新高考情景下的创新定义问题（八大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（学生版）

热点题型•解答题攻略

专题01新高考情景下的创新定义问题

*>-----------题型归纳•定方向------------*>

目录

题型01集合中的新定义.........................................................................1

题型02平面解析几何中距离的新定义............................................................3

题型03函数中的新定义.........................................................................5

题型04立体几何中的新定义.....................................................................6

题型05概率与统计中的新定义...................................................................8

题型06导数中的新定义........................................................................11

题型07圆锥曲线中的新定义....................................................................13

题型08数列中的新定义........................................................................15

♦>-----------题型探析・明规律------------<>

题型01集合中的新定义

【解题规律•提分快招】

集香薪电叉而葡的方法布丽

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点

(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求

进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关

性质求解.

*丽诃综i

一、解答题

1.(2024•北京西城•三模)记集合Q=4己=122).对任意

&=(%,利,,",。")€。，尸=仅也，…也)e。，记"(a,夕)=(|。1一乙…D，对于非空集合“U。，

定义集合D(A)={d(a,夕)|ae4夕e/}.

(1)当〃=2时，写出集合Q；对于/={(0,0),(0,1),(1,0)},写出。(⑷；

(2)当〃=3时，如果。(4)=。，求card(/)的最小值；

(3)求证:card(O(4))Ncard(/).

(注：本题中，cardQ)表示有限集合/中的元素的个数.)

2.(2024•全国•模拟预测)已知集合/={%,4,…,叫(。4/<出<…<%，"22),若对任意的i,

jeN(1<z<j<n),有q+%eN或e4,则称集合A为完美集合.

⑴分别判断集合3={024,6}与C={1,2,3,4}是否为完美集合；

(2)当〃=3时，若g=2,求完美集合A；

2024

⑶若集合。={%，g，…，。2024}(04生<。2<…<。2024)为完美集合，记S2024=2％，求证:

Z=1

$2024=1012（«1012+。1013）•

3.(2024•浙江•二模)已知集合E={X”*2，X3”“,X"},记2E={S|S[E},X\Y={X\XGX,X^Y},N是自

然数集

•称函数〃：2E-»N,若对于任意SUE,MS)eN；

•称函数〃：2/->N是单调的，若对于任意XqYuE,h[X)<h(Y).

•称函数〃：2EfN是次模的，若对于任意X、YqE,"xuy)+〃(xcy)w"x)+My)

已知函数/：2E->N是次模的.

(1)判断了是否一定是单调的，并说明理由；

(2)证明：对于任意X=yqE,eeE\Y,/(Xu{e})-/(X)>/(Ku{e})-/(y);

(3)若/是单调的，上是正整数，k<n,记尸={S|S恰含有后个元素,SqE},已知集合S*e厂满足

/(S*)4/(S),VSe尸•初始集合M=0,然后小明重复左次如下操作：在集合E\M中选取使得了(Mu{e})

最小的元素e加入集合最终得到集合尸.证明：/("*)4@(S*)

4.(2024•福建泉州•二模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是

二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制.左进制的基数就是上我们日常生活中最熟

悉、最常用的就是十进制.例如，数3721也可以表示为：3721=3x103+7x1()2+2x101+1x10°一般地，如

果人是大于1的整数，那么以人为基数的左进制数可以表示为…+其中

J=o

O<a„<^a„_1,a„_2,--,a1,4Zoe{O,l,2,--^-l).为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：

““%_1…4/出，如果不加下标就默认是十进制.

⑴令集合/={0,123,4}，SB+1|_+11+11fl；e/=b2,3,4j,将2中的元素按从大到小的顺序排列，则

第100个数为多少？

______________________63

(2)若…%旬⑵，记T(")为整数〃的二进制表达式中。的个数，如T⑵=1,7(3)=0,求的

〃=1

值.(用数字作答)

(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所

有的先进制数；如果不能，请说明理由.

5.(2024•浙江杭州•一模)已知正项有穷数列/*，aN(N>3),^T=|x|x=<j<N^,记7

的元素个数为P(T).

⑴若数列/：1，2,4,16,求集合7,并写出P(7)的值；

⑵若A是递增数列或递减数列，求证："尸(T)=N-1”的充要条件是“A为等比数列”；

(3)若N=2〃+l,数列A由2,4,8,…,2",4"这"+1个数组成，且这"+1个数在数列A中每个至少出现一次，求

P(r)的取值个数.

题型02平面解析几何中距离的新定义

【解题规律•提分快招】

1、设尸(匹,必),°(%,%)为平面上两点，则定义昆-西|+卜2-必|为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距

离"，记作"(尸,0)=卜2-xj+况-加•

结论1：设点尸(%,为)为直线/:4c+绘+C=0外一定点，0为直线/上的动点，则

_^\AX+By+C\

〃（尸，Q）,Q0

max{|^|,|3|）

结论2：设点尸为直线Zx+为+q=0上的动点，点。为直线4x+为+G=0上的动点，则

G

d{P,Q)=IY

miamax{⑷,|8|}

【典例训练】

一、解答题

1.（24-25高三上•四川・期中）定义：如果在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/,2的坐标分别为

（再，%），@2，必），那么称"（4B）=|巧-匐+尻-%［为幺，3两点间的曼哈顿距离；

£）（48）=4再-%）2为1,B两点间的欧几里得距离.

⑴己知"（O,P）=1,求〃（。,尸）的最小值；

（2）己知M（3,2）,0（。,N）=2,求d（M,N）的最大值；

（3）已知。＞0,点，（再；%）在函数〃（x）=—-（x＜0）图象上，点BQ,%）在函数g（x）=alnx-x图象上,且

X

y产%，点/,2有"（48）的最小值为4,求实数。的取值.

2.（2024•山东•模拟预测）设点集此={（4,?，%，…此）«e{0,l},lWK"/eN*},从集合此中任取两个

n

不同的点/（%,电，%,…,。”），昭也也，…也）,定义48两点间的距离d（48）=XW-d.

1=1

⑴求AG中1（48）=2的点对的个数；

⑵从集合M“中任取两个不同的点）,B,用随机变量X表示他们之间的距离1（48）,

①求X的分布列与期望；

②证明：当"足够大时，4O（X）＜1.（注：当〃足够大时，2-"70）

3.（24-25高三上•广东惠州•阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别,

就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识

别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设必），B（x2,y2）,

则欧几里得距离。（4町=，（西一无2『+5-力丫；曼哈顿距离"48）=忖721+|%一刃；余弦距离

e（48）=l-cos（43）,其中cos（48）=cos（厉,08）（。为坐标原点）.

⑴若点M（3』），N（1,3）,求“，N之间的欧几里得距离。（MN）,曼哈顿距离d（M,N）和余弦距离e（",N）；

⑵若点M（3,1）,d（M,N）=2,求e（M,N）的最大值;

⑶己知点/（3,1）,曲线/:尸x2-6x+8,问曲线/上是否存在点N使得刈跖N）N①（〃,N）,若存在，

求e（M,N）的值，若不存在，请说明理由.

题型03函数中的新定义

【解题规律•提分快招】

函薮薪兔叉间顾厂而颠薪薪「膏商涕席菌薮的I至贰一苞括豆潺瓦「哥腐衽「宿反骞「百希E知欣市交叉「

会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读

出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

一、解答题

1.（24-25高三上•河北沧州•期中）已知。为坐标原点，对于函数/（x）=asinx+bcosx,称向量两=（a,b）

为函数/（x）的相伴特征向量，同时称函数/（无）为向量质的相伴函数.

⑴记向量砺=9,6）的相伴函数为了（X）,若当〃x）=3且xe7171

丁3时，求X的值;

(2)设g(x)=JGcos+COS（xeR）,试求函数g（x）的相伴特征向量两，并求出与两同向的

单位向量:

71

⑶己知刀=（0,1）为函数〃（无）的相伴特征向量，若在△N8C中，AB=2,cosC=h,若点G为该△4BC

的外心，求交.万+百■屈的最大值.

2.（2024・甘肃白银一模）设/为一个非空的二元有序数组（x,力的集合，集合B为非空数集.若按照某种确

定的对应关系）,使得/中任意一个元素（羽力，在B中都有唯一确定的实数z与之对应，则称对应关系了

为定义在A上的二元函数，记作z=〃x,y）,（xj）e4.已知二元函数/（x,耳门,丁eN*）满足

f(x,y+l)j〃x+l,y)

=5?且小，1）=1.

f(x,y)y+Vf(x,y)

⑴求〃1,2)J(2,2)的值；

(2)求，(x,y)的解析式;

1sin。”、

⑶己知数列｛6｝满足%+1=E数列,xe（0,?t）的前〃项和为北,证明:7；>0.

%

3.（2024・上海宝山•一模）已知y=/（x）,y=g（x）都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数左，当办〃

分别是y=/（x）和>=g（x）的驻点时，记Ax=|加-"I,若AxV后，则称/（X）和g（x）满足尸（左）性质；当再、x2eR,

且g(x,)*g5)时，记Ay=坐一华),若Ay2后，则称〃x)和g(x)满足Q(k)性质.

g(xi)-g(x2)

⑴若〃x)=2x+l,g(x)=x,判断〃X)和g(x)是否满足0(2)性质,并说明理由；

(2)若/(x)=(x—以,g(x)=叩，且〃X)和g(x)满足尸(1)性质,求实数。的取值范围；

e

(3)若了=/(x)的最小正周期为4,且g(-l)=/(-D,g6=/⑴.当xe[-l,3]时，y=/(x)的驻点与其两侧区间

的部分数据如下表所示：

X-1(-1,1)1(1,3)3

/'(x)0+0-0

/Xx)极小值-1极大值1极小值-1

已知“X)和g(x)满足0(外性质，请写出〃x)=g(x)的充要条件，并说明理由.

题型04立体几何中的新定义

【解题规律•提分快招】

而奸薪精察「赢艾厂音秃蓼深云i裤笄芬桥运丽元素厂海箕后巨如的无衣元荷好©箱易吞「丽布碎题一

目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题

过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角

坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解

对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇

到类似问题时能够迅速应对

【典例训练】

一、解答题

1.(23-24高一下•重庆・期末)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。的半径为

R.A、B、C为球面上三点，劣弧8c的弧长记为。，设O°,表示以。为圆心，且过B、C的圆，同理，圆

。2的劣弧/C、的弧长分别记为6、C,曲面/3C(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角

C-OA-B,A-OB-C,8-。。一/分别为&、4、7,则球面三角形的面积为S球面〜如

=(a+P+y-^R1.

(1)若平面。/8、平面CMC、平面08c两两垂直，求球面三角形ABC的面积；

(2)若平面三角形/BC为直角三角形，AC1BC,设N/OC=4，NBOC=%,=q.则:

①求证：cos0x+cos0-,-cos^3=1

77-TT

②延长40与球。交于点。.若直线。4,DC与平面N3C所成的角分别为一屋BE=ABD,2e(0,l],S

为NC中点，T为8C中点，设平面08C与平面EST的夹角为凡求sin。的最小值，及此时平面/EC截球。

的面积.

2.(24-25高三上•江西萍乡•期中)定义：多面体M在点尸处的离散曲率为

①尸=1-」-(/°田02+/。2尸。3+~+/。1尸&+/。/。3其中尸为多面体”的一个顶点，。

2兀

5=1,2,…,k,k23且左eN*)为多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平面。田2、平面已尸。3、一・、

平面。"丁&和平面以尸2为多面体M的所有以尸为公共点的面.如图，在四棱锥尸-48co中，平面

ABCD,底面48co为正方形，CD=2,DP=26.

⑴求四棱锥尸-28。在顶点C处的离散曲率；

(2)求四棱锥尸-ABC。内切球的表面积；

⑶若。是棱尸B上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围.

3.(2024•江西新余•模拟预测)我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为尸-N3C

的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

p

%\

(1)如左图，在四面体尸-/BC中，河,(，=1,2,...,6)分别为所在棱的中点，证明：尸的三条内棱交于一

点.

(2)同左图，若尸-N2C为垂棱四面体，MM=2，MM4=4，M&=6,求直线尸8与平面/8C所成角的正

弦值.

2

(3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆C：x2+^-=1,耳为其下焦点，经过片的直线>=而+加

与C交于48两点，尸为xQy平面下方一点，若尸-/8。为垂棱四面体，则其外接球表面积S是左的函数S(L),

求S优)的定义域与最小值.

题型05概率与统计中的新定义

【解题规律•提分快招】

僚函泮薮原瓯写厩塞普禀下的薪费面面厂就是要细硬走艾关键而「廊而版痔在「延i转而为7氯悉哂T

题.总之，解决此类问题，取决于己有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断

的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024・江西•模拟预测)在信息理论中，X和y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：

P(X=xi)=mi,P(Y=xi)=ni,m.>0,4>0,1=1,2,…”^%=汽%=1.定义随机变量X的信息量

1=1z=i

H（X）=mtlog2mt,X和丫的“距离”1（用|丫）=>叫log?」.

⑴若X〜8

(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为

。(0<。<1),由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为。的概率为4,发出信号1接收台收

到信号为1的概率为q(o<q<i).

（i）若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率；（用。，4表示结果）

（ii）记随机变量x和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL[X\|y）＞0.

2.（2024・湖北•一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩=2,…,10）和物理成绩

%[=1,2,…,10）如下表：

学生编号12345678910

数学成绩11613112412612111010699118117

数学名次71324891056

物理成绡80787981746563707384

物理名次35426910871

（1）从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物

理成绩在78分（含）以上）的概率；

（2）已知该校高中生的数学成绩x,物理成绩了，化学成绩z两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学

成绩x和物理成绩了的样本相关系数约为0.8,已知这10名同学物理成绩〉与化学成绩z的样本相关系数约

为苏，分析相关系数的向量意义，求x，z的样本相关系数的最大值.

（3）设N为正整数，变量X和变量歹的一组样本数据为｛（尤”%）|i=其中尤,（i=l,2,两两不相

同，%«=1,2,…,N）两两不相同，按照由大到小的顺序，记占在｛尤J”=1,2,…,N｝中排名是s,位

（，=1,2,...仆）,乂在｛%|〃=1,2,…,N｝中的排名是吗位（;1,2,…,N）,定义变量x和变量y的斯皮尔曼相关系

数（记为。）为变量苍的排名为和变量%的排名叱的样本相关系数.记4=4-吗，其中i=l,2,…N,证明:

6N

。=1-必.刁卒，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到

0.01）

T(…)、〃(”+1)(2〃+1))

（参考公式：相关系数厂=2

"可卧T占6

3.（2024•广东•模拟预测）设离散型随机变量X,¥的取值分别为｛再,马,｛乂,%,…，为｝

（"4eN*）.定义X关于事件“「=力”（1W_/W/的条件数学期望为：

E(X\Y=力)=3=x,|y=%).已知条件数学期望满足全期望公式：

Z=1

q

E(X)=£E(XIy=z.)p(y=乂).解决如下问题：

i=l

为了研究某药物对于微生物/生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验.在第1天上午，实验人员向

培养皿中加入10个N的个体.从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物

时，/的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应(设N的每个个体在当天的其他时刻均

不发生变化，不同个体的生理反应相互独立)：

①直接死亡；②分裂为2个个体.

设第"天上午培养皿中/的个体数量为X..规定E(XJ=10,D(XJ=0.

(1)求£(4因=6)；

(2)求E(X,)；

(3)已知E(X；|X,i=L)=ML+l)/eN*),证明：。(£)随着〃的增大而增大.

4.(2024•江西二模)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(%,%的)表示，其中{0,1}』=1,2,3,

而在"维空间中伽＞2,«eN),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为"维坐标

(a„a2,a3,……此)，其中qe{0,1}(1WiVeN).现有如下定义：在"维空间中两点间的曼哈顿距离为两

点(%,电,。3,.......与(4也4...............,“)坐标差的绝对值之和，即为

|"1一4|+|。2-Z|+|%-4|+…+|%-"I.回答下列问题：

(1)求出"维“立方体”的顶点数；

(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.

①求X的分布列与期望；

②求X的方差.

5.(2024•安徽芜湖•模拟预测)有一个摸球游戏，在一个口袋中装有2个红球和〃个白球，这些球除颜色外

完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中.

(1)若2=10、〃=20,重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；

(2)若2=10,〃=10.

①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一

次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是

他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为为第〃次是甲摸

球的概率，求凡；

②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，

当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量丫表示所需摸球的次数，这里y

服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布.帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每

次试验成功的概率为P（O<P<1）,失败的概率为4=1-P，若将试验进行到恰好出现rO为常数）次成功

时结束试验，以随机变量y表示所需试验的次数，则y是一个离散型随机变量，称y服从以八〃为参数的

帕斯卡分布或负二项分布，记作丫〜・帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物

群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布.根据定义，我们能够得到这

里的Y〜〃eN*,n>2.求£（丫）.

题型06导数中的新定义

【解题规律•提分快招】

寻薮薪死天间颠王妻芬两奥二工是布金薪瑟瓶厂王萋戛丽薮薪狂怒为菁熹「通带著香福而函薮薪褥

念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵

活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

【典例训练】

一、解答题

1.（2024•上海•模拟预测）已知函数>=/（x）,xe。，如果存在常数对任意满足占<x?<尤”-<x”的

实数国,心…广…%,其中国,丹…e。，都有不等式力，14M恒成立，则称函数

1=2

y=f［x},x&D是“绝对差有界函数”

⑴函数/（司=乎户2［是“绝对差有界函数”，求常数〃的取值范围；

⑵对于函数V=/（x）,xe［a,b］,存在常数左，对任意的司,工2目生可，有|/（王）-/（工2）14Hxi-引恒成立，求

证：函数V=e［a,b］为“绝对差有界函数”

兀

/\XCOS——,0<X<1

（3）判断函数y（x）=2x是不是“绝对差有界函数”？说明理由

0,x=0

2.（24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习）若函数在［凡“上存在玉,它（。<再<%<6）,使得

r（x"f（b『@,广㈤则称〃x）是［4,6］上的“双中值函数”，其中匹称为“X）在

b—ab-aJ””

［a,6］上的中值点.

⑴判断函数/(x)=x3-3/+1是否是［T3］上的“双中值函数，，，并说明理由；

⑵己知函数〃X)=；x2-xlnX-OV,存在"7>〃>0,使得/'(加)=/("),且〃龙)是17,回上的“双中值函

数”，西,尤2是/(X)在［%间上的中值点.

①求。的取值范围；

②证明：再+%>。+2.

3.(22・23高二下•山东济南•期中)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的

方法，给定两个正整数〃?，"，函数/(%)在X=0处的［明川阶帕德近似定义为尺(X)=°；+丁+…+：”：",且满

■LI£/|XI4••十

足:/(0)=A(0),r(o)=N(o)J，(o)=R"(o)..尸)(o)=R(f)(O).已知〃x)=ln(x+1)在x=0处的［1,1］阶帕德

近似为五(0=7注：r(x)=［7((x)］,,r(x)=［r(x)j,-/%=［尸(*'/%=［/%］］.

⑴求实数的值；

⑵求证：(x+6)/g|>l；

⑶求不等式［1+：］4<［1+:］与的解集，其中，e=2.71828...

4.(2024•湖南长沙•模拟预测)定义：如果函数/(%)在定义域内，存在极大值/(王)和极小值/(%)且存在

一个常数左，使/(xJ-/(X2)=Mx「X2)成立，则称函数/(x)为极值可差比函数，常数上称为该函数的极

值差比系数.已知函数/(x)=x-g-alnx.

(1)当a=g时，判断/(x)是否为极值可差比函数，并说明理由；

(2)是否存在。使/'(x)的极值差比系数为2-。？若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由；

⑶若孚<a<|,求/(x)的极值差比系数的取值范围.

5.(2024•上海徐汇•一模)已知定义域为。的函数y=/(x),其导函数为y=/(久)，若点(%,%)在导函数

y=/(X)图象上，且满足/''(%>/'(%)20,则称/为函数y=f(久)的一个“T类数”，函数y=f(久)的所有“T

类数”构成的集合称为“T类集”.

⑴若〃x)=sinx,分别判断］和与是否为函数y=f(x)的“T类数”，并说明理由；

⑵设y=尸(久)的图象在R上连续不断，集合河={x|r(x)=0).记函数y=f(久)的“T类集”为集合S,若

SuR,求证：〃工0；

(3)已知〃x)=-'cos(。尤+°)(。＞0),若函数y=f(x)的“T类集”为R时(P的取值构成集合A,求当夕e/时

CD

0的最大值.

题型07圆锥曲线中的新定义

【解题规律•提分快招】

面布麻皮膏票示的薪定艾词叔丁关糖茬于逋罐薪兔叉的不菽「舁落苴写膏顼曲布曲残而私而嘉西二

方法总结如下：

1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。

2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相

似之处或转换关系。

3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。

4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。

5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。

【典例训练】

一、解答题

1.(2024•浙江舟山•模拟预测)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标

系X。中，螺线与坐标轴依次交于点4(-1,0)，4(0,-2)，4(3,0)，4(。，4)，4(-5,0)，4(0,-6)，4(7,0)，4(0,8),

并按这样的规律继续下去.

⑴求44，44+4-

(2)求证：不存在正整数力，使得三角形44+同记的面积为2022;

(3)求证：对于任意正整数"，三角形44+M+2为锐角三角形.

2.(2024•山东青岛•三模)在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离

22

之和相等，则称/为多边形的一条“等线”，已知。为坐标原点，双曲线氏十方=1（“>0,6>0）的左、右焦

点分别为耳，鸟,E的离心率为2,点尸为£右支上一动点，直线〃2与曲线E相切于点尸，且与£的渐近线交

于48两点，当小，x轴时，直线歹=1为△尸耳鸟的等线.

（1）求E的方程；

（2）若y=是四边形/片3月的等线，求四边形ARBF]的面积；

—1—

⑶设OG=]O尸，点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线"为△/片B的等线

3.（2024•浙江•一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如了=&+1便©R）表示过点（0,1）的

直线族（不包括直线了轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,

且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴圆〃：/+（丁-3）2=4是直线族加x+”y=l（机,〃eR）的包络曲线，求加，"满足的关系式；

（2）若点不在直线族。:了=氏-2«eR）的任意一条直线上，求为的取值范围及直线族。的包络曲

线E的方程；

⑶在（1）（2）的条件下，过曲线E上动点尸向圆M做两条切线尸/,PB,交曲线E于点A,B,求AP4B

面积S的最小值.

4.（2024・四川・一模）已知抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线与C相交于点A,B,LAOB

面积的最小值为:（。为坐标原点）.按照如下方式依次构造点£（〃eN*）：耳的坐标为（〃0）,直线工£,

8尸，与C的另一个交点分别为4，纥，直线4纥与x轴的交点为月+「设点£的横坐标为五.

⑴求。的值；

⑵求数列｛%｝的通项公式；

（3）数列｛%｝中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不

存在，请说明理由.

5.（2024•江西新余•模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系xS中，可以用两点之间距离公式刻画4B

两点的距离1（48）,事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一实数

0（48）满足：①四48”0,当且仅当/=3时等号成立；②。（48）=。（及/）；③

D（43）VD（B,C）+D（C,⑷淇中,4B、C为平面直角坐标系内的三个点，我们就称。（4台）是关于4B

两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系（。为坐标原点）内两点”（士,%）、8（%,%）的“夕距离”

|西一司।|乂一%|

P(A，B)=

1+归一司1+|%一%|

(1)求证：A、8两点的“夕距离”是关于48两点的一个“度量”.

(2)设尸为平面直角坐标系xOy内任意一点.

(i)若o(O,P)=g,请在下图中定性做出尸点的集合组成的图像(不必说明理由，但要求做出特殊点与其

特征).

1

33X，

--O1：-

2_4—2__2

~211

-T

(ii)求证：夕(。,尸)<2.

(3)规定平面内两条平行直线的。距离为在卜4上分别取的任意两个点4B。距离的最小值.已知

不重合的直线4：>=依,4：>=依-；，P(/i，)=g，求4的取值范围.

*>----------题型通关•冲高考-----------♦>

题型08数列中的新定义

【解题规律•提分快招】

嗷词币的嗦温支间赢"二:薪定叉;;王复基搐时肝急爻薪搬至「薪而「薪定理「薪法虾「薪运演示邪丁皴后一

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但

是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变

应万变才是制胜法宝.

彳丽加绿i

一、解答题

1.(2024•江西九江•二模)已知无穷数列｛%｝中，«„>0,记

4,=max｛a1,a2,---,a,,｝,=min｛a„+1,a„+2,=4-5,,.

(1)若｛4｝为2,0,2,4,2,0,2,4,…，是一个周期为4的数列(即V”eN*,」4=%)，直接写出4,的值;

(2)若｛对｝为周期数列，证明：立°eN*,使得当%时，口是常数；

⑶设d是非负整数，证明：dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为｛%｝为公差为d的等差数列.

2.(2024•广东•模拟预测)已知数列｛6｝是由正整数组成的无穷数列.若存在常数keN*,心一+%二姐,对

任意的〃eN,成立，则称数列｛%｝具有性质中(左).

⑴若%=2”,请判断数列｛七｝是否具有性质甲(2)；

⑵若数列｛2｝满足。用2%(〃=1,2,3,…)，求证：“数列｛%｝具有性质中(2)”是“数列｛%｝为常数列”的充要条

件；

(3)己知数列｛%｝中％=1，且。用＞%("=1,2,3,...).若数列｛%｝只有性质中(4),求数列｛%｝的通项公式.

3.(2024•河南新乡•一模)在平面直角坐标系中，。是坐标原点.若点列｛4｝中的3个相邻的点4,4M，4+2

满足西；=p瑟二-4可("€曰)，则称关于X的方程无2是｛4｝的特征方程，将方程工2=/-]的

实数根称为｛4｝的特征根.已知4。,0),4(0/)，点列｛4｝的特征根为1和

2西=西丁西灰；=两西.

⑴求点纥,G的坐标；

(2)设工=(/+4/—6/+4〃一1)西•风，求数歹!]｛力｝的前"项和S“；

(3)若｛。"｝是公差为d(dwO)的等差数列，且各项都为正整数，％和d是已知的常数，求点歹的特征根.

4.(2024•山东•模拟预测)已知无穷数列｛%｝(%产0,"eN*),构造新数列｛或)｝满足非)=*_6,,胃满足

。*=叱-/，--，3*满足。*=流"-。产(a2,后6*),若,？｝为常数数列，则称｛。“｝为左阶等差数

列；同理令d)=今"，欧)=争,…・.，年)=黯出22,此N*),若也？｝为常数数列，则称也｝为左阶等比

数列.

(1)已知｛%｝为二阶等差数列，且4=2,g=6,af)=2,求｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝为二阶等差数列，也“｝为一阶等比数列.证明：｛〃："｝为三阶等比数列；

(3)已知同=一8〃2令｛4｝的前"项和为',北=£疯二I,证明：7；＜|.

ym-lT

5.(2024•广东广州•模拟预测)若有穷数列｛%｝(〃eN*且"23)满足心,-编引%-%+2|。=1,2,…,〃-2),

则称｛。“｝为M数列.

（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由：

①1,2,4,3.

②4,2,8,1.

⑵己知M数列｛%｝中各项互不相同.令耙=腐-%用|（勿=1,2,…，〃-1）,求证：数列｛%｝是等差数列的充分

必要条件是数列｛〃｝是常数列；

加一1

（3）已知M数列｛%｝是加（%eN*且加23）个连续正整数1,2,…,加的一个排列.若£|4-%|=加+2,求加

k=\

的所有取值.

*>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、解答题

1.（2024・广西•模拟预测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的

连续型随机变量X,定义其累积分布函数为尸（x）=P（X4x）.已知某系统由一个电源和并联的4,B,C三

个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各

元件之间工作相互独立.

----------------

_----------1元件2|---------_

----------1元件3|---------

-------II-------

电源

⑴已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40,4）,且X的积累分布函数为F（久），求尸（42）-尸（36）；

（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量7（单位：天）表

0,/<0

示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为G（/）=1设4>马>0,证

r7'z-°

明：P（T>ti\T）t2）=P（T>tl-t2）;

附：若随机变量y服从正态分布贝司=0.6827,P（|y-“<2b）=0.9545,

P（|y-//|<3o-）=0.9973.

2.（2024高三・全国•专题练习）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有

关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数“X）满足在闭区间［生切连续,

在开区间（。，切内可导，且〃。）=/（6）,那么在区间（％b）内至少存在一点%,使得了'（"2）=0.

(1)运用罗尔定理证明：若函数〃x)在区间连续，在区间(。，6)上可导，则存在X。€(4,6),使得

b-a

(2)已知函数/(x)=xln%,g(x)=1x2-fe+l,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数再,XZ,都有

"区)-/⑷|>|g(xj-g(x2)|成立，求实数b的取值范围.

3.(2024・河北张家口•二模)如果项数均为〃的数列｛。,｝,但｝满足｛%｝。也｝=｛1,2,3,…,2〃｝,且i为奇数时,

生<4;I•为偶数时,%>4,其中ie{1,2,3,…,〃}那么就称｛%｝,｛"｝为“互补交叉数列"，记

31必，…，2

为｛。"｝，｛2｝的“互补交叉数列对“，S”为｛%｝的前"项和.

(1)若｛%2也｝=｛1，2,3,4,5,6｝,且％=5,写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；

(2)当｛%｝,也,｝为“互补交叉数列”时,

(i)证明：S“取最大值时，存在％=2”；

(ii)当〃为偶数时，求S”的最大值.

4.(2024•福建泉州•模拟预测)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每

个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉

下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块......第〃块，

将前〃=1,2,3,…,〃)块铁块视为整体，若这部分的重心在第,•+1块的