相似综合篇（原卷版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训

专题10相似综合

知识回顾

1.比例的性质:

①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若a:5=c:d,则A=

Altt,tr-r-什。C6Z+/?C+d

②合比性质：若一=一,则——=----O

bdbd

rrI»rr-T-ClCCl—bC—d

③分比性质：若一=一,则——=-----O

bdbd

人八rr3h-++*cica+bc+d

④合分比性质：若一=一,则——二----

bda-bc-d

ma+c+...+macm

⑤等比性质：若@=£=―,则------------=-=-

bdnb+d+...+nbd

2.平行线分线段成比例:

三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。

,„+ABDE

即an如图：有---=----

BCEF

ABDE

AC^DF'

BCEF

标一而°

推论:

①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边。

③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三

边与原三角形的三边对应成比例。

3.相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中

线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。

4.相似三角形的判定：

①平行线法判定：

平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相

似。

②对应边判定：

三组对应边的比相等的两个三角形相似。

③两边及其夹角判定法：

两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。

④两角判定：

有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。

专题练习

1.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°，E是边AC上一点，MBE=BC,过点A作BE的垂线，交BE的

延长线于点。，求证：AADEsAABC.

2.如图，在△ABC与△?!'B'C中，点。、D'分别在边BC、B'C上，且△ACDS2\A'CD',

若,则B'D'.

请从①处=0卫；②"="；③NBAD=/B'A'D'这3个选项中选择一个作为条件（写序

CDCDCDCD

号），并加以证明.

BDCB'D

3.如图所示，在等腰三角形ABC中，A8=AC,点b在线段8。上，点。在线段A3上，且C尸=3E,

CEFB

AE1=AQ-AB.

求证：(1)ZCAE=ZBAF；

(2)CF，FQ=AF・BQ.

4.如图，在矩形ABC。中，AB=8,AD=4,点E是。C边上的任一点（不包括端点D,C）,过点A作AB

J_AE交CB的延长线于点R设。E=a.

（1）求8/的长（用含。的代数式表示）；

（2）连接交43于点G,连接GC,当GC〃AE时，求证：四边形

AGCE是菱形.

5.如图，在△ABC中，点。，E,F分别在边AB,AC,8c上，连接。E,EF.已知四边形BFEZ）是平行

BF

DE

四边形,

BC4

(1)若AB=8,求线段A。的长.

(2)若△A£>£的面积为1,求平行四边形8尸研)的面积.

6.如图，四边形A8CD为菱形，点E在AC的延长线上，/ACD=/ABE.

(1)求证：AABCSAAEB；

(2)当AB=6,AC=4时，求AE■的长.

7.如图，矩形ABC。中，点E在。C上，DE=BE,AC与80相交于点。，BE与AC相交于点?

(1)若BE平分/CBD,求证：BF±AC；

(2)找出图中与△08F相似的三角形，并说明理由;

(3)若0P=3,EF=2,求。E的长度.

8.如图，平行四边形A8CD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,点E为BC边上的动点(不与3、

C重合，过点E作直线A8的垂线，垂足为凡连接。£、DF.

(1)求证：△ABMs^EBF；

(2)当点E为BC的中点时，求。E的长；

(3)设8E=x,△OE尸的面积为y,求y与x之间的函数关系式,

并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

9.【问题呈现】

如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接BZ),CE.求证：BD=CE.

【类比探究】

如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZAZ)E=90°.连接B。，CE.请直接写出四

CE

的值.

【拓展提升】

4gAT)3

如图3,△ABC和△AOE都是直角三角形，ZABC^ZADE^9Q°,且一=—=—.连接BO,CE.

BCDE4

(1)求处的值；

CE

(2)延长CE交8。于点凡交A8于点G.求sin/BFC的值.

10.如图，在矩形ABC。中，AB=6,5C=4,点M、N分

别在A3、上，且MN_LMC,点E为CO的中点，连A\D

M

B

CBC

接BE交MC于点E

(1)当尸为3E的中点时，求证：AM^CE；

,,EFAN

(2)右---=2,求----的值；

BFND

AN

(3)若MN〃BE,求心的值.

ND

11.在四边形ABC。中，NBAD的平分线A尸交BC于R延长AB到E使BE=PC,G是A尸的中点，GE

交BC于O,连接GD

(1)当四边形4BCD是矩形时，如图1,求证：@GE=GD-,@BO-GD=GO'FC.

(2)当四边形ABC。是平行四边形时，如图2,(1)中的结论都成立.请给出结论②的证明.

12.问题背景:

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知4。是4

ABC的角平分线，可证丝=弛.小慧的证明思路是：如图2,过点C作CE〃A8,交的延长线

ACCD

于点E,构造相似三角形来证明竺=变.

ACCD

尝试证明:

ABBD

(1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明:

~AC^~CD

应用拓展:

(2)如图3,在中，ZBAC=90°，。是边8C上一点.连接AZ),将△ACZ)沿所在直线

折叠，点C恰好落在边上的E点处.

①若AC=1,AB=2,求。E的长;

②若BC=m,ZAED=a,求DE的长(用含加，a的式子表示).

图

图1图23

13.【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，D,E,尸分别为48,AC,2c上的点，DE//BC,BF=CF,AF交DE于点、

G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

T)E

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CDCG.若CGLDE,CO=6,AE=3,求——的值.

BC

【拓展提高】

(3)如图3,在13ABe。中，ZADC=45°,AC与BD交于前O,E为A。上一点，EG〃BD交AD于点、

G,EFLEG交BC于点、F.若NEGF=40°,FG平分/EFC,FG=10,求8尸的长.

14.如图1,在矩形A8CD中，AB=4,BC=6.点E是线段A£＞上的动点(点E不与点A,。重合)，连接

CE,过点E作跖_LCE,交A8于点?

(1)求证：△AEf's/^DCE；

(2)如