：分别取线段AM1和AM的中点A/?，小；第三次操作：分别取线段AM?和AN?的中点71^，

怅；……连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和”|乂+知2乂+...+〃|5乂5=

A__N3M3N2M2M~~就NM

【答案】1。-磊

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度.根据线段

中点定义先求出的长度，再由的长度求出加2快的长度，从而找到的规律，即可求出结果.

【详解】解：回M、州是W和4V的中点，

0AM.=-AM,AN,=-AN,

22

1aMM=^AM-^AN=^MN=5,

国%、生是AM】和AM的中点，

laAMj=1^1>AN?=；AN\,

SM},代是4明和AM的中点，

SAM3=|AA/2,AN,=^AN2,

BM3N3=-AM2-^AN2=1M2AT2=-=5xfi"j,

222412J

n-l

发现规律：M„N„=5X

2

14

回A/[TV]+2^2+•••+=5xl+5x—F,•,+5xI

13

回2(MM+%~+…+M5M5)=10+5+…+5x1

两式相减，WMrNr+M2N2+...+M15Nl5=10-5XW=10-J,

故答案为：10-^-.

8.有公共端点尸的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N,若该折线P-N上一点。把这条折线分

成相等的两部分，我们把这个点。叫做这条折线的"折中点”.已知点。是折线A-C-8的"折中点"，点E

为线段AC的中点，8=6,CE=1O,则线段BC的长是

【答案】8或32

【知识点】线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分点。在AC上和点。在上两种情况，根据

线段中点的定义求出AC的长，再根据"折中点"的定义找到线段之间的关系，从而求出线段BC的长即可.

【详解】解：如图所示，当点。在AC上时，

C

I3AC=2CE=2O,

0CD=6,

BAD=AC-CD=14,

回点。是折线A—C-B的"折中点",

0AD=CD+BC,

团50=4)—8=14—6=8；

如图所示，当点。在2C上时，

C

D

E.

A/

回点E为线段AC的中点，

®AC=2CE=20,

0CD=6,

EIAC+CD=26,

回点D是折线A—C—3的"折中点”，

0BD=AC+CD=26,

SBC=CD+BD=32；

综上所述，线段BC的长是8或32.

故答案为：8或32.

三、解答题

9.如图，C,£)是线段4B上的两点，E是AC的中点，尸是BD的中点，若即=10,CD=6,求4B的长.

IIIIII

AECDFB

【答案】14

【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系

【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离，解答此题时利用中点的性质转化线段之间的倍分关系是解

题的关键.

由题意,得£1。+2=砂一8=10-6=4,因为£1是4(7的中点，歹是BD的中点，所以AB=EC,FB=FD,

所以AE+FB=EC+FD=4,所以AB=AE+FB+EF=4+10=14.

【详解】解：由题意得EC+FD=EF—CD=10—6=4,

团E是AC的中点，尸是BD的中点，

SAE=EC,FB=FD,

SAE+FB^EC+FD^4,

SAB=AE+FB+EF=4+10=14.

10.如图，线段A3=8cm,C是线段A8上一点，AC=3.2cm,M是AB的中点，N是AC的中点.

ANCMB

⑴图中共有条线段；

⑵求线段CM的长；

⑶求线段MN的长.

【答案】⑴10

(2)CM=0.8cm

(3)ACV=2.4cm

【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解

题的关键.

(1)根据线段的性质即可解答；

(2)根据M是的中点，求出AM,再利用Of=AM-AC求得线段CM的长；

(3)根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN=C0+NC即可求出的长度.

【详解】(1)

IlliI

ANCMB

解：线段有⑷V,AC,AM,AB,NC,NM,NB,CM,CB,MB,共10条，

故答案为：10；

(2)解：••・A5=8cm,M是AB的中点，

AM=—AB=4cm,

2

又AC=3.2cm,

CM=AM-AC=4-3.2=0.8(cm)■,

(3)解：:N是AC的中点,AC=3.2cm,

NC=-AC=1.6cm,

2

MV=NC+CW=1.6+0.8=2.4(cm).

11.如图，点尸是线段力B上的一点，点M、N分别是线段AP、尸3的中点.

AMPNBAMPNB

IIIIII1III

图1图2

⑴如图1,若点尸是线段AB的中点，且MP=5cm,则线段AB的长cm,线段MN的长cm；

(2)如图2,若点尸是线段力B上的任一点，且AB=12cm,求线段MN的长；

⑶若点P是直线上的任意一点，且=耳段写出线段MN的长.

【答案】⑴20；10

(2)MN=6cm

⑶MN=

【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算

【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，由线段中点的定义求解两点间的距离是解题的关键.

(1)根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解回、的长；

(2)根据线段中点的定义可求得A8=2MN,即可求解MN的值；

(3)可分三种情况：当点尸在线段48上时，当P点在线段A8延长线上时，当P点在线段54延长线上时,

根据中点的定义求解N两点间的距离.

【详解】(1)解：回点M、N分别是线段AP、P3的中点，

^AP^2MP,BP=2PN,

0MP=5cm,

0AP=10cm,

SP为力B的中点，

0AB=2AP=20cm,AP=BP=10cm,

0PN=—BP=5cm,

2

0MN=MP+PN=10cm,

故答案为：20；10；

(2)回点M、N分别是线段AP、尸3的中点，

0AP=2A/P,BP=2PN,

0AP+BP=2MP+2PN=2MN,

即AB=2A£V,

ElAB=12cm,

13MN=6cm；

(3)线段MN的长为：MN=ga.

理由：①当点尸在线段ZB上时，由(3)得AB=2MN,

②当尸点在线段4B延长线上时，

AMBNP

I_________________________________I_________I___________I___________I

团点”、N分别是线段AP、网的中点，

SAP=2MP,BP=2PN,

0AP—BP=2MP—2PN=2MN,

即AB=2ACV,

③当尸点在线段BA延长线上时，

PMANB

II«II

团点〃、N分别是线段AP、依的中点，

团AP=2MP,BP=2PN,

BBP-AP=2PN-2MP=2MN,

即=2肱V,

综上所述：点尸是直线上的任意一点时，AB=2MN

回AB=a,

^\MN=—a.

2

12.综合与实践

【基础巩固】（1）如图1,点E,B,尸都在线段AC上，AE=^EB,尸是3C的中点，则图中共有线段

__________条.

【深入探究】（2）在（1）的条件下，若8尸=1AC,试探究所与AC之间的数量关系，并说明理由.

EF

A'B'C

图1

【拓展提高】（3）如图2,在（2）的基础上，G是AE的中点，若AC=20cm,求G尸的长.

GEF

A~"~'B'C

图2

【答案】（1）10；（2）5EF=3AC,理由见解析；（3）GF=14cm

【知识点】两点间的距离、直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键.

(1)图中的线段有AE、BE、BF、FC、AB,EF、BC、AF,EC、AC这10条，据此回答即可；

(2)设3尸=彳，先列方程求得求得AC=53/=5x,EF=BE+BF=2x+x=3x,可得答案；

(3)设=先列方程求得x=4cm,再求得G尸的长即可.

【详解】解：(1)图中的线段有BE、BF、FC、AB,EF、BC、AF,EC、AC这10条，

故答案为：10;

(2)设BF=x,

HBF=|AC,

团AC=5BF=5x,

团产是BC的中点，

⑦BC=2FC=2BF=2x,

[21AB—AC—BC=5x-2x=3x,

BAE=-EB,

2

2

团BE=—AB=2x,

3

回EF=BE+BF=2x+x=3x,

团5跖=3AC,

(3)^BF=x,

团AC=20cm,

团由(2)得AC=5x=20cm,EF=3x=12cm,

0x=4cm,

0AE=x=4cm,

团G是AE的中点，

^\GE=—AE=—x=2cm,

22

0GF=GE+EF=2+12=14(cm).

13.(1)如图1,点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长;

(2)设AB=。，C是线段AB上任意一点(不与点A,8重合),

①如图2,M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=；AC,BN=；BC,求肱V的长；

②若M,N分别是AC,BC的”等分点，即AM=，AC,BN=-BC,直接写出MN的值.

nn

AMCNBAMCN~B

图1图2

【答案】(1)6；(2)(l)—a；②---a

3n

【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系

【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算.

(1)由中点的定义可得MC=1AC,CN=[BC,然后根据MN=MC+CN求解即可；

22

1122

(2)①由AM.AC，BN=-BCnj^MC=­AC,CN=-BC,然后根据肱V=MC+OV求解即可；②仿

照(2)的过程求解即可.

【详解】解：(1)-：M,N分别是AC,BC的中点

MC=-AC,CN=-BC

22

AB=12

：.MN=MC+CN=-AC+-BC=-AB=-xl2=6

2222

(2)(I)---AM=^AC,BN=^BC

22

MC=-AC,CN=-BC

33

•/AB=a

2222

MN=MC+CN=-AC+-BC=-AB=-a；

3333

②：AM=-AC,BN=-BC

nn

Yl—1ri—1

二.CM=——AC,CN=——BC

nn

ri—1n—1〃一1

/.MN=CM+MN=CM+CN=——AC+——BC=——AB

nnn

/.AB=a

n—1

•.MN------Q.

n

14.“数缺形时少直观，形少数时难入微"，小明在探究:+《+...+士+占结果时，发现可利用图形的知识

2222

来解决问题.他是这样规定的：在图1中，若线段的长为1,C为A3的中点，G为GB的中点，C3为C/

的中点，L,C为的中点.

A

AGGG

图1

51B2B3B4C

图2

⑴则可以得出线段。出=，AC,

⑵从而发现了；+，+••-+，?+[

⑶小明学习上爱动脑，经过认真思考和分析后，发现在计算[+"+}+…+1时，也可以利用构造一个图

形，通过面积来计算.他构造图形是：如图2,VABC面积为1,分别取AC、8C两边的中点A1、Bx,再

分别取AC、与c的中点4、依次取下去L,能直观地计算出结果.请你根据这个图形说明小明的结

B2,

田1111

果：4+47+47+'，，+47.请你对小明的发现，试给出必要的说理.

【答案】⑴

(2)1：

(3V-；.

3

【知识点】图形类规律探索、线段中点的有关计算

【分析】(1)根据线段中点定义写出前两个，发现线段的长度变为前一次的然后求出孰—孰=。虺,

=代入即可求解;

(2)与线段联系发现，这列数据的和等于线段48；

(3)根据规律24用。=—S^ABC=—,则类推§△枷二S四边形AB用4+5四边形43由2&+，1+8四边形%4_瓦4=1，求解即可;

此题考查了图形的变化规律，解题的关键是读懂题意，观察规律.

【详解】(1)=G为48的中点,

SC,B=-AB=-,

122

团Q为C18的中点,

回CC二/0田二万乂丁“

以此类推，每取一次中点，线段的长度变为前一次的

0AC„=AC-C„B=l-^;

故答案为：g'；'l一，；

(2)结合图形，-^+^+---+^-+-=ACl+ClC2+...+CnB=ACn,

1111,1

0—+—+…-F——-+——=1---,

2222〃T2n2〃

故答案为：i£；

(3)回VA5C面积为1,4、耳分别为AC、5C两边的中点,

团SAABQ=~凡诋=“

回S四边形56M==3x],

同理S48=一S=_X—-—T，

△为62c4AAA,°BIC4442

回S四边形A内当&=3SA&B2c=3又下，

L：

以此类推S四边形纥4=35认约c=3x不，=不，

团S^ABC=S四边形钻4A+S四边形45152A+•••+S四边形4TB“国A=1，

c1。1o11I

l?]3x—+3x--+…-F3X——十——=1,

4424”4〃

1_1

011114",

—I——H——H--1---=----

442434n3

、1_±

故答案为：4".

3

15.如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为八6（。+6）2与|a-〃+10|互为相反数，线段CD在数轴

上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点。在点。的左侧），点M、N分别为AC、的中点.

AMCODNB

图1

AOB