线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（人教版）原卷版

专题13.3线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】

【人教版】

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】..............................................1

【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】................................................2

【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】................................................3

【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】....................................................5

【题型5线段垂直平分线的判定】..............................................................6

【题型6线段垂直平分线的作法】..............................................................7

【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】..................................................8

。。分声—＞工二

【知识点1线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上.

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】

【例1】(2022秋•南召县期末)已知：如图，/8AC的平分线与的垂直平分线相交于点P,PELAB,

PF±AC,垂足分别为E、F.若AB=8,AC=4,则AE=.

【变式1-1](2022秋•潮安区期中)如图，在△ABC中，ZABC=45°,C£)_LA8于点。，AC的垂直平分

线BE与C。交于点R与AC交于点E.

(1)判断△OBC的形状并证明你的结论.

(2)求证：BF=AC.

(3)试说明CE=^BF.

【变式1-2］（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZA=22.5°,斜边A8的垂直

平分线交AC于点。，点P在AC上，点E在2C的延长线上，CE=CF,连接3RDE.线段。E和3尸

在数量和位置上有什么关系？并说明理由.

B

【变式1-3］（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，。是三角形外一动点，满足乙4。2=60°.

（1）如图①，当。点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB-,

（2）如图②，当。点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

图①图②

【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】

【例2】（2022秋•周村区校级期中）如图，线段AB,OE的垂直平分线交于点C,且NABC=NEDC=72°,

/AEB=92°,则NE3D的度数为（）

A.168°B.158°C.128°D.118°

【变式2-1］（2022秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点。，ZA

=a（0°<a<90°）,

（1）求N50C；

（2）试判断NA8O+NAC8是否为定值?若是，求出定值，若不是，请说明理由.

A

【变式2-2］（2022秋•西湖区期末）如图，线段AB,的垂直平分线小L相交于点。.若Nl=40°

则（）

A.50°B.80°C.90°D.100°

【变式2-3］（2022春•金牛区校级期中）已知:△ABC是三边都不相等的三角形，点尸是三个内角平分线

的交点，点。是三边垂直平分线的交点，当P、。同时在不等边△ABC的内部时，那么/BOC和NBPC

的数量关系是：ZBOC=______.

BC

【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】

【例3】（2022秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路/旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,

发射塔到两个城镇加，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）

A.A处B.B处C.C处D.D处

【变式3-1］（2022春•浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗

接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）

A.△ABC的三条中线的交点处

B.△A8C三边的垂直平分线的交点处

C.△ABC三条角平分线的交点处

D.△ABC三条高所在直线的交点处

【变式3-2］（2022春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子，必须

到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）

A.三条中线的交点

B.三条高的交点

C.三条边的垂直平分线的交点

D.三个角的角平分线的交点

【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B

的距离必须相等，到两条高速公路相和”的距离也必须相等.发射塔应该修建在（）

A.N1的平分线和线段的交点处

B./I的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处

C.N2的平分线和线段A8的交点处

D.Z2的平分线和线段的垂直平分线的交点处

【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】

【例4】(2022秋•广陵区校级月考)在△ABC中，NA=120°,的垂直平分线交2C于交于E,

AC的垂直平分线交于M交AC于R

(1)如图(1),连接AM、AN,求/MAN的度数；

(2)如图(2),如果AB=AC,求证：BM=MN=NC.

【变式4-1](2022秋•鄂托克旗期中)如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC

于D,连接2D

(1)若/A8C=NC,ZA=40",求/。BC的度数；

(2)若A8=AC,且△SCO的周长为18cm△ABC的周长为30%求BE的长.

【变式4-2](2022春•市中区期末)如图，在△ABC中，DM.EN分别垂直平分AC和BC,交A3于M、

N两点，DW与EN相交于点?

(1)若△CMN的周长为15cm,求A8的长;

(2)若/MFN=10°,求NMCN的度数.

【变式4-3](2022秋•红花岗区校级月考)如图，AABC中，8。平分/ABC,8C的中垂线交8C于点E,

交BD于点F,连接CP.

(1)若乙4=60°,ZABD=24°,求/ACT的度数；

(2)若EF=4,BF：FD=5：3,S^BCF=10,求点。到AB的距离.

【知识点2线段垂直平分线的判定】

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，(这样的点需要找两个)

【题型5线段垂直平分线的判定】

【例5】(2022秋•伊川县期末)如图，△ABC中，ZACB=90°,AD平分/3AC,DELABE.

(1)若/8AC=50°,求NED4的度数；

(2)求证：直线是线段CE的垂直平分线.

【变式5-1](2022秋•奈曼旗期中)如图所示，是N8AC的平分线，DE±AB,DF±AC,垂足分别为

E,F,连接EF,EP与交于点G,求证：A。垂直平分E?

5D,

【变式5-2](2022春•市北区期末)如图，E是/AO8的平分线上一点，ECLOA,EDLOB,垂足分别是

C、D.

求证：(1)OC=OD,

(2)。£是线段。的垂直平分线.

二,

【变式5-3](2022秋•平邑县期中)如图，在AABC中，。是BC的中点,DELABE,DF±ACF,

BE=CF.

(1)求证：平分/BAC；

(2)连接ER求证：垂直平分EF.

A

BDC

【题型6线段垂直平分线的作法】

【例6】(2022秋•武城县期末)己知：如图，在△ABC中，NC=120°,边AC的垂直平分线DE与AC.

AB分别交于点。和点E.

(1)作出边AC的垂直平分线。E；

(2)当AE=BC时，求NA的度数.

c

【变式6-1］（2022秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点8为圆心，大于的长为半径

画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD若△AQC的周长为10,AB=8,则

△ABC的周长为（）

A.8B.10C.18D.20

【变式6-2］（2022•榆林模拟）如图，在△ABC中，DELBC于点D,交AB于点E.请用尺规作图法，在

线段。C上求作一点P,使AP〃£D（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-3］（2022•长安区一模）如图，在AABC中，AOL8C于点。，且CQ=28。，请用尺规作图法,

在边AC上找一点尸，使得△必。的面积等于的面积（保留作图痕迹，不写作法）.

【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】

【例7】（2022秋•伊通县期末）如图，在AABC中，的垂直平分线人交于点M,交BC于点、D,AC

的垂直平分线L交AC于点N,交BC于点、E,/i与/2相交于点。，△AOE的周长为10.请你解答下列问

题:

(1)求BC的长；

(2)试判断点。是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由.

【变式7-1](2022