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文档简介
热点题型•解答题攻略
专题03新高考情景下的结构不良问题
*>-----------题型归纳•定方向-----------*>
目录
题型01解三角形结构不良.......................................................................1
题型02数列结构不良...........................................................................3
题型03立体几何结构不良.......................................................................5
题型04圆锥曲线结构不良.......................................................................8
♦>-----------题型探析・明规律-----------O
题型01解三角形结构不良
【解题规律•提分快招】
一、“结构不良问题”的解题策略
(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的,无论选择哪个条件,都可解答题目;
(2)在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分,
但计算要细心、准确,避免出现低级错误导致失分.
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某
个定理的信息.
(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;
(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
(3)以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有。、b、c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
【典例训练】
一、解答题__
1.(2024・北京•三模)在VABC中,2=巫,cosA=巫.
a510
(1)求证:VABC为等腰三角形;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知,使VABC存在且唯一,求6的值.
冗15
条件①:ZB=-;条件②:VABC的面积为二;条件③:43边上的高为3.
2.(2024.四川宜宾.二模)在VA3c中,角A,3,C所对的边分别是a,b,c,在下面三个条件中任选一个作为
条件,解答下列问题,三个条件为:
①2bcosA=ccosA+tzcosC;②asinB=^/§Z?cosA;③cosC+(cosB—V3sinB^cosA=0.
⑴求角A的大小;
(2)若〃=J7,Z;+C=4,求be的值.
3.(2024・全国•模拟预测)在①(2-sinA)cos_B-l=cosAsin_B-2cos_BsinC;②(2a-c)cos5=Z?cosC两个
条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.在VABC中,角A,B,。所对的边分别是mb,
c,且______.
⑴求角5的大小:
(2)若点。在5c的延长线上,且BD=25C,AD=3,求VABC面积的最大值.
4.(2024・四川南充•三模)已知函数/(x)=4cos]x-Sbinx-2sin[-g+2xJ—l.
⑴求函数/(x)的单调递增区间;
(2)在VABC中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,记VABC的面积为S,从下面①②③中选取两个作为
条件,证明另外一个成立.
①/(A)=l;@S=—ab;③/=/+/?<?.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
5.(2024•全国•模拟预测)已知VABC中,内角A,氏C的对边分别为a,b,c,且
在acosC-石bcos'A="asinAsin8-csinA.
⑴求角A;
(2)若a=q,角A的平分线交边BC于T,在下列三个条件中选择一个作为已知,求AT.
®AC-BA=-3;②点A在以反C为焦点的椭圆上±+宜=1上;③VABC的面积为逮.
2592
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
题型02数列结构不良
【解题规律•提分快招】
一、数列中的结构不良问题
1.“结构不良问题”:题目所给的三个可选择的条件是平行的,即无论选择哪个条件,都可解答题目,而且,
在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分.
2.数列求和的常用方法:
(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;
(2)对于{4〃}型数列,其中{4}是等差数列,{2}是等比数列,利用错位相减法求和;
(3)对于{q+2}型数列,利用分组求和法;
(4)对于」一|型数列,其中{%}是公差为d(dwO)的等差数列,利用裂项相消法求和.
、anan+\一
3.常见的裂项公式:
1H1__
(1,+k\nn+kj
]=U_J______
(2)(2.-1)(2"+1)-——2L+J
]_j_rj]
1
(4)-—^-y/n+y/n+
G+dn+kk
【典例训练】
一、解答题
S73
1.(2024.广西贺州.一模)在①邑-3《=0,②邑=14,③”二石这三个条件中任选一个,补充在下面的
问题中,并解答.
设{%}是递增的等比数列,其前〃项和为S“,且出=4,.
(1)求{4}的通项公式;
⑵若数列也}满足“=[现为偶数,求数列也}的前2”项和心.
(注:若选择多个解答,按第一个解答计分)
2.(2024・全国•模拟预测)已知正项数列{4}满足4=1.
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,求数列{0}的通项公式;
条件①:当心2时,=2/7-1;
条件②:数列{〃:}与均为等差数列;
⑵在(1)的基础上,设S,为数列的前〃项和,证明:S„<1.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
3.(2024.青海西宁.二模)已知数列{。“},.请从下列两个条件中任选一个,补充在上面的
问题中并解答.(注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.)①数列{。.}的前〃项和为S“=2。“-2(“eN*);
②数列{。“}的前〃项之积为4=2驾1(〃eN*).
(1)求数列{。“}的通项公式;
⑵令bn=an+log2an,求数列也}的前〃项和5.
3
4.(2024・陕西西安・模拟预测)在①6=1,q,a3,成成等比数列,②出+%=6,a,-a5=5,③Zq=6,
i=l
6
»,=21,这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中并作答.
Z=1
问题:已知数列{。“}是公差为正数的等差数列,.
(1)求数列{《,}的通项公式;
(2)数列的前〃项和为S“,对任意的〃eN+有根-3<S“<根恒成立,求机的取值范围.
2"
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
5.(2024.四川德阳.三模)已知{%}是等差数列,低}是等比数列,且也}的前"项和为
S“,2q=4=2,%=5(%-4),在①仇=4(2-4),②"+i=S“+2这两个条件中任选其中一个,完成下面问
题的解答.
⑴求数列{4}和也}的通项公式;
(2)设数列的前〃项和为Z,,是否存在九"cN*,使得<=%若存在,求出所有满足题意的相,人若不
存在,请说明理由.
6.(2024.广东广州.三模)已知数列{4}的各项均为正数,出>4,记S,为{叫的前〃项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{4“}是等差数列;②数列是等差数列;③出=2%.
(2)若4=1,在(1)的条件下,将在数歹£%,}中,但不在数歹U{2%}中的项从小到大依次排列构成数列出},
求数列{〃}的前20项和.
题型03立体几何结构不良
【解题规律•提分快招】
一、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角:设a,b分别是两异面直线/i,L的方向向量,则/i与L所成的角。满足:。050=黯;
(2)线面成角:设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为小。与〃的夹角为£,
则直线/与平面a所成的角为。满足:sin8=1侬4=盟.
(3)二面角:设九1,您分别是二面角a—/一夕的两个半平面a,4的法向量,
则两面的成角夕满足:COSff=COS<m,〃2〉=d:信;
注意:二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的补角,具体情况要判断确定.
(4)点到平面的距离:
如图所示,己知AB为平面a的一条斜线段,”为平面a的法向量,
则点8到平面a的距离为:|仍尸噜即向量仍在法向量〃的方向上的投影长.
二、几种常见角的取值范围
__JT____7T
①异面直线成角e(o,-];②二面角口0,兀];③线面角口0,-];④向量夹角口0,兀]
三、平行构造的常用方法
①三角形中位线法;②平行四边形线法;③比例线段法.
四、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法;②勾股定理法;③投影法.
五、用向量证明空间中的平行关系
⑴线线平行:设直线和%的方向向量分别为V1和吸,贝!I〃,2(或/1与L重合)UV1〃V2.
(2)线面平行:设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为",贝I]/〃a或/uaUvJ_M.
(3)面面平行:设平面a和£的法向量分别为"1,U2,则a〃伙
六、用向量证明空间中的垂直关系
⑴线线垂直:设直线和/2的方向向量分别为V1和V2,则/1_1_/2令」丫26「丫2=0.
(2)线面垂直:设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为",贝U/_Lauv〃瓦.
(3)面面垂直:设平面a和夕的法向量分别为图和如贝!Ia_L供初_1_〃20:“2=。.
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法;③向量法
【典例训练】
一、解答题
1.(2024•北京西城・二模)如图,正方体ABCD-ABCIR的棱长为2,E为8C的中点,点M在8。上.再从
下列三个条件中选择一个作为己知,使点M唯一确定,并解答问题.条件①:MA=MC;条件②:EMVAD-,
条件③:RW〃平面
⑴求证:M为82的中点;
⑵求直线EM与平面MCD所成角的大小;
⑶求点E到平面"CD的距离.
注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解
答计分.
2.(2024.北京东城•一模)如图,在五面体ABCDEF中,底面ABCZ)为正方形,AB=4,EF=1.
EF
⑴求证:AB//EF;
(2)若“为CD的中点,M为5”的中点,EMLBH,EM=2框,再从条件①、条件②这两个条件中选择一
个作为已知,求直线CP与平面ADE所成角的正弦值.
条件①:ED=EA;
条件②:AE=5.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分
7T
3.(2024•江苏镇江•三模)如图,三棱锥P-ABC中,ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB,。是棱A8
(1)下面有①②③三个命题,能否从中选取两个命题作为条件,证明另外一个命题成立?如果能,请你选取
并证明(只要选取一组并证明,选取多组的,按第一组记分);
①平面R4B_L平面ABC;
②DELAC;
@PELAC.
2
(2)若三棱锥尸-ABC的体积为以你在(1)所选的两个条件作为条件,求平面尸Z汨与平面尸3c所成二
面角的大小.
4.(2024•河南开封三模)已知四棱锥的底面ABCD是正方形,给出下列三个论断:①PC=PD;
©ACLPD-③班)工平面PAC.
(1)以其中的两个论断作为条件,另一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并证明;
⑵在(1)的条件下,若上4=1,求四棱锥尸-ABCD体积的最大值.
5.(2024・北京•三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面A3CD是边长为2的菱形,ZABC=60°,PA=PC,
M为中点,PC=3NC.
⑴设平面B4BC平面尸8=/,求证:AB//1;
(2)从条件①,条件②,条件③中选择两个作为已知,使四棱锥尸-ABCZ)存在且唯一确定.
(i)求平面MVD与平面ABC。所成角的余弦值;
(ii)平面肱VD交直线PB于点。,求线段P。的长度.
条件①:平面尸AC_L平面ABCD;
条件②:PB=PD;
条件③:四棱锥P-ABCD的体积为述.
3
题型04圆锥曲线结构不良
【典例训练】
一、解答题
1.(2024.辽宁•模拟预测)已知定点户(1,0),动点N在直线/:x=-l上,过点N作/的垂线,该垂线与狼的
垂直平分线交于点T,记点T的轨迹为曲线E.
(1)求E的方程;
⑵己知点P(m,"),Q(sJ),动点A,8在E上,满足且与x轴不垂直.请从①尸在E上;②4,5,。
三点共线;③S-加=4/+77=0中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
注:如果选择不同的组合分别解答,按第一个解答计分.
2.(2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(尤-2)2+尸=4,点3(-2,0),点P为圆A
上任意一点,线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点。,当点P在圆上运动时,点。的轨迹为
C.
⑴求C的方程.
(2)斜率存在且不为。的直线/与C交于M,N两点,点。在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件,
证明另外一个成立.
①DMLx轴;②直线/经过点③。,B,N三点共线.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
22
3.(2024.全国.模拟预测)已知双曲线C:二-2=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳鸟,从下面3个条
件中选出2个作为已知条件,并回答下面的问题:
①点网-3夜,1)在双曲线C上;②点。在双曲线C上,月乙=90。,且|。用=:;③双曲线C的一条渐近
线与直线y=3尤-3垂直.
⑴求双曲线C的方程;
⑵设4,8分别为双曲线C的左、右顶点,过点(0,-1)的直线/与双曲线C交于两点,若誓=-“,求
KBN
直线/的斜率.
4.(2024•福建漳州•一模)已知过点耳(-1,0)的直线/与圆F?:(x_iy+y2=i6相交于G,H两点,GH的
中点为E,过G£的中点下且平行于%的直线交〃于点P,记点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程.
(2)若48为轨迹C上的两个动点且均不在'轴上,点/满足+(A,〃eR),其中。为坐
标原点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①点M在轨迹C上;②直线与08的斜率之积为-^;③万+〃2=1.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
5.(2024•福建泉州•二模)已知抛物线C:尤2=2py(p>0)的焦点为RO为坐标原点,抛物线C上不同两点
A,2同时满足下列三个条件中的两个:①|E4|+|F8|=|AB|;②|1=|1=|A81=;③直线的方程
为y=6p.
(1)请分析说明4B满足的是哪两个条件?并求抛物线C的标准方程;
⑵若直线经过点且与(1)的抛物线C交于A,B两点,N(0,〃),若ZMNA=NMNB,
求巴的值;
n
(3)点A,B,E为(1)中抛物线C上的不同三点,分别过点A,B,E作抛物线C的三条切线,且三条切线
两两相交于M,N,P,求证:△WP的外接圆过焦点R
o-----------题型通关•冲高考------------♦>
一、解答题
1.(2024.北京•高考真题)在VA2C中,内角A,5,c的对边分别为。,4c,—A为钝角,4=7,
/?
sin2B=——bcosB.
7
⑴求4;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得VABC存在,求VABC的面积.
条件①:6=7;条件②:cosB=^;条件③:csinA=|>/3.
142
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解
答计分.
2.(2024.江西宜春.三模)在VA3C中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知C=120。,VABC的
周长为15,面积为坦叵.
4
⑴求VABC的外接圆面积;
⑵设。是边上一点,在①。是边A8上的中线;②是NACB的角平分线这两个条件中任选一个,
求线段8的长.
3.(2024•北京•三模)已知函数/(x)=2gsin(yxcos0x+2cos20x,(0>O)的最小正周期为兀.
⑴求。的值;
(2)在锐角VABC中,角A,B,C所对的边分别为a,6,c.c为〃尤)在0,|上的最大值,再从条件①、条件
②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,求〃的取值范围.条件①:«cosB+bcosA=2ccosC;条件
②:2asinAcos5+bsin2A=J'a;条件③:VABC的面积为S,且S=——注:如果选择多个
4
条件分别解答,按第一个条件计分.
4.(2024高三下•全国•专题练习)在①b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC-sinA),@tanB+tanC=--,③
ccosB
•J3bsin"+'=csinB
2
这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在VABC中,内角A,B,C的对边分别为“,b,c,且______.
⑴求角C的大小;
(2)已知c=7,。是边A3的中点,且CD_LCB,求CD的长.
5.(23-24高三上.浙江绍兴.开学考试)从①生成等差数列;②%,g+1,生成等比数列;③$3=]
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答下列问题.
已知S,为数列{%}的前〃项和,3s“=%+2q(weN*),a户0,且________.
⑴求数列{〃“}的通项公式;
⑵记。"为偶立册,求数列也}的前2〃+1项和T?向.
[log3a”,〃为奇数
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
6.(2024.云南昆明•模拟预测)已知各项均为正数的数列{/}的首项q=1,其前〃项和为S“,从①%=2疯-1;
②S“H+S,T=2(S“+1)(〃N2),且S2=4;③a“=冏+6=(“22)中任选一个条件作为已知,并解答下列
问题.
⑴求数列{《,}的通项公式;
17
⑵设优=不,设数列伊“}的前〃项和7;,证明:
(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
7.(2024・全国•模拟预测)记7“为数列{%,}的前〃项的积,a,>0g=32,叶=(8%)".
(1)求力,并证明.
⑵从下面两个条件中选一个,求数列{〃}的前〃项和S”.
_.3〃+4_.3及一1
①""=/,n;②4二.
〃(几+l)a〃+]“〃+1
8.(24-25高三上•北京海淀•期末)如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABC。为矩形,PAA.AB,PA=AB^1,
AD=2,歹是出的中点,E在棱BC上,且EF//平面尸CD.
⑴求证:E是BC的中点;
(2)再从条件①,条件②中选择一个作为已知,求平面EFD与平面R4B夹角的余弦值.
条件①:平面平面ABCD;
条件②:PC=底.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
9.(23-24高三・山西•阶段练习)A在三棱锥A-3c。中,△BCD是等边三角形,ZADB=ZADC,〃是8C
边的中点.
(1)求证:8。_14);
(2)M4=3,BC=2拒,从以下两个条件中任选一个,求直线与平面ACD所成角的余弦值.①平面A3C
与平面3。所成二面角为y;②三棱锥A-BCD的体积为3A/3.
10.(23-24高三上.山东荷泽•阶段练习)在如图所示的五面体A3CMF中,AB£F共面,是正三角形,
27r
四边形"8为菱形,ZABC=y,EF//^ABCD,AB^2EF^2,点M为BC中点.
⑴在直线CD上是否存在一点G,使得平面EMG〃平面瓦才请说明理由;
(2)请在下列条件中任选一个,求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值・
®cosZBDF=-;@EM=2.
4
11.(23-24高三上•湖南张家界•阶段练习)如图①,在梯形ABCD中,AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,
E为AB的中点,ACDE=O,以DE为折痕把VADE折起,连接AB,AC,得到如图②的几何体,在图②
的几何体中解答下列问题.
(2)请从
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