导学案数学第十章1011012事件的关系和运算

10.1.2事件的关系和运算【学习目标】【素养达成】1.了解随机事件的并、交与互斥的含义.数学抽象2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.逻辑推理一、两个事件的关系项目定义符号表示图形表示包含关系一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等A=B二、事件的运算定义符号表示图形表示一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)续表定义符号表示图形表示一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)【教材深化】理解事件包含关系的注意点(1)任何事件都包含不可能事件,即C⊇⌀(C为任一事件).事件A也包含于事件A,即A⊆A.(2)若两个事件相等,则这两个事件总是同时发生或同时不发生.(3)①A⊆B可用逻辑语言表述为A发生是B发生的充分条件,B发生是A发生的必要条件;②A=B可用逻辑语言表述为A发生是B发生的充要条件.三、互斥事件与对立事件定义符号表示图形表示一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B=⌀一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为AA∪B=Ω,A∩B=⌀【教材深化】1.和事件与互斥事件的辨析(1)和事件A∪B包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意:任意两个基本事件都是互斥的,⌀与任意事件互斥.2.对立事件的理解(1)事件A的对立事件记为A,A∩A=⌀,A∪A=Ω.若事件A,B互为对立事件,则A∪B是必然事件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.3.多个事件的和事件、积事件类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A,B,C,…,A∪B∪C∪…(或A+B+C+…)发生当且仅当A,B,C,…中至少一个发生,A∩B∩C∩…(或ABC…)发生当且仅当A,B,C,…同时发生.【教材挖掘】(P231探究)问题1:在掷骰子试验中,事件A=“点数为1”,事件B=“点数为奇数”,表示A与B两事件的集合有什么关系?A与B事件有什么关系?提示:集合B包含集合A;事件A发生,则事件B一定发生.问题2:在掷骰子试验中,用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗?提示:D1={1,2,3},E1={1,2},E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.问题3:在掷骰子试验中,事件C2=“点数为2”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗?提示:E1={1,2},E2={2,3},C2={2}.{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.(×)提示:对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.(2)若事件A和B是互斥事件,则A∩B是不可能事件.(√)提示:因为事件A和B是互斥事件,所以A∩B为空集,所以A∩B是不可能事件.(3)事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件.(×)提示:反例:抛掷一枚骰子,事件A:向上的点数小于5,事件B:向上的点数大于2,则事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是对立事件.类型一判断两个事件的关系(数学抽象)【典例1】在掷骰子试验中,可以得到以下事件,A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系:(1)B________H;(2)D______J;(3)E______I;(4)A________G.

答案:(1)⊆(2)⊆(3)⊆(4)=【解析】因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;易知事件A与事件G相等,即A=G.【备选例题】对一箱产品进行随机抽查检验,如果查出2个次品就停止检查,最多检查3个产品.写出该试验的样本空间Ω,并用样本点表示事件:A={至少有2个正品},B={至少1个产品是正品},并判断事件A与事件B的关系.【解析】依题意,检查是有序地逐个进行,至少检查2个,最多检查3个产品.如果用“0”表示查出次品,用“1”表示查出正品,那么样本点至少是一个两位数,至多是一个三位数的有序数列.样本空间Ω={00,010,011,100,101,110,111}.A={011,101,110,111},B={010,011,100,101,110,111},所以A⊆B.【即学即练】连续掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系.【解析】当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.【补偿训练】(2024·平顶山高一检测)抛掷3枚质地均匀的硬币,记事件A=“至多2枚正面朝上”,事件B=“没有硬币正面朝上”,则下列正确的是()A.A∩B=⌀ B.A=BC.B⊆A D.A⊆B【解析】选C.记Ai=“有i枚硬币正面朝上”,i=0,1,2,3,则A=A0∪A1∪A2,B=A0,所以B⊆A.类型二事件的运算(数学抽象)【典例2】盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.求:(1)事件D与A,B是怎样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?【解析】(1)事件D包含的样本点为{1个红球、2个白球},{2个红球、1个白球},故D=A∪B.(2)事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球},{2个红球、1个白球},{3个红球},故C∩A=A.【备选例题】在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E分别是什么运算关系?C与F的交事件是什么事件?【解析】事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球},{2个红球、1个白球},{3个红球},故B⊆C,E⊆C,而事件F包含的样本点为{1个白球、2个红球},{2个白球、1个红球},{3个白球},所以C∩F={1个红球、2个白球且2个红球、1个白球}=D.【总结升华】事件间运算的方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有的样本点,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有的样本点,把这些结果在图中列出,进行运算.【即学即练】(多选)(2024·南通高一检测)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有两件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.下列选项正确的有()A.A∪B=C B.B∪D是必然事件C.A∩B=C D.A∩D=C【解析】选AB.对于A选项,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正确;对于B选项,事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即代表了所有情况,故B正确;对于C选项,事件A和B不可能同时发生,即事件A∩B=⌀,故C错误;对于D选项,事件A∩D指恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D错误.类型三互斥事件与对立事件(数学抽象、逻辑推理)【典例3】判断下列各事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件.理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件;(2)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生;(3)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.(4)是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,又其并事件是必然事件,所以是对立事件.【总结升华】辨析互斥事件与对立事件的方法(1)从发生的角度看①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生.②两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.(2)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.【即学即练】2024年某省新高考实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.既是互斥事件,也是对立事件C.既不是对立事件,也不是互斥事件D.无法判断【解析】选A.因为事件A和事件B不能同时发生,所以事件A和事件B是互斥事件.因为该同学还有政治和化学,政治和生物等不同选择,所以事件A和事件B不是对立事件.综上所述,事件A和事件B是互斥事件,不是对立事件.【补偿训练】(多选)(2024·鞍山高一检测)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则()A.A与B互