相似知识归纳与题型突破（ 9题型清单）解析版-2024-2025学年人教版九年级数学下册

相似知识归纳与题型突破（九类题型）

01思维导图

形状相同的图形--相似图形

边数相同的两个妥边形，若对酶相等，对应边成比例，则这两个多边

相似图形/相峥边形对应边的比--相似比相似比为1时，相似的两个图形相等

比例战段：对于四条线段戋b,c,d,如期中两条线段的比（即它们长度

的因与另两条线段的比相锄Da：b=c:d（即ad=be）那么四侬段成比

例线段

定义：对应角相等，三飒的成比例••相似

平行线分线段成比例定理：两条直线被T平行线所截，所得晒应线推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段

段成比例成比例。

竟定1:如果两个三角形的三组对应边的比偌，刃眩这两个三角形相

似.

联2:如果两个三角形的崎对应边的比疑，并且夹角相等，那么

相似三角形炳定3这两个三角形相似，

\夷淀3:如果一个三角形的两个角与另—形的两个角对应相等，

第27章相似eI那么这两个三角形相似。

相似三角形

1、对应角相等，对砌的比相等；

N拓展：对应商的比，对曲^线的比，对应角平分线的比都等于相似

比，

相似三角形的性质33、相似三角形周长的比等于相似比，硼的比等于相似比的平方。

-------------------\（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平

I方。）

触05坡度与坡比的应用

雌06锐角三角函数限合问题

两个地不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图

形叫做位似班，这个点叫做位似中心.

位似9如果以原点为位似中心的图形，使它与原圉形的相似比为k,刃豚与原

地上的点（x,y）对应的位似跳上的点的坐标为（kx,ky）或（-

kx,-ky）

02知识速记

一、图形的相似的概念

形状相同的图形叫做相似图形。

1、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；

2、全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；

二、成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

HC

1、若四条线段a、b、c、d成比例，则记作2=上或a»=c：d。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。

bd

2、四条线段a、b、c、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，c、d的单位一致也

可以）

3、比例的性质:

基本性质：若q=二，则ad=z)c；反之，也成立。和比性质：若q=£,则9=火

bdbdbd

ac,ab什。c,bd

更比性质：右一=一,n则一=一；反比性质：右一=一，n则一=一；

bdcdbdac

­，UHcm/.,,a+c-\---\-ma

等比性质：若一=--••=—(b+d+…+〃70),则n-------------=一。

bdnb+d---\-nb

4、把线段分成两条线段/C和8C,使NO32C,叫做把线段N2黄金分割，C叫做线段的黄金

分割点。

三、平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。

四、相似多边形的性质与判定

1、相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

五、相似三角形的判定

判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似(此知识常用，用时需要证明)。

六、相似三角形的性质

1、对应角相等，对应边的比相等；

2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。(相似多边形周长比等于相似比，相似

多边形的面积比等于相似比的平方。)

七、利用相似三角形测高

1、利用相似测量的物体的宽度或高度：

(1)在构造型图求河宽N8时，需保证/,B,C三点在同一条直线上，A,E,。三点也在同一条直线

上，通过测量3C,BE,CD的长，即可求出N2,为简便，通常使DC1AC.

(2)在构造“JT型图求河宽时，应保证/,O,C三点在同一条直线上，B,O,。三点也在同一条直线

上.

/­■,

CD

(1)

2、在平行关线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例——测量高度.

提示：同一时刻，太阳光线是平行的.

3、观察物体时人的眼睛的位置称为视点.

4、测量物体的高度时，水平视线与向上观察物体的视线间的夹角叫做仰角，水平视线与向下观察物体的视

线间的夹角叫做仰角.

5、观察者视线看不到的区域叫做盲区.

6.利用相似三角形解决实际问题常见模型:

图4图5图6

八、位似的概念及性质

1、两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位

似中心.（两个位似图形的位似中心只有一个）

2、利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

3、位似图形对应边的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

4、位似图形是具有特殊位置关系的相似图形.位似一定相似，相似不一定位似.

5、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

6、位似图形具有(1)相似图形的所有性质；(2)位似图形的对应边平行或共线.

7、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比

为k,那么与原图形上的点G,»)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-fcc,-ky).

03题型归纳

题型一图形的位似及其性质

例：如图，在平面直角坐标系中，已知点幺(-1,2)、5(-3,-1),以原点。为位似中心，相似比为2,把“8。

放大，则点N的对应点4的坐标是()

A.(-6,-2)B.(-2,4)C.(-6,-2)或(6,2)D.(-2,4)或(2,-4)

【答案】D

【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-左计算.

【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时，

-1,2),相似比为2,

当位似图形与在y轴两侧时，

相似比为2,

.•.4(2,-4)；

故选：D.

2.如图，与与G是以点。为位似中心的位似图形，若OBi=；BB「S4ABe=27,贝

()

A.3B.6C.9D.13.5

【答案】A

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据。4可得相似比为1:3,再根据位似比即相似，相似三角

形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解.

【详解】解：••・△NBC与△44。是以点。为位似中心的位似图形，OB.BBi，

.端=g，且也727,

..44G=QY=1

Fc一⑴一9，

•••S/3]G=QS&ABC=A*27=3,

yy

故选：A.

3.如图，△/吕。三个顶点的坐标分别为/(-2,2),5(-4,1),C(-l,-l),以点C为位似中心，在x轴下方作

把△/台。放大为原来的2倍的位似图形则点4的坐标为()

C.(4,-4)D.(1,-4)

【答案】B

【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律.

根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解.

【详解】解：由题意可得：AABCsAABt,且相似比为1:2,

A'C=2AC,

Xc~y£=2（yA—yc）—2x（2+1）—6,xA,—xc—2（%-与）=2x（-1+2）=2,

yA'=-7,x0—1,

故选：B.

4.如图，点E（-4,2）,F（-2,-2）,以O为位似中心，将ZW。放大2倍，则点E的对应点耳的坐标是.

【答案】（-8,4）或（8,-4）

【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是后，则原图形上的点

（xj）,经过位似变化得到的对应点的坐标是（衣,0）或（-依，-例）.以O为位似中心，将放大2倍，

则点E的对应点片的坐标是£（-4,2）的坐标同时乘以±2计算即可.

【详解】解：••・将△EFO放大2倍，点E（-4,2）,

点耳的坐标是（-4x2,2x2）或（一4x（-2）,2x（-2））,即（-8,4）或（8,-4）,

故答案为:（-8,4）或（8,-4）.

5.如图，在平面直角坐标系中，正方形48。与正方形BE尸G是以原点。为位似中心的位似图形，且位似

比为，点4反E在X轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为

//

//

-2-L-------------------------------------►

OABEx

【答案】（3,2）

【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，首先直接利用位似图形的性质结合相似

比得出的长；然后根据相似三角形的判定定理得出△0/DSA03G，结合相似三角形的对应边成比例

C）A1

得到比例式胃==,进而得出NO、3。的长，由此即可得出C点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键;

（JB3

【详解】解：•・・正方形458与正方形8瓦灯是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为g,

••—―，

BG3

•••BG=6,

/.AD=BC=2,

,・,四边形45c。是正方形，

AD〃BG,

LOADS/\OBG,

OA

—―,

OB3

OA_1

,,2+OA~3f

OA=1,

OB=3,

••.c点坐标为（3,2）,

故答案为：（3,2）.

6.如图，四边形488与四边形/'3'C'D'是位似图形，点。是位似中心，点4是线段。4的中点，则

【答案】1/0,25

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案.

【详解】解：•.•点4是线段04的中点，

：.OA'=-OA,

2

•.,四边形"CD与四边形48'C'D'是位似图形，

SABCD，_(%)2_zj_)2—]

SABCD市5"

故答案为：

7.如图，在平面直角坐标系中，a/BC的顶点坐标分别为5(-2,0),c(-l,2).

(1)以原点O为位似中心，画出△4BC的位似三角形，使它与△48C的相似比为2:1；

⑵△/2C与其位似三角形的面积比为.

【答案】(1)见解析

⑵；

【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键.

(1)将点4B,C三点的横坐标与纵坐标都乘以-2,得到4(8,-2),"(4,0),C(2-4),依次连接得到

^A'B'C,贝即为所求；

(2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】(1)解：如图，即为所求.

故答案为：-

8.如图，BD,NC相交于点尸，连接BC,CD,DA,ZDAP=ZCBP.

⑴求证：AADPSABCP,并判断尸与ABC尸是不是位似图形？(不必说明理由)

(2)若/B=8,CD=4,DP=3,求个的长.

【答案】(1)“OPSA8C尸，△MP与A8C尸不是位似图形；

(2)6

【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

(1)根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明A/DPSA8cp即可；再根据位似图形的概念判断即可；

(2)根据相似三角形对应边成比例推出磔==，进而证明△。尸Cs/x/m,再根据相似三角形的性质列

PAPB

出比例式求解即可.

【详解】(1)证明：=ZDPA=/CPB,

"DPs公BCP；

•・・如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这

个点叫做位似中心.尸与ABC尸的对应点的连线不交于一个点,

・•.△ADP与&BCP不是位似图形;

⑵解："DPs^BCP,

PDPA

'~PC~~PB'

PDPC

“方一访‘

又：/DPC=/APB,

:.ADPCs4APB,

PAAB口口PA8

——=——,即一=-,

PDCD34

PA=6.

9.如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1,点。和△/8C的顶点均为小正方形的顶点.

⑴以。为位似中心，在网格图中作使和△48C位似，且位似比为1:3.

(2)证明AA'B'C'和4ABe相似.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图-位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识

是解答本题的关键.

(1)根据AHQC和位似，且位似比为1:3作出图形即可；

(2)利用相似三角形的判定定理证明即可.

【详解】(1)解：如图所示：AHB'C'即为所求,

A

-BC=9，AB=弋6。+3。=3Vs，AC=56。+6?=6y[2，

AB'=Vl2+22=V5>B,C'=3,A'C=A/22+22=272-

AB3近°AC6A/2NBC9c

------=-—=3,-------=——1==3，-;~~;=—=3,

A'B'V5A'C272B'C3

,ABACBC_3

；.AA'B'C'SA4BC.

10.如图，在平面直角坐标系中，△4BC与A/'QU关于点尸位似，其中顶点A,B,C的对应点依次为

A',B',C,且都在格点上.

⑴请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P;

写出点尸的坐标为与的面积比为

(2),KABCAA'B'C,SAABC=

(3)请在图中画出△48"C〃，使之满足如下条件：

①△/〃8〃C"与关于点P位似，且与"®C'的位似比为:；

②△/"/C"与"'BC位于点P的同侧.

【答案】(1)见解析

(2)(45)；：；|

(3)见解析

【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键.

（1）连接44',BB，，CC,相交于点尸，则点尸即为所求.

（2）由图可得点尸坐标；由题意可知△/BC与A/'B'C的位似比为g,根据位似三角形的性质可得答案;

利用割补法求三角形的面积即可.

（2）根据位似的性质，分别取PH,PB',PC'的中点/"，B：C",再顺次连接即可.

【详解】（1）解：如图，点尸即为所求；

（2）解：由图可得，尸（4,5）,

_APBPCP\

'A'P~B'P~C'P~2'

:△ABC与^A'B'C的位似比为g,

:△ABC与AA'B'C的面积比为5,

S=-x（l+2）x2--xlxl-lxlx2=3---l=-,

"BC2''2222

故答案为：（4,5）；5；g；

（3）解:如图，即为所求.

11.已知，A/8C在平面直角坐标系的位置如图所示，点、A,B,C的坐标分别为（1,0）,（4,-1）,

（3,2）.与△ABC是以点尸为位似中心的位似图形.

(1)请写出点P的坐标是;

(2)以点。为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形使相似比为2:1；

(3)若点M(a,b)为AABC内一点，则点M在AA2B2C2内的对应点的坐标为.

(4)计算△482c2的面积.(写出计算过程)

【答案】(1)(0,-2)

(2)见解析

⑶(-2a,-2b)

(4)16

【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，三角形的面积.

(1)利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解；

(2)根据点。为位似中心，相似比为2:1作图即可；

(3)利用位似图形的性质求解即可；

(4)利用割补法求解即可.

【详解】(1)解：如图，连接并延长相交于点尸,

.•.尸(0,-2)；

(2)解：如图，鸟G即为所求;

(3)解：由题意得，点河在A482c2内的对应点的坐标为(-2。,-26)；

(4)解：SARC=6x6--x4x4--x2x6--x2x6=16.

'1'A^2-®2^2222

题型二比例的性质

例：已知2a=36(6x0),则下列比例式中正确的是()

abab3a2

A.­=-B.-=—C.———D.———

32232bb3

【答案】A

【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质.根据比例的性质“如果/=:，那么

ba

ad=儿”进行解答即可得.

【详解】解：A、j=|,则2a=36,故该选项说法正确，符合题意；

B、|=|,则3a=26,故该选项说法错误，不符合题意；

C、则帅=6,故该选项说法错误，不符合题意；

D、y=|,则3a=23故该选项说法错误，不符合题意；

b3

故选：A.

13.(1)已知线段〃，b,c,。=3,b=9,若。是。，b的比例中项，求。的值.

nhc

(2)已知：j=-=-,且a+6-c=6,求。的值.

【答案】(1)±3A/3;(2)9

【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键.

(1)根据比例中项的概念，得°2=仍，再利用比例的基本性质计算求解.

(2)设■|=5=：=左，然后用后表示出b,c,代入a+6-c=6中求出左,即可得求解.

【详解】(1)解：；。是。，b的比例中项，

/.c2=ab.

•/a=3,b=9,

..c—ab—27,

解得c=±3A/3.

(2)解：设1=；=；=后(左力0),

..ci—3ktb—4k,c—5k.

'：a+b-c=6,

3A+4左-5左=6,

解得k=3,

..a=3k=3x3=9.

14.下列说法中，正确的是()

,EQ+Z)c+dF”,acI—/—I—

A.如果---=—--，那么7B.y[ab=yfa-y/b

baba

2

C.方程x?+尤-2=0的根是巧=—1，x2=2D.—l)-x-1

【答案】A

【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及比例

的性质.A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；B、当。与6都小于0

时，原式不成立；C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断；D、利用二次根式的化简公式计算得

到结果，即可做出判断.

【详解】解：A、牛=式变形得：y+l=4+l,即?=9，本选项正确；

bababa

B、当。>0,b>0时，4ab=4a-4b,本选项错误；

C、方程因式分解得：(x-l)(x+2)=0,解得：再=1,%=-2,本选项错误；

D、&-1)2=|1],本选项错误，

故选：A.

XVz

15.已知—=」=—,且5x-3z=18,求2z-3y+4x的值________.

352-------------

【答案】2

【分析】本题考查了比例的性质，设n=］=W^O),得出内，y=5k,z=2k,再根据5—z=18,求

出左的值，从而得出X、了、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案.熟练掌握比例的基本性

质是解决问题的关键.

【详解】解：«|=y=f=^^O),

则x=3kfy=5k,z-2k,

•/5x-3z=18,

二.15左一6左=18,

:.k=2,

:.x=6,>=10,z=4,

2z—3》+4x=8—30+24=2.

故答案为：2.

ace1/c2c、mi6—21+3/

(a-2c+3e*0),贝ij——-_*=

16-右Z=)=72a-zc+3e

【答案】2

【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得b=2a,d=2c,f=2e,代入代数式计算即

可求解，掌握比例的性质是解题的关键.

［详解］解：=

bdj2

b=2a,d=2c,f=2e,

,b-2d+3f2a-2c+6e2(a-2c+3e)

,•=——2,

a-2c+3ea-2c+3ea-2c+3e

故答案为：2.

_，心。1a+b

17.已知7=彳，那么丁一二________•

b3b

【答案】|4

【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.根据题意可设

a=k,b=3k,再代入，即可求解.

【详解】解：・《=，，

b3

・•・可设。=k,b=3k,

a+bk+3k4

,,吃--3k

4

故答案为：—.

18.已知。：6:。=2:3:4,且。+26-3。=20,试求〃一26+3。的值.

【答案】TO

【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键.设。=2左,6=3左,o=4左优*0),代

入a+26-3c=20可求出后的值，由此即可得.

【详解】解：,♦,a:b:c=2:3:4,

.,.设a=2k,b=3k,c=4k(kw0),

a+2b-3c=20,

:.2左+6左一12左=20,

解得k=-5,

〃一2b+3。=2左一6左+12左=8左=8x(—5)=-40.

题型三比例线段和成比例线段

例：下列四组线段中：①。=1,b=V2，c=42，d=2,(2)a=VJcm,b=2cm,c=V2cm?

d=V6cm,③a=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,@a=3cm,b=4cm,c=9cm,d=15cm；其中

a,b,c,d是成比例线段的有.(请填写序号)

【答案】①②

【分析】本题考查比例线段的概念.注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它

们的积是否相等.由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四

条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断.

【详解】解：①gx收=1x2,这四条线段成比例，符合题意；

@2xV3=V2xV6=2V3,这四条线段成比例；符合题意；

③••・Q=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,

:.d-100cm

.*.3x6^2x100,这四条线段不成比例，不符合题意；

④4x903x15,这四条线段不成比例，故不符合题意；

故答案为：①②.

20.一幅地图上，用9cm的线段表示9km的实际距离，它的比例尺是（）

A.1:100000B.1:10000C.1:1000D.1:100

【答案】A

【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可.

【详解】解：9km=9xl05=900000cm,

.•・比例尺为：9:900000=1:100000：

故选A.

21.已知线段E尸是线段48,C3的比例中项，AB=3,CD=4,则E尸的长为（）

7

A.6B.12C.-D.2A/3

【答案】D

【分析】本题考查比例中项的定义，根据线段所是线段N8，8的比例中项，则而=/BCD,然后代

入求解即可，解题的关键是掌握比例中项的性质.

【详解】解：•••线段E尸是线段N8，CD的比例中项，

EF2=ABCD,

EF2=3x4=12,

•••EF=2道,

故选：D.

22.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.1,6=2,c=3,d=4B.a=\,b=V2,c=d=-\/6

C.a=5,b=6,c=7,d=8D.a=4,b=6,c=6,d=8

【答案】B

【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，

看它们的积是否相等即可得出答案.

【详解】解:A.11x4H2x3,

/.ad于be,

..・四条线段不成比例，故本选项不符合题意;

B、VlxV6=72x73

/.ad—be,

，四条线段成比例，故本选项符合题意；

C、5x86x7,

/.ad丰be,

四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

D、,.,4x8w6x6,

ad丰be,

四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

故选:B.

23.在比例尺为1:10000的地图上，相距10厘米的两地实际距离为千米.

【答案】1

【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键.

根据比例尺=图上距离:实际距离，列出关系式即可得出实际的距离.

【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：1：10000=10：x,

所以相距5厘米的两地的实际距离是10x10000=100000厘米=1千米，

故答案为：1.

24.已知两条线段的长为1cm和4cm,则它们的比例中项线段长为cm.

【答案】2

【分析】本题主要考查了线段的比.根据比例的性质列方程求解即可.设它们的比例中项为6,根据比例中

项的定义可知，〃=1x4,代入数据可直接求得b的值，注意两条线段的比例中项为正数.

【详解】解：设它们的比例中项为b,

•••6是长度分别为1、4的两条线段的比例中项，

:.b2=1x4,

即/=4,

.■.b=2（负数舍去），

,它们的比例中项线段长为2cm.

故答案为：2.

25.数6是数。和数c的比例中项，若a=2,c=8,则数b的值为

【答案】±4

【分析】根据比例中项的性质，即可求出6的值.

此题考查了比例中项的定义，a：b=b：c或ab=bc,那么线段b叫做线段°、c的比例中项.

【详解】解：•.•数6是数。和数c的比例中项，

b1=ac=2x8=16

b=±4,

故答案为：±4.

题型四黄金分割

例：秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”,

实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P是N8的黄金

分割点（/尸＞3P）,如果的长为（4A6+4）CHI,那么a的长为cm.

【答案】8

【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此

题的关键.

【详解】解：•.•点尸是N8的黄金分割点（/尸＞8尸），42的长为（4如+4）cm,

•••AP=^^-AB=^^-x（4V5+4）=8cm,

故答案为：8.

27.线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之

比，那么该点就叫做线段的黄金分割点.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,

若舞台的长为20米，一名主持人现在站在/处，则她至少走多少米才最自然得体？（）

II

AB

A.（10逐-10）米B.（6+10）米C.（30-106）米D.（10-石）米

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割，设C点为4B的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当/C＞3C时,

/C=（10括-10）米；当NC<8C时，5c=（10囱-10）米，贝=（30-10⑸米，从而确定她至少走的路程.

【详解】解：设C点为48的黄金分割点，

当/C>3C时，如图，

III

ACB

根据黄金分割点的定义得，三=某，

ACAB

口门AB-ACAC

即，-------=——，

ACAB

整理得，AC2+AB-AC-AB2=0,

解得，AC=^^AB,AC=Y7AB（舍去），

22

•••^C=^=L'-X20=（10V5-10）^;

当/CvBC时，同理可得，2C=Y^zl/2=Y^zlx20=（10右一10）米，

=-80=20-（106-10）=（30-10同米，

■.•1075-10-（30-10A/5）=2075-40>0

••・主持人至少走（30-106）米才最理想.

故选：C.

28.有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有:=三；②如果点C是线段的中

点，那么NC2=N8.5C;③如果点C是线段48的黄金分割点，且/C>3C,那么"2=48.8。；④如

果点C是线段48的黄金分割点，AC>BC,且血=2,则4。=石-1.其中正确的判断有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键.

根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得.

【详解】解：①如果线段d是线段a/,c的第四比例项，则有:=;，①正确;

ba

ARAT

②如果点C是线段的中点，则嘿=2,会=1,

ACnC

匕…ABAC

所以下。转，

ZCnC

所以/C不是48、8C的比例中项，AC?#AB-BC,②错误;

③如果点C是线段的黄金分割点，S.AC>BC,

AB-AC_4B_2

嘘"爷AC^1C~~V5-1-2

所以生=也，即上=

ABACAC~BC

所以ZC是与8c的比例中项，AC2=ABBC,③正确;

④如果点C是线段4B的黄金分割点，AC>BC,AAB=2,

则江="二1,即江=YL1,

AB222

所以4c=后-1,④正确;

综上，正确的判断有①③④,

故选：C.

29.若点C是线段25的黄金分割点，AB=2,AC>BC,则/C的长为.

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段/C和BC（/C>BC）,且使/C是和2c的比例

中项，叫做把线段48黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点.根据黄金分割的定义得到

AC=或二LB,然后把AB的长代入计算即可，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB

2

和2c的比例中项（即/B：/C=/C:BC）,叫作把线段N3黄金分割，点C叫做线段48的黄金分割点.特别

要注意线段42的黄金分割点有两个.

【详解】解：：点C是线段的黄金分割点，且/2=2（/C>2C）,

AC=AB=^^x2=45-1,

22

故答案为：V5-1.

30.如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”.现需设计一扇符合黄金矩形的

窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为米（结果保留根号）.

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】本题考查了比例线段，利用黄金比的定义即可求出答案.

【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金比的倒数，即逃二

2

已知窗户的长为2米，则窗户宽为长乘以黄金比得倒数，即2x（石-1）+2=6-1（米）.

故答案为：V5-1.

31.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，尸是的

黄金分割点(/P>8P),若线段N8的长为10cm,则m的长为_cm.

【答案】575-5

【分析】本题考查了黄金分割.熟练掌握黄金分割是解题的关键.

由题意得，生二1,即更=1二L,计算求解即可.

AB2102

【详解】解：”是AB的黄金分割点(AP>BP),43=10cm,

APV5-1HnAPV5-1

-----=----------,R|-J------=----------,

AB2102

解得，AP=5加-5,

故答案为：575-5.

题型五相似多边形及其性质

例：如图，矩形的边43=4,点E,尸分别在边8C,AD±,且四边形小F为正方形.若矩形CZ)尸E

与矩形/BCD相似，则的长为.

D

C

【答案】2+26

【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形月皮町为正

方形时，AB=BE=EF=AF=4,设C£=x(x>0),则有CE=O/=x,BC=AD=BE+CE=A+x,根据

相似多边形的性质列式求解即可.

【详解】解：•••四边形/BCD是矩形,

"2=C。=4,BC^AD,

当四边形4BEF为正方形时，AB=BE=EF=AF=4,

设CE=x（x〉O）,且四边形。。尸£为矩形，

；.CE=DF=x,BC=AD=BE+CE=4+x,

・.・矩形CDFE与矩形ABCD相似,

CE_CDx4

即nn一二----

~AB~~BC44+x

解得，西=-2-2石（不符合题意，舍去），马=2逐-2,

检验，当x=22时，原分式方程的有意义,

:.CE=2遂-2,

■■AD=BC=BE+CE=4+2.45-2=2+2yf5,

故答案为：2+2石.

33.下列四组图形中一定相似的是（）

A.正方形与矩形B.正方形与菱形

C.等边三角形与等边三角形D.矩形与矩形

【答案】C

【分析】本题考查了图形的相似，根据相似的定义是图形形状相同，对应边成比例，进行逐项分析，即可

作答.

【详解】解：A、正方形与矩形的形状不相同，故该选项是不符合题意；

B、正方形与菱形的形状不相同，故该选项是不符合题意；

C、等边三角形与等边三角形的形状相同，对应边成比例，故该选项是符合题意；

D、矩形与矩形的形状相同，对应边不一定成比例，故该选项是不符合题意；

故选：C

34.如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁,

其中是相似图形的为（）

甲乙内r

A.甲和乙B.甲和丙C.甲和丁D.乙和丙

【答案】C

【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质,

进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键.

【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小

不同，是相似图形，

故选：c.

35.在如图所示的三个矩形中，相似的是（）

■432丹

①②③

A.①②B.②③C.①③D.都不相似

【答案】B

【分析】本题考查的了相似多边形的判定，分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判

断即可，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键.

【详解】解：矩形①，②，③的邻边之比分别为：3:4,1:2,1:2,

••.相似的是②③，

故选：B.

36.如图，在矩形/BCD中，AB=6,AD=8,截去矩形48尸£,若剩下的矩形QE尸C与矩形N5CD相似，

则DE等于（）

A.2B.3.5C.4D.4.5

【答案】D

mnF

【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得境=于，代入数据计算即可.

/iLJ

【详解】解：•••矩形QE尸c与矩形/BCD相似,

CDDE

,•茄一而‘

又，・,AD=BC=8,AB=EF=CD=6,

••・62=华DF，解得：OE=Q：=4.5,

oo2

故选D.

37.东方美学钟爱“白银分割”.日常生活中随处可以见至「白银分害「的身影，比如日常用到的A