湘教版七年级数学上册难点探究：几何图形中动角问题压轴题三种模型（解析版）

专题16难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略

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目录

1

“.・••给【典型例题】............................................................................1

【考点一几何图形中动角定值问题】.............................................................1

【考点二几何图形中动角数量关系问题1.................................................................................................................6

【考点三几何图形中动角求运动时间问题】......................................................11

1[

------1【过关检测】........................................................................20

'，・骷【典型例题】

【考点一几何图形中动角定值问题】

例题：(2023秋•湖南怀化•七年级统考期末)已知如图ON是/BOC的平分线，是ZAOC的平分线,

ZAOC=28°,NCOB=42°

⑴求/MON的度数.

⑵当射线OC在NAQB的内部线绕点。转动时，射线。口、ON的位置是否发生变化？说明理由.

(3)在(2)的条件下，/MON的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.

【答案】⑴35。

(2)发生变化，理由见解析

(3)不变，AMON=35°

【分析】(1)根据角平分线的定义得出NCON=g/8OC,NCOM=；NAOC,进而根据

AMON=ZCON+ZCOM=1(ZBOC+ZAOC)即可求解；

(2)根据NAOM=L/AOC,则OC转动时OM同样在动，同理ON也在动；

2

(3)根据(1)的结论即可求解.

【详解】(1)解：EION是4BOC的平分线，是NAOC的平分线，ZAOC=28°,/COB=42。

0ZCON=-ZBOC,ZCOM=-ZAOC,

22

0AMON=ZCON+ZCOM=1(ZBOC+ZAOC)=1(28°+42°)=35°

(2)解：0ZAOM=-ZAOC,

2

EIOC转动时OM同样在动，

同理ON同样转动；

(3)/MOW不变同样35。；

解：当射线0c在NAOB的内部线绕点。转动时,

回0可是/3。。的平分线，是/AOC的平分线，ZAOC=28°,/COB=42。

0ZCON=-ZBOC,ZCOM=-ZAOC,

22

0AMON=ZCON+ZCOM=1(ZBOC+ZAOC)=1(28°+42°)=35°.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023秋•江西抚州•七年级统考期末)将一副三角板中含有60。角的三角板的顶点和另一块含有45。角的

三角板的顶点重合于一点O,绕着点。转动含有60。角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：

⑴如图1,当点8在射线OC上时，直接写出ZAOD的度数是度;

⑵①如图2,当为NCOD的角平分线时，求出此时/AOC的度数；

②如图3,当OB为ZAOD的角平分线时，求出此时/AOC的度数；

⑶若。8只在NCOD内部旋转，作ZAOC平分线OE交AB于点、E,再作ZBOD的平分线OF交CD于点、F,

在转动过程中/EOF的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由.

【答案】⑴105

⑵①37.5。；②75。

⑶NE■。尸的值不会发生变化，/EOF=525°,理由见解析

【分析】(1)根据三角板中角度的特点进行求解即可；

(2)①根据角平分线的定义得到=22.5。，再根据NAOC=NAO3-NCOB进行求解即可；②根据

角平分线的定义得到NAOD=120。，再根据NAOC=NA8-NCOD进行求解即可；

(3)分别用NCOB表示出NAOD,ZAOC,ZBOD.再根据角平分线的定义表示出NAOE,/DOF,再

根据/EOF=ZAOD-NAOE-/DOF进行求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，ZAOB^60°,NCOD=45。

0ZAOD=NAOB+/COD=60°+45°=105°,

故答案为：105；

(2)解：①由题意得，ZAOB=60°,ZCOD=45°,

回为ZCOD的角平分线，

0ZCOB=ZDOB=-ZCOD=22.5°,

2

0ZAOC=ZAOB-ZCOB=37.5°；

②由题意得，ZAOB=6Q°,ZCOD=45°,

回为ZAOD的角平分线，

0ZAOD=2ZAOB=120°,

0ZAOC=ZAOD—Z.COD=75°；

(3)解：NEOF的值不会发生变化，ZEOF=52.5°,理由如下：

由题意得，ZAOB=60°,ZCOD=45°,

0ZAOD=ZAOB+ZCOD-Z.BOC=105°-ZBOC,

0ZAOC=ZAOB—ZBOC=60°-ZBOC,ZBOD=ZCOD-ZBOC=45°-ZBOC,

回OE平分/AOC,DF平分/BOD,

0ZAOE=-ZAOC=30°--ZBOC,ZDOF=-ZBOD=22.5°--ZBOC,

2222

0/EOF=ZAOD-ZAOE-ZDOF

=105°-ZBOC-130。-一(22.5。-g/BOc]

=105°-ZBOC-30°+-ZBOC-22.5°+-ZBOC

22

=52.5°.

【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键.

4.(2023秋•湖北武汉•七年级校考期末)如图，ZAOB=100°,ZCOD=40°,射线OE平分/AOC,射线OF

平分NBOD(本题中的角均为大于0。且小于180。的角).

A

备用图

⑴如图，当OB,OC重合时，求NEO尸的度数；

⑵当NCOD从图中所示位置绕点。顺时针旋转〃度(0<〃<40)时，N4OE-N3(乃的值是否为定值？若是

定值，求出NAOE-N3O产的值，若不是，请说明理由.

(3)当48从图中所示位置绕点。顺时针旋转〃度(0<〃<220)时，NAOE与ZBOF具有怎样的数量关系？

【答案】⑴70。

⑵为定值，理由见解析

(3)当0<〃<80时，ZAOE-ZBOF=30°；当80<〃<140时，ZAOE-ZBOF=110°；当1404〃<220时，

ZBOF-ZAOE=30°

【分析】⑴根据角平分线的定义知"OB=|ZAOB、ZBOF=|ZCOD,再根据/EOF=NEOB+NBOF可

得答案；

⑵由题意知NAOC=NAOB+ZBOC=10()O+77。、ZBOD=ZBOC+ZCOD=n0+40°,根据角平分线的定义

1100°+〃°1n°+40°

得ZAOE=|ZAOC="、ZBOF=|ZBOD=丁,代入计算可得答案；

⑶分情况计算，利用"表示出/AOC,ZBOD,再根据角之间的关系即可求解.

【详解】(1)解：ZAOB=100°,NCOD=40。，射线OE平分/AOC,射线O尸平分/BOD,

/.ZEOB=-ZAOB=-xl00°=50°.ZBOF=-/COD=-x40°=20°,

2222

NEOF=NEOB+NBOF=500+20°=70°；

(2)解：NAOE—N3O尸的值为定值，

理由如下：如图：

D

NCOD从图中所示位置绕点O顺时针旋转〃度(0v〃v40)

ZAOC=ZAOB+ZBOC=100°+rf,ZBOD=ZBOC+ZCOr)=n°+40°,点C、。在直线AO的右侧,

射线。石平分/AOC,射线。方平分/5OD,

100。+〃。H°+40°

:.ZAOE=-ZAOC=,ZBOF=-ZBOD=

2222

100°+n°废+40°

/.ZAOE-ZBOF=-------------------------=30。，

22

/.ZAOE-ZBOF的值为定值;

(3)解：当0v〃v80时，如图2：由(2)知，ZAOE-ZBOF=30°；

图2

当80<〃<140时，如图3所示,

ZAOC=360°-ZAOB-ZBOC=360°-100°-n°=260°-rf,

ZBOD=ZBOC+ZCOD=n°+40°,

射线平分/AOC,射线。方平分/5OD,

260f。心+40。

ZAOE=-ZAOC=ZBOF=-ZBOD=

2222

260。+〃。n°+40°

ZAOE-ZBOF==110。；

22

当140<MV220时，如图4所示,

ZAOC=360°-ZAOB—〃。=360。一100。一〃。=260°一ri°,

Z.BOD=360°-rf-ZCOD=3600-rf-40°=320°-n°,

射线O£平分/AOC,射线■平分/3QD,

260。一废320fo

/.ZAOE=-ZAOC=ZBOF=-ZBOD=

2222

320。—〃。260。—〃。

ZBOF-ZAOE=二30。；

22

综上，/49石与ZBOb具有的数量关系为：当0v〃<80时，ZAOE-ZBOF=30°；当80〈九〈140时,

ZAOE-ZBOF=110°；当140〈孔V220时，ZBOF-ZAOE=30°.

【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是

解决本题的关键.

【考点二几何图形中动角数量关系问题】

例题：（2023秋•河北邢台•七年级统考期末）已知。为直线上一点，射线0。、OC,0E位于直线A3上

方，0。在OE1的左侧，ZAOC=120°,ZDOE=80°.

图1图2图3

⑴如图1,当。。平分/AOC时，求NEO5的度数；

（2）点尸在射线0B上，若射线O尸绕点。逆时针旋转几。（0<〃vl80且〃w60）,ZFOA=3ZAOD.当/DOE

在/AOC内部（图2）和ZDOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，ZFOE和/EOC的数量关系是否改变，

若改变，说明理由，若不变，求出其关系.

【答案】⑴40。

(2)不改变，NEOF=2NEOC,理由见解析

(分析［(1)由。。平分ZAOC,贝UZDOC=60°,由ZDOE=80°,得到ZEOC=20°,最后得到ZEOB=40°；

(2)分两种情况，/DOE在/AOC内部时，令NA8=x。，则/DO尸=2x。，

ZEOF=80°-2x°,AEOC=AO°-x°,结论成立；ZDOE的两边在射线OC的两侧时.令NAO£>=x。，则

ZDOF=2x°,ZDOC=120°-x°,ZEOF=2x°-80°,进而结论得证.

【详解】(1)解：回。。平分/AOC,

0ZCOD=-ZAOC=60°,

2

0ZDOE=8OO.

0Z.COE=ZDOE-ZCOD=20°,

0ZAOE=ZAOC+Z.COE=120°+20°=140°,

ENBOE=180°-ZAOE=40°；

(2)①ZDOE在NAOC内部时.

令ZAO£>=x。，则NZ)OP=2廿，ZEOF=80°-2x°,

EZEOC=120。-(x。+2x°+80°-2x°)=40°-x°,

忸NEOF=2NEOC；

②ZDOE的两边在射线OC的两侧时.令NAOD=X。,

则NOO尸=2x°,ZDOC=120°-x°,ZEOF=2x0-80°,

0NEOC=80°-(120°-x°)=x°-40°,

SZEOF=2ZEOC.

综上可得，NFOE和NEOC的数量关系不改变，ZEOF=2ZEOC

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计

算.

【变式训练】

1.(2023秋•福建福州•七年级校考期末)如图，点。在直线A2上，NCOD在直线A3上方，且NCOD=60。，

射线OE在NCOD内部，ZAOE=2ZDOE.

⑴如图1,若。。是—3OC的平分线，求NCOE的度数；

⑵如图2,探究发现：当—3QD的大小发生变化时，NCOE与—3QD的数量关系保持不变.请你用等式表

示出NCOE与-30。的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴20。

(2)NBOD=3NCOE,理由见解析

【分析】(1)根据补角的定义可得/AOD=120。，再根据角平分线的定义可得答案；

(2)设NCOE=x,贝1]/£)。石=60。-了，再禾1J用NAOE=2NDOE,然后整理可得结论.

【详解】(1)回OD是/BOC的平分线，

SZBOD=ZCOD=60°,

EZAOD=180°-ZBOD=120°.

0ZAOD=ZAOE+ZDOE,ZAOE=2ZDOE,

0ZAOD=3ZDOE,

回ZDOE=-ZAOD=40°,

3

0ZCOE=ZCOD-ZDOE=20°.

(2)/BOD=3NCOE,

设NCOE=x,贝U/DOE=60°-x,

SZAOE='2ZDOE,

0ZAOD=34DOE=3(60°-x)=180°-3x,

0ABOD=180o-ZAOD=180°-(l80°-3x)=3x,

^\ZBOD=3ZCOE.

【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键.

2.（2023秋•湖北武汉•七年级校考期末）如图，ZAOB=100°,ZCOD=40°,射线OE平分/AOC,射线OF

平分N3QD（本题中的角均为大于0。且小于180。的角）.

⑴如图，当03,OC重合时，求NEO尸的度数；

(2)当NCW从图中所示位置绕点。顺时针旋转"度(0<“<40)时，ZAOE-ABOF的值是否为定值？若是

定值，求出NAOE-N3QF的值，若不是，请说明理由.

⑶当NCOD从图中所示位置绕点0顺时针旋转〃度(0<〃<220)时，ZAOE与ZBOF具有怎样的数量关系？

【答案】⑴70。

⑵为定值，理由见解析

(3)当。<〃<80时，ZAOE-ZBOF^30°；当804〃<140时，ZAOE-ZBOF=110°；当1404〃<220时，

ZBOF-ZAOE=30°

【分析】⑴根据角平分线的定义知NEO8=g/AOB、ZBOF=^ZCOD,再根据/或用=/£03+4。/可

得答案；

⑵由题意知NAOC=NAOB+N3OC=100o+“。、ZBOD=ZBOC+ZCOD=n0+40°,根据角平分线的定义

1100°+废1n°+40°

得ZAOE=：/AOCJ"；"、/20尸=：/80〃=^^-,代入计算可得答案；

2222

⑶分情况计算，利用w表示出/AOC,NBOD,再根据角之间的关系即可求解.

【详解】(1)解：ZAOS=100°,ZCOD=40°,射线OE平分2OC,射线O尸平分/BOD,

ZEOB=-ZAOB=-xl00°=50°,ZBOF=-ZCOD=1x40°=20°,

2222

ZEOF=ZEOB+ZBOF=500+20°=70°；

(2)解：NAOE—NBQ尸的值为定值，

理由如下：如图：

D

/COD从图中所示位置绕点0顺时针旋转〃度(0<〃<40)

ZAOC=ZAOB+ZBOC=100°+n°,N3O£>=ZBOC+NCOr>="。+40。，点C、D在直线AO的右侧,

射线OE平分ZAOC,射线OF平分NBOD,

10+?in0+40°

ZAOE=-ZAOC=°°°,ZBOF=~ZBOD=---------,

2222

100°+〃°n°+40°

/.ZAOE-ZBOF=——-——=30°9

22

.•.ZAOE—N3O9的值为定值；

(3)解：当0<"80时,如图2：由⑵知,,ZAOE-ZBOF=30°；

A

D

图2

当804〃V140时，如图3所示，

A

C

图3

ZAOC=360O-ZAOB-ZBOC=360°-100°-n°=260°-n°,

NBOD=ZBOC+ZCOD=〃。+40°,

射线OE平分ZAOC,射线。尸平分ZBOD,

ZAOE=-ZAOC=—°-~/?°,ZBOF=-ZBOD=心+40。

2222

当140<n<220时，如图4所示,

A

图4

ZAOC=360°-ZAOB-no=360o-100o-no=260o-n°,

NBOD=360°-rf-ZCOD=360°-rf-40°=320°-rf,

射线O£平分/AOC,射线。方平分/BOD,

260。一废320。—〃。

/.ZAOE=-ZAOC=ZBOF=-ZBOD=

2222

320f。

ZBOF-ZAOE=

2

综上，/AOE与ZBO尸具有的数量关系为：当0<〃<80时，ZAOE-ZBOF^30°；当804〃<140时,

ZAOE-ZBOF=1W°；当140W〃<220时，ZBOF-ZAOE=30°.

【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是

解决本题的关键.

【考点三几何图形中动角求运动时间问题】

例题:（2023秋•四川成都・七年级统考期末）如图1,A,。，8三点在一条直线上，且/AOC=24°,ZBOD=78°,

射线。"，ON分别平分ZAOD和/BOD.如图2,将射线以每秒8。的速度绕点。逆时针旋转一周，同

时将NCOD以每秒6。的速度绕点。逆时针旋转，当射线OC与射线08重合时，NCOD停止运动.设射线

的运动时间为f秒.

图1图2

⑴运动开始前，如图1,NDON=°,ZAOM=

⑵旋转过程中，当/为何值时，射线0。平分NBW?

(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得NMON=42。？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)39,51

(2)r=5.4s

(3)存在，符合条件的,的值为12s或33s

【分析】(1)根据平角的定义求得ZAOD,再根据角平分线的定义直接计算即可；

(2)根据=列方程求解即可；

(3)分情况根据AMON=420列方程求解即可.

【详解】(1)解：A,0,8三点在一条直线上，/AOC=24°,ZBOr>=78°,

ZAOD=180°-ZBOD=180°-78°=102°,

OM,ON分别平分ZAOD和ZBOD,

ADON=-ZBOD=!x78°=39°,ZAOM=-ZAOD=-xl02°=51°,

2222

故答案为：39,51；

(2)解：射线(M以每秒8。的速度绕点。逆时针旋转一周，同时将NCOD以每秒6。的速度绕点。逆时针

旋转，

ZAOD=180。一78°+6°t-8°t=102。-2°t,

「射线平分ZAOD,

ZDOM=-ZAOD=51°-f°,

2

ZBOD=78°-6°Z,

51°-?O=78O-6°Z,

Z=5.4s；

(3)解:存在某一时刻使得NMON=42。，分以下几种情况：

情况一：若QV在上方，此时/DQM+NZXW=42。，

即1(1022-2°r)+1(78°-6°t)=42°,

解得4=12s；

情况二：若。V在下方，此时NQQ0—NOCW=42。，

即；(78°-2°。_；(6°t-78°)=42°,

解得^=9s（不符合题意，舍去）；

情况三：当NCOD停止运动时，OA继续旋转时，当。4旋转264。时，有NMON=42。,

此时"2里64=33S.

8

综上所述，符合条件的r的值为12s或33s.

图1图2

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•甘肃兰州•七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线OC,ZAOC=30°,将

一直角三角板（/河=30。）的直角顶点放在点。处，一边ON在射线Q4上，另一边与0C都在直线AB

的上方.

⑴将图1中的三角板绕点。以每秒2。的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2,经过f秒后，加恰好平分

NBOC.求f的值；并判断此时ON是否平分NAOC?说明理由；

⑵在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周,

那么经过多长时间OC平分NMON?请说明理由.

【答案】（1）/=?；ON平分NAOC,理由见解析

（2〃的值为:15或3受15

42

【分析】（1）根据4OC的度数求出NCOM的度数，根据互余得出NCON的度数，进而求出时间f即可;

根据题意和图形得出NAON+/BOM=90°,NCON+NCOM=90。,再根据NBOAf=NCOM,即可得出ON

平分,AOC；

（2）根据题意和图形得出NCON=NCOM=45°,再根据旋转求出结果即可.

【详解】（1）解：旋转前ZMOC=90。一ZAOC=60。，

11QQO_Qf）°

当OM平分/3O。时，ZMOC=-ZBOC=-------------=75°,

22

则2r=75-60,

解得：r=E，

2

结论：ON平分/AOC,

理由：ZCON=900-ZMOC=90°-75°=15°,

又回NAOC=30。，

^ZAOC=2ZCON,

国av平分,AOC；

（2）解：ZMOC=ZAOM-ZAOC=（2/+90°）-（30°+6t）=60°-4t

则ZMOC=-AMON=-x90°=45°,

22

国60-4%=45,

15

回1=—，

4

当OC停止时，OC平分NMON,贝U有2f=360—45,

综上所述，满足条件的r的值为，或卑.

【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问

题.

2.(2023秋•四川成都•七年级统考期末)已知，OC是/A03内部的一条射线，ZAOB=3ZAOC.

⑵如图2所示，-403是直角，从点。出发在/3OC内引射线。。，满足ZBOC-ZAOC=NCOD,若加

平分NCOD,求/3OAf的度数；

⑶如图3所示，ZAOB=x°,射线OP,射线。。分别从。C,08出发，并分别以每秒1。和每秒2。的速度绕

着点。逆时针旋转，0P和。。分别只在NA0C和ZBOC内部旋转，运动时间为/秒.

①直接写出ZAOP和/COQ的数量关系；

②若NAO3=150。，当/POQ=*BOP,求f的值.

【答案】⑴40。

(2)45°

(3)①"OQ=2ZAOP；@?=20

【分析】(1)先求出Z4OC=40。，再根据角平分线的定义得到NAO"=20。，ZAON=60°,由此即可得到

答案；

(2)先求出NAOC=30。，则NBOC=60。，进一步求出NCOD=30。，由角平分线的定义得到

ZCOM=-ZCOD=15°,进而可得ZBOAf==45。；

2

io

(3)①先求出ZAOC=：x。，ZBOC=,根据题意可得NCOP=r，NBOQ=2t。,由此求出

ZAOP=QX-^°,ZCOQ=^x-2t}°,则/COQ=2/AOP；②求出

/尸OQ=皆一,°'/802=仁+1。，再由ZAC®=150。，=得至=+

把x=150代入方程求出/的值即可.

【详解】(1)解：0ZAOB=3ZAOC,ZAOB=120°,

0ZAOC=-x120°=40°,

3

0OM平分NAOC,ON平分ZAOB,

0ZAOM=|zAOC,AAON=|zAOB,

回ZAOM=20。，ZAON=60°,

团ZMON=ZAON-ZAOM=60°-20°=40°；

(2)解：回ZAOB=90。，ZAOB=3ZAOCf

团NAOC=30。，

团NBOC=60。，

团ZBOC-ZAOC=ZCOD,

团ZCOD=60°-30°=30°,

团。M平分NCOD,

0ZCOM=-ZCOD=15°,

2

团ZBOM=ZBOC-Z.COM=45°；

(3)解：①回ZAO5=3ZAOGZAOB=x0,

^ZAOC=-x°,

3

^\ZBOC=-x°

3

由题意得：ZCOP=tx1°=t°,ZBOQ=tx2°=2t°f

团ZAOP=ZAOC-/COP=,ZCOQ=NBOC-/BOQ=冗一2,

^\ZCOQ=2ZAOP；

②由①知"OP=/。，/COQ=1Ix—24。

[?]ZPOQ=ZCOQ+ZCOP,ZBOP=ZBOC+ZCOP,

回/尸0Q=(g-,。，ABOP=^~+tV,

ZAOB=15009ZPOQ=^ZBOP,

9

把%=150代入得：100-r=-(100+z)

解得=20,

2

团若NAO3=150°,当/尸OQ=§/8O尸时，r=20.

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键.

3.（2023秋•广东惠州•七年级校考阶段练习）解答下列问题.

A

M,

/C//

O^^——--------BpL--------------------NpL---------------------N

图1图2备用图

⑴【探索新知】

如图1,射线OC在/A03的内部，图中共有3个角：/AOB,40C和NBOC,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是/AO3的"巧分线”.

①一个角的平分线.这个角的"巧分线".（填"是"或"不是"）

②如图2,若NMPN=a,且射线R2是-MPN的"巧分线"，则/MPQ=_.（用含a的代数式表示出所有可

能的结果）

⑵【深入研究】

如图2,若NMPN=60。,且射线PQ绕点尸从PN位置开始，以每秒10。的速度逆时针旋转，当与PQ马PN

成180。时停止旋转，旋转的时间为，秒.

①当/为何值时，射线是NQPN的“巧分线”.

②若射线PM同时绕点尸以每秒5。的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止.请直接写出当射线PQ是-MPN

的“巧分线"时f的值.

1o1

【答案】⑴①是；②%或（a或K

⑵①9s或18s或12s；②6s或4s或2.4s

【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；

②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；

（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；

②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可.

【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线"；

故答案为：是

②回NMPN=cz,

当PQ是，MPN的角平分线时，

0ZMPQ=~xa=；

当尸。是三等分线时，NMPQ较小时,

团NMPQ=gxa=；0；

当PQ是三等分线时，尸。较大时，

22

团ZMPQ=—xa-~a；

ii?

故答案为：5a或或§a；

(2)解:①I3PM是NQPN的"巧分线"，

EIPM在NQPN内部，所以尸。转至左侧，

回PQ与PN成180。时停止旋转，且NMPN=60。，PQ旋转速度为10°/s.

06<f^l8.

当NMPN=2NQPM时，如图所示：

解得/=9；

解得f=12；

当2/MPN=/QJW时，如图所示:

10^=60+2x60,

解得，=18.

团9s或12s或18s均在6UW18的范围内,

El综上可得：当/为9s或12s或18s时，射线尸M是NQPN的"巧分线";

②依题意有：尸。在，MPN的内部，

^\ZQPN=\Qt,ZMPN=5t+60,

如图所示:

解得t=2.4；

如图所示:

解得r=4；

如图所示:

解得r=6.

团当/为2.4s或4s或6s时，射线尸。是/MPN的"巧分线”.

【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能

力及知识的迁移能力，解题的关键是理解"巧分线”的定义.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）如图，点。在直线上，射线OCOD分别在A3两侧，ZCOD^90°,

OE,O尸分别平分/AOC和—3QD,下列四个结论：（1）Z.COE-ABOF=45°；②NEOP为定值;③

2ZBOE-ZAOD=90°；（4）ZAOF+ZEOD=315°.其中正确的结论个数是（）

【答案】D

【分析】设=则ZAOC=180。—。，NBOD=90°—a,可得

ZAOC-ZBOD=(1800-a)-(90°-a)=90°,再根据角平分线的定义可得

I

NCOE-NBOF=3(NAOC-NBOD)=45。,故①正确；再由

ZEOF=ZCOE+NBOC+NBOF=1(ZAOC+ZBOD)+NBOC,可得②正确；再分另U求出ZBOE和ZAOD,

可得③正确；然后求出NAOP和/EOD,即可求解.

【详解】解：设N3OC=a,则440。=180。一(/,

回NCO£>=90°,

0ZBOD=9O°-a,

0ZAOC-ZBOD=(180°-«)-(90°-«)=90°,

SOE,O尸分别平分NAOC和/BOD,

0ZCOE=-ZAOC,ZBOF=-ZBOD,

22

0ZCOE-ZBOF=1(ZAOC-40。)=45。，故①正确；

ZEOF=ZCOE+ZBOC+ZBOF=|(ZAOC+ZBOD)+ZBOC=1(180°-a+90°-a)+«=135°,是定值，

故②正确；

EZBOE=ZBOC+ZCOE=cr+1(180o-a)=90°+1a,

ZAOD=180°-ZBOD=180°-(90°-a)=90°+a,

02ZBOE-ZAOD=2^90°+-(90°+(Z)=90°,故③正确；

0ZAOF=180°-ZBOF=180°-；(90°-a)=135°+；a,

ZDOE=ZCOE+ZBOC+ZBOD=^(180°-a)+a+(90°-a)=180°-^a,

0ZAOF+ZEOD=^18O°-1a^l35°+1a^=3150,故④正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，根据题意，准确得到角与角之间的数量

关系是解题的关键.

2.(2023秋•河北保定•七年级统考期末)已知：如图1,点A,O,3依次在直线上，现将射线。4绕点

。沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转；同时射线08绕点。沿逆时针方向以每秒4。的速度旋转.如图2,设

旋转时间为/秒(0W/W90).下列说法正确的是()

A.整个运动过程中，不存在NAOB=90。的情况

B.当NAC®=60。时，两射线的旋转时间f一定为20秒

C.当"直为36秒时，射线08恰好平分/MQ4

D.当4403=60。时，两射线的旋转时间r一定为40秒

【答案】C

【分析】由题意知NMQ4=2『，ZNOA=180°-2t°；当0Wt<45时，ZNOB=4t°；当45</90时,

ZNOB^360°-4t°；令/AOB=/NOA—/NOB=9QP,计算求解可判断选项A的正误；令

ZAOB=ZNOA-ZNOB=60°,ZAOB=ZNOB-ZNOA=60°,计算求解可判断选项B、D的正误；将7=36

代入，求出NMQ4,ZNOA,NNO3的值，然后根据/AO3=NNO3—NNQ4求解—AO3的值，根据NA03

与NMOA的关系判断选项C的正误.

【详解】解：由题意知ZMQ4=2『，ZNOA=180°-2t°；当0V/W45时，ZNOB=4t°；当45</V90时，

ZNOB=360°-4t°；

令/AOB=NNOA-/NOB=90。,即180。-2尸-4尸=90。，解得t=15秒，

团存在NAC®=90。的情况；

故A错误，不符合题意；

ZAOB=ZNOA-ZNOB=60°,即180°-2尸-4产=60°,解得/=20秒，

4ZAOB=ZNOB-ZNOA=60°,即4伊-（180°-2产）=60°,解得r=40秒，

团当NAOB=60。时，两射线的旋转时间/不一定为20秒；

故8、D错误,不符合题意；

当7=36时，NMOA=72°,ZNOA=108°,ZNOB=144°,

EZAOB=ZNOB-ZNOA=144°-108°=36°,

SZAOB^-ZMOA,

2

团射线OB恰好平分ZMOA,

故C正确，符合题意；

故选c.

【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识.解题的关键在于正确的表示各角度.

二、填空题

3.（2023秋•七年级课时练习）如图，团COD在0AOB的内部，且？CODhAOB,若将回C。。绕点。顺时针

旋转，使国C。。在她OB的外部，在运动过程中，OE平分SBOC,则aDOE与她0c之间满足的数量关系是

【答案】—AOC=2/OOE或ZAOC=360。—2ZDOE

【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过180。时，当旋转的角度超过180。，不超过360。时，画出旋转后

的图，利用角之间的关系计算即可.

【详解】解：当旋转的角度不超过180。时，如图:

0ZAOC=ZAOB+Z.BOC,

ZDOE=ZCOD+ZCOE,

0?COD!?AOB,OE平分回BOC,

0NBOE=ZCOE,ZAOC=2ZCOD+2ZCOE=2(ZCOD+ZCOE),

^ZAOC=2ZDOE.

当旋转的角度超过180。，不超过360。时，如图，

0ZAOC=360°-（ZAOB+ZBOC）,

Z.DOE=ZCOD+NCOE,

0?COD!?AOB,OE■平分I38OC,

0ZBOE=ZCOE,2ZDOE=2ZCOD+2ZCOE=ZAOB+Z.BOC,

0ZAOC=360°-2ZDOE.

【点睛】本题考查旋转，几何图形中角之间的关系，解题的关键是分情况讨论，结合图进行求解.

4.（2022秋・全国•七年级专题练习）如图1,直线ED上有一点。，过点。在直线瓦）上方作射线OC,将一

直角三角板出=30°）的直角顶点放在点。处，一条直角边Q4在射线。。上，另一边在直线即

上方，将直角三角板绕着点。按每秒10。的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒.若射线0C的位置保持

不变，且NCOE=140。.则在旋转过程中，如图2,当上秒时，射线OAOC与OD中的某一

条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线.

EOADEOD

01图2

【答案】2或8或32

【分析】分三种情况进行解答，即①射线Q4是NCOD的平分线，②射线OC是ZAOD的平分线，③射线0。

是/C0A的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可.

【详解】解：当射线Q4是NCOD的平分线时，

0ZCOD=180°-ZCOE=40°,

0ZAOD=-ZCOD=20°,

2

20-

回/=——=2；

10

当射线OC是ZAOD的平分线时，

ZAOD=2ZCOD=SO°,

80„

团,=—=8；

10

当射线OD是ZCOA的平分线时，

360—10"40,

0?=32,

故答案为：2或8或32.

【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的定义是正确解答的前提.

三、解答题

5.（2023秋・广东揭阳•七年级统考期末）已知。是直线A8上的一点，NCOD是直角，OE平分/BOC.

⑴如图①，若NAOC=30。，求/COE,/DOB的度数.

⑵将图①中的NCOD绕顶点。顺时针旋转至图②的位置，探究NZOC与NDOE的度数之间的数量关系,

并说明理由.

【答案】（1）ZCOE=75°，ZDOB=60°

(2)ZDOE=^ZAOC,理由见解析

【分析】(1)(1)由NAOC=30。，NCOD是直角，可知NfiOC=150。，ZS(9D=60°,因为OE平分，3OC,

所以ZCOE=-NBOC=75°；

2

(2)设NAOC=cr,因为NCOD是直角，所以/3。7=180。一/40。=180。一口，ZCOD^90°,因为OE平

货NBOC,所以NCOE=；N8OC=90。-；。；所以ZDOE=90O-NCOE=90O-(90O-；ar)=I".

【详解】(1)解：回NAOC=30。，NCOD是直角，

0ZBOC=180°-ZAOC=150°,ZCOD=90°,

EZDOB=1800-ZAOC-ZCOD=60°,

回OE平分/BOC,

0ZCO£=-ZBOC=75°；

2

(2)解：ZDOE=^ZAOC.理由如下：

设NAOC=a,

EINCOD是直角，

0ZBOC=180°-ZAOC=180°-a,/COD=90°,

回OE平分4OC,

0ZCOE=-ZBOC=90°--a；

22

0ZDOE=90°-ZCOE=90°-(90°--a)=-a.

—22

即ZDOE=ZAOC.

【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系.

6.(2023春・河北唐山•七年级统考开学考试)如图，已知NAO3=180。，OA1是/AOC的平分线，ON是NBOC

的平分线.

AOB

⑴分别指出图中NACW和N3OM的补角；

⑵若ZBOC=68°,求ZCON和ZCOM的度数；

(3)NCON和NCOM具有怎样的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴NAON的补角有乙BON和NCON,NBOA/的补角有和NCOM

(2)/CON=34。，ZCOM=56°

(3)/COM+NCON=90。，理由见解析

【分析】(1)根据角平分线的定义和补角的定义解答即可；

(2)根据角平分线的定义可求/CON=34。，根据邻补角的定义可求NAOC=112。，进而根据角平分线的

定义可求NCOM=56。；

(3)根据角平分线的定义得/COM=L/8OC,ZCON=-ZBOC,两式相加即可求出NCON和NCQW

22

的数量关系.

【详解】(1)回ON是—5OC的平分线，

0NBON=NCON.

0ZAON+ZBON=ZAOB=180°,

0ZAO7V+ZCON=180°,

0ZAON的补角有ZBON和ZCON,

同理可求ZBOM的补角有NAOM和ZCOM.

(2)EINBOC=68。，ON是-3OC的平分线，

0ZCON=-ZBOC=34°,ZAOC=180°-68°=112°.

2

回是ZAOC的平分线，

0ZCOM=-ZAOC=56°；

2

(3)EIOM■是/AOC的平分线，OV是/3OC的平分线，

0ZCOM=-ZBOC,ZCON=-ZBOC,

22

0ZCOM+ZCON=-ZBOC+-ZBOC=-ZAOB.

222

0ZAOB=180°,

团/COM+/CON=90°.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，以及角的和差运算，数形结合是解答本题的关键.

7.(2022秋•陕西延安•七年级校考期末)已知/AO3=110。，NCOD=40。，OE平分/AOC,OF平分/BOD.

(1)如图，当08、0c重合时，求NAOE—N3OF的值；

(2)若NCOD从上图所示位置绕点O以每秒3。的速度顺时针旋转t秒(0<t<10),在旋转过程中

NAOE-N3O尸的值是否会因/的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.

【答案】⑴35。；(2)是定值，35°

【分析】(1)首先根据角平分线的定义求得0AOE和&8。尸的度数，然后根