导学案数学第七章72721复数的加减运算及其几何意义

7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义【学习目标】1.掌握复数加、减运算法则.2.理解复数加、减运算的几何意义.3.能够利用数形结合思想解决复数模的综合问题.【素养达成】数学抽象直观想象直观想象、数学运算一、复数的加、减运算1.运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)z1z2=(ac)+(bd)i.2.运算律对任意z1,z2,z3∈C,有(1)交换律:z1+z2=z2+z1;(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、复数加、减法的几何意义如图,设复数z1=a+bi,z2=c+di对应的向量分别为,,则=(a,b),=(c,d),四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则1.复数z1+z2与向量OZ=(a+c,b+d)对应.2.复数z1z2与向量=(ac,bd)对应.3.|z1z2|=(a-c)2+(b【版本交融】(人BP35探索与研究)根据z1z2的几何意义讨论下列各式的几何意义.(1)|z(1+i)|=2;(2)|z+1|+|z1|=2.提示:(1)表示复数z对应的点与点(1,1)的距离为2;(2)表示复数z对应的点到点(1,0)和点(1,0)的距离之和为2.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若复数z,z1,z2满足z=z1+z2,则z1=zz2.(√)提示:复数满足等式的移项法则.(2)若复数z1,z2满足z1z2>0,则z1>z2.(×)提示:如2+ii>0,但是2+i>i不成立,因为虚数不能比较大小.(3)复数z1,z2,z3满足(z1z2)z3=z1(z2+z3).(√)提示:类比实数去(添)括号可知正确.(4)若复数z满足z34i=5,则z的虚部是4i.(×)提示:z34i=5,则z=8+4i,其虚部为4.类型一复数的加、减运算(数学运算)【典例1】(教材提升·例1)计算:(1)(1+2i)+(711i)(5+6i);(2)5i[(6+8i)(1+3i)];(3)(a+bi)(2a3bi)3i(a,b∈R).【解析】(1)(1+2i)+(711i)(5+6i)=(1+75)+(2116)i=315i;(2)5i[(6+8i)(1+3i)]=5i(7+5i)=7;(3)(a+bi)(2a3bi)3i=(a2a)+[b(3b)3]i=a+(4b3)i(a,b∈R).【总结升华】关于复数的加、减运算(1)复数的加、减运算可以类比多项式合并同类项的运算,有括号时优先去括号,若无括号则从左向右依次进行运算;(2)整体考虑:即实部分别相加减、虚部分别相加减,结果分别作为实部和虚部.【即学即练】1.已知z1=2+i,z2=12i,则复数z=z2z1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z1=2+i,z2=12i,所以z=z2z1=(12i)(2+i)=13i,所以复数z在复平面对应的点为(1,3),位于第三象限.2.若(13i)+z=6+2i,则复数z=__________.

答案:5+5i【解析】z=(6+2i)(13i)=6+2i1+3i=5+5i.【补偿训练】(2024·辽宁高一检测)已知复数z1=a2+(a6)i,z2=2a3+a2i,a∈R.(1)若z1+z2是纯虚数,求a;(2)若z1+z2>0,求|z1|.【解析】(1)由题意得z1+z2=a2+2a3+(a2+a6)i,因为z1+z2是纯虚数,所以a2+2a-(2)因为z1+z2>0,所以a2解得a=2.故|z1|=|44i|=42.类型二复数加、减法的几何意义(直观想象)【典例2】已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3i,求点D对应的复数.【解析】因为向量对应的复数为1+2i,所以向量=(1,2),对应的复数为3i,所以向量=(3,1),=+=(1,2)+(3,1)=(4,1),设O为坐标原点,==(2,1)(1,2)=(1,1),所以=+=(1,1)+(4,1)=(5,0),所以点D对应的复数为5.【总结升华】复数加、减法的几何意义(1)根据复数加、减法的几何意义,将其转化为对应向量的加、减运算;(2)利用向量的观点,解决复数的有关问题.类型三复数模的综合问题(直观想象、数学运算)【典例3】(1)(2024·商丘高一检测)在复平面内表示z的点为Z,满足|z+i|≤1,则点Z所组成图形的面积为__________.

答案:π【解析】|z+i|≤1的解集是以(0,1)为圆心,1为半径的圆及其内部所有点组成的集合,其面积S=π×12=π.(2)如果复数z满足|z+i|+|zi|=2,则|z+i+1|的最小值为________.

答案:1【解析】设复数z,i,i,1i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|zi|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.【总结升华】复数模的综合问题(1)|z|即向量||,若z对应的点Z为动点,|z|=r,则Z的轨迹是以原点为圆心,半径为r的圆;(2)|zz0|即||,即复平面内点Z0,Z之间的距离,若z对应的点Z为动点,|zz0|=r,则Z的轨迹是以Z0为圆心,半径为r的圆;(3)与模有关的最值问题,可以借助模的几何意义,转化为动点Z的轨迹上的点到定点Z0距离的最值问题,或者从函数的角度,转化为函数的最值问题.【即学即练】已知复数z满足|z|=1,则|z2i|的取值范围为____