一元二次函数、方程和不等式-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

高考仿真重难点训练01一元二次函数、方程和不等式

一、选择题

1.已知。，仇。为实数，则下列命题成立的是（）

A.若a<b,贝!

B.若a〈b,贝

C.若咖＞咖，贝lja＞b

22

D.若a>b,则

ab

【答案】C

【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.

【解析】对于A,若〃＜6,当c=0时，不满足ac＜6c,即A错误;

对于B若a＜b,贝!］。一。＜6—c,所以B错误;

若a|c|＞Md，可知c.O,不等式两边同时除以|c|,即岩

对于C,，可得,即C正确;

22

对于D,若a>b,不妨取Q=1,6=-1,则—=2〉不=-2,可得D错误;

ab

故选：C

2.如果0＜。＜6,那么下列不等式正确的是（)

A.y[ab<"+"<a<bB.a<y[ab<Q”<b

22

r~ra+b,a+b

C.y/ab<a<------<bD.a<------<y[ab<b

22

【答案】B

【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出疝〈〈

，再结合0＜。＜6可得出结果.

【解析】由已知0＜。＜6,利用基本不等式得出而

因为0<。<6,则/〈Qbv/,a+b<2b,

i—a+b7

所以a<y/ab〈b,--—<b,

a<4ab<0+b<b.

2

故选：B

3.——元二次不等式ox?+bx+c>0的解为{川一2<x<3},那么办之一及+c>o的解集为（

A.{%卜>3或x<-2}B.x|x>2或x<-3}

C.1x|-2vx<3}D.1x|-3<x<2

【答案】D

【分析】根据题意得出〃、加。的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.

【解析】一元二次不等式"2+bx+c>0的解为N-2<x<31,

所以ax?+6x+c=0的解为*=-2,x?=3,且a<0,

b1

X]+X1——=1

b=-a

由韦达定理得a台匚，代入得

C/c=-6〃

Xj,X2=-=—6

a

ax2+tzx-6tz>0=>x2+x-6<0=>-3<x<2,

故选：D.

x—2

4.若4<0,5={x|log5x<l},则的元素个数为（）

8-x

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分别确定集合45,再求交集.

【解析】根据题意，可得集合/={X£Z|XW2或x>8},

B=1x|0<x<5},

则Nc8={l,2},所以/c8的元素个数为2个.

故选：C

5.若0<x<l,则上1+片2的最小值是（）

X1-X

A.1B.4C.2+2血D.3+2也

【答案】D

【分析】根据基本不等式及"1"的妙用计算即可.

【解析】因为0<x<l,所以l-x>0,

贝让+二-=仕+二-jr^+（l-^）l=3+—+^>3+272,

Xl-xyXl-x）LJx1~X

当且仅当」=卢，即苫=a-1时，等号成立，取得最小值3+2收，

XL-X

故选：D.

6.已知无理工wo|,若2e4则加的取值范围是（）

[mx-1J

1111—I1fl

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——gzm>—D.m<——或加2—

22222222

【答案】A

【分析】将x=2代入%=40,然后转化为一元二次不等式求解可得.

mx-i

,一2m+1»[（2m+1）（2m-1）<0

【解析】因为2e4所以彳一VO,等价于:,,

2m-112机-1/0

解得一加

22

故选：A

7.已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为加元和〃元（机力〃），甲、

乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买

平均单价分别为%,生，则（）

A.ax=a2B.ax<a2C.ax>a2D.%,电的大小无法确定

【答案】B

【分析】由题意求出《，出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.

2002mn__,、

■L口h”,日q——T-TT--------------20（m+n）m+n

【解析】由题思得100100m+n,%=-------=一~一，

----1----402

mn

e、1八八,,m+n/—2mn2mn/—

因为机加故---->yjmn,-----<一^==y/mn,

2m+n2\mn

即ax<a2,

故选：B

8.已知正实数Q,b,则“〃+2b<2〃是"力+必2V2〃的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.

31919137

【解析】取4=不6=3,满足。+2642,1Ha2+4^=-+4x—=-+—=—>2,

2846441616

故"a+26V2"推不出"下+疗j",

因为〃+必222yla2-4b2=2-2ab=4ab，当且仅当"“=2b”时取等，

当/+4^42时，a2+4b2+4ab<2+4ab<2+a2+4b2<4,

所以。2+4〃+4。6V4,即(a+26『w4,因为a+26>0,

所以0<a+26W2,J^fLUa2+4Z?2<2能推出a+2b<2.

故“a+2642"是"/+让<2"的必要不充分条件.

故选：B.

二、多选题

9.已知命题关于x的不等式一一2〃尤-0>0的解集为R,那么命题。的一个必要不充分条件是()

,12人

A.-\<a<——B.——<a<0

23

C.-l<a<0D.a>-l

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可.

【解析】命题p关于x的不等式--2"-0>0的解集为R,

则A=4a2+4a<0,解得-l<a<0

又(-1,0)同T,o],(TO)氧-1,+8),

故选：CD.

10.已知正实数。,6满足。6=々+6+3,则()

A.a+6的最小值为6

B.湖的最小值为3

C.上1+；1的最小值为2]

ab3

D.a+2b的最小值为8

【答案】AC

【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由好的范围结合单调性判断C；变形给定等

式，利用基本不等式求解判断D.

【解析】正实数满足劭=。+6+3,

对于A,a+b+3=ab<-)2，则(a+6/一4(a+6)-1220,即(a+6-6)(a+6+2)Z0,

解得。+626,当且仅当a=b=3时取等号，所以6的最小值为6,A正确；

对于B,ab=a+b+3>2yl~ab+3,则—3)(V^+1)20，I?Wy[ab>3,即

当且仅当。=b=3时取等号，所以必的最小值为9,B错误;

2

又寸于C,由项B矢口，cib29,—+——------------------=1——21——

abababab93

i1?

所以当。=6=3时，±+；取得最小值c正确；

abJ

对于D,由。6=〃+6+3,得(a-l)(b—1)=4,而。=^2>0,贝

b-1

a+2b=(a—1)+23—1)+3225(。一1)・23—1)+3=4万+3,当且仅当1=2(6—1)时取等号,

["1=20—1)厂L「「

由/~八八/解得。=2也+1,6=行+1,所以当。=2亚+1/=血+1时，。+2〃取得最小值

[(tz-1)(6-1)=4

4行+3，D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意''拆〃、〃拼〃、“凑〃等技巧，使用其满足基本不等式的

〃一正〃、"二定〃、"三相等〃的条件.

11.已知正实数。，b,c,且a>b>c,x,yz为自然数，则满足工・+卢+工>0恒成立的X,

a—bb-cc—a

y,z可以是()

A.x=1,>=1,z=4B.x=l,V=2,z=5

C.x=2,>=2,z=7D.x=l,歹=3,z=9

【答案】BC

【分析】利用基本不等式"1"的妙用得到X|y产+W,进而得到只需(«+77y>z即可，再

a-bb-ca-c

依次判断四个选项即可.

【解析】要满足-7+卢+上>0,只需满足上7+卢〉一•

a-bb-cc-aa-bb-ca-

其中正实数。，b,c,且a>b>c,x,y,z为正数，

x।y(a-6)+(6-c)(x।y]

a-bb-ca-c{a-bb-cJ

二X1(j)x।("b)y।y

a-c(Q-6)(Q-C)(a-c)(b-c)a-c

[b-c^x^a-b)y

」+上+2

a-ca-c(Q-6)(Q-C)(Q-C)(6-C)

x।y।2历(4+出,

a-ca-ca-ca—c

(b-c\x(a-byy

当日仅当---------=—-----2—即（6-°）2%=（4一6『^时，等号成立,

(q-6)(q_c)(6Z-C)(6-C)

观察各选项，故只需（4+6）,z,故只需（«+77『>z即可,

a-ca-c

A选项，x=l,y=l,z=4时，(&+&『=4,A错误;

B选项，x=ly=2,z=5时，(&+码、3+20>5,B正确;

C选项，x=2,y=2,z=7时，(血+可=8>7,C正确；

D选项，x=l,y=3,Z=9时，M+@2=4+2若<9,D错误.

故选：BC.

填空题

12.已知集合/={xlx>a],B=,若“c5H0且NUB*/,则实数。的取值范围是

【答案】（1,3]

【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合B,结合集合交集、并集的定义，即可求解.

【解析】由-->2^：Kx<3,

x-l

所以夕={知<x<3},

因为W0且,

所以ae(l,3].

故答案为：（1,3].

13.已知函数/（无）=f2+亦+b（a,6e©的值域为（-*0],若关于x的不等式/⑺>c-1的解集为

（m-4,/M+l）,则实数c的值为.

【答案】-421

4

【解析】由题意得公=0,/+46=0，/（幻=-。-£）2,由/（x）>c—l得

c<1,（x--）2<1-c-A/1-C<x<—+A/1-C,因此

222

--y/1-c=m-4,—+Jl—c=m+12>/l—c=5,c=——

224

14.某希望小学的操场空地的形状是一个扇形/。8,计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所

示），有如下两个方案可供选择.经测量，乙403=60。，04=2.在方案1中，若设OE=x,EF=y,则x,

了满足的关系式为,比较两种方案，沙坑面积最大值为.

【答案】4x2+2xy+y2-4=0（其中xe（0,1）,ye（0,2））,或>=月^一工，卜（0,1））当/京

【分析】（1）连接OC,在RSOCF中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；

2

（2）由（1）及基本不等式求得中结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接。河，0C,设

0E=m,EF=n,在Rt^OCM中应用勾股定理得/+6加"+/=4,结合基本不等式、三角形面积公式

求方案二最大值，比较大小即可.

【解析】连接OC,由OE=x,EF=y,ZAOB=60°,OA=2,得DE=瓜,

在RtAOCT7中，（x+y）2+（6x）2=4,由。。=2x<2,得0<x<1,

显然y="--x在（0,1）上单调递减,0<y<2

所以x，V满足的关系式为4/+2孙+/-4=0(xe(0,l),ye(0,2))或了="-3为-》,(xe(0,l))；

方案1：设游泳池的面积为4,

212

由(1)得4=4，+2盯+/之2域+4肛=6肛，解得中当且仅当2x=>,即'=耳，》=耳时取等号,

所以d=Cxy<2^;

方案2：设游泳池的面积为$2，取CF的中点

连接ON,OC,设OE=m,EF=n,在RtZiOCN中，弓了+(孚+疗=4,

贝!J4=加之++2(2+JJ)加〃，角毕得加〃V4(2—JJ),当且仅当加=〃=—时取等号，

S2=mn<4(2-百),

而至一4(2一折=如—叵>。，

333

所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为型.

3

故答案为：4X2+2AJ+/-4=0(xe(0,l),ye(0,2)),或(xe(0,l))；与

【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最

值是解决问题的关键.

四、解答题

15.已知集合4={x|/-4%一12<0},集合B={x||x-l]<a}.

(1)当。=4时，求/cB；

(2)若"xeA"是"xe8"的充分条件，求正实数。的取值范围.

【答案】(1)[-2,5]

(2)a>5

【分析】(1)先解一元二次不等式，求出集合A,再将。=4代入求出集合3,求/CB即可;

(2)由"xe/"是"xeB"的充分条件，可得集合A是集合8的子集，即可求得。的取值范围

【解析】(1)解一元二次不等式得：N={Hx2-4x-1240}=[-2,6]

当。=4时，集合3={X||X-1H4}=[-3,5],

所以4cB=[-2,5],

(2)由已知"xe4"是"xe8”的充分条件，可得集合A是集合8的子集，

Q>0,B={x\\x-]\<a}=[l-a,],+a],

而/=[-2,6],且集合A是集合3的子集,

l+>6

所以解得〃25；

a<-2

综上Q>5.

16.已知关于x不等式办2—3工+2>0的解集为{x|x<l或x>6}.

(1)求名6值；

(2)当x〉O,y〉O,且满足一^y+—^7=1时，求2x+y+3的最小值.

x+1y+1

【答案】(l)a=l,6=2

(2)8

【分析】(1)根据题意，得到1和6是方程a/-3x+2=0的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求

解;

⑵由⑴得至“占+《=】,化简2x+y+3=[2(x+l)+(尹.(±+5),结合基本不等式，即可

求解.

【解析】(1)解：因为不等式32-3x+2>0的解集为卜w<1或x>6},

可得1和b是方程“_3工+2=0的两个实数根，且。〉0,

\+b=-

则:，解得。=1,6=2.

lxb=-

、a

12

(2)解：由(1)知。=1,6=2,可得-+--=1,

x+1y+1

12

因为x〉Oj〉0,所以2x+y+3=2(x+l)+(y+l)=[2(x+l)+(y+l)],(--+--)

x+1y+1

=4+四+迪$4+2、回下亘=8

x+1y+\2x+1y+1

4(1)

当且仅当>|=£1时，即x=l,尸3时，等号成立,

x+1y+1

所以2x+y+3的最小值为8.

17.已知二次函数y=ax2+fcr+2(a,6为实数)

⑴若函数图象过点(1,1),对VxeR,y>0恒成立，求实数。的取值范围;

⑵若函数图象过点（1,1）,对Vae[-»>0恒成立，求实数x的取值范围;

【答案】⑴（3-2啦,3+2行）

【分析】（1）由己知可得6=-1-。，由VxeR,歹>。恒成立列出不等式求解即得.

（2）由12-“。-》+2>0对V“e[-2,-U恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.

【解析】（1）依题意，a+b+2=\,即6=-1一。，

a〉0

由VXGR,V>0恒成立，得

A=力2—8a<0

〃>0

/—6〃+1<0

解得3-2也<a<3+2&.

所以实数。的取值范围是(3-2夜,3+2行).

(2)由(1)知，b=-1-a,

由y>0,得办之一(i+〃)x+2〉0,即-%)a-x+2〉0,

依题意，—X)Q—x+2〉0对\/aG[—2,—“恒成立，

令g(Q)=M-x^a-x+2,

则对Vaw_2,T,g⑷〉0恒成立，于是12…

[g(-l)=-x+2>0

所以实数x的取值范围是[匕普,呼7）.

18.某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年

促销费用x（0<x<10）万元满足m=3――已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件

该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固

定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

(1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数;

(2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

【答案】⑴尸56-工-忒粳。［。］)；

(2)投入3万元时，利润最大.

【分析】(1)根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可;

(2)对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.

【解析】(1)由题意知：每件产品的销售价格为2x^1%,

c8+16m,、c“

y=m-2x--------(8+16m+x)=8+16m-x

m

=8+163-±

X

=56—————x,即y=56—————x(xG[0,10])；

x+1x+1

(2)由y=56—————x=57-—+(x+l)<57-2,-.(x+1)=49,

x+1x+1X+1

当且仅当指="，即』时取等号.

故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.

19.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若三，那么称点®9是点(c,d)的"上位

ba

点"，同时点(c,d)是点»的"下位点".

⑴试写出点(1,2)的一个"上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

⑵己知点(。,6)是点(c,d)的"上位点"，判断点［专,等)是否是点»的"下位点"，证明你的结论；

⑶设正整数”满足以下条件：对集合卜|0</<20221€2｝内的任意元素%,总存在正整数上=2切+1,使得

点(〃肉既是点(202