一元二次方程48道压轴题型专项训练（8大题型）原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程48道压轴题型专训(8大题型)

旨【题型目录】

题型一配方法的应用压轴题

题型二根的判别式压轴题

题型三根据一元二次方程根的情况求参数压轴题

题型四换元法解一元二次方程压轴题

题型五一元二次方程根与系数的关系压轴题

题型六营销问题压轴题

题型七与图形有关的问题压轴题

题型八动态几何压轴题

【经典例题一配方法的应用压轴题】

1.(23-24八年级下•浙江嘉兴•期末)已知关于x的多项式办2-2法+4。片0),当x=a时，该多项式的值为

则多项式/+/+3的值可以是()

A.3.5B.3.25C.3D.2.75

2.(22-23九年级上•江苏扬州•期中)新定义，若关于x的一元二次方程：〃?(x-q)2+b=0与

n(x-a)2+b=0,称为“同类方程”.如2(x-l)z+3=0与6(x-iy+3=0是“同类方程”.现有关于x的一元二

次方程：2(x-l)2+1=0与(a+6)x?-(b+8)x+6=0是“同类方程那么代数式ax?+bx+2022能取的最大值

是.

3.(安徽省淮北市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题)阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手

段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代

数式的最值，

我们可以通过以下方法求代数式/+6x+5的最小值.

解:VX2+6X+5=X2+2X(3X)+32-32+5=(X+3)2-4,

•••(X+3)2>0,

.••当尤=-3时，d+6x+5有最小值T.

请根据上述方法，解答下列问题:

(1)若x?+4x+5=(x+a?+6,贝！J0=_；b=

⑵求代数式2/+4x-l的最值；

(3)若代数式―/+近+7的最大值为8,求人的值.

4.(23-24八年级下•山东泰安•期中)配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问

题.例如：x2+2x+2=x2+2x+1-1+2=(x+1)"+1>1,所以x+2x+2的最小值为1,此时x=-l.

(1)尝试：①2x~—4x+5=2(x~—2x+l—1)+5=2(x—1)+3,因此当x=_时，代数式2x?—4x+5有最小值，

最小值是

②-/-2尤=-X2-2X-1+1=-(X+1)2+1V1,所以当x=_时，代数式一/一2x有最一(填“大”或“小”)值.

(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙(墙足够长)另外三面所围成的栅栏的总长是18m,栅栏如何围能使花

圃面积最大？最大面积是多少？

5.(2024•广东东莞•一模)综合与探究

【阅读理解】

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定

的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，

即要比较代数式42的大小，只要算的值，若/-3>0,则Z>B；若/-8=0,则/=若

【知识运用】

（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）：

①3-V24-2&;

（2）x—1x+3；

（2）试比较与6x?+2x+l与5x2+4x-3的大小，并说明理由；

【类比运用】

（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2。（a>0）得到如图（2）

所示的长方形，此长方形的面积为E；将正方形的边长增加“，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形

的面积为邑.请先判断岳与邑的大小关系，并说明理由.

图(1)图(2)

6.（23-24八年级下•浙江•期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象:关于x的多项式X2-2X+3,

由于-—2x+3=（x-l『+2,所以当x-l=O时，多项式产_2》+3有最小值；多项式---2x+3,由于

-X2-2X+3=-（X+1）2+4,所以当x+l=O时，多项式-》2_2x+3有最大值.于是小慧给出一个定义：关

于x的二次多项式，当xT=O时，该多项式有最值，就称该多项式关于x=f对称.例如/_2x+3关于x=l

对称.请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：

（1）多项式V+6X+5关于x=_对称；

（2）若关于x的多项式X2-2G+4关于x=4对称，则。=_；

⑶关于x的多项式/+ox+c关于x=-l对称，且最小值为3,求方程/+ox+c=7的解.

4【经典例题二根的判别式压轴题】

1.（21-22九年级•浙江•自主招生）关于龙的方程（丁-1）2-卜2_1+左=0,给出下列四个题：

①存在实数%,使得方程恰有2个不同的实根②存在实数般使得方程恰有4个不同的实根

③存在实数上，使得方程恰有5个不同的实根④存在实数左，使得方程恰有8个不同的实根

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（20-21九年级上•北京•阶段练习）关于x的一元二次方程机x2-（〃z+l）x+l=0有两个不等的整数根，m为

整数，那么m的值是.

3.（2023九年级上•江苏•专题练习）已知关于x的一元二次方程无2-（2加+1）X+/+ZM=0.

（1）求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

x+3

（2）如果方程的两个实数根为再,9（国＞工2），且」一为整数，求整数加所有可能的值.

x\

4.（23-24九年级上•江苏南京•期中）已知关于x的方程.x2+kx+k-2=0

（1）证明：不论人为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若改为整数，则当上为何值时，方程的根是整数.

5.（21-22九年级上•福建龙岩•阶段练习）已知关于x的方程（2俏-1）--（2机+1）了+1=0.

（1）求证：不论用为何值，方程必有实数根；

（2）当切为整数时，方程是否有有理根？若有求出机的值，若没有请说明理由.

6.（20-21八年级下•湖南长沙•期末）如图，在中，ZC=900,乙4,乙B,NC所对的边分别为。，&c.将

形如+&0+6=0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”.

（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；

（2）求证：关于X的“直系一元二次方程”62+收cx+6=0必有实数根；

（3）若x=-1是“直系一■兀二次方程”ox2+=0的~'个根,且SAABC=3,求Ja2-20+—/的值.

【经典例题三根据一元二次方程根的情况求参数压轴题】

1.（20-21八年级下•浙江杭州•期末）关于x的一元二次方程办?+2办+6+1=0（°•即0）有两个相等的实

数根k.（）

kk

A.若-IVQVI,则勺〉:B.若人>。，贝UO<a<l

abab

kkkk

C.若-IVaVl,则勺D.若土<：,贝|0<a<l

abab

2.(23-24九年级上•四川成者B•期中)已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且加、〃是关于x的一元

二次方程--18x+k+80=0的两根，贝Uk的值为.

3.(23-24九年级上•江苏•期中)阅读下列材料：

若设关于x的一元二次方程32+云+。=0,70)的两根为X|,与，那么由根与系数关系得：不+尤,=-2,

a

2221

-x,=-,ax+bx+c-a\x+—x+—|ax+bx+c=a\x~-(x1+XAX+xi-x1\=aix-xAix-x^.

"avaa)L-J

于是二次三项式o^+bx+c可分解为玉)(x-X2).这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法

完成下面问题：

(1)请用上面方法分解二次三项式3X2-4X-1；

(2)如果关于x的二次三项式加/+(2加-3)x+(加-1)(加70)能用上面方法分解因式，求冽的取值范围;

(3)若关于x的方程(x-a)(x-b)-x=O的两个根为c,d,请直接写出关于x的方程

(x+1-cXx+l-d)+(x+l)=O的两个根(用含“，6的代数式表示).

4.(21-22八年级下•湖南•阶段练习)在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之

为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”.

(1)求函数y=6x+2的图象上所有“整根点”的坐标；

(2)若一元二次方程x2-2(左+l)x+F=0*<5)为“整根方程”，求整数k的值：

(3)若一元二次方程倘-3左+2)/+(2左?-44+l)x+r一左=。有两个不相等的实数根且为“整根方程，，，求左的

值.

5.(22-23八年级下•福建厦门・期末)在平面直角坐标系中，一次函数了=丘+4〃?(%>0)的图象经过点

Bgm),与y轴交于点D

(1)若关于x的一元二次方程/-2(机左=1有两个相等实数根，求点8的坐标;

（2）已知点若直线了=履+4加与x轴交于点C（〃,0）,〃+2。=4加，原点。到直线CD的距离为

|石，求13C的面积.

6.（21-22九年级・浙江•自主招生）若关于x的方程比二D+竺巳=1+工勺有且只有一个实数根，求实数左

XX+xX+1

的所有可能值.

J【经典例题四换元法解一元二次方程压轴题】

1.（22-23九年级上•四川遂宁•期中）已知一元二次方程加x2+3x-4=0的解是玉=1,x2=-4,则一元二次

方程〃7（2x+3『+3（2x+3）-4=0的解是（）

A.再=-1,x2=-3.5B.Xj—1,%2=-3.5

C.玉=1,%2=3.5D.再=-1,%=3.5

2.（21・22八年级下•浙江金华•阶段练习）我们知道一元二次方程2x-3=0的两个根为玉=3,

%=-1，那么在关于加的方程2/—3=0中，实数加的值是

3.（23-24九年级上•广东佛山•阶段练习）解方程——5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特

点，它的解法通常是：

设那么/=/，于是原方程可变为①

解得弘=1,%=4.

当y=l时，x2=l,/.x=±l；当歹=4时，、2=4,；.%=±2；

二•原方程有四个根：玉=1,%2=-1，/=2,x4=-2,

⑴①中填写的方程是,在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数

学的转化思想.

(2)已知实数x,y满足(/+/+3)(/+/-3)=27,求f+4的值；

(3)解方程(x~+x)—4(x?+x)—12=0.

4.(23-24九年级上•福建厦门•阶段练习)当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化

运算.“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程,

并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根.

已知：关于x的一元二次方程4/+/+。=0(。#0)的两根为X]=a,X2=£,求关于x的一元二次方程

p2ax2+pbx+c=w0)的两根.

解：p2ax2+pbx+c=0^ap0),a(px)2+b-px+c=0,令px=t,

得新方程+b，+c=o,

新方程的解为。=a,t?=0,:.px=a,px=0,

B

二原方程的两根为匹=—,X2=一.

PP

这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”

举例：用缩根法解方程49x?+35x-24=0.

解：v49=72,35=5x7,(7x)2+5x7x-24=0,令7x=t,

得新方程/+5/24=0.

解新方程得：t\=3，G=-8,/.lx=3,7x=-8,

二原方程的两根为占=7无2=-,

请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤:

(1)用缩根法解方程：36x2-6x7=0;

(2)用缩根法解方程：3x2-160x+1600=0.

5.(22-23九年级上•湖北随州•阶段练习)解方程：

(l)x2-5%+6=0;

(2)(x-2)2=9(2x+5)\

⑶_?-31=0；

(4)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.

【问题】解方程：X2+2X+4A/X2+2X=0

【提示】可以用“换元法”解方程.

解：设J/+2x,则有，+2X=/，原方程可化为：z2+4f-5=0.

【续解】

6.(23-24九年级上•四川内江•阶段练习)阅读下列材料：

问题：已知方程/+工-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解法——：解方程x2+x-l=0得：%=1；6，X,=12"•

•••所求方程的根分别是已知方程根的2倍，

・•・所求方程的两根为：-1+逐，-1-V5,

・•・所求方程为：卜-卜1+囱）］［尸卜1-行）］=0.

故所求方程为：y2+2y-4=Q.

解法二：设所求方程的根为了,则V=2x,所以x=5.

把代入已知方程得：］£|2+1_1=0化简，得9+2广4=0,

故所求方程为：y2+2y-4=0.

请你从阅读材料中选择一种方法解决下列问题：

（1）已知方程一+》-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：」

（2）已知关于x的一元二次方程x2+3mx+2m2=0（仅w0）,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程

根的倒数；

（3）已知关于x的一元二次方程办2+为+。=0（-0）,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的

倒数.

_丹【经典例题五一元二次方程根与系数的关系压轴题】

1.（23-24九年级上•重庆九龙坡•开学考试）对于代数式4B,定义新运算/☆5=/一一炉，则下列说

法正确的个数为（）

2x-y3「

①若x☆尸则一的值为3或彳；②若方程V+3x+l=0的解为a、b,则.☆6的值为3遥-1；③

x-y2

若关于X的方程|2☆(尤-1)|=X+b有两个不相等的实数解,贝匚6<6〈行.

A.0B.1C.2D.3

2.(2024•浙江宁波•模拟预测)已知关于工的一元二次方程*+分+6=。有两个根为，/，且满足

1<^<x2<2.记，=〃+b,则/的取值范围是.

3.(20-21七年级上•上海杨浦•阶段练习)已知：关于工的一元二次方程息2+2%+1—2k=0有两个实数根

x1，/.

⑴若闻+卜|=2亚,求左的值；

(2)当上取哪些整数时，占，X2均为整数；

(3)当左取哪些有理数时，占，々均为整数.

4.(22-23九年级下广东梅州•开学考试)已知关于x的方程7^-7(。+2*+(44。-1.+2=60人

①求证：不论。为何实数时，方程方_75+2*+(44。-1片+2=60。有固定的自然数解，并求这自然数;

②设方程另外的两个根为〃、v,求"、v的关系式；

③若方程7尤3-7(0+2*+(441)x+2=60p的三个根均为自然数，求P的值.

5.(23-24九年级•江苏•假期作业)已知关于x的方程,2+2px-3p2+5|-q=0,其中小q都是实数.

(1)若4=0时，方程有两个不同的实数根X1，X?,且:+[=；,求实数p的值.

(2)若方程有三个不同的实数根X1，X?,£，且，+'+'=0,求实数p和q的值.

X]x2x3

(3)是否同时存在质数p和整数4使得方程有四个不同的实数根X1，*2，W，X,且

空/居=3(』+%；三+匕)4?若存在,求出所有满足条件的若不存在，说明理由.

6.(22-23九年级上•江苏南京•阶段练习)阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，丫」3X2+36=0,如果我们把/看作一个整体，然后设了=/,则原方程可化为

/一137+36=0,经过运算，原方程的解为再二=±2,X314=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做

换元法.

【材料2】

已知实数加，"满足〃/_]=o,n2—n—1=0,且加显然加，”是方程--x-1=0的两个不相等

的实数根，由韦达定理可知我+〃=1,相"=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程--5/+6=0的解为

(2)间接应用：

已知实数。，6满足：2a4一7/+1=0,264-7^+1=0且。工6,求/+//的值.

_$【经典例题六营销问题压轴题】

1.(21-22九年级上•江西上饶•期末)某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60

元出售，则每周可销售80盒.现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2

盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%,设该口罩售价为每盒x(x>60)元，

现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为()

A.70元B.80元C.70元或80元D.75元

2.(2023•湖南常德•三模)一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段

时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低元时，该商店

销售这种商品每天的利润为800元.

3.(23-24八年级下•重庆沙坪坝•期末)小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费144元和120

元.若中果的单价比大果少4元/斤，且购买的中果数量是大果数量的2倍.

(1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？

(2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜.其中果单价便宜了6元/斤，大果单价便宜巳，于是小宏第二

次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了25a%,大果的数量在上次的基础上增加了结果这次

购买车厘子的金额比上一次共多了60元，求。的值.

4.(23-24八年级下•重庆•期末)随着气温的逐步升高，空调成为了许多家庭的必需品，某商场最新推出的

/、8两款空调凭借出色的性价比、智能互联功能以及时尚简约的设计风格，迅速赢得了年轻消费群体的青

睐，已知/款空调的售价比2款空调的售价高600元，某商场在5月份销售了80台/款空调和100台8

款空调，销售总金额为264000元.

(1)求/、8两款空调的销售单价分别为多少元？

(2)6月份的气温持续升高，商场抓住商机，对/款空调进行优惠促销，销售单价在5月份的基础上下降了m

1

元，销售的数量比5月份增加了台，2款空调的销售单价不变，最终6月份两款空调一共销售了230台,

销售金额比5月份增加了60000元.求力的值.

5.（23-24八年级下•重庆・期末）某智能家电经销商销售4、8两种智能空调，其中一台8种空调的销售价

格比一台/种空调的销售价格高1500元，已知4月份/种空调的销量是3种空调销量的（，且4月份/

种空调的销售总额为120万元，B种空调的销售总额为225万元.

（1）请问4、B两种智能空调的销售单价分别为多少元？

（2）5月份气温回升、该经销商对两种空调进行了降价促销活动，己知/种空调降价70a元、3种空调降价100a

元.经销商发现5月的第一周内：/种空调的销量就已经与4月份/种空调的总销量相同，8种空调的销量

比4月份3种空调的总销量增加了20“台，5月第一周内/、8两种空调的销售总额刚好和4月份/、3两

种空调的销售总额相同，请求出。的值.

6.（20-21九年级上•浙江温州•开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普

通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表:

普通口罩N95口罩

进价（元/包）820

（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩

和N95口罩每包售价；

（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均

销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，

求此时普通口罩每包售价；

（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000＜。＜7000）,

该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于10%,则N95口罩每包售价是

元.（直接写出答案，售价为整数元）

【经典例题七与图形有关的问题压轴题】

1.（22-23八年级下•浙江宁波・期中）从一块腰长为10cm的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为

24cm2的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上.若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种

不同的裁法？（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）如图，四边形Z3CQ中，/ABC=/BCD=90。，点E在AD上,连接ZC、

BE、CE,AB=AE,AD=AC,CE1BE,若BC=6行,则45的长度是

D

A

BC

3.（2024•广西柳州•一模）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一.请你运用数学知识，根据素

材，帮果农解决问题.

信息及素材

素在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增

材长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增

长率基本相同.

素

材金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖.

素

材果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒.

任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x,依题意列方程得

任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1）,折成无盖长方体纸盒

（如图2）.为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；

任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖

纸盒（如图4）,求出此时纸盒的高.（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽

略不计）

（图4）

4.(23-24八年级上•上海浦东新•期末)如图，在RtZXZBC中，NR4c=90。,AB=6,ZC=60°,AD是BC

边上的中线，动点尸从点A出发以每秒6个单位的速度沿线段4D向终点。运动，动点M从点。出发以每

秒26个单位的速度在线段。3上运动，点M与点尸同时出发，设动点运动时间为x.

备用图

(1)求的长；

s

(2)若动点/在线段。3上运动，设黄=求了关于x的函数解析式，并写出定义域；

S]

(3)若动点M在射线。3上运动，当点尸运动到终点。时，点M也停止运动，直接写出当产=奇时，x

的值.

5.(23-24九年级上•四川成都・期中)如图1,直线h>=-gx+3与坐标轴分别交于点/,B