一元二次方程的解法（公式法）（5个知识点+5个考点+易错分析）原卷版

第03讲一元二次方程的解法（公式法）（5个知识点+5个

考点+易错分析）

T模块导航AT素养目标—

模块一思维导图串知识1.知道一元二次方程根的判别式的概念.

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一

元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.

模块三核心考点举一反三3.经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一

模块四小试牛刀过关测元二次方程.

A'橙故一再堆自图生知识—

[n一元二次方程L.......

公式法这根公式2当4第丕

ax\bx+c=Q(a#0)

►>罐协—茸种钠汩仝祐，里___________________________

A/vscUuJAHRr\I/WAZ

、公式引入

一元二次方程办2+6x+c=o（。H0）,可用配方法进行求解:

对上面这个方程进行讨论：因为awO,所以4/>o

1〕当b2-4ac20时，-——>0

4/

利用开平方法，得：x+A=±JEZp7；即：x=-b土正-4吟

2aV4a22cl

2当〃-4ac<0时，-——<0

4a2

X取任何值都不能使方程（X+A）?

这时，在实数范围内,=曲C左右两边的值相等,所以原方

2a4/

程没有实数根.

二、求根公式

一元二次方程ax?+6x+c=0(a/0),当62-4ac20时，有两个实数根:

—b+y—4ac—b—Jb~-4ac

%)—，—

1la2la

这就是一元二次方程ax?+6x+c=0（QWO）的求根公式.

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三、用公式法解一元二次方程一般步骤

「1把一元二次方程化成一般形式。x2+6x+c=0(。/0)；

2确定a、6、c的值；

③求出b2-4ac的值(或代数式)；

4若Z?-4acW0,贝!I把a、b、c及〃-4ac的值代入求根公式，求出西、x2；若62-4ac<0,则方程

无解.

四、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：我们把〃一4起叫做一元二次方程+6x+c=0(aw0)的根的判别式，

通常用符号“△”表示，记作△=/一4℃.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0),

当A=62-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=/-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=/一4℃<0时，方程没有实数根.

五、根的判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

◎模块三核心考点举一反三------------------------------

考点1:判断一元二次方程根的情况

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况.

(1)2f+3x—4=0；(2)x~x+-—0；(3)了2—x+l=0.

4

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由—4ac的值的符号来判断方程根的情况.当b—ac

>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当—413c=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

Z?2—4ac<0时，一元二次方程无实数根.

一［变式m示廨方福「岁画下列专程的植而蓿凉;--……-……—………-……………-…

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(1)4x2-5x-3=0；(2)2x2+4x+3=0；

【变式。.已知方程组仁二；的解是试判断关于x的方程，+―的根的情况.

【变式1-3].当〃?取何值时，关于尤的方程/+（机-2）x+；〃J-i=o,

（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?

考点2：由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

【例2】已知关于x的一元二次方程（a—l）x2—2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a>2B.a<2C.a<2且aWlD.a<—2

方法急嘉厂否去程看买薮祗「项『z二%IS五百手笨正函菊面函疗程至二元三次克福丁而似:一三灰顼素薮示

为0.因此本题还是一道易错题.

委三21仃一石6套与南南建嚎善三稹5芟手[丽玉三次方看於mm看硬啜腺1厕％的取清拓sr

是（）

A.k<\B.左<1且左WOC.左VI且上40D.k<\

【变式2-21.（2023•云南楚雄・统考一模）已知一元二次方程加/+/工-1=0有两个相等的实数根，则根的

值为（）

A.m=0B.m=-4C.m=0,或加=4D.m=0,或zw=-4

【变式2-3】.（2023•江苏扬州•统考二模）若关于x的一元二次方程f+x-c=i没有实数根，则c的取值

范围是.

【变式2-4】小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方

形.小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm,他的说法对吗？请说明理由.

考点3：说明含有字母系数的一元二次方程根的情况

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【例3】己知：关于x的方程29+Ax—1=0,求证：方程有两个不相等的实数根.

方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负

情况，即可得出结论.

菱市丽:音画二而二可获喈两不而蒋।盛薮菽

【变式3-2］如果加是实数，且不等式(根+l)x>加+1的解集是X<1,那么关于尤的一元二次方程

mx2-(m+l)x+=0的根的情况如何？

【变式3-3］已知关于无的方程(刃+1卜2+2W工+加-3=()总有实数根，求加的取值范围.

考点4：用公式法解一元二次方程

【例4】用公式法解下列方程：

(1)2x+x—6=0；(2)x+4x=2；

(3)59-4x+12=0；(4)4/+4^+10=l-8x

方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a,b,c的值.

【变式4-1］(1)-2x2+7x=0；(2)-x2--x=0.

42

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【变式4-2]用公式法解下列方程:

(1)x(2x-4)=5-8x；(2)(5X-3)(X+1)=(X+1)2+5.

【变式4-3】•用公式法解下列方程:

⑵(X+3。u(3x-Gx(2x-3)

(1)0.2%2+2.5x-1.3=O.lx；

55-2

【变式4-4].用公式法解下列方程:

(1)9/+1=6瓜；(2)岳2+4岳一2后=0.

考点5：用一元二次方程的公式法解决实际问题

【例5】三角形的两边分别为2和6,第三边是方程10x+21=0的解，则第三边的长为()

A.7B.3C.7或3D.无法确定

蒜总蔡方面画获良奇,二完三泥为灌厂笄杳m■獭m获系函薄奋「

-T斐式Mil窠商场籍曾二痂界I；一迸贫而历编碎而元一按绿正石毛亩褚丁二不百丙时曾屈一5而徉「百

知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件.为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售

价应定为每件多少元？

【变式5-2](2023•安徽淮北•校考模拟预测)将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列

问题：

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☆

☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆

☆☆

☆

☆☆☆☆幻

☆翁☆

图1图2图3图4

(1)图6中的“☆”的个数有个；

(2)图n中的“☆”的个数有个；

(3)图〃中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出〃的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说

明理由.

【变式5-3](2023•广东广州•统考二模)已知正方形NBCD中，BC=3,£是边48上的动点，连接/C和

CE.

(1)尺规作图：在图中分别作线段NC和CE的中点厂和G,连接尸G；(不写作法，不说明理由，写明结论

并保留作图痕迹)

(2)当CE=2/E时，求(1)中所作的线段FG的长度.

【变式5-4]如图，在出入43。中，ZC=90°,AB=443,3c=26，点。是边A3的中点，点E是边NC上

一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边/C、于点M、N,设/M=x,ME=y.

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（1）当点E与点。重合时，求ME的长;

（2）求〉关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当"N经过9台。一边中点时，请直接写出ME的长.

易错点：忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式

用公式法解下列方程：

（1）X2+X+2=0；（2）-7x2+6x-9=0.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24九年级上•山东德州•阶段练习）在公式法解方程屈=26时，〃一44c的值是（）

A.16B.24C.72D.64

2.（23-24九年级上•广东佛山•阶段练习）若关于x的方程小-6x+3=0有实数根，则左的取值范围是（）

A.k<3B.k<3C.左<3且左/0D.左V3且左20

3.（23-24九年级上•贵州遵义・阶段练习）若关于x的一元二次方程无2-4x+c=0有实数根，则c的值不可

能是（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2023•河南新乡•一模）定义新运算：m*n=m1-2m-3n>例如：3*4=32-2x3-3x4=-9.若关于x

的一元二次方程x*a=3有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

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4444

A.a>—B.a>—C.a>——D.a>——

3333

5.（23-24九年级上•云南昭通•阶段练习）若关于x的一元二次方程冽/—2x+3=0有两个不相等的实数根,

则冽的取值范围是（）

A.m<—B.m<——

33

C.m<—^m^0D.加且机

33

6.（2024•河北邢台・一模）嘉淇在判断一元二次方程4/一i2x+m=0根的情况时，把根看成了它的相反数,

得到方程有两个相等的实数根，则原方程4/一12x+m=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.有一个根是3

7.（2023•重庆沙坪坝•模拟预测）一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号

的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如-3x+l是3x-l的“亲密多项式“，2/+X-1,

-2x?+x+l是2--X+1的“亲密多项式“；以下说法正确的个数有（）

①若两个二项式和为0,则他们互为“亲密多项式”

②V-/+尤-1的“亲密多项式”一共有5个

③2x+y+z+：〃-〃的所有“亲密多项式”的和为4x+2y+2z+2m+2n

④若关于x的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解

A.1B.2C.3D.4

8.（22-23九年级上•浙江台州•期末）如图，在矩形48。中，AB=a,BC=b，点、E是4B上一点、,将ABCE

沿EC翻折，使点5落在/。上，得到△尸CE.下列哪条线段的长度是方程/一2乐+/=0的一个根（）

A.AFB.AEC.DFD.BE

二、填空题

9.（23-24九年级上•青海果洛・期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得尤=-9±,92士叩,则该

2x3

一元二次方程是.

10.（23-24九年级上•福建福州•阶段练习）若关于x的方程依2+区+。=0（°片0）有两个不相等的实数根，

则6?-4ac0（填“>”，或“=”）

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3

11.（23-24九年级上•江苏•期中）已知代数式/+2mx+mT的最小值为-：，则用的值为

12.（23-24九年级上•河南焦作•阶段练习）若关于x的一元二次方程仕-1）/-2x+l=0有两个不相等的实

数根