一元二次方程（3个知识点+3个考点+2个易错分析）原卷版

第01讲一元二次方程（3个知识点+3个考点+2个易错分析）

・模块导航.T素养目标—

模块一思维导图串知识1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程.

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一

模块三核心考点举一反三元二次方程化为一般形式

模块四小试牛刀过关测3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方

程的根.

4.会由具体问题构建一元二次方程.

模块一思维导图串知识

一元二次方程的概念

一一元二次方程ax2+bx+c=O（a*O）

r的一般形式可注意a的取值范围

整式方程J

以合直二个耒知虬应同时满足

未知数的最高次数是」的三个条件

已知一元二次方程

一元二次方

IQ常考的解（根），求有关

抽象出兀一■1次小0丽力卜书上也程的解（根）］

方程的模型实际问题情境题型字母或代数式的值

F———o------------------------------

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1一元二次方程的概念

1.概念

等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方

程.

2.一元二次方程满足的条件（三要素）

（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）整理后未知数的最高次数是2.

3.对“未知数的最高次数是2”的理解

（1）该项系数不为0：

（2）该项未知数指数为2;

⑶当方程中的二次项系数含有字母时，字母取值不确定，这个方程不一定是一元二次方程.如

mx~+4x-5=0,当m=0时,属于一元一次方程.

【例『1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）

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A./+4=1B.37-2^y-5y=0

X

C.（x—l）（x—2）=3D.ax+bx+c=0

「方法急结丁珂蜥二不写li是不是二元三次方程丁必须蒋历程正靛苒进行到研二二元三次后裾的三不茱徉「

|一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足,

I缺一不可.

।

后『匚二57元军茨王;I相底;脐的55一禾丽药通币厂皂二走茨新i的戛7厂-

A.y=2x2-3B.x2=16C.x2+3x—1=x2+1D.6zx2+bx+c=0

【例1-3】.（23-24九年级上-四川成都•阶段练习）已知（加-l）/x+3x-7=0是一元二次方程，贝U

m=.

【例1-4]（23-24九年级上•贵州铜仁•阶段练习）若（加-2卜帆-加x+2=0是关于x的一元二次方程，

贝ljm=.

知识点2一元二次方程的一般形式

1.一般形式

一元二次方程的一般形式是+bx+c=0（a/0）.其中ax?是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是

一次项系数;c是常数项.

一•次项系数II—1次项系数

ax2+bx+c=0（6#0）

二次项—''—常数项

—次项、

2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为0.

3.特殊形式

二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况：

特殊形式二次项一次项常数项

ar2+6x=O(a#O,6#O)ax2bx0

2

ax2+c=O(a#0,c#0)ax0c

ax2=0(a#0)ax200

4.注意事项

确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般

形式时，若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数，若有的项系数是分数,要把它转化为整数.

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【例2-1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.

⑴39—2=5不(2)9/=16；

⑶2x(3x+l)=17；(4)(3x—5)(x+l)=7x-2.

「方法忌结一「余二元三元乔皇的客顽家薮而带双通「宓演先把方荏花为二版形式「语则要汪烹福软客顼系薮前

|常数项一定要包括前面的符号.

两万二5了招下列而廛正面二元三次方荏的二舷形式「笄身屈一百的三次顼素薮：一二次顼索薮而籥薮诿;

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项

3x2=5x-1

(x+2)(x-l)=6

4-7x2=0

【例2-3]（22-23九年级上•河南许昌•阶段练习）一元二次方程（x+l）（x-3）=5的一次项系数，二次项

系数，常数项分别是（）

A.2,1,-8B.-2,1,-8C.1,-2,8D.8,1,-2

【例2-4】•（23-24九年级上•广东佛山•阶段练习）若关于x的一元二次方程/+2》+加2-9=0的常数

项为0,则加的值为（）

A.3B.—3C.±3D.+9

【例2-5].（23-24九年级上•山东青岛•阶段练习）将方程（J%+l）x=（々5%-2卜+&化为ax2+fcr+c=0

后，a、b、。的值是（）

A.V2-V3,LV2B.V2-V3,1，-V2

C.V3—V2,-3,y[2D.y/3—^2,1,V2

【例2-6].（2022九年级上•全国•专题练习）设a,6,c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项

系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程.

⑴Q:6:C=3:4:5,且〃+b+c=36；

（2）（Q—2）2+1/?—41+Jc—6—0.

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知识点3一元二次方程的解（根）

1.概念

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

如x=2和x=5都是方程A—7x+10=0的解（根）.

2.一元二次方程的解（根）满足的条件（1）未知数的值；（2）使方程左右两边相等

3.判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法

|将数代人码一^左边品边一是方程的根

二次方程中一

―的卡旦隹-----T左近了右近-----东建考程的根

4.一元一次方程和一元二次方程根的区别

两根相等

-两根不相等

【例3-1］方程2x=0的解为（）

A.x=l,X2=2B.荀=0,x2=l

C.%=0,&=2D.Xi=‘，X2=2

2

厂方法急蠢「到麻二F痴啜［的值息否是二元三及语的廨丁司以把耒如教的福正元济I无方两彷「能使防f

|左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.

!___________________________________________________________________________________________________

【例3-2】.（23-24九年级上•天津宁河•期中）若关于x的元二次方程V-4x+2"?=0有■个根为无=-1,

则m的值为.

【例3-3］（22-23九年级上•河南新乡•阶段练习）若。是方程--2020x+l=0的一个根，求代数式

/-2021。+^^的值.

2020

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易错点1忽略二次项系数不为0而致错

A特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为0.

易错点2没有化为一元二次方程的一般形式而致错

A特别提醒：1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式；

2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：运用一元二次方程的概念求字母的值

1.关于X的方程（A+1）1=0是一元二次方程，则"的值为.

方法急鬲「国二元三次方程的雁满定的柔徉「耒知薮藉次数为万厂新连疥工一廨田学每取值厂并和再三

次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值.

2.（23-24元殍级工•云南昭摘•期市）至于xM方程（〃-2）小+3》+2=0是一元二次方瓦向相耳福石

（）

A.2B.-2C.±2D.1

3.（23-24九年级上•海南海口•阶段练习）关于x的方程（4+1）尤"*-3》-1=0是一元二次方程，贝匹的

值是_____________

考点二：利用一元二次方程根的定义求字母或代数式的值

4.已知1是关于x的一元二次方程E—l）V+x+l=0的一个根，则勿的值是（）

A.1B.-1

C.0D.无法确定

方法总函「方瓦西根显能便为福石石荫近相尊的亲如薮的宿;茬涕反方程短湎i市厂莪行二假是把夜不福

代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.

5.关于X的一元二次方程=0的一个根是0,则a的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.1

6.（23-24九年级上•河南许昌•期末）己知冽是方程3/+2x-l=0的一个根，则代数式3加？+2加+2024

的值为（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

7.（23-24九年级上•广东佛山•阶段练习）若方程x2-2x-3=0的一个实数根为加，则2020+苏-2%的

值是（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

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8.（23-24九年级上•云南怒江•阶段练习）已知卬是方程--2x-5=0的一个根，求代数式苏-2机的

值___________.

9.（2024•江苏扬州•模拟预测）若x=3是关x的方程办2-乐=9的解，则2023-120+46的值为.

考点三：根据实际问题列一元二次方程

10.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为L6nI?.已知床单的长是2m,宽是1.4m,

求花边的宽度.请根据题意列出方程.

方法急鬲［列方程最童耍的臭事画丁只宥迪而函意丁牙篦格当的馁由耒如薮「推桶版及由巨如亶而未如亶乏］

间的等量关系，正确的列出方程.I

工匚窠捕的手机连磋商灰萍侪丁单疥由原莱而葩而五阵前丁而后完丁旃均每次廨价的百芬窣为另一财,

可以列出的一元二次方程是.

12.有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生

中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是.

13.（22-23九年级上•甘肃白银•期末）一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场.赛程计划安排9天，

每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为.（用一般式表示）

＜►＞模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（21-22九年级•全国•假期作业）将方程2x?+7=4x改写成a/+fec+c=0的形式，贝U。，b,c的值

分别为（）

A.2,4,7B.2,4,-7C.2,-4,7D.2,-4,-7

2.（23-24九年级上•山东荷泽•阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（）

1x

CDx2+x=1;（2）lx1—3xy+4=0；③x?­=4；@x2=—3;⑤尤之―；+3=0.

x3

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（23-24九年级上•江西南昌•阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为x=0的是（）

A.x2-l=0B.X2-2X=0C.X2-X=2D.尤（X+2）=1

4.（23-24九年级上•四川泸州•阶段练习）把一元二次方程1=2》-3/化成"2+加+。=0（。＞0）的形式，

问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.3,-2,1B.-3,2,-1C.3,-2,-1D.3,2,-1

5.（23-24九年级上•河南洛阳•阶段练习）当方程2x（x-l）=3（x+2）的一般式为2/+必-6=0时，机的

值为（）

A.5B.-5C.1D.-1

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6.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）关于x的一元二次方程//+5》+/-2/=0的常数项为0,

则加的值为（）

A.1B.2C.0或2D.0

二、填空题

7.（23-24九年级上•四川南充•阶段练习）方程（2x+l）（x-3）=M-l化为一般形式为,

二次项系数、一次项系数、常数项的和为.

8.（23-24九年级上•福建福州•阶段练习）已知方程x2-3x+l=0的一次项系数是-3,则其常数项是—

9.（23-24九年级上•广东梅州•期中）方程4/-5=0的一次项系数是.

10.（23-24九年级上•新疆和田•期末）已知方程（2-加）xM-x+3=0,当〃?=时，是关于x的一

元二次方程.

11.（23-24九年级上•河南商丘•阶段练习）已知根是方程--2x-l=0的一个根，则3勿2-6"7+1=

12.（23-24九年级上•江西南昌•阶段练习）已知关于x的一元二次方程依=（）有一个根为2,则左的

值为.

三、解答题

13.（23-24九年级上•广东梅州•期中）若x=l是关于x的一元二次方程f+2x+〃-l=0的一个解.求加

的值.

14.（2023九年级上•全国•专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系

数、一次项系数及常数项.

⑴3/一2=5X;⑵9/=16;

（3）2x（3x+l）=17；（4）（3x-5）（x+1）=7x-2.

15.（22-23九年级上•河南开封•阶段练习）已知关于x的方程（公-1）/+（左+1口―2=0.

（1）当A取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；

（2）当A取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.

16.（23-24九年级上•全国•课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项

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系数、一次项系数和常数项:

(1)4x2+3=5%;

⑵3x2=5;

⑶2x(x+5)=7；

(4)(3x+2)(尤-3)=2x-6.

17.（23-24九年级上•全国•课后作业）将一元二次方程（2x-l）-3尤（尤-2）=0化成一般形式，并指出它

的二次项系数、一次项系数和常数项.

18.（22-23九年级上•江西景德镇•期中）当根为什么数时，关于龙的方程（加-2）/-加X+2=〃L/是一

元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.

19.（22-23九年级上•河南新乡•阶段练习）若a是方程工2-2020云+1=0的一个根，求/_2021a+益的

值.

20.（23-24九年级上•山东临沂•阶段练习）已知x=l,x=-3者B是方程ax?+6x-3=0的根，求a、6的

值和这个一元二次方程的一般形式.

21.（23-24九年级上•广东梅州•期中）已知加是方程%2+2尤-5=0的一个根，求加'+2根？一5根-9的值.

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22.（20-21七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）阅读理解：

定义：如果关于x的方程//+6]X+C]=0（a7#0,a八b>c,是常数）与的工,+&X+C2=0（a2^0,a?、b2>

Q是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a/+a?=0,bt=b2,CI+C2=Q,则这两

个方程互为“对称方程”.比如：求方程2/-3x+l=0的“对