新高二数学复习讲义：利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类（解析版）

第04讲利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类

学宅目标彳

学会利用几何法求空间角及空间距离.

||廛1基础知识f：

----------------iiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiui---------------------

1、异面直线所成的角

(1)定义：已知6是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线a'〃a,把“与〃所成的角叫

做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：(o,2_,

注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直

线所成的角，也可能等于其补角.

2、直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是90。；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0。.

三一

(2)范围：［0,2_.

3、二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OG/；②OAua,OBcjB；③O4_L/,OBM,则二面角a—/—/的平面角是/AOB.

(3)二面角的平面角a的范围：0。女至180。.

4、点到平面的距离

已知点P是平面a外的任意一点，过点P作上垂足为A，则PA唯一，则？A是点P到平面a

的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离(转化为点到点的距离)

结论：连结平面a外一点尸与。内一点所得的线段中，垂线段PA最短.

||豳解题策略I-

---------------------llllllllllllllllllllllllllllllllliillllll-----------------------

1、求异面直线所成的角的方法和步骤

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平

移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.

(2)求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求

①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异

面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角.

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是1o,5,所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异

面直线所成的角.

2、求直线与平面所成的角的方法和步骤

(1)垂线法求线面角：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面a做垂线，确

定垂足O；

②连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形).

是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角

问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件

关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.

(3)等体积法求线面角

通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图，已知平面a与

斜线AP,PO，a,则P0线面角为NPAO,sinNPAO=—,要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂

AP

线段P0的长度可看作点P到平面a的距离，在平面a内找一个三角形（点A是其中一个顶点）与点P构成三

棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求P0的长度，从而达到简便求解线面角的目的.

3、求二面角的平面角的方法和步骤

（1）求二面角大小的步骤是：

①作：找出这个平面角；

②证：证明这个角是二面角的平面角；

③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小.

（2）确定二面角的平面角的方法

①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.

如：“三线合一型”、“全等型”

②三垂线法（面上一点双垂线法）一一最常用

自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足

和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

③等体积法

利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d,如图，点A到二面角A-PB-C的棱PB的距离为

h（即APAB中PB边上的高），则二面角八#39的正弦值为5山。=4.

③垂面法（空间一点垂面法）

过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④射影面积法

己知平面a内的平面图形「的面积为S，它在平面。内的射影厂的面积为s*,设平面a与平面6所成二面角

的平面角为6,则当de|。,口时，8$8=：；当86(”|时，cos”-8

4、求解点面距的方法和步骤

(1)定义法(直接法)：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；

(2)等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

(3)转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.

Q考点剖析

--------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIUIIIIIIIII-----------------------

考点一：直接平移法求异面直线所成的角

1.(2023春•广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中)在正方体ABCD-AgGR中,E,尸分

别为的中点，则异面直线4C与跖所成角的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90"

【答案】C

【分析】由题易得//4",连接CD,，即可得出AB1cD为等边三角形，从而得出所求角的大小为60°.

【详解】如下图所示,连接即，耳2,2C

•••EFHDB,DBHDXB},:.EFIIDR

则异面直线2。与跖所成角为

2月=2c=2C,即ABCR为等边三角形

ZDtBtC=60°.

故选:C.

变式1.（2023春・山东滨州•高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体ABCD-ABGR中,

AB=AD=l,AAi=2,且E为。2的中点，则直线与AE所成角的大小为（）

【答案】C

【分析】取CG的中点尸，可得直线BR与AE所成角即为直线BR与■所成的尸，在尸中由余

弦定理可得答案.

【详解】取CG的中点尸，连接2尸、BF,所以AE〃台尸，

直线BDX与AE所成角即为直线BD,与AF所成的ZD.BF,

2222

所以DtF=RC；+FC；=2,BF=BC+CF=2,

DB2=DC；

t+2A°+DD2=I+I+2?=6,

DB2+BF2-DF26+2-2V3

在他所中由余弦定理可得』BxBF'

2x5/2xV6-2

冗jr

因为NAAFEo,-,所以NRBF=2.

o

故选：c.

2.工

变式2.（2023春•江苏南京•高一南京市第九中学校考阶段练习）如图，圆柱的底面直径A3与母线相等,

E是弧AB的中点，则AE与3D所成的角为（）

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角.

【详解】取0c的中点尸，连接EF,BF,DF,则历//AD,且=

故四边形ADFE为平行四边形，所以"〃AE,

所以NRDB或其补角为AE与BD所成角，

设AB=1,则A£>=1,由勾股定理得B£）="i=应，,BF=.H+^-=—,

1_3

DF?+BD?-FB2万++22一5

2DFBD

所以AE与3D所成角为，JT

考点二：中位线平移法求异面直线所成的角

2.（2023春・全国•高一专题练习）在四棱锥S-ABCD中，SA_L平面AB^AS=2,底面

ABCQ是菱形，NABC=60。，E,F,G分别是弘，SB,BC的中点，则异面直线DE与尸G所成角的余弦

值为（）

A.0B.

3

C.V6D.

5

【答案】D

【分析】连接AC、交于点。,连接OE,说明异面直线FG与DE所成的角为NOED或其补角，计算出

OEDE,即可求得cosNOED,即可得出结论.

【详解】连接AC、BD交于点O,连接OE,

因为四边形ABCD为菱形，ACnBD=O,则。为AC的中点，且AC1BD,

因为E为&4的中点，则OE〃SC,

又尸，G分别是SB,8C的中点，所以尸G〃SC,故歹G〃OE

所以，异面直线DE与FG所成的角为NOED或其补角,

•.•5A_L平面ABCD,即u平面ABCD,s.BDYSA,

BDLAC,5AcAC=A,SA,ACu平面SAC,.〔BDJL平面SAC,

OEu平面SAC,:.OE±BD,

因为A5=BC,ZABC=60",则AABC为等边三角形，

同理可知△ACD也为等边三角形，又&4=他=2,

:.OD=y/AD^AO2=石，

同理可得OE==叵,DE=^AD2+AE2=A/5>

n\以，cos/OED==-产=.

DE455

因此，异面直线FG与DE所成的角的余弦值为叵.

5

故选：D.

变式1.（2023春・广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥。-ABC中，AC=y/3BD,

且AC18D,E,b分别是棱DC,AB的中点，则跖和AC所成的角等于.

【答案】30。/7!T

6

【分析】取2C的中点G,连接PG、EG,则/£FG为Ef■与AC所成的角.解AEFG.

【详解】如图所示，取BC的中点G,连接FG,EG.

­.E,尸分别是C。，48的中点,

11

FG//AC,EG//BD,且尸G=-AC,EG=—BD.

22

瓦G为所与AC所成的角（或其补角）.

又QAC=6BD,FG=y[3EG.

又「ACA即，:.FGLEG,:.NFGE=90°,

.•.△EFG为直角三角形，.」211/斯6=变=走，又一EPG为锐角，

FG3

:.NEFG=30°,即EP与AC所成的角为30。.

故答案为：30°.

变式2.（2023春•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥P-45CD中，所有侧棱

长都为4夜，底面是边长为26的正方形，。是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线

OP与BM所成角为

【答案】600

【分析】取OC的中点为N,连接利用中位线性质得OP//MN,则异面直线夹角转化为求ZBMV,

再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出tan/BMN即可得到答案.

【详解】由题意可知底面A3CD是边长为2面的正方形，所有侧棱长都为4a

则四棱锥尸-ABCD为正四棱锥,。为正方形的中心，

取OC的中点为N,连接又因为M是尸C的中点，则OP//MN,

则ZBW即为所求，因为。P_L平面ABCD,

所以W平面ABCD,则2N=Jf+g回=岳，

MN=-PO=-y/PB2-BO2=45,则tanN8M7V=^=芈=6,

22MN加

因为0。4ZBAW490。，所以NBMN=60。.

故答案为：60。.

变式3.（2023春•广东广州•高一广州市天河中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=^3,正方形ADEF

的边长为1,且平面ABCZ）人平面ADEF,则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）

【答案】C

【分析】取AF的中点G,连接AC交2。于。点，异面直线3。与尸C所成角即直线瓦）与OG所成角.在△O3G

中，分别求得O8,OG,BG,利用余弦定理即可求得cosN3OG,从而求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】取AF的中点G,连接AC交8。于。点，如图所示，

由平面平面ADE尸，AF±AD,平面ABCDc平面=AD,

AFu平面ADEF知，AF_L平面ABCD,又AC,48u平面ABCD,

所以AFJ_AC,AFJ,AB,由题易知AC—BD=2，

所以=R=5则。嗅BI

BG=J（1）2+（V3）2=~,则在△OBG中，由余弦定理知，

OB^+OG。-BG之

cos/BOG=

2OBOG

由两直线夹角取值范围为呜］,则直线BD与0G所成角即异面直线3D与FC所成角的余弦值为冬

故选：C

【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得异面直线的夹角.

变式4.（2023春・上海宝山•高一上海市行知中学校考阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正

方形，PAJL底面ABC。，AP=AB=AD=2,E是侧棱尸8的中点.

⑴证明A£：_L平面尸3C.

（2）求异面直线AE与尸£＞所成的角；

【答案】（1）证明见解析

（2）60°

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；

（2）先利用中位线定理证得从而得到NAE■。或其补角即为异面直线AE与PD所成的角，再确

定为正三角形，从而得解.

【详解】（1）因为24,底面ABCD,3Cu平面ABCD,所以上4LBC,

又AB_LBC,ABcPA=A,ABu平面上钻,PAu平面,

所以BC人平面以B,又AEu平面所以AE_L8C,

因为=是侧棱网的中点，所以

又BCcPB=B,BCu平面PBC,PBu平面PBC,

所以平面尸3c.

（2）连AC,3。，两直线交于点0,连EO,

因为底面ABCD是正方形，所以。是的中点，

又E分别是PB的中点，所以EO//PD,

所以NAEO或其补角就是异面直线AE与PZ）所成的角,

因为A3CD为正方形，且AP=AB=AD=2,

所以18={PA?+AB?=20，PD=VPA2+AD2=272-AC=Y/AB2+BC2=272»

&AE=LpB=REO=LpD=&AO=LACf,即△AEO是正三角边，

222

所以NAEO=60。.

所以异面直线AE与尸。所成的角为60°.

变式5.（2023春•甘肃定西•高一甘肃省临济中学校考期中）如图，四棱锥P-ABCD中，24,平面ABCD,

底面A3C。是边长为1的正方形，PA=AD,E为上4的中点，F为PZ）的中点.

（1）求证：诙_L平面PDC；

（2）求异面直线BE与尸£）所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

10

【分析】（1）证明出平面R4D,可得出A尸，CD,利用等腰三角形三线合一的性质可得出AFL尸£）,

再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取AD的中点G,连接EG、BG,分析可知异面直线BE与尸£（所成角为/BEG或其补角，计算出ABEG

三边边长，即可求得/BEG的余弦值，即为所求.

【详解】（1）证明：因为四边形A3CO为正方形，则CQLAD,

因为24,平面ABC。，CDu平面ABCD,所以，CDLPA,

因为丛cA£>=A,PA,ADu平面上4D,所以，CD_L平面PAD,

因为AFu平面PAD,所以，AF±CD,

因为Q4=A£）,P为PZ）的中点，所以，AF±PD,

因为。。口阳=。，CD、尸Du平面PCD,所以，A产，平面PCD

（2）解：取AD的中点G,连接EG、BG,

Ek

因为E、G分别为上4、AD的中点，所以，EGHPD豆EG=；PD,

所以，异面直线BE与尸。所成角为/BEG或其补角，

因为24=AD=1,四边形ABCD是边长为1的正方形，且PA_L平面ABCD,

且AT>u平面ABCD,所以，PA±AD,贝i|PD=NPA2+AD。=B故EG，PD=^

22

,同理可得BE=好,

因为8G=y/AB2+AG2=

2

取EG的中点a,连接而，则3/fLEG,故COG/BEC=EH/EG_号:2「回.

BEBG47510

因此，异面直线BE与9所成角的余弦值为叵.

考点三：平行四边形平移法求异面直线所成的角

亡］例3.（2023春・上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，在长方体中，

AB=AD=4,Cq=5,M、N分别是G2、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（）

。一―

二-』

3787758

29

【答案】D

【分析】取A2的中点为P，将"C平移到NP即可知异面直线0N和CM所成的角的平面角即为/DNP,

再利用余弦定理即可解得cos/DNP=叵.

29

【详解】取A2的中点为尸，连接MP,DP,NP,如下图所示:

用是G2的中点，AR的中点为尸，所以M刊/AG，且MP=；AG；

由N分别是AC的中点，所以NC=〈AC,由正方体性质可得AC〃AG，AC=AG，

所以可得MP//NC,MP=NC,即四边形MWC是平行四边形，

则异面直线ON和CM所成的角的平面角即为/DNP,

易知。N=2夜,PN=尸。=V29,

29+8—29近屈

所以cosZDNP=

2x272x729V29-29

故选：D

变式1.（2023春•江西南昌•高一南昌十中校考阶段练习）如图，在正三棱柱A2C-中，2BBi=3AB,D

是棱BC的中点，E在棱CG上，且CG=3CE,则异面直线AQ与所成角的余弦值是（）

D.逅

42

【答案】B

【分析】取棱3月靠近点3的三等分点/，取棱与G的中点”，取37的中点G,连接

证明。尸〃耳E,得/短加是异面直线4。与gE所成的角（或补角）.设AB=4,用余弦定理计算出余弦值.

【详解】取棱8月靠近点5的三等分点歹，取棱4G的中点//,取用尸的中点G,连接A#,DH,\F,DF.

C„

A

由已知CE=；CG=；2与=2|G,又CEHB'G,所以。即£是平行四边形，B.E//CG,同时可得/是3G中

点，而。是BC中点，所以DF//CG.

所以DF//BF，则幺。尸是异面直线4。与2e所成的角（或补角）.

又。H//CG，CG，平面A4G，则斯，平面A4C］，AHu平面A4G，则

设AB=4,则84=6,仄而AH=26,DH=6,BD=2,BF=2,BF=ABI=4,

故4尸=4夜,A。=4相，止=2忘.在AA。尸中，

由余弦定理可得COSZA.DF='或:^片=乎,

所以异面直线\D与B.E所成的角的余弦值为好.

4

故选:B.

变式2.（2023春・浙江•高一路桥中学校联考期中）在直三棱柱ABC-中，ACAAt=2,BC=1,

ZACB=120°,E是8瓦的中点，则异面直线CE与AG所成的角的余弦值是（）

【答案】B

【分析】根据异面直线所成角的定义，取CG中点"，AC中点N,连接MN,MB\,NB\,NB,可得NNMB1为

异面直线CE与A£所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.

【详解】如图，取CG中点M,AC中点N,连接MN,MB\,NB”NB

在直三棱柱ABC-ABC中，AC=AA[=2,BC=1,所以抽，平面耳与弓，有Agu平面耳片^，所以

A4,"G，则IC】="酒+4穹=2亚

因为Af,N分别为CG，AC中点，所以肱V//AG，MN=gAG=0

又可得MC//%E,MC=BiE,则四边形MCE4为平行四边形

所以CE//MB],则ZNMB,为异面直线CE与AQ所成的角或其补角

由平面A笈G，GAu平面AAG，可得CG，C4,所以g=+=&,

在△BC7V中，ZACB=120°,NC=1,BC=1,由余弦定理得

NB=7WC2+BC2-2WC-BC-cos120°=ll+l-2x^-1^|=73,

所以NB[=QNB?+BB；=。3+4=币,

所以在AMN与中，由余弦定理得cos/Ng=MN：警俨=2+尸]

2MN-MB、2XV2XV24

3

所以异面直线CE与AR所成的角的余弦值二.

4

故选：B.

考点四：补形法求异面直线所成的角

4.（2023・全国•高一专题练习）在长方体ABC。-AAG。中，AD^DC=2A4,=2A/3,贝I异

面直线BG与。4所成角的正弦值为（）

,1R275「百nV2

5552

【答案】B

【分析】作图，构造三角形，将Bq与。耳的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.

依题意作上图，延长AA,B[B，GC,Q。至&,星6，£)2,

AA,=BB2=CC2=DD2=,连接BACA,

■■BlB=DD2,BlB//DD2,；.四边形8出2。是平行四边形，

BtD//BD2,异面直线耳。与8G的夹角就是BG与BQ的夹角NC出D2,

21

BD2=^BC+CD+BB^=,2?+2?+(2村=26，

BG/BG+CC：=4,

CR=』CD?+(2CC]J=2a,

由余弦定理得cos/£24=孝;,

，万C1•DL)2J

0<ZCjBft<TI,SinNGBD?=Jl-cos?NGBD?=孚；

故选：B.

变式1.(2023春•浙江宁波・高一效实中学校考期中)如图，在正三棱台ABC-中，底面ABC是边长

为4的正三角形，且胴=4G=2.

(1)证明：AA.LBC；

(2)求异面直线\B、BtC所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)将正三棱台ABC-AAG补成正三棱锥D-ASC,取的中点E,连接AE、DE,证明出

3cl平面ADE,可得出3CLAD,即可得出结论；

(2)

【详解】(1)证明：将正三棱台ABC-A4G补成正三棱锥。一ABC,取BC的中点E,连接AE、DE,

因为AABC为等边三角形，E为BC的中点，则3CLAE,

在正三棱锥D—ABC中，BD=CD,E为BC的中点，则3CLDE,

因为钻口小二片，AE.DEu平面ADE,所以，3c人平面ADE,

因为ADu平面ADE,所以，AD1BC,即AAJ_BC.

(2)解：取4。的中点M,连接用M、48、瓦C、CM,如下图所示：

C

因为在三棱台ABC-A4G中，A4=AG=2,且8c=4,则4G=；8C,

又因为4G〃BC,所以，耳、G分别为30、。的中点，同理，A为AD的中点，

所以，AD=CD=4=AC,故正三棱锥ABC的每个面都是边长为4的等边三角形,

因为A为AD的中点，则48=435皿60。=4义¥=2右，同理gC=2，L

因为耳、M分别为3。、4。的中点，所以，,且与=

所以，异面直线48、BC所成角为/C耳M或其补角，

在VCDM中，CO=4,DM=1,ZCDM=60°,

由余弦定理可得CM=A/CD2+DM2-2CD-DMCOS60=J16+l-2x4xlx1=^,

BQ+BW-CM?12+3-131

由余弦定理可得cos/C4/=

2BC•B〔M2x273x>/36

因此，异面直线A1、8c所成角的余弦值为《.

0

变式2.（2023•全国•高一专题练习）在正方体ABC。-A冉GR中，E为4百的中点，平面与平面CEQ

的交线为1,贝也与AB所成角的余弦值为（）

【答案】D

【分析】延长2A，CE交直线于点延长交于点N,连接则直线即为交线

I,从而可得NMGQ即为/与所成的角，解AMGA即可得解.

【详解】解：延长34，CE交直线于点M延长c禺与A交于点N,连接

则直线MJ即为交线/,

又AB〃G2,

则/MG2即为/与A3所成的角，设正方体棱长为1,

因为E为4A的中点，A{E//BXC{//BC,

所以A为MB的中点，A为N5的中点，点石为MC的中点，石为NG的中点,

则EM=EC,EN=EC],

又/MEN=NCEC],

所以AEMN=AECG,

所以MV=CG=^MNE=ZCC.E=90°,

则CQ=1,C[M=瓜,MD]=B

C1D；+GM2-MD；y/6

所以cosNMCQi二=,

2C]DICM3

即/与居所成角的余弦值为逅.

3

故选：D.

考点五：通过证线面垂直证异面直线所成的角为90°

（2023春・广东广州•高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体ABCD中，M是BC的中

点，P是线段40上的动点，则直线DP和8C所成角的大小（）

A

A.一定为90°B.一定为60°C.一定为45。D.与P的位置有关

【答案】A

【分析】连接DM,可以证到BCLPM,从而证到3cl平面DWP,所以BCLOP,即可得

解.

【详解】解：连接DM,

■.•四面体ABCD是正四面体，M是8C的中点，

:ADBC、AABC是等边三角形，

:.BC±DM,BCLPM.

•••QA/u平面PA7u平面DMP,DM^\PM=M,

.,.3（71.平面。质，又DPu平面DMP,

:.BCLDP,

直线DP与BC所成角为90°.

故选：A.

变式1.（2023秋・河南鹤壁•高一鹤壁高中校考阶段练习）三棱锥S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,\ABC

是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90。；②直线SB，平面A3C；

③平面S3C_L平面&4C；④点C到平面SAB的距离是

2

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由题意证明AC，平面SBC,可判断①;通过结合①即可证明②;根据②可证明③；取A2的

中点E,连接CE,根据线面垂直的性质可判断④.

【详解】由题意,NSC4=90°则ACLSC

由AABC是斜边至=。的等腰直角三角形，可得AC13C

且SCc3C=C

所以AC，平面SBC,即AC，S3,故①正确；

由①得AC_LSB,

根据ZSBA=90。,即AB_LSB

且=A

所以SB，平面ABC,故②正确

因为SBu平面S3C

所以平面SBC，平面SAC,故③正确；

取AB的中点E,连接CE

可证得CEL平面&4B,

故CE的长度即为C到平面SAB的距离,所以④正确.

2

综上可知，正确的为①②③④

故选:D

【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直判定，直线与平面垂直性质的应用,属于基础题.

变式2.（2023•高一课时练习）如图，正方体ABCD-AgGR中，的中点为M,的中点为N,则

异面直线B\M与CN所成角的大小为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】取8中点E,连GEME，可证GE〃耳/，转化为求C|E,CN所成的角，利用平面几何关系，证

明GELCN即可.

【详解】取8中点E,连GE，ME，在正方体ABC。-A与GR中，

"为A3中点，，MEIIBCIIBG,ME=BC=B£,

四边形耳GEM为平行四边形，；.GE〃⑸加，

•••异面直线B\M与CN所成角为直线C禺CN所成的角，

在正方形CCRD中,放△GCE=RtACDN,

ZCQE=NDCN,ZCCtE+gEC=NDCN+ZQEC=90°,

QE1CN,直线B.M与CN所成角的大小为90。.

故选：D.

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.

变式3.（2023春•重庆九龙坡•高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，三棱柱ABC-A4G中，底

面三角形AAG是正三角形，E是3C的中点，则下列叙述正确的是（）

4

A.直线CG与直线相交

B.CG与AE共面

C.AE1与BG是异面直线但不垂直

D.平面ABE垂直于平面C2B[C]

【答案】A

【分析】在三棱柱ABC-A4G中，根据线线，线面关系对选项一一判断即可.

【详解】在三棱柱ABC-A4G中，CEIIBQ且CE=g耳£,所以四边形CEBG为梯形，直线CG与直

线qE相交，故A正确；

由几何图形易知CG与AE为异面直线，故B错误；

AE与是异面直线，且三角形A3c是正三角形，AELBC,

又BC〃B、G,则AELBG，故C错误；

在三棱柱中未给出侧面与上下底面的关系，不能判断AE是否与平面C8瓦G垂直，故无法判断平面

A5乃与平面C82iG的关系，故D错误；

故选：A

考点六：由异面直线所成的角求其他量

（2023春•湖北武汉•高一武汉市第六中学校考阶段练习）在长方体A3。-A4GA中，BR与

CG和G2所成的角均为60。，则下面说法正确的是（）

A.45=0明B.AD=AB

D-A-BD

C.AC=—BC

3

【答案】D

【分析】根据长方体的结构特征，可得用。与CC,和G2所成的角即为B]D与BB1和44所成的角,从而设

。耳=2,由此可求得长方体的棱长，即可一一判断各选项，即得答案.

【详解】在长方体ABCO-A4CA中，CC\UBB\,C\DJAB\,

则B.D与CC,和G2所成的角即为BtD与BB]和\BX所成的角，

即/DB]B=/ABID=60。,

连接。8,AQ,

易得_1面.。。，44_1面4。。[4，且班）U面ABC。，AOu面ADRA，

则ABgLuaa。为直角三角形,

设=2测BBl=；皿=1,4乌=1,

故钿=他=1,故A错误；

由为直角三角形，可得BD=邪何-Bp="口=瓜

则AD=y/BD2-AB2=0,故B错误；

由以上解答可知AC=BD=6,BC=AD=母,

故AC=Y^BC,C错误；

2

在长方体ABC。—A[jB[C]£>]中，AC]=DBt=2,BD=6,

故&6=孚8。，D正确，

故选：D

变式1.（2023・高一单元测试）在空间四边形ABCD中，E,F,G,//分别是AB,BC,CD,的

中点.若AC=3D=2,且AC与8。所成的角为60。，则EG的长为（）

A.1B.72C.1或6D.垃或百

【答案】C

【分析】连接"E，，G,可得ZEHG=60。或120。，求解三角形即可求出.

【详解】如图，连接HE,HG,在△ABD中，因为为中点，所以HE//BD,HE=1,

在AACD中，因为”,G为中点，所以"G//AC,HG=1,

因为AC与3。所成的角为60。，所以N£HG=60。或120。，

当N£HG=60。时，AEHG为等边三角形,所以EG=1,

当/EHG=120。，由余弦定理可得EG?=1+1-2xlxlx（-万）=3,即EG=追，

所以EG的长为1或

故选：C.

变式2.（2023春・贵州毕节•高一统考期末）在空间四边形ABCD中，AB=CD,E,尸分别为BC,AD的

中点，若与C£＞所成的角为40。，则E尸与AB所成角的大小为（）

A.20°B.70°

C.20。或70°D.40。或140。

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求所与A3所成角的大小.

【详解】取AC的中点3。的中点N,连接ME,EN,NF,FM,EF,

•••M,E,N,F分别是AC,BC,血,AD的中点，.1ME//AB,NF//AB,

..MEI/NF,同理EN//MF,

四边形MENF是平行四边形,

又;AB=CD,

:.ME=EN,四边形MENF是菱形，

A3与8所成的角为40。，.•.NAffiN=40。或140。,

E尸与AB所成角是NMEF==ZMEN=20。或70。.

2

故选：C

变式3.（2023・高一课时练习）如图，在三棱锥ABC中，ZDAC=ZBCA=Z.BCD=90°,DC=J19,AB=3,

且直线AB与DC所成角的余弦值为典，则该三棱锥的外接球的体积为（）

【答案】C

【分析】由题意，将三棱锥。-ABC放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边

长a,b,c的方程组，求解得4+〃+02=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据

球的体积公式即可求解.

【详解】解：由题意知AC15C,DCLBC,则平面4OC,所以

又ADLAC,ACnBC=C，所以AD,平面ABC,将三棱锥D-ABC放入对应的长方体中，如图：

易知EB〃DC,所以NABE为直线AB与。C所成的角，

所以MA^+BEZ-Z".BECOSZABE,解得4月=后.

2222

设长方体的长、宽、高分别为。，b,c,则/+匕2=9,a+c=22,b+c=19,

三式相加得a2+b2+c2=25,所以长方体的外接球的半径为业三土二=工，

22

所以该三棱锥的外接球的体积为卜=3万（*[=竺亥.

3⑶6

故选：C.

考点七：垂线法求直线与平面所成的角

7.（2023春.海南.高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD1.

平面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

B.AB//平面SC。

C.直线SA与平面S3。所成的角等于30。

D.直线SA与平面所成的角等于直线SC与平面58。所成的角.

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理、性质定理可推出A正确；根据线面平行的判定定理可推出B正确；根

据直线与平面所成角的定义，可推出C不正确；D正确.

【详解】对于A,因为SD_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以SD_LAC,

因为A3CD为正方形，所以3£>_LAC,

又SD,BOu平面S3。，SD[}BD=D,所以AC_L平面SB。，

因为S3u平面Sa）,所以ACLS3,故A正确；

对于B,因为AB〃CD,平面SCO,CDu平面SCO,

所以AB〃平面SCO,故B正确；

对于C,设AC,3。交于。，连SO,由A知，49,平面SBA,则Z4SO是直线SA与平面SBO所成的角，

设AB=x,PD=y,则&4=,八+产,OA=与X,只有当S4=2Q4,即产衣=0X，即彳=丁时，才

有NASO=30。，故C不正确；

对于D,由C知，NASO是直线SA与平面S3。所成的角，NCSO是直线SC与平面S3。所成的角，因为

OA=OC,SO=SO,SA=SC,

所以△ASO与！CSO全等，所以NASOuNCSO,故D正确.

变式1.（2023春•山西•高一统考阶段练习）如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2,高为4,AB为底面

圆O的直径，C为AB上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）

A岳。底715nM

A.--D.----rC.D.----

101055

【答案】A

【分析】如图，取。4的中点。，连接CO,PO,CD,PD,可证直线尸C与平面R钻所成的角为/CP。,

再结合题设中的数据可求线面角的正弦值.

【详解】如图，取。4的中点。，连接CO,PO,CD,PD,

jr

由题意得乙40C=§,所以AAOC为正三角形，则CDLAO,

因为P。1平面A3C,C£>u平面A3C,所以尸O