一元一次不等式 知识归纳与题型突破（18类题型清单）原卷版-2024-2025学年沪教版七年级数学下册

一元一次不等式知识归纳与题型突破

（18类题型）

01思维导图

02知识速记

知识点一、不等式的概念

一般地，用“<”、">"、“w”或表示大小关系的式子，叫做不等式.用“力”表示不等关系

的式子也是不等式.

知识点二'不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集.

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围

可用最简单的不等式来表示.如：不等式X-2W6的解集为xW8.

（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解.如图所示：

x>axN。x<axW。

-J>I>-ZZX-~~l>

aaaa

知识点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

用式子表示：如果a>b,那么a±c>b±c.

不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

ab

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

cc

不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

ab

用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc（或一<一）.

CC

知识点四、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，

特别提醒：

（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知

数的最高次数为1.

（2）一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式.

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“<”、“W"、或“>”连接，不等号有方

向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没有方向.

知识点五、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x<a（或x〉a）的

形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷化为办〉6（或办<6）

的形式(其中awO)；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

特别提醒：(1)在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用.

(2)解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变.

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定

一元一次不等式组的解集有很大帮助.

特别提醒：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

(1)边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

(2)方向：大向右，小向左.

知识点六、不等式组的概念

定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.

特别提醒：

(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.

(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数.

知识点七、解一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的解集：

一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.

特别提醒：

(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它

们重叠的部分.

(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解

的情况.

2.一元一次不等式组的解法

解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集.

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集.

知识点八、一元一次不等式组的应用

列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题一设未知数一找不等关系一列不等式组一解不等式组一

检验一答.

特别提醒：

(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系.

(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找

出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数.

03题型归纳

题型一不等式的定义

222

例题：以下表达式：①4x+3”0；②°>3；③/+孙；@a+b=c;⑤x45.其中不等式有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

巩固训练

1.某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语

言可以是()

A.“蛋白质含量20.5%"B.“蛋白质含量>0.5%”

C.“蛋白质含量<0.5%"D.“蛋白质含量40.5%”

2.对于下列结论：①x为正数，则x>0；②x为自然数，则x>l；③x不大于5,则x<5；正确的

有—.(填所有正确的序号)

3.在下列数学表达式中，属于不等式的是.

(T)—3<0；(2)a+b(3)x=3；(4)x+2>y+3.

3.用不等式表示：

(l)7x与1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍与b的3的和是正数.

题型二不等式的性质

例题：已知x>y,则下列不等式成立的是（）

A.-2x>-2jvB.x-3>y—3C.->V+5>—y+5D.—<

巩固训练

1.已知下列结论：①才>瑟；②/〉/；③若b<0,贝|。+6<26；④若6〉0,则其

ab

中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.

2.。、b、。表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“〉＜”或“二”.

।।।।।।।।11111w

C0ba

(l)a+3____b+3.

(2)a-b_______0.

〃

(3)[_________-b.

5

(4)-2〃______-2b.

(5)1-4Q_______1-46.

(6)«-|c|_____b-\c\-

⑺"Cb-c.

(8)ab____—b2.

3.在不等式3x-5«2x的两边都加上______—，得到不等式x<5.

4.若x>y,比较5-2x与5-2>的大小关工2并说明理由.

题型三不等式的解集

例题：下列说法中，正确的是（）

A.不等式2x<-8的解集是尤<4B.工=5是不等式2%<-8的一个解

C.不等式2x<-8的整数解有无数个D.不等式2x<-8的正整数解有4个

巩固训练

1.下列说法错误的是（）

A.不等式5x-10>0的解是3B.3是不等式5x-10>0的解

C.不等式5x-10>0的解集是x>2D.尤>2是不等式5x-10>0的解集

2.写一个解集为x<-2的不等式为.

3.如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为

-1.31.6

4.关于x的两个不等式x+l<7-2x与-l+x<a.

(1)若两个不等式解集相同，求。的值；

(2)若不等式x+l<7-2x的解都是-l+x<a的解，求a的取值范围.

题型四一元一次不等式的定义

例题：下列不等式是一元一次不等式的是()

A.5>2B.3x<0C.x+2y>0D.x2+5^-7>0

巩固训练

1.若(。-2)J7-2<。是关于x的一元一次不等式.贝匹的值为()

A.2B.-1C.0D.0或2

2.已知不等式(。-3)朋-2+1>5是关于X的一元一次不等式，则。=.

3.若(3-〃?)♦'"卜2<。是关于x的一元一次不等式，则加的值为.

4.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式.

(1)4<5；

(2)%2+1>0；

(3)x<2x-5；

(4)x=2x+3；

(5)3a2+a;

(6)a2+2a24a-2.

题型五求一元一次不等式的解集

例题：不等式-1的解集是（）

7722

A.x<—B.x>—C.x>一D.x—

5555

巩固训练

1.若不等式（〃-3）x<（a-3）的解集是工<1,则。的取值范围是（）

A.Q<3B.a<-3C.a>-3D.a>3

2.一元一次不等式x+3>0的解集为.

3.不等式-；苫-1<0的解集为

4.解不等式：3_£_2>2£±1,

o2

去分母，得24-（x-7）>8x+4.

（1）“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或"B”）.

A.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

B.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

（2）请完成上述解不等式的余下步骤.

题型六求一元一次不等式的整数解

例题：不等式婴-X>1的自然数解有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

4%—5

1.不等式安<1的正整数解有（）个

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.不等式5x-2<3（x+2）的非负整数解为.

3.不等式2（x-3R5x-4的最大整数解为.

4.已知不等式25-1）+4<3（》+1）+2的最小整数解是方程2》-加工=4的解.求机的值.

题型七在数轴上表示不等式的解集

例题：已知|3-4=”3,则。的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A.।_____B.।।

050：,

C___1______,_____D_________________।_______

03-03

巩固训练

1.不等式3x+l>4的解集在数轴上表示正确的是（）

A—1----1-----1--1►R—1---------1------i------1~►

-10120-1012

J-10125-1012

2.若关于x的不等式3x-aW-1的解集在数轴上的表示如图所示，贝!的值是.

।।।,।।।।>

-3-2-10123

3.若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为,

-2-1012

4.解不等式：3（x+3）+6>4（2x+5）,并把它的解集在数轴上表示出来.

I____।______।___।_____।_____।____I»

-3-2-10123

题型八求一元一次不等式解的最值

例题：若不等式的解都是不等式2-3x25的解，则加的取值范围是（）.

A.m<-lB.m<-\C.m>—[D.m>-1

巩固训练

1.按照下面给定的计算程序，当》=-2时，输出的结果是；使代数式2x+5的值小于20的最大整数

x是（）.

A.1,7B.2,7C.1,-7D.2,-7

2.已知关于x的方程决-4x=-9的解是非负数，则后的最小值为.

3.一元一次不等X式+底1>x2+（的最大整数解为；

4.已知『一122无一二^,求|计1-,+3]的最大值和最小值.

题型九一元一次不等式组的定义

2

例题：下列不等式组：①I[x>--2；②_1f+x2>>04；③[[x广+41><0。；x+3>0fx+1<x

④⑤"+2>4其中是一

x<—7

元一次不等式组的个数（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

巩固训练

1.下列不等式组是一元一次不等式组的是（）

[x-2>0[x+l>0[x-2>0[3x>°

A。L（X-1）<2B-[y-l<0。[x<-3D-U+l<0

lx

_fx>-2,_[x+1>0_[2x>0_'+3>°（x<x+l

2.下列不等式组：①②③④1、7⑤其中是一元一次不

[x<3,[歹一1<1[x+2〉0->-7[x+2>4

、2

等式组的有个.

3.一般地，由几个的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等

式组的各个不等式的解的就是不等式组的解.

4.判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组?

x>4

[2x-6<0[x>7

x=42x>5⑶卜<10;叫一3”10；(5%<0

(1)⑵

x>3x2<81

x>-3

题型十求不等式组的解集

2x+6>0

例题：解不等式组,解集在数轴上表示正确的是（）

x-2<0

A.—<!>——1——1——1——L.

J——B—<!>1111J->

—3—2—1013-3-2-1013

c—6——1——1——1——1——i1->D—6——1——1——1——1——*——

--3-2-10123--3-2-10123

巩固训练

(—XW1

1.不等式组。。C的解集是()

[3x—3<2x

A.x<-lB.x>3C.-3<x<1D.-l<x<3

-JQ—](7——-x

2.不等式组2~2的所有整数解的和为.

5x-l>3(x+l)

-x-\<3

3.不等式组2~的解集是.

2%<6

f2x<3x-l

4.求不等式组卜+3卜_1)<2(%+1)的解集.并把它的解集表示在数轴上.

题型十一解特殊不等式组

例题：若关于X的不等式X-加〉1的最小整数解是2,则实数加的值可能是（）

A.-1B.--C.0D.1

2

巩固训练

x-a>0

1.不等式组｛八的解集中任何工的值均在2SXS5的范围内，则。的取值范围是（）

x-a<1

A.a>2B.2<^<4C.^<4D.。之2且Qr4

2.已知0〈履+6<bQk、6为常数）的解集为-4Vx<0,则关于x的一元一次不等式-丘+的解集

为.

3.设。，b是正整数，且满足56<。+6<59,0.9<-<0.91,则.

b

4.阅读下列关于不等式(x-1)(x+2)>0的解题思路:

由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：

[x_1>0[x—1<0

①]+2>0或②jx+2<0，

解不等式组①得X>1,

解不等式组②得了<-2,

二等式(x-l)(x+2)>0的解集为或X<-2.

请利用上面的解题思路解答下列问题:

⑴求出(x-l)(x+2)<0的解集；

⑵求不等式—>0的解集.

x+2

题型十二求一元一次不等式组的整数解

[%<fj2

例题：若关于X的不等式组,。八的整数解共有4个，则加的取值范围是()

[7-2x<1

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<l

巩固训练

[x>a

1.若关于1的不等式组,恰有4个整数解，则字母〃的取值范围是()

[x<3

A.QV—1B.—2<4«—1C.—2WQv—1D.1

I5x-3r

--------1-3>x

2.若不等式组3的整数解有四个，则。的取值范围是

x<a

2（x+2）>x+1

3.若关于x的不等式组x-a।x+3<]有解且最多有3个奇数解,关于y的方程。+2（了-2）=2的解为整

数，则所有满足条件的整数。的个数为.

3（x+2）22x+5①

4.解不等式组：x।x-2不，在数轴上表示它的解集，并写出所有整数解.

——1<------②

[23

题型十三由一元一次不等式组的解集求参数

fx+9<5x+1

例题：不等式组的解集是％>2,则冽的取值范围是（）

[x>m+4l

A.m<2B.机22C.加D.m>\

巩固训练

f3x+a<0

1.若不等式组।的解集为x<4,则Q的取值范围为（）

[2x+7>4x-l

A.a<-12B.a<-12

C.ci>-12D.ci>-12

fx>5

2.如果一元一次不等式组。。的解集为x>5,则机的取值范围是______.

[x>2m-3

[x>2n+l

3.若关于x的不等式组c的解集为％>-1，则n的值为—.

[x>n+2

2"+1〉_5

4.若关于1的一元一次不等式组3"的解集为了47,求〃的取值范围.

3x+。>—2+4x

题型十四不等式组和方程组相结合的问题

例题：已知人为整数，关于…的二元一次方程组产一2)-3的解满足2022<x-y<2024,则整数左

[x-2y=k

值为()

A.2022B.2023C.2024D.2025

巩固训练

f2x+3y=(7-l

1.若方程组,:匚的解满足l<x+V<2,则〃的取值范围是()

[3x+2y=6

A.0<Q<5B.0<a<2C.5<tz<10D.a>0

[3x+4y=m-5

2.已知关于％,y的方程组//,।的解满足％+><0,x->>0,求机的取值范围.

[4x+3y=3m+l

3.若关于x的不等式f4—八2(…x—1)。>3一—x有且只有3个整数解，且关于x,y方程组\a<x—+42V—03的解为整数,

则满足条件的整数«的值为

x-y=2m+1

4.若关于x,y的方程组

x+2y=3m

(1)求方程组的解(用含附的代数式表示);

(2)若方程组的解满足x>l,><2,求加的整数解;

题型十五一元一次不等式组的其他应用

例题：一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为X公斤，85公斤的大胖硬是挤了

进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时55公斤的小瘦抓紧机会坐上了

电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖.已知当电梯承载的重量超过300公斤时警示

音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示()

A.180<x<245B.215<x<300C.215<x<245D.245<x<300

巩固训练

1.五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子.豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜

肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元.则不同的购买方案的个数

为()

A.12B.123C.14D.15

2.某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系

汽车若干辆.如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，

仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有名.

3.某校志愿服务小组的学生在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒

牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少

分得1盒，则这个敬老院的老人最少有位.

4.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸

盒.若要做两种纸盒共100个.设做竖式纸盒》个，完成下列问题：

(1)则需要做横式纸盒________个；(用含x的式子表示)

(2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?

题型十六用一元一次不等式组解决实际问题

例题：为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器

的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则

最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？

水基灭火器干粉灭火器

巩固训练

1.已知杜鹃花宜居在17℃〜20℃的环境中，某山区要种植杜鹃花.已知平均气温为20℃,且海拔每上升100

米，气温就下降06c.山脚的海拔的取值范围是多少？

2.小王同学要去复印一些文件，现在有/、3两家复印社可供选择.

/复印社：复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费为0.09

元

B复印社：不论复印多少页，每页收费0.1元.

(1)如果复印页数是25页，计算/、2两家复印社的收费分别是多少？

(2)如果只能选择一家复印社复印文件，小王同学选择哪家复印社更合算？

3.2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市

场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15

元，总共花费13800元。

滨滨妮妮

(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？

(2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出加个后，该商店

进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利

润不少于6000元，求加的最小值？

4.某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5

月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元.

一户居民一个月用电量的范围电费价格(单位：元/千瓦时)

不超过180千瓦时的部分a

超过180千瓦时的部分b

(1)上表中，a=_,b=_.

(2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制

在不超过家庭月收入的2%,若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时.

题型十七用一元一次不等式组解决几何问题

例题：已知数轴上有"，N两点，点M表示的数为3x-5,点N表示的数为9-x.

(1)当x=-l时，求线段的长；

(2)若点Af与点N关于原点对称，求点M表示的数；

⑶若点M在点N的左侧，求x的正整数值.

巩固训练

1.如图，数轴上点。为原点，点4,B,C表示的数分别是〃?+1,2-m,9-4加.

9-4m2-mm+1

CBOA

(1)/5=(用含加的代数式表示)；

(2)若点2为线段NC的中点，