新高考情景下的结构不良问题（四大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（原卷版）

热点题型•解答题攻略

专题03新高考情景下的结构不良问题

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01解三角形结构不良.......................................................................1

题型02数列结构不良...........................................................................3

题型03立体几何结构不良.......................................................................5

题型04圆锥曲线结构不良.......................................................................8

♦>-----------题型探析・明规律-----------O

题型01解三角形结构不良

【解题规律•提分快招】

一、“结构不良问题”的解题策略

(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分,

但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分.

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某

个定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

(2)若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.

【典例训练】

一、解答题__

1.(2024・北京•三模)在VABC中，2=巫，cosA=巫.

a510

(1)求证：VABC为等腰三角形；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使VABC存在且唯一，求6的值.

冗15

条件①：ZB=-;条件②：VABC的面积为二；条件③：43边上的高为3.

2.(2024.四川宜宾.二模)在VA3c中，角A,3,C所对的边分别是a,b,c,在下面三个条件中任选一个作为

条件，解答下列问题，三个条件为：

①2bcosA=ccosA+tzcosC；②asinB=^/§Z?cosA；③cosC+(cosB—V3sinB^cosA=0.

⑴求角A的大小；

(2)若〃=J7,Z;+C=4,求be的值.

3.（2024・全国•模拟预测）在①（2-sinA）cos_B-l=cosAsin_B-2cos_BsinC；②（2a-c）cos5=Z?cosC两个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在VABC中，角A,B,。所对的边分别是mb,

c,且______.

⑴求角5的大小：

(2)若点。在5c的延长线上，且BD=25C,AD=3,求VABC面积的最大值.

4.(2024・四川南充•三模)已知函数/(x)=4cos]x-Sbinx-2sin[-g+2xJ—l.

⑴求函数/(x)的单调递增区间；

(2)在VABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，记VABC的面积为S,从下面①②③中选取两个作为

条件，证明另外一个成立.

①/(A)=l;@S=—ab；③/=/+/?<?.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5.(2024•全国•模拟预测)已知VABC中，内角A,氏C的对边分别为a,b,c,且

在acosC-石bcos'A="asinAsin8-csinA.

⑴求角A；

(2)若a=q,角A的平分线交边BC于T,在下列三个条件中选择一个作为已知，求AT.

®AC-BA=-3;②点A在以反C为焦点的椭圆上±+宜=1上；③VABC的面积为逮.

2592

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型02数列结构不良

【解题规律•提分快招】

一、数列中的结构不良问题

1.“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且,

在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

(2)对于｛4〃｝型数列，其中｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列，利用错位相减法求和；

(3)对于｛q+2｝型数列，利用分组求和法；

(4)对于」一|型数列，其中｛%｝是公差为d(dwO)的等差数列，利用裂项相消法求和.

、anan+\一

3.常见的裂项公式:

1H1__

（1，+k\nn+kj

]=U_J______

（2）（2.-1）（2"+1）-——2L+J

]_j_rj]

1

（4）-—^-y/n+y/n+

G+dn+kk

【典例训练】

一、解答题

S73

1.（2024.广西贺州.一模）在①邑-3《=0,②邑=14,③”二石这三个条件中任选一个，补充在下面的

问题中，并解答.

设｛%｝是递增的等比数列，其前〃项和为S“，且出=4,.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足“=［现为偶数,求数列也｝的前2”项和心.

（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）

2.（2024・全国•模拟预测）已知正项数列｛4｝满足4=1.

（1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列｛0｝的通项公式；

条件①：当心2时，=2/7-1；

条件②：数列｛〃：｝与均为等差数列；

⑵在（1）的基础上，设S,为数列的前〃项和，证明：S„<1.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

3.（2024.青海西宁.二模）已知数列｛。“｝,.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的

问题中并解答.（注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.）①数列｛。.｝的前〃项和为S“=2。“-2（“eN*）;

②数列｛。“｝的前〃项之积为4=2驾1（〃eN*）.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

⑵令bn=an+log2an,求数列也｝的前〃项和5.

3

4.（2024・陕西西安・模拟预测）在①6=1,q,a3,成成等比数列，②出+%=6,a,-a5=5,③Zq=6,

i=l

6

»,=21,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

Z=1

问题：已知数列｛。“｝是公差为正数的等差数列，.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

(2)数列的前〃项和为S“，对任意的〃eN+有根-3＜S“＜根恒成立，求机的取值范围.

2"

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5.(2024.四川德阳.三模)已知｛%｝是等差数列，低｝是等比数列，且也｝的前"项和为

S“,2q=4=2,%=5(%-4)，在①仇=4(2-4)，②"+i=S“+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问

题的解答.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式;

(2)设数列的前〃项和为Z,,是否存在九"cN*,使得＜=%若存在，求出所有满足题意的相，人若不

存在，请说明理由.

6.(2024.广东广州.三模)已知数列｛4｝的各项均为正数，出＞4,记S,为｛叫的前〃项和.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4“｝是等差数列；②数列是等差数列；③出=2%.

(2)若4=1,在(1)的条件下，将在数歹£%,｝中，但不在数歹U｛2%｝中的项从小到大依次排列构成数列出｝,

求数列｛〃｝的前20项和.

题型03立体几何结构不良

【解题规律•提分快招】

一、空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设a,b分别是两异面直线/i，L的方向向量，则/i与L所成的角。满足：。050=黯；

(2)线面成角：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为小。与〃的夹角为£,

则直线/与平面a所成的角为。满足：sin8=1侬4=盟.

(3)二面角：设九1，您分别是二面角a—/一夕的两个半平面a,4的法向量，

则两面的成角夕满足：COSff=COS＜m，〃2〉=d：信；

注意：二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：

如图所示，己知AB为平面a的一条斜线段，”为平面a的法向量，

则点8到平面a的距离为：|仍尸噜即向量仍在法向量〃的方向上的投影长.

二、几种常见角的取值范围

__JT____7T

①异面直线成角e(o,-］；②二面角口0,兀］；③线面角口0,-］；④向量夹角口0,兀］

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行：设直线和％的方向向量分别为V1和吸，贝！I〃，2(或/1与L重合)UV1〃V2.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为"，贝I］/〃a或/uaUvJ_M.

(3)面面平行：设平面a和£的法向量分别为"1，U2,则a〃伙

六、用向量证明空间中的垂直关系

⑴线线垂直：设直线和/2的方向向量分别为V1和V2,则/1_1_/2令」丫26「丫2=0.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为"，贝U/_Lauv〃瓦.

(3)面面垂直：设平面a和夕的法向量分别为图和如贝!Ia_L供初_1_〃20:“2=。.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

【典例训练】

一、解答题

1.(2024•北京西城・二模)如图，正方体ABCD-ABCIR的棱长为2,E为8C的中点，点M在8。上.再从

下列三个条件中选择一个作为己知，使点M唯一确定，并解答问题.条件①：MA=MC；条件②：EMVAD-,

条件③：RW〃平面

⑴求证：M为82的中点;

⑵求直线EM与平面MCD所成角的大小；

⑶求点E到平面"CD的距离.

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

2.（2024.北京东城•一模）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCZ）为正方形，AB=4,EF=1.

EF

⑴求证：AB//EF；

（2）若“为CD的中点，M为5”的中点，EMLBH,EM=2框,再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知，求直线CP与平面ADE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

7T

3.（2024•江苏镇江•三模）如图，三棱锥P-ABC中，ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB,。是棱A8

（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取

并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；

①平面R4B_L平面ABC；

②DELAC；

@PELAC.

2

（2）若三棱锥尸-ABC的体积为以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面尸Z汨与平面尸3c所成二

面角的大小.

4.（2024•河南开封三模）已知四棱锥的底面ABCD是正方形，给出下列三个论断：①PC=PD；

©ACLPD-③班）工平面PAC.

(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明;

⑵在(1)的条件下，若上4=1,求四棱锥尸-ABCD体积的最大值.

5.(2024・北京•三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是边长为2的菱形，ZABC=60°,PA=PC,

M为中点，PC=3NC.

⑴设平面B4BC平面尸8=/,求证：AB//1；

(2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥尸-ABCZ)存在且唯一确定.

(i)求平面MVD与平面ABC。所成角的余弦值；

(ii)平面肱VD交直线PB于点。，求线段P。的长度.

条件①：平面尸AC_L平面ABCD；

条件②：PB=PD；

条件③：四棱锥P-ABCD的体积为述.

3

题型04圆锥曲线结构不良

【典例训练】

一、解答题

1.(2024.辽宁•模拟预测)已知定点户(1,0),动点N在直线/:x=-l上，过点N作/的垂线，该垂线与狼的

垂直平分线交于点T,记点T的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程；

⑵己知点P(m,"),Q(sJ),动点A,8在E上，满足且与x轴不垂直.请从①尸在E上；②4,5,。

三点共线；③S-加=4/+77=0中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.

2.（2024•全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：（尤-2）2+尸=4,点3（-2,0）,点P为圆A

上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点。，当点P在圆上运动时，点。的轨迹为

C.

⑴求C的方程.

（2）斜率存在且不为。的直线/与C交于M,N两点，点。在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，

证明另外一个成立.

①DMLx轴；②直线/经过点③。，B,N三点共线.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22

3.（2024.全国.模拟预测）已知双曲线C:二-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳鸟，从下面3个条

件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：

①点网-3夜,1）在双曲线C上；②点。在双曲线C上，月乙=90。，且|。用=：；③双曲线C的一条渐近

线与直线y=3尤-3垂直.

⑴求双曲线C的方程；

⑵设4,8分别为双曲线C的左、右顶点，过点（0,-1）的直线/与双曲线C交于两点，若誓=-“，求

KBN

直线/的斜率.

4.（2024•福建漳州•一模）已知过点耳（-1,0）的直线/与圆F?：（x_iy+y2=i6相交于G,H两点，GH的

中点为E,过G£的中点下且平行于%的直线交〃于点P,记点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程.

（2）若48为轨迹C上的两个动点且均不在'轴上，点/满足+（A,〃eR）,其中。为坐

标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①点M在轨迹C上；②直线与08的斜率之积为-^；③万+〃2=1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5.（2024•福建泉州•二模）已知抛物线C:尤2=2py（p>0）的焦点为RO为坐标原点，抛物线C上不同两点

A,2同时满足下列三个条件中的两个：①|E4|+|F8|=|AB|；②|1=|1=|A81=；③直线的方程

为y=6p.

(1)请分析说明4B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；

⑵若直线经过点且与(1)的抛物线C交于A,B两点，N(0,〃)，若ZMNA=NMNB,

求巴的值；

n

(3)点A,B,E为(1)中抛物线C上的不同三点，分别过点A,B,E作抛物线C的三条切线，且三条切线

两两相交于M,N,P,求证：△WP的外接圆过焦点R

o-----------题型通关•冲高考------------♦>

一、解答题

1.(2024.北京•高考真题)在VA2C中，内角A,5,c的对边分别为。，4c,—A为钝角，4=7,

/?

sin2B=——bcosB.

7

⑴求4；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求VABC的面积.

条件①：6=7；条件②：cosB=^;条件③：csinA=|>/3.

142

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

2.(2024.江西宜春.三模)在VA3C中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知C=120。，VABC的

周长为15,面积为坦叵.

4

⑴求VABC的外接圆面积；

⑵设。是边上一点，在①。是边A8上的中线；②是NACB的角平分线这两个条件中任选一个，

求线段8的长.

3.(2024•北京•三模)已知函数/(x)=2gsin(yxcos0x+2cos20x,(0>O)的最小正周期为兀.

⑴求。的值；

(2)在锐角VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c.c为〃尤)在0,|上的最大值，再从条件①、条件

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求〃的取值范围.条件①：«cosB+bcosA=2ccosC；条件

②：2asinAcos5+bsin2A=J'a；条件③：VABC的面积为S,且S=——注：如果选择多个

4

条件分别解答，按第一个条件计分.

4.(2024高三下•全国•专题练习)在①b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC-sinA),@tanB+tanC=--,③

ccosB

•J3bsin"+'=csinB

2

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

在VABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且______.

⑴求角C的大小；

（2）已知c=7,。是边A3的中点，且CD_LCB,求CD的长.

5.（23-24高三上.浙江绍兴.开学考试）从①生成等差数列；②%,g+1,生成等比数列；③$3=]

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.

已知S,为数列｛%｝的前〃项和，3s“=%+2q（weN*）,a户0,且________.

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵记。"为偶立册,求数列也｝的前2〃+1项和T?向.

[log3a”,〃为奇数

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

6.（2024.云南昆明•模拟预测）已知各项均为正数的数列｛/｝的首项q=1,其前〃项和为S“，从①%=2疯-1；

②S“H+S,T=2（S“+1）（〃N2）,且S2=4；③a“=冏+6=（“22）中任选一个条件作为已知，并解答下列

问题.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

17

⑵设优=不，设数列伊“｝的前〃项和7；,证明：

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

7.（2024・全国•模拟预测）记7“为数列｛%,｝的前〃项的积，a,>0g=32,叶=（8%）".

（1）求力,并证明.

⑵从下面两个条件中选一个，求数列｛〃｝的前〃项和S”.

_.3〃+4_.3及一1

①""=/，n；②4二.

〃（几+l）a〃+]“〃+1

8.（24-25高三上•北京海淀•期末）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形，PAA.AB,PA=AB^1,

AD=2,歹是出的中点，E在棱BC上，且EF//平面尸CD.

⑴求证：E是BC的中点；

(2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD与平面R4B夹角的余弦值.

条件①：平面平面ABCD；

条件②：PC=底.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

9.(23-24高三・山西•阶段练习)A在三棱锥A-3c。中，△BCD是等边三角形，ZADB=ZADC,〃是8C

边的中点.

(1)求证:8。_14)；

(2)M4=3,BC=2拒,从以下两个条件中任选一个，求直线与平面ACD所成角的余弦值.①平面A3C

与平面3。所成二面角为y；②三棱锥A-BCD的体积为3A/3.

10.(23-24高三上.山东荷泽•阶段练习)在如图所示的五面体A3CMF中，AB£F共面，是正三角形，

27r

四边形"8为菱形，ZABC=y,EF//^ABCD,AB^2EF^2,点M为BC中点.

⑴在直线CD上是否存在一点G,使得平面EMG〃平面瓦才请说明理由;

(2)请在下列条件中任选一个，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值・

®cosZBDF=-；@EM=2.

4

11.(23-24高三上•湖南张家界•阶段练习)如图①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E为AB的中点，ACDE=O,以DE为折痕把VADE折起，连接AB,AC,得到如图②的几何体，在图②

的几何体中解答下列问题.

(2)请从