新高考数学题型之排列组合：间接法模型（含答案及解析）

专题9间接法模型

例1.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地

至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工

作，则不同的分配方法总数为（）

A.18B.24C.30D.36

例2.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和

丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）

A.900种B.600种C.300种D.150种

例3.某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要

求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种

A.240B.320C.180D.120

例4.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门,恰有2门课程没有同学选修，则不同的

选课方案有（）

A.96种B.84种C.78种D.16种

例5.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数

为

A.100B.110C.120D.180

例6.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能

连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）

A.474种B.77种C.462种D.79种

例7.从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和

丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有（）

A.36种B.12种C.18种D.24种

例8.某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老

教师”，现随机分配到A、8两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老

教师”的概率是（）

例9.某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第

一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A.H2种B.120种C.144种D.180种

例10.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁

金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种

A.96B.120C.48D.72

例11.2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，

我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2

艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇

分配方案的方法种数为（）

A.1296B.648C.324D.72

例12.现，学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视

频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（）种.

A.24B.36C.72D.144

例13.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取

方式的种数为（）

A.60B.75C.105D.120

例14.某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名

实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（）.

A.30B.120C.180D.210

例15.我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3

人中至少有1名男医生，则选派方案有（）

A.60种B.12种C.10种D.9种

例16.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少

有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是（）.

542332415

A.C13-C7'C6；B.C7C6+C7C6+C7C6+C7；

c.C^-CX4-^5；D.

例17.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，贝U（）

A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A；C金种

B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C£+C；C；8种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有。丸-CT*种

例18.新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其

中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法.（用数字作答）

例19.某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.

若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有种.

例20.从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种（用

数字作答）.

例21.中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、

狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一

个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有种.

例22.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作个不同的平面，从正方体的8个顶点

中选4个点作一个四面体，可作个四面体.

例23.由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数.

（1）共可以组成多少个五位数？

（2）其中奇数有多少个？

（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.

专题9间接法模型

例L为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地

至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工

作，则不同的分配方法总数为（）

A.18B.24C.30D.36

【解析】

因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家

看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，

先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和

其余二个看成三个元素的全排列共有：C；•用种；

又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，

所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有禺种，

所以不同的分配方法种数有：。1局-局=36-6=30

故选：C

例2.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和

丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）

A.900种B.600种C.300种D.150种

【解析】

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有C；=10（种）不同选法，

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有C：=15（种）不同选法，

所以不同的选派方案共有（10+15）姆=600（种）.

故选B.

例3.某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要

求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种

A.240B.320C.180D.120

【解析】

两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,

（C4\

又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为《+墟-1A；=180.

IAJ

故选：C.

例4.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的

选课方案有（）

A.96种B.84种C.78种D.16种

【解析】

先确定选的两门:C；=6，再确定学生选:42-2=14，所以不同的选课方案有6*14=84,选B.

例5.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数

为

A.100B.110C.120D.180

【解析】

试题分析：10人中任选3人的组队方案有=120,

没有女生的方案有C；=10,

所以符合要求的组队方案数为110种

例6.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能

连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）

A.474种B.77种C.462种D.79种

【解析】

试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下

午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有置，那么连着上3节课的

情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有阀-5用=474,故答案为A.

例7.从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和

丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有（）

A.36种B.12种C.18种D.24种

【解析】

利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：

乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即MG；

乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人

来排列，即2・2•看;

乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即A；；

N=隹+2.2.看+=36.

故选：A

例8.某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老

教师”，现随机分配到A、8两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老

教师”的概率是（）

【解析】

21_

分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为

3'

故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是1-'=2

33

故选：D

例9.某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第

一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A.112种B.120种C.144种D.180种

【解析】

利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有&6=240

种.

若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法

种数为《尺禺=96.

综上所述，符合条件的排法种数为240—96=144（种）.

故选：C.

例10.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁

金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种

A.96B.120C.48D.72

【解析】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有用种，

然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有种，

根据分步乘法计数原理有备看，扣除郁金香在两边，

排2盆虞美人、1盆郁金香有28种，

再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有用,

根据分步计数原理有2M用，

所以共有反团-28用=120种.

故选:B.

例11.2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，

我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求

2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰

艇分配方案的方法种数为（）

A.1296B.648C.324D.72

【解析】

由题意可得：2艘攻击型核潜艇一前一后，有反种方法排列，

6艘舰艇的任意排列，有履种方法排列，

6艘舰艇每侧3艘且同侧是同种舰艇，有团用x2种方法排列，

6艘舰艇每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，有4-可用*2种方法排列，

舰艇分配方案的方法种数有：国（婕—X2）=2X（720—72）=1296

故选：A

例12.现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和

4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（）

种.

A.24B.36C.72D.144

【解析】

根据题意，分2步进行分析：

①，在4个视频中任选2个进行学习，有C：=6种情况，

②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有禺=24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况

有月团=12种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，

则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6x12=72种；

故选：C

例13.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取

方式的种数为（）

A.60B.75C.105D.120

【解析】

试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；

C；Y=126-6=120种选法.

例14.某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名

实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（）.

A.30B.120C.180D.210

【解析】

由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有用种安排方案，

将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有5禺种，

所以满足题意的不同安排方案有禺-5团=180（种）.

故选：C.

例15.我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3

人中至少有1名男医生，则选派方案有（）

A.60种B.12种C.10种D.9种

【解析】

根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有C；=10种选法，

其中没有男医生，即全部为女医生的选法有C；=l种，

则有10-1=9种不同的选法；

故选：D.

例16.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少

有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是（）.

54233215

A.C13-C7'C6；B.C7C6+C7C6+C/Q+C7；

c.q5-Gt。c/；D.G2G;；

【解析】

解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人.

利用直接法,2男3女：C；C；；3男2女：C；C；；4男1女：仁以；5男：,所以N=；

利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N=C；3-C；C；-或；

所以能成为N的算式是BC.

故选：BC.

例17.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，贝M）

A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有可。；8种

B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；8+C；C；8种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有dc；8+C；C；8种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有G%-C；8种

【解析】

由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品，

则包括一件不合格品和两件合格品，

共有可。：8种结果，则选项A正确，B不正确；

根据题意，"至少有1件不合格品”可分为"有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种情况，

“有1件不合格品”的抽取方法有种，

“有2不合格次品”的抽取方法有C；C*8种，

则共有C；C£+C；C二种不同的抽取方法，选项C正确；

“至少有1件不合格品”的对立事件是"三件都是合格品”，

”三件都是合格品”的抽取方法有或种，

抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；0c-以,选项D正确；

故选：ACD.

例18.新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其

中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法.（用数字作答）

【解析】

先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1,此时，所

其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有（G+C；）用=36种排法.

综上所述，共有150—36=114种.

故答案为：114.

例19.某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.

若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有种.

【解析】

解：根据题意，不同的安排方法的数目为：

所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，

即一2xC；C：+C；C；=42,

故答案为：42.

例20.从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种（用

数字作答）.

【解析】

从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个，共有C；=35,乘积为奇数只有L3,5一种情况

故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.

故答案为：34

例21.中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴