2024-2025学年试题数学专题突破练三

专题突破练三(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为()A.4π3 B.2π3 C.3π【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是43×π×13=4π2.(5分)长方体的长、宽、高分别为2a,a,2a,它的顶点都在球面上,则这个球的体积是()A.27πa38 C.9πa32 【解析】选C.设这个球的半径为R,根据条件可知,外接球直径2R=a2+(2a)2+(2a)2=3a3.(5分)若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】选C.过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC及其内切圆☉O1和外接圆☉O2,且两圆同圆心,即△ABC的内心与外心重合,易得△ABC为正三角形,由题意得☉O1的半径为r=1,所以△ABC的边长为23,所以圆锥的底面半径为3,高为3,所以V=13×π×(3)2×3=3π4.(5分)在Rt△ABC中,CA=CB=2,以AB所在直线为旋转轴旋转一周得到一个几何体,则该几何体的内切球的体积为()A.2π3 BC.2π D.2π【解析】选A.如图所示,旋转体的轴截面为边长为2的正方形,设O为内切球的球心.内切球半径r=12AC=22,所以该几何体的内切球的体积为43×π×(22)5.(5分)(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为31,则下列说法中正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为4πC.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为23【解析】选ABC.设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即32a;内切球的半径为棱长的一半,即a因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MNmin=32aa2=3-1解得a=2,即正方体的棱长为2,所以正方体外接球的表面积为4π×(3)2=12π,内切球的体积为4π3线段MN的最大值为3+1,则D错误.6.(5分)在三棱锥ABCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为__________.

【解析】根据题意得,BC⊥平面ABD,则BC⊥BD,即AD,BC,BD三条线两两垂直,所以可将三棱锥ABCD放置于长方体内,如图所示,该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点,即外接球的半径为长方体体对角线长的一半,此时AC为长方体的体对角线,即为外接球的直径,所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π.答案:20π7.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,表面积为S1,球O的体积为V2,表面积为S2,则V1V2=__________,S【解析】设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,所以V1V2=πR2·2R4答案:328.(10分)半球内放三个半径为3的小球,三小球两两相切,并且与球面及半球底面的大圆面也相切,求该半球的半径.【解析】三个小球的球心O1,O2,O3构成边长为23的正三角形,则其外接圆半径为2.设半球的球心为O,小球O1与半球底面切于点A.如图,经过点O,O1,A作半球的截面,则半圆☉O的半径为OC,OC⊥OA,作O1B⊥OC于点B.则OA=O1B=2.设该半球的半径是R,在Rt△OAO1中,由(R3)2=22+(3)2可得R=3+7.9.(10分)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上,该四面体各棱长都相等,如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上,如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上,该八面体各棱长都相等,四边形ABCD是正方形,如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4,S6,S8.若R1∶R2∶R3=3∶43∶2求证:S4=S6=S8.【证明】设正四面体的棱长为a4,如图正四面体A'B'C'D'内接于棱长为a4则易求R1=64a4所以a4=4R16,所以S4=4×3设正方体的棱长为a6,则2R2=3a6,所以a6=2R23,所以S6=6a设