新高考情景下的结构不良问题(四大题型)-2025年高考数学复习热点题型专项训练(原卷版)_第1页
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文档简介

热点题型•解答题攻略

专题03新高考情景下的结构不良问题

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01解三角形结构不良.......................................................................1

题型02数列结构不良...........................................................................3

题型03立体几何结构不良.......................................................................5

题型04圆锥曲线结构不良.......................................................................8

♦>-----------题型探析・明规律-----------O

题型01解三角形结构不良

【解题规律•提分快招】

一、“结构不良问题”的解题策略

(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的,无论选择哪个条件,都可解答题目;

(2)在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分,

但计算要细心、准确,避免出现低级错误导致失分.

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某

个定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;

(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;

(3)以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;

(2)若式子中含有。、b、c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;

(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;

(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.

【典例训练】

一、解答题__

1.(2024・北京•三模)在VABC中,2=巫,cosA=巫.

a510

(1)求证:VABC为等腰三角形;

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知,使VABC存在且唯一,求6的值.

冗15

条件①:ZB=-;条件②:VABC的面积为二;条件③:43边上的高为3.

2.(2024.四川宜宾.二模)在VA3c中,角A,3,C所对的边分别是a,b,c,在下面三个条件中任选一个作为

条件,解答下列问题,三个条件为:

①2bcosA=ccosA+tzcosC;②asinB=^/§Z?cosA;③cosC+(cosB—V3sinB^cosA=0.

⑴求角A的大小;

(2)若〃=J7,Z;+C=4,求be的值.

3.(2024・全国•模拟预测)在①(2-sinA)cos_B-l=cosAsin_B-2cos_BsinC;②(2a-c)cos5=Z?cosC两个

条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.在VABC中,角A,B,。所对的边分别是mb,

c,且______.

⑴求角5的大小:

(2)若点。在5c的延长线上,且BD=25C,AD=3,求VABC面积的最大值.

4.(2024・四川南充•三模)已知函数/(x)=4cos]x-Sbinx-2sin[-g+2xJ—l.

⑴求函数/(x)的单调递增区间;

(2)在VABC中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,记VABC的面积为S,从下面①②③中选取两个作为

条件,证明另外一个成立.

①/(A)=l;@S=—ab;③/=/+/?<?.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

5.(2024•全国•模拟预测)已知VABC中,内角A,氏C的对边分别为a,b,c,且

在acosC-石bcos'A="asinAsin8-csinA.

⑴求角A;

(2)若a=q,角A的平分线交边BC于T,在下列三个条件中选择一个作为已知,求AT.

®AC-BA=-3;②点A在以反C为焦点的椭圆上±+宜=1上;③VABC的面积为逮.

2592

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

题型02数列结构不良

【解题规律•提分快招】

一、数列中的结构不良问题

1.“结构不良问题”:题目所给的三个可选择的条件是平行的,即无论选择哪个条件,都可解答题目,而且,

在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分.

2.数列求和的常用方法:

(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;

(2)对于{4〃}型数列,其中{4}是等差数列,{2}是等比数列,利用错位相减法求和;

(3)对于{q+2}型数列,利用分组求和法;

(4)对于」一|型数列,其中{%}是公差为d(dwO)的等差数列,利用裂项相消法求和.

、anan+\一

3.常见的裂项公式:

1H1__

(1,+k\nn+kj

]=U_J______

(2)(2.-1)(2"+1)-——2L+J

]_j_rj]

1

(4)-—^-y/n+y/n+

G+dn+kk

【典例训练】

一、解答题

S73

1.(2024.广西贺州.一模)在①邑-3《=0,②邑=14,③”二石这三个条件中任选一个,补充在下面的

问题中,并解答.

设{%}是递增的等比数列,其前〃项和为S“,且出=4,.

(1)求{4}的通项公式;

⑵若数列也}满足“=[现为偶数,求数列也}的前2”项和心.

(注:若选择多个解答,按第一个解答计分)

2.(2024・全国•模拟预测)已知正项数列{4}满足4=1.

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,求数列{0}的通项公式;

条件①:当心2时,=2/7-1;

条件②:数列{〃:}与均为等差数列;

⑵在(1)的基础上,设S,为数列的前〃项和,证明:S„<1.

注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

3.(2024.青海西宁.二模)已知数列{。“},.请从下列两个条件中任选一个,补充在上面的

问题中并解答.(注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.)①数列{。.}的前〃项和为S“=2。“-2(“eN*);

②数列{。“}的前〃项之积为4=2驾1(〃eN*).

(1)求数列{。“}的通项公式;

⑵令bn=an+log2an,求数列也}的前〃项和5.

3

4.(2024・陕西西安・模拟预测)在①6=1,q,a3,成成等比数列,②出+%=6,a,-a5=5,③Zq=6,

i=l

6

»,=21,这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中并作答.

Z=1

问题:已知数列{。“}是公差为正数的等差数列,.

(1)求数列{《,}的通项公式;

(2)数列的前〃项和为S“,对任意的〃eN+有根-3<S“<根恒成立,求机的取值范围.

2"

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

5.(2024.四川德阳.三模)已知{%}是等差数列,低}是等比数列,且也}的前"项和为

S“,2q=4=2,%=5(%-4),在①仇=4(2-4),②"+i=S“+2这两个条件中任选其中一个,完成下面问

题的解答.

⑴求数列{4}和也}的通项公式;

(2)设数列的前〃项和为Z,,是否存在九"cN*,使得<=%若存在,求出所有满足题意的相,人若不

存在,请说明理由.

6.(2024.广东广州.三模)已知数列{4}的各项均为正数,出>4,记S,为{叫的前〃项和.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列{4“}是等差数列;②数列是等差数列;③出=2%.

(2)若4=1,在(1)的条件下,将在数歹£%,}中,但不在数歹U{2%}中的项从小到大依次排列构成数列出},

求数列{〃}的前20项和.

题型03立体几何结构不良

【解题规律•提分快招】

一、空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角:设a,b分别是两异面直线/i,L的方向向量,则/i与L所成的角。满足:。050=黯;

(2)线面成角:设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为小。与〃的夹角为£,

则直线/与平面a所成的角为。满足:sin8=1侬4=盟.

(3)二面角:设九1,您分别是二面角a—/一夕的两个半平面a,4的法向量,

则两面的成角夕满足:COSff=COS<m,〃2〉=d:信;

注意:二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的补角,具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离:

如图所示,己知AB为平面a的一条斜线段,”为平面a的法向量,

则点8到平面a的距离为:|仍尸噜即向量仍在法向量〃的方向上的投影长.

二、几种常见角的取值范围

__JT____7T

①异面直线成角e(o,-];②二面角口0,兀];③线面角口0,-];④向量夹角口0,兀]

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法;②平行四边形线法;③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法;②勾股定理法;③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行:设直线和%的方向向量分别为V1和吸,贝!I〃,2(或/1与L重合)UV1〃V2.

(2)线面平行:设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为",贝I]/〃a或/uaUvJ_M.

(3)面面平行:设平面a和£的法向量分别为"1,U2,则a〃伙

六、用向量证明空间中的垂直关系

⑴线线垂直:设直线和/2的方向向量分别为V1和V2,则/1_1_/2令」丫26「丫2=0.

(2)线面垂直:设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为",贝U/_Lauv〃瓦.

(3)面面垂直:设平面a和夕的法向量分别为图和如贝!Ia_L供初_1_〃20:“2=。.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法;③向量法

【典例训练】

一、解答题

1.(2024•北京西城・二模)如图,正方体ABCD-ABCIR的棱长为2,E为8C的中点,点M在8。上.再从

下列三个条件中选择一个作为己知,使点M唯一确定,并解答问题.条件①:MA=MC;条件②:EMVAD-,

条件③:RW〃平面

⑴求证:M为82的中点;

⑵求直线EM与平面MCD所成角的大小;

⑶求点E到平面"CD的距离.

注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解

答计分.

2.(2024.北京东城•一模)如图,在五面体ABCDEF中,底面ABCZ)为正方形,AB=4,EF=1.

EF

⑴求证:AB//EF;

(2)若“为CD的中点,M为5”的中点,EMLBH,EM=2框,再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知,求直线CP与平面ADE所成角的正弦值.

条件①:ED=EA;

条件②:AE=5.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分

7T

3.(2024•江苏镇江•三模)如图,三棱锥P-ABC中,ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB,。是棱A8

(1)下面有①②③三个命题,能否从中选取两个命题作为条件,证明另外一个命题成立?如果能,请你选取

并证明(只要选取一组并证明,选取多组的,按第一组记分);

①平面R4B_L平面ABC;

②DELAC;

@PELAC.

2

(2)若三棱锥尸-ABC的体积为以你在(1)所选的两个条件作为条件,求平面尸Z汨与平面尸3c所成二

面角的大小.

4.(2024•河南开封三模)已知四棱锥的底面ABCD是正方形,给出下列三个论断:①PC=PD;

©ACLPD-③班)工平面PAC.

(1)以其中的两个论断作为条件,另一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并证明;

⑵在(1)的条件下,若上4=1,求四棱锥尸-ABCD体积的最大值.

5.(2024・北京•三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面A3CD是边长为2的菱形,ZABC=60°,PA=PC,

M为中点,PC=3NC.

⑴设平面B4BC平面尸8=/,求证:AB//1;

(2)从条件①,条件②,条件③中选择两个作为已知,使四棱锥尸-ABCZ)存在且唯一确定.

(i)求平面MVD与平面ABC。所成角的余弦值;

(ii)平面肱VD交直线PB于点。,求线段P。的长度.

条件①:平面尸AC_L平面ABCD;

条件②:PB=PD;

条件③:四棱锥P-ABCD的体积为述.

3

题型04圆锥曲线结构不良

【典例训练】

一、解答题

1.(2024.辽宁•模拟预测)已知定点户(1,0),动点N在直线/:x=-l上,过点N作/的垂线,该垂线与狼的

垂直平分线交于点T,记点T的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程;

⑵己知点P(m,"),Q(sJ),动点A,8在E上,满足且与x轴不垂直.请从①尸在E上;②4,5,。

三点共线;③S-加=4/+77=0中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

注:如果选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分.

2.(2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(尤-2)2+尸=4,点3(-2,0),点P为圆A

上任意一点,线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点。,当点P在圆上运动时,点。的轨迹为

C.

⑴求C的方程.

(2)斜率存在且不为。的直线/与C交于M,N两点,点。在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件,

证明另外一个成立.

①DMLx轴;②直线/经过点③。,B,N三点共线.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

22

3.(2024.全国.模拟预测)已知双曲线C:二-2=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳鸟,从下面3个条

件中选出2个作为已知条件,并回答下面的问题:

①点网-3夜,1)在双曲线C上;②点。在双曲线C上,月乙=90。,且|。用=:;③双曲线C的一条渐近

线与直线y=3尤-3垂直.

⑴求双曲线C的方程;

⑵设4,8分别为双曲线C的左、右顶点,过点(0,-1)的直线/与双曲线C交于两点,若誓=-“,求

KBN

直线/的斜率.

4.(2024•福建漳州•一模)已知过点耳(-1,0)的直线/与圆F?:(x_iy+y2=i6相交于G,H两点,GH的

中点为E,过G£的中点下且平行于%的直线交〃于点P,记点P的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程.

(2)若48为轨迹C上的两个动点且均不在'轴上,点/满足+(A,〃eR),其中。为坐

标原点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①点M在轨迹C上;②直线与08的斜率之积为-^;③万+〃2=1.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

5.(2024•福建泉州•二模)已知抛物线C:尤2=2py(p>0)的焦点为RO为坐标原点,抛物线C上不同两点

A,2同时满足下列三个条件中的两个:①|E4|+|F8|=|AB|;②|1=|1=|A81=;③直线的方程

为y=6p.

(1)请分析说明4B满足的是哪两个条件?并求抛物线C的标准方程;

⑵若直线经过点且与(1)的抛物线C交于A,B两点,N(0,〃),若ZMNA=NMNB,

求巴的值;

n

(3)点A,B,E为(1)中抛物线C上的不同三点,分别过点A,B,E作抛物线C的三条切线,且三条切线

两两相交于M,N,P,求证:△WP的外接圆过焦点R

o-----------题型通关•冲高考------------♦>

一、解答题

1.(2024.北京•高考真题)在VA2C中,内角A,5,c的对边分别为。,4c,—A为钝角,4=7,

/?

sin2B=——bcosB.

7

⑴求4;

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得VABC存在,求VABC的面积.

条件①:6=7;条件②:cosB=^;条件③:csinA=|>/3.

142

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解

答计分.

2.(2024.江西宜春.三模)在VA3C中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知C=120。,VABC的

周长为15,面积为坦叵.

4

⑴求VABC的外接圆面积;

⑵设。是边上一点,在①。是边A8上的中线;②是NACB的角平分线这两个条件中任选一个,

求线段8的长.

3.(2024•北京•三模)已知函数/(x)=2gsin(yxcos0x+2cos20x,(0>O)的最小正周期为兀.

⑴求。的值;

(2)在锐角VABC中,角A,B,C所对的边分别为a,6,c.c为〃尤)在0,|上的最大值,再从条件①、条件

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,求〃的取值范围.条件①:«cosB+bcosA=2ccosC;条件

②:2asinAcos5+bsin2A=J'a;条件③:VABC的面积为S,且S=——注:如果选择多个

4

条件分别解答,按第一个条件计分.

4.(2024高三下•全国•专题练习)在①b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC-sinA),@tanB+tanC=--,③

ccosB

•J3bsin"+'=csinB

2

这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.

在VABC中,内角A,B,C的对边分别为“,b,c,且______.

⑴求角C的大小;

(2)已知c=7,。是边A3的中点,且CD_LCB,求CD的长.

5.(23-24高三上.浙江绍兴.开学考试)从①生成等差数列;②%,g+1,生成等比数列;③$3=]

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答下列问题.

已知S,为数列{%}的前〃项和,3s“=%+2q(weN*),a户0,且________.

⑴求数列{〃“}的通项公式;

⑵记。"为偶立册,求数列也}的前2〃+1项和T?向.

[log3a”,〃为奇数

注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

6.(2024.云南昆明•模拟预测)已知各项均为正数的数列{/}的首项q=1,其前〃项和为S“,从①%=2疯-1;

②S“H+S,T=2(S“+1)(〃N2),且S2=4;③a“=冏+6=(“22)中任选一个条件作为已知,并解答下列

问题.

⑴求数列{《,}的通项公式;

17

⑵设优=不,设数列伊“}的前〃项和7;,证明:

(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)

7.(2024・全国•模拟预测)记7“为数列{%,}的前〃项的积,a,>0g=32,叶=(8%)".

(1)求力,并证明.

⑵从下面两个条件中选一个,求数列{〃}的前〃项和S”.

_.3〃+4_.3及一1

①""=/,n;②4二.

〃(几+l)a〃+]“〃+1

8.(24-25高三上•北京海淀•期末)如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABC。为矩形,PAA.AB,PA=AB^1,

AD=2,歹是出的中点,E在棱BC上,且EF//平面尸CD.

⑴求证:E是BC的中点;

(2)再从条件①,条件②中选择一个作为已知,求平面EFD与平面R4B夹角的余弦值.

条件①:平面平面ABCD;

条件②:PC=底.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

9.(23-24高三・山西•阶段练习)A在三棱锥A-3c。中,△BCD是等边三角形,ZADB=ZADC,〃是8C

边的中点.

(1)求证:8。_14);

(2)M4=3,BC=2拒,从以下两个条件中任选一个,求直线与平面ACD所成角的余弦值.①平面A3C

与平面3。所成二面角为y;②三棱锥A-BCD的体积为3A/3.

10.(23-24高三上.山东荷泽•阶段练习)在如图所示的五面体A3CMF中,AB£F共面,是正三角形,

27r

四边形"8为菱形,ZABC=y,EF//^ABCD,AB^2EF^2,点M为BC中点.

⑴在直线CD上是否存在一点G,使得平面EMG〃平面瓦才请说明理由;

(2)请在下列条件中任选一个,求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值・

®cosZBDF=-;@EM=2.

4

11.(23-24高三上•湖南张家界•阶段练习)如图①,在梯形ABCD中,AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E为AB的中点,ACDE=O,以DE为折痕把VADE折起,连接AB,AC,得到如图②的几何体,在图②

的几何体中解答下列问题.

(2)请从

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