相交线与平行线四大压轴模型（解析版）

专题01相交线与平行线四大压轴模型

目录

解题知识必备

压轴题型讲练...........................................

类型一、猪脚模型........................................................2

类型二、铅笔模型........................................................7

类型三、臭脚模型.......................................................14

类型四、骨折模型.......................................................23

压轴能力测评（13题）..................................................31

X解题知识必备”

_尸在EF右侧，在48、8内部___|_“铅笔”模典

结论1：若4B〃CD,则NP+NNEP+NP尸C=360°；

结论2：若NP+N4EP+/P尸C=360°,则48〃CD.

结论1：若AB〃CD,则NP=N4EP+NCEP；

结论2：ZP=ZAEP+ZCFP,则48〃CD.

模型三“臭脚”模型

结论1:若AB〃CD,则NQN4EP-NCFP或NP=NC尸尸-N4EP；

结论2：^ZP=ZAEP-ZCFP^.ZP=ZCFP-ZAEP,则4B〃CD.

模型四“骨折”模型

-B

D

点P在EF左侧，在AB、CD外部

结论1：若AB〃CD,则NP=NC尸尸-N4"或/P=/4EP-NC尸P；

结论2：若NQNCFP-N/EP或NQN4EP-NC尸P,则4B〃CD.

X压轴题型讲练2

类型一、铅笔模型

【典例1］（23-24七年级下•江苏宿迁•阶段练习）（1）如图①，MAr\\NA2,则乙%+N/=

如图②，MAil|N4,贝+NA2+=，请你说明理由；

(2)如图③，贝Ika1+NA2+4^3+

MAX\\NA4,

（3）利用上述结论解决问题：如图④，ABWCD,乙4BE和NCDE的平分线相交于点凡ZE=130°,求

NBFD的度数.

【答案】（1）180°,360°,见解析；（2）540°；（3）115°

【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；

（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点&作P&IIM4,证明P&IIMA,||

N4，再利用平行线的性质可得图②的答案；

(2)如图，过点儿作P&IIM&,证明P4IIM4||NTU，再结合(1)的结论可得答案；

(3)过F作FQIMB.证明FQ||AB||CD,可得N4BF=4BFQ,4CDF=乙DFQ.求解/ABE+/.CDE=

230。，再结合角平分线的定义可得答案.

【详解】解：(1)180°360°,理由如下：

理由：||NA2,

ElNAi+N42=180°.

如图，过点42作P^2II

PA2||MAr||NA3,

2P=180°,Z.A3+N4342P=180°,

•••Z-Ar+441/2人3+4人3=360°.

(2)如图，过点“2作P^2IIM&.

PA2IIMA1||NA4f

团4MziA2+^-PA2Ar=180°,

结合(1)的结论可得：ZPX2X3+^A2A3A4+^NA4A3=360°,

azXi+Z741X2i43+N43+zx4=180°+360°=540°；

(3)如图，过F作尸Q||力B.

.­.FQ||AB||CD,

・•・乙ABF=乙BFQ,乙CDF=乙DFQ.

•・•匕ABE+乙BED+乙CDE=360°,ABED=130°,

・•・/,ABE+Z.CDE=230°.

•・•BF平分2ABE,DF平分乙CDE,乙BFD=乙BFQ+乙DFQ,

・•・乙BFD=^ABE+乙CDE)=115°,

【变式1-1］（22-23七年级下•广东江门•阶段练习）（1）如图LAB||CD,求乙4+Z71EC+NC的度数.

解：过点E作EFII4艮

vEF||AB（已作），

•••ZX+AAEF=180°（）.

又AB||CD（已知），

II（平行关系的传递性），

NCEF+N=180。（两直线平行，同旁内角互补），

•••NA+AAEF+乙CEF+ZC=360°（等式性质）,

即乙4+/-AEC+ZC=；

（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB||EF,则48+/。+4+4=；

（3）根据（1）和（2）的规律，图3中A8IIGF,猜想：AB+Z_C+4。+NE+NF=；

（4）如图4,4B||CD,在8,。两点的同一侧有％,M2,….M”共〃个折点，则NB+N%+2此+

-+zMn+ND的度数为（用含"的代数式表示）.

【答案】（1）见解析；（2）540°；（3）720°；（4）5+1）x180。

【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握"两直线平行,

同旁内角互补"和"如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"是解题关键.

（1）根据平行公理的推论可得4B||EF||CD,再根据根据平行线的性质可得乙4+乙4EF=180。、

乙CEF+ZC=180°,即可求得NA+N4EC+NC=360°；

（2）过点C作CM||AB,过点。作DN||AB,根据平行公理的推论可得AB||CM||DN||EF,再根据

根据平行线的性质可得NB+NBCM=180。，AMCD+^CDN=180°,ANDE+=180°,即可求得

乙4+乙AEC+ZC=360°；

（3）由（1）和（2）总结规律即可求解；

（4）根据所得规律可直接求解.

【详解】（1）解：过点E作EFII4B.

•••EF||AB（已作）,

NA+N力EF=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

又AB||CD（已知），

EF||CD（平行关系的传递性），

NCEF+NC=180。（两直线平行，同旁内角互补），

ZX+^AEF+乙CEF+ZC=360°(等式性质)，

即NA+^.AEC+Z.C=360°；

(2)如图，过点C作CM||AB,过点Z)作DNIIAB,

EL4B||CM||DN||EF,

EINB+乙BCM=180°,乙MCD+乙CDN=180°,乙NDE+NE=180°,

0ZB+乙BCM+乙MCD+乙CDN+乙NDE+NE=540°,

0ZB+NC+ND+NE=540°；

（3）解：由（1）可知在A,C两点的同一侧有1个折点，其乙4+^AEC+ZC=180°x（1+1）=360°；

由（2）可知在8,E两点的同一侧有2个折点，其NB+NC+ND+NE=180。X（2+1）=540。；

因为2,尸两点的同一侧有3个折点，

所以NB+NC+4。+NE+NF=180°x（3+1）=720°；

（4）由（3）可知N8+4Ml+/.M2+…+乙Mn+N。=（n+1）X180°.

【变式1-2］（22-23七年级下•甘肃庆阳•期中）（1）问题发现：如图①，直线ABIICO,E是4B与CD之间的

一点，连接BE,CE,可以发现NB+NC=NBEC.

请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点E作EFII4B,

•••ABWCD（已知），EFWAB（已作）,

EF\\CD().

ZC=乙CEF().

•••EFWAB,

4B=(1，

乙CEF+ZJBEF=乙BEC,

ZB+Z.C=（BEC（等量代换）.

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：NB,ZC,乙BEC之

间的关系是；

（3）解决问题：如图③，ABWDC,NC=120。，ZX£C=80°,请求出乙4的度数.

【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；NBEF；两直线平行，内错

角相等；（2）ZB+ZC+Z.BEC=360°；（3）20°.

【分析】（1）过点E作EFIIAB,根据平行线的性质进行选填即可；

（2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补可得到NB+NC+NBEC=360。；

（3）作EFII4B,如图③，利用平行线的性质得到NC+乙CEF=180°,£.BAE=4AEF,则3CEF=60°,

所以N4EF=20°,从而得到N4的度数.

【详解】（1）证明：过点E作EFII4B,如图①，

图①"ABHCD（已知），EFWAB（辅助线的作法），

EFWCD（平行于同一条直线的两直线平行），

ZC=ZC£F（两直线平行，内错角相等），

•••EFWAB（作图），

NB=NBEF,（两直线平行，内错角相等），

ZB+ZC=4CEF+乙BEF（等量代换），

即NB+NC=乙BEC.

故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；Z.BEF-,两直线平行，内错角

相等.

（2）解：作EFIIAB,如图②，

图②-.-ABWCD,

•••EFWCD,

•••ZC+乙CEF=180°,NB+乙BEF=180°,

Z-B+Z.C+Z-BEC=360°；

故答案为：ZB+ZC+ZBEC=360°.

(3)解：作EFII4B,如图③,

B

图③■：ABWC,

：.EFWCD,

ZC+/.CEF=180°,ABAE=Z.AEF,

：.4CEF=180°-120°=60°,

•••^AEF=N4EC-乙CEF=80°-60°=20°,

.­.Z.BAE=20°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质.熟练掌握性质和判定是做题的关键.

类型二、猪脚模型

【典例2】(2024七年级上•全国•专题练习)(1)如图①，AB||CD,试问N2与Nl+N3的关系是什么？

并说明理由；

(2)如图②，AB||CD,试问42+N4与41+N3+N5的关系是什么？请直接写出结论；

(3)如图③，AB||CD,试问N2+N4+N6与N1+N3+Z.5+N7的关系是什么？请直接写出结论.

V予岁

D---------D-------------------D---------------------

图①图②图③

【答案】(1)z2=zl+N3,见解析；(2)z2+z4=zl+z3+z5：(3)z2+z4+z6=zl+z3+

z5+Z7

【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

(1)过点E作EF||4B,从而推出4B||EF||CD,根据两直线平行，内错角相等，可知41=乙BEF,Z3=

乙CEF,从而推出N2与+N3的关系；

(2)分别过点E,G,M,作EFII4B,GH||AB,MN||AB,从而推出4B||CD||EF||GH||MN,根

据两直线平行，内错角相等，可推出42+N4与41+43+Z.5的关系；

(3)分另U过点E,G,M,K,P,作EF||AB,GH||AB,MN||AB,KL||AB,PQ||AB,从而知道4B||

CD||EF||GH||MN||KL||PQ,根据两直线平行，内错角相等，可推出42+z4+46与乙1+Z3+Z5+

47的关系.

【详解】解：（1）N2=N1+N3,理由如下:

如图，过点E作EFII4B,

AB||EF||CD,

Z1=乙BEF,z3=Z,CEF,

z.2=zl+z3；

（2）同理（1）得：z2+z4=zl+z3+z5,理由如下:

分别过点E,G,M,^EF||AB,GH||AB,MN||AB,

・•・AB||CD||EF||GH||MN

Z1=Z.BEF,Z.FEG=^EGH,乙HGM=^GMN,4CMN=45

...z.2+Z4=乙BEF+乙FEG+Z.GMN+乙CMN=Z1+乙EGH+乙MGH+z5=Z1+z3+z5

（3）同理（1）得：42+44+乙6=41+43+45+47.

理由如下：分别过点E,G,M,K,P,作EFIIZB,GH||AB,MN||AB,KL||AB,PQ||AB,

・•.AB||CD||EF||GH||MN||KL||PQ,

..•乙1=^BEF,Z.FEG=/-EGH,（HGM=（GMN,乙KMN=^LKM,乙LKP=（KPQ,Z.QPC=z7,

z.2+Z.4+z.6=z.1+z.3+z.5+z.7.

【变式2-1］（23-24七年级下•吉林•期末）（1）【感知】如图①，4BIICD,点E在直线上，点F在直线CD上,

点P为4B,CD之间一点，求证：乙EPF=AAEP+乙PFC.

rB

小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程.

证明：如图①，过点P作PQIIAB.

ABWCD,PQWAB（已知），

CDWPQ（）,

Z1=乙AEP/2=乙PFC（）,

zl+Z2=乙4EP+乙PFC（等式的基本性质）,

Z.EPF=Z.AEP+Z-PFC.

（2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线allb,

点4c在直线a上，点8,。在直线b上，直线分别平分乙且交于点E.猜想并证明NCEB

与乙4FD（小于平角）的数量关系.

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；（2）结论：乙4FD=2MEB,

理由见解析

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

（1）利用平行线的判定和性质证明即可；

（2）结论：乙AFD=2乙CEB.利用上面结论以及角平分线的定义证明即可.

【详解】解：（1）如图①，过点尸作PQII2B.

I）

图①

EL4BIICD,PQWAB（已知）,

0CPIIPQ（平行于同一条直线的两条直线平行），

0Z1=^AEP,Z2=Z.PFC（两直线平行，内错角相等），

0Z1+Z2=Z.AEP+乙PFC（等式性质），

回乙EPF=Z.AEP+Z-PFC.

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；

（2）结论：乙AFD=2乙CEB.

理由：由（1）得4CEB=LACE+乙DBE,^AFD=ZCFB=/.ACF+^DBF,

MC平分乙4CD,EB平分N4BD,

0Z4CD=2/.ACE,乙DBF=2乙DBE,

0ZXFD=2乙CEB

【变式2-2］（23-24七年级下•云南昆明,期末）问题情境：如图，ABWCD,定点E,尸分别在直线力B,CD上，

在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0。＜NEPF＜180。.求乙4EP,乙EPF,NPFC满足的数量关

系.

思路点拨：由于点尸是平行线48,CD之间一动点，因此需对点尸的位置进行分类讨论，过点P作力8的

平行线，通过平行线的性质推出乙4EP,乙EPF,NPFC的数量关系.

图1图2

图3图4

⑴问题解决：如图1,当点尸在EF的左侧时，写出N4EP,乙EPF,NPFC满足的数量关系；如图

2,当点P在EF的右侧时，写出乙4",乙EPF,NPFC满足的数量关系.

（2）问题迁移：如图3,QE、Q尸分另IJ平分NPE8和NPFD,且点尸在EF左侧.

①若NEPF=80。，贝吐EQF的度数为；

②猜想NEPF与NEQF的数量关系，并说明理由；

⑶问题拓展：如图4,若NBEQ与乙DFQ的角平分线交于点Qi，NBEQi与NDFQi的角平分线交于点Q2,

NBEQz与NDFQ2的角平分线交于点＜?3，以此类推，直接写出NEPF与NEQ202"满足的数量关系.

【答案】⑴乙EPF=N4EP+乙CFP,NAEP+乙EPF+ZPFC=360°

⑵①140。②NEPF+2乙EQF=360°

2025

(3)zEPF+2ZEQ2024F=360°

【分析】本题考查了平行线的判定及性质；

(1)当点P在EF的左侧时，过点P作PHII4B,由平行线的判定方法得2BIICDIIP”,由平行线的性质

得乙4EP=NEPH,AFPH=MFP,即可求解；当点P在EF的右侧时，同理可求解；

(2)①由(1)知NPE4+乙PFC=乙EPF=80°,乙EQF=乙BEQ+乙DFQ,即可求解；②,:QE,QF分

另IJ平分NPEB和NPFD,设：乙BEQ=^QEP=a,乙QFD=KPFQ=0,即可求解；

(3)同理可得NQi=4a+0),NQ2=；(a+0),可得NEQ2024F=©丫。"(a+£),即可求解；

掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键.

【详解】(1)解：当点尸在EF的左侧时，

如图，过点尸作PHII2B,

ABWCDWPH,

：.N4EP=乙EPH,

乙FPH=乙CFP,

.­./.EPF=Z.EPH+乙FPH

=^AEP+ACFP-,

当点P在EF的右侧时，

如图，过点尸作PMIIA8,

•••ABWCDWPM,

^AEP+乙EPM=180°,

乙PFC+AMPF=180°,

•••AAEP+乙EPM+乙PFC+乙MPF=360°,

AAEP+乙EPF+乙PFC=360°；

故答案为：乙EPF=^AEP+乙CFP,

Z.AEP+乙EPF+乙PFC=360°；

(2)解：①由(1)知NPE4+NPFC=NEPF=80°,

Z-EQF=乙BEQ+乙DFQ,

•••QE,QR分另U平分NPEB和NPFD,

・•.ZPFC+2Z.DFQ=180°,

A.PEA+2(BEQ=180°,

・•・/,PEA+2乙BEQ+乙PFC+2(DFQ=360°,

•••乙BEQ+Z.DFQ=140°,

・•・(EQF=140°,

故答案为140。；

②如图3,vQE,QF分另(]平分NPEB和NPFD,

设：乙BEQ=乙QEP=a,

4QFD=乙PFQ=0,

则ZP=180°-2a+180°-2s

=360。-2(a+S),

“=a+S,

即：AEPF+2Z.EQF=360°；

(3)解：同理可得NQI=|(a+£),

“2=；(a+S),

；・NEQ2024F=(-)(a+S),

2025

故：乙EPF+2AEQ2024F=360°.

【变式2-3](23-24七年级下•湖北咸宁•阶段练习)如图L点A是直线“。上一点，C是直线GE上一点，B

是直线H。、GE之间的一点，LHAB+乙BCG=/.ABC.

图I图2图3

⑴求证：AD||CE；

(2)如图2,作NBCF=NBCG,CF与AB4”的角平分线交于点孔若a+°=40。，求NB+NF的度数;

(3)如图3,CR平分N8CG,BN平分4ABC,BM\\CR,请直接写出48AH与NNBM的数量关系.

【答案】⑴见解析；

(2)22。。；

⑶乙NBM=以BAH.

【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

(1)过8点作8"||HD,可求得NCBM=NBCG,从而可证BM||GE,即可证明4。||CE-.

(2)过8点作||GE,过尸点作FN||”D,先证明4GCF=2仇=NNFC,乙HAB=2。=4ABM,再

根据平行线的性质即可求解；

(3)根据已知条件可导出=4ABC一乙BCG=2QNBC-乙MBC)=2/NBM即可.

【详解】(1)证明：如图所示，过5点作8MIIH0,

图1

团乙HAB=Z-ABM,

^ABM+乙CBM=AABC,乙HAB+乙BCG=(ABC,

回乙CBM=乙BCG,

MM||GE,

回BM||HD||GE,

即：AD||CE；

(2)解：如图，过3点作BM||GE,过尸点作FN||”D,

图2

则HO||FN||BM||GE,

⑦乙NFC=^GCF,乙ABM=LHAB,

⑦乙BCF=LBCG,AF是的角平分线，

^HAF=Z.BAF=/?,乙CBM=乙BCG=a,乙GCF=2a=乙NFC,乙HAB=2£=4ABM,

回匕AFN=Z.HAF=B，乙CBM=2BCG=a,

^AFC=乙AFN+NFC,乙ABC=^ABM+乙CBM,

^1Z.AFC=/7+2a,Z.ABC=a+2£,

回乙ABC+Z.AFC=夕+2a+a+2/?=3(/7+a)=3x40。=120°,

(3)解：^HAB+/-BCG=/-ABC,

^\Z-HAB=Z-ABC-Z-BCG,

MMIICR,

回乙BCR=乙MBC,

团CR平分NBCG,BN平分'乙ABC,,

⑦2乙BCR=LBCG,2乙NBC=CABC,

回乙BCR=^MBC

团匕BAH=乙ABC-乙BCG=2乙NBC-2乙MBC=2QNBC-乙MBC)=2乙NBM,

^NBM=-^BAH.

2

类型三、臭脚模型

【典例3](23-24七年级下•全国•期末)直线48||CD,P为直线AB上方一点，连接24、PD.

(2)如图1,设NPAB=a,乙CDP=B,求乙4PD的度数(用含a、万的式子表示)；

(3)如图2,N为NP4B内部一点，4BAN=34PAN,连接CN,若乙DCN=3乙PCN,求士型的值.

Z.ANC

【答案】⑴50°

⑵乙4PD=a+A—180°

(3)^

'’3

【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应

用.

(1)过点尸向右PE||48,贝SB||PE||CD,得出乙4PE=80。，进而求出结论；

(2)过点尸向右PE||48,贝l]4B||PE||CD,得出41PE=180°-a,进而求出结论；

(3)过点P向左作PF||AB,过N向左作NM||AB,贝IJPF||MN||AB||CD,设乙PAN=x,乙PCN=y,

贝(UBAN=3x,APAB=4x,乙DCN=3y,乙PCD=4y,得出NAPC=4x-4y,乙ANC=3x-3y,进

而求出结论.

【详解】(1)解：过点尸向右PEII4B,

S1AB||CD,

EL4B||PE||CD,

ONDPE=ND=130°,NAPE+NA=180°,

团乙4=100°,

0Z4PF=80°,

回乙APD=乙DPE-Z.APE=130°-80°=50°；

(2)过点尸向右PEIIAB,

固4B||CD,

团48||PE||CD,

(3NAPE+Z.A=180°,Z.DPE=ZD=/?,

团4/=a,

BZ.APE=180。-a,

回匕APD=乙DPE-/-APE=B—(180°—a)=a+£—180°；

(3)过点尸向左作PF||4B,过N向左作NMIIAB,

图2

EL4B||CD,

S\PF||MN||AB||CD,

与(2)同理，得4Ape=4PAB—4PCD,

乙ANC=4BAN-乙DCN.

依题意，设NP2N=x，乙PCN=y,

贝IJNBAN=3x,/-PAB=4x,Z.DCN=3y,/-PCD=4y.

回乙4PC=4x-4y,Z-ANC=3%—3y,

回44PC_4x-4y_4

Z-ANC-3x-3y-3

【变式3-1](22-23八年级上•北京•期末)如图，已知直线4BIICD,M,N分别是直线4B,CD上的点.

D

图a图②图③

⑴在图1中，判断NBME,/MEN和ADNE之间的数量关系，并证明你的结论；

⑵在图2中，请你直接写出NBME,NMEN和NONE之间的数量关系(不需要证明)；

⑶在图3中，MB平分NEMF,NE平分乙DNF,且NF+2/E=180。，求NFME的度数.

【答案】(l)NMEN=乙BME+乙DNE,见解析

(2)4MEN=4BME-乙DNE

⑶NFME=120°

【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中

考常考题型.

(1)过点E作直线EFII4B,利用平行线的性质即可解决问题.

(2)过点E作直线EFIIAB利用平行线的性质即可解决问题.

(3)利用(1)(2)结论构建方程解决问题即可.

【详解】(1)解：结论：4MEN=LBME+乙DNE.

理由：如图1中，过点E作直线EFII2B.

图IVEFWAB,

•••Z-BME=Z-MEF,

又・.・ZB||CD,

・•・EFWCD.

・•・FEN=乙DNE

・••乙MEN=乙MEF+(FEN=乙BME+乙DNE.

(2)解：结论：4MEN=KBME—乙DNE.

理由：如图2中，过点E作直线EFII4B.

•••EFWAB,

•••Z-BME=Z-MEF,

X--ABWCD,

・•・EFWCD,

・•・乙FEN=乙DNE,

・•・乙MEN=乙MEF-Z.FEN=乙BME-乙DNE.

（3）解：•••MB平分NEMF,

/.BMF=Z.BME,

■：NE平分乙DNF,

,••设4DNF=2乙DNE=2m

由⑴，彳导上E=LBME+乙DNE=La+乙BME,

由⑵，得乙F=KBMF—4DNF=4BMF—24a,

又NF+2乙E=180°,

4BMF-2乙a+2（Na+乙BME）=180°,

•••34BMF=180°,

即N8MF=60°.

.­.Z.FME=2ZBMF=120°.

【变式3-2］（23-24七年级下•云南昆明•阶段练习）己知4B||CD,点E在48上，点厂在CD上，点Q为射线

EF上一点.

图1图2图3

(1汝口图1,若=22。,4。=35。，贝I|NAQC=.

(2)如图2,当点。在线段EF的延长线上时，关于NC和乙4QC的三个结论：乙4一NC＜乙4QC,乙4-

ZC=AAQC,AA-AO^AQC,你认为哪个正确？请说明理由.

(3)如图3,4H平分NQAB,CH交AH于点"

①若CH平分NQCD,求NAQC和的数量关系；

②若乙QCH:4DCH=1:3,^HCD=33°,^AHC=25°,直接写出乙4QC的度数为.

【答案】⑴57。；

(2)Z^-ZC=AAQC,理由见解析；

(3)①AAHC=^AQC,理由见解析；②72。.

【分析】(1)过点。作QHII28,进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；

(2)过点。作MN||CD,进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；

(3)①过点H作PH||CD,根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；

②根据①的结论，利用角的关系解答即可.

此题考查了几何变换综合题，平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答.

【详解】（1）解：过点。作QHII48,如图:

C\FD

AEB

图1•••AB||CD,

.­.QH||AB||CD,

ZC=ACQH=35°,Z4=乙HQA=22°,

•••^AQC=乙CQH+AHQA=35°+22°=57°,

故答案为：57°；

(2)解：乙4一NC=N4QC,理由如下：

过点。作MN||CD,如图：

N--舟-——M

—D

AEB

图2AB||CD,

AB||MN,

：.乙NQC=NC/MQ4=180°-“

AAQC=180°-NNQC-^MQA=zX-zC,

即—NC=zXQC,

(3)解：①过点〃作P”||CD,如图：

图3AB||CD,

AB||PH,

：.APHC=乙HCD,4PHA=4HAB,

ZXWC=/-HAB-乙HCD,

又MH平分“4B,CH平分AQCD,

11

AHAB=工乙QAB,乙HCD=-AQCD

1

•••乙AHC=-{AQAB一4CD),

由⑵可得乙4HC=|乙4QC；

②N2QC=72。,理由如下：

•••乙QCH:乙DCH=1:3/HCD=33°,4AHe=25°,

•••“CH=11°,ADCH=33°,

•••/.HAB=33°+25°=58°,

.­.Z.AQC=58°x2-44°=72°

故答案为：72°.

【变式3-3](24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知ABIICD,点M、N分别是AB、CD上两点，点G

在48、CD之间，连接MG、NG,若点尸是CD下方一点，MG平分4BMP,ND平分乙GNP.

⑴如图1,若GM1GN,求立力MG+NCNG的度数；

(2)如图2,若乙BMG=30°,求4MGN+NMPN的度数；

(3)如图3,延长PM并与NCNG的平分线相交与点E,当|/MEN+乙MGN+乙MPN=120°,求NGND的

度数.

【答案】(1)90。

(2)90°

(3)20°

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是：

(1)过G作GHII力B,可得ABIICDIIGH,根据平行线的性质得出NMGH=NAMG,乙NGH=4CNG,则

可得出NMGN=N4MG+NCNG,即可求解；

(2)过产作PQII力B,可得力BIICDIIPQ,根据平行线的性质得出NMPQ=/BMP,ANPQ=ABNP,则

可得出NMPN=乙BMP-乙DNP,由(1)可得：乙MGN=4BMG+乙DNG,则可得出NMGN+Z.MPN=

乙BMG+乙DNG+乙BMP—乙DNP,根据角平分线的定义得出/BMP=2/BMG,乙DNG=^DNP,贝lj

可求出NMGN+乙MPN=3乙BMG,然后把ZJ5MG=30。代入求解即可；

(3)设NBMG=a,乙DNG=0,贝i"CNG=180°-/?,根据角平分线定义求出Z_ENC=若卫，由(2)

知：乙BMP=2a,乙MGN=a+0,乙MPN=2。-0,过石作£7可49,设PM与CD相交于O,由(2)

同理可求/MEN=竺产_2a,代入|/MEN+乙MGN+乙MPN=120。求解即可.

【详解】(1)解：过G作G”||48,

团481|CD,

^ABWCDWGH,

回匕MGH=4AMG,Z.NGH=Z.CNG,

⑦乙MGN=乙MGH+乙NGH=Z.AMG+乙CNG,

团GM1GN,

应LMGN=90°,

回4AMG+乙CNG=乙MGN=90°；

(2)解：过尸作PQIIZB,

^ABWCD,

^AB\\CD\\PQf

团4MPQ=乙BMP,乙NPQ=乙DNP,

⑦乙MPN=乙MPQ-乙NPQ=(BMP-乙DNP,

由(1)可得：乙MGN=^BMG+乙DNG,

⑦乙MGN+乙MPN=Z.BMG+(DNG+乙BMP-乙DNP,

国MG平分乙BMP,ND平分乙GNP,

回乙BMP=2NBMG,乙DNG=LDNP,

田乙MGN+乙MPN=348MG,

又乙BMG=30°,

团乙MGN+乙MPN=90°；

(3)解：设NBMG=a,乙DNG=8,则NCNG=180。一

0NE平分乙CNG,

ONENC=-^CNG=%E

22

由(2)知：乙BMP=2乙BMG=2a,乙MGN=乙BMG+乙DNG=a+£,乙MPN=3Z.BMG一乙MGN=

2a—/?,

过后作£T||4B,设PM与CO相交于O,

由(2)同理可求/MEN=I'。？"—2a,

膜/MEN+乙MGN+乙MPN=120°,

2

吗-2a)+a+£+2a-£=120°,

化简得"°J3夕=120°,

4

解得夕=20°,

ISNGND的度数为20。.

【变式3-4](23-24七年级下•江苏南京•期中)我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成，在解决

问题时常将复杂图形转化为基本图形.

【基本图形】

(1)如图①，AB||CD,写出NB,Z.D,NE之间的数量关系，并说明理由.

【图形运用】

(2)如图②，4B||CD,8G平分乙4BE,DH平分乙CDE.BG,DH的反向延长线交于点?若NE=40。,

求NF的度数.

【思维拓展】

（3）如图③，AB||CD,BG平分NABM,DH平分上CDN,BG,。”的反向延长线交于点足直接写出

ZM,乙N,45之间的数量关系.

【答案】（1）NB=ND+NE,见解析；（2）20。；（3）ZF=|zM+|zA/-90°

【分析】此题是几何变换综合题，考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义

和平行线的性质得出角的度数解答.

（1）延长力B交。后于F,根据平行线的性质可得N4FE=乙D,再由“BE是ABEF的外角，可得=

NAFE+NE,从而得出NB=ND+NE；

（2）由角平分线的定义可得乙4BE=2ZGBE,乙CDE=2乙HDE,设乙GBE=x,=y，贝U乙4BE=

2x,4CDE=2y,从而得出2%=2y+40°,再由/E8F+NE=NEDF+Nf,可得180°-x+40°=

180°-y+zF,从而得出NF=4（F+y-x.最后求解即可；

（3）分别延长BM、DN,相交于点E,由（2）得NF=：NE,再根据平角的定义和三角形内角和求出

结论即可.

【详解】（1）乙B=4D+乙E

理由：如图①，延长AB交DE于?

EL4B||CD,

回4AFE=Z-D,

团乙48£是48E尸的外角，

回匕ABE=Z-AFE+Z.E,

即=ZD+ZE；

(2)国BG平分乙ABE,平分“DE,

^ABE=2^GBEf乙CDE=2乙HDE,

设4GBE=%,乙HDE=y,贝"/ABE=2%,^CDE=2y,

MB||CD,

G,

H'B

团由(1)可知，乙ABE=幺CDE+乙E,

02%=2y+40°,

即汽=y+20。，

^\Z-EBF+Z-E=Z-EDF+乙F,

回180。-%+40°=180°-y+ZF.

回匕F=40°+y—x.

回匕F=40。+y-(y+20°)=20°.

(3)zf=-zM+-z/V-90°

22

如图，分别延长8M、DN,相交于点E,

由(2)得NF=2，

•••乙E+乙EMN+乙ENM=180°,

4E=180°-(4EMN+乙ENM),

•••乙BMN+4EMN+乙DNM+4ENM=360°,

•••4EMN+乙ENM=360°-乙DNM-乙BMN,

乙E=180°-(360°-4DNM-乙BMN)=4DNM+Z.BMN-180°,

1111

ZF=-Z£=-(ZDWM+Z.BMN-180°)=-^.DNM+-/.BMN-90°,

22',22

即NF=-ZM+-Z^-90°

22

类型四、骨折模型

【典例4】（2024七年级上•全国・专题练习）己知直线川山，直线G和直线4,G交于点。和。，点P是直线。上

一动点.

图1图2图3

⑴猜想论证：如图1,当点P在线段CD上运动时，4PAC,乙1PB,NPBD之间存在什么数量关系？并说

明理由.

请把下列过程补充完整：

猜想：^APB=^PAC+APBD.

证明：过点P作PM%.

,."ill%,

A(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).

又PM%,PM\\l2,

AAPM=^PAC,=KPBD().

•••/.APB=Z.APM+Z.BPM,

：.乙APB=4PAC+乙PBD().

(2)类比探究：

①如图2,当点P在线段CD的延长线上运动时，上述(1)中的结论是否成立？若不成立，请写出NP4C,

4APB,NPBD之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出NP4C,UPB,NPBD之间的数量关系，不

必写理由.

【答案】⑴见解析

(2)①不成立，应为乙4PB=/.PAC-Z.PBD,见解析；

②/.APB=乙PBD-/.PAC.

【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角

转化到同一个顶点的位置.

(1)过点P作PM%,根据平行线的性质可得N4PM="AC,Z.BPM=Z.PBD,利用等量代换可得：

N4PB=NP4C+NPBD；

(2)仿照(1)的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可.

【详解】(1)解：猜想：UPB=LPAC+乙PBD,

证明：过点P作PM%,

PM\\I2(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，

又•••PMIEL，

^APM=Z.PAC,4BPM=KPBD（两直线平行内错角相等），

Z.APB=/.APM+Z.BPM,

：.乙APB=/.PAC+乙PBD（等量代换），

故答案为：乙两直线平行，内错角相等，等量代换

PM\\I2,BPM,;

（2）①（1）中的结论不成立，4APB=4PAC—乙PBD,

理由如下：

如下图所示，

过点P作PE%,

•••PEI%

又•••PEIIRL，

/.APE=/.PAC,/.BPE=/.PBD,

­■/.APB=/.APE-Z.BPE,

乙APB=APAC-乙PBD：

②AAPB=乙PBD-^PAC,

如下图所示,

过点P作PE%,

PEWl^k，

■■■/.APE=Z.PAC,乙BPE=乙PBD,

•••4APB=乙BPE-乙APE=乙PBD-^PAC.

【变式4-1］（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，直线4B||CD,点P为平面内一点（不在两条直线上）.

G

pP

图②图③

⑴如图①，若点尸在直线与CD之间，且乙4EP=40。，^PFD=130°,求心EPF的度数；

(2)如图②，若点尸