导学案数学第八章81第1课时棱柱棱锥棱台

8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台【学习目标】1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的定义与结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题.【素养达成】直观想象直观想象逻辑推理一、空间几何体1.多面体:由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;两个面的公共边叫做多面体的棱;2.旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.【教材挖掘】(P97~P98)多面体与旋转体有什么不同?提示:多面体是由若干个平面多边形围成的几何体,旋转体是由平面图形绕轴旋转形成的封闭旋转面围成的几何体.二、棱柱、棱锥、棱台1.棱柱类别结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征(1)有两个面互相平行(2)其余各面都是四边形(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱……直棱柱:棱与底面都垂直;正棱柱:底面为正多边形的棱柱2.棱锥类别结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征(1)有一个面是多边形(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形记作:棱锥SABCD分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……正棱锥:底面为正多边形的棱锥3.棱台类别结构特征及分类图形及记法棱台结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的那部分多面体叫做棱台记作:棱台ABCDA'B'C'D'分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……正棱台:底面为正多边形的棱台【教材挖掘】(P98)棱柱的侧面一定是平行四边形吗?有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?提示:根据棱柱的概念可知,棱柱侧面一定是平行四边形.但有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱,如图:【版本交融】(北师大版P206)平行六面体、长方体、正方体都是四棱柱,它们有什么关系?提示:几种棱柱之间的关系【版本交融】(北师大版P207)对比下列三组空间图形,你能说出后者是由前者发生怎样的变化得到的?(1)(2)(3)提示:棱柱的一个面收缩为一个点时,就得到相应的棱锥.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面.(×)提示:如六棱柱,相对的侧面互相平行,但不是底面.(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥.(×)提示:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体是棱锥.(3)棱台的上下底面互相平行,且各侧棱延长线相交于一点.(√)(4)棱柱的侧面展开图是矩形.(×)提示:只有直棱柱的侧面展开图是矩形.类型一棱柱的结构特征(直观想象)【典例1】(教材P145T15改编)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度(水未溢出),则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱 B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定【解析】选A.如图,因为有水的部分前后两个平面平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边平行,因此是棱柱.【总结升华】棱柱结构特征的辨析技巧扣定义:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.【即学即练】(2024·佛山高一检测)下列几何体为棱柱的是()【解析】选B.根据棱柱的概念,选项A中上下两个面不平行,不是棱柱;选项B为棱柱;选项C,D侧棱不平行,不是棱柱.类型二棱锥、棱台的结构特征(直观想象)【典例2】(1)(多选)下列说法正确的是()A.棱锥的侧面只能是三角形B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台D.棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥【解析】选AD.由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形,A正确;可用如图①的反例检验,B不正确;用平行于底面的平面截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台,C不正确;如图②所示,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥,D正确.(2)(教材P105T4改编)如图所示的多面体不是棱台的为__________(填序号).

【解析】题图①②中多面体侧棱延长线不相交于同一点,不是棱台;题图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,也不是棱台;题图④是棱台.答案:①②③【总结升华】判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法项目棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即为底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后交于一点【补偿训练】(多选)下列命题中,真命题的是()A.棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点B.棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形C.棱锥的各侧棱长相等D.多面体至少有4个面【解析】选AD.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故A正确.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点),故B错误;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,C错误;D正确.类型三空间几何体的展开图(直观想象、逻辑推理)【典例3】(1)(2024·涪陵高一检测)如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为()A.三棱锥 B.四棱柱C.四棱锥 D.球【解析】选C.由给定的图形知,该几何体由四个三角形面与一个四边形面组成,所以该几何体为四棱锥.(2)一个几何体的平面展开图如图所示,则该几何体是______,该几何体中与“祝”相对的字是__________.

【解析】由题中展开图知,该几何体是四棱台,几何体中与“祝”相对的字是“前”.答案:四棱台前【总结升华】空间几何体的展开图问题的解题策略(1)要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.(2)若给出多面体画其展开图,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.(3)若是给出表面展开图,则按上述过程逆推.【即学即练】在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条侧棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.【解析】作出三棱锥的平面展开图,如图,A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=OA2即此绳在A,B之间的最短绳长为5.教材深一度正方体的截面问题根据截面截正方体的位置不同,产生的截面形状不同,截面的具体形状大致有以下四种:(1)截面为三角形时,可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形;(2)截面为四边形时,可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形,但不可能是直角梯