湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二下学期2月联考数学试题

湖北省随州市部分高中学年下学期2月联考高二数学试题本试卷共4页，题，全卷满分分，考试用时分钟.考试范围：选择性必修一第一、二三章；选择性必修二第四章注意事项：、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.、选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】由空间向量的线性运算即可求解；第1页/共19页【详解】=.故选：C.2.已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】过点且斜率为1上恰有3个点到的距离为1，结合半径，则由圆心到直线的距离为1求解.【详解】因为直线过点且斜率为1，所以直线方程为，即，因为圆上恰有3个点到的距离为1，所以圆心到直线的距离为：1，即，解得.故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过（0，3C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为（）A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B【解析】【分析】第2页/共19页当直线II的方程为的方程为，求出圆半径圆心到直线的距离，由能求出直线l的方程.ll的方程为x＝0或|AB|＝2，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即（x－1）2＋（y－1）2＝4，圆心为C（1，1r＝2，易知圆心C（1，1）到直线y＝kx＋3的距离d＝，d2＋＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选：B.【点睛】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，解答本题需要明确直线方程的求解方法以及点到直线的距离公式，是中档题.4.已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为()第3页/共19页A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则设平面一个法向量为，则由因为，所以与平面所成的角的正弦值为，选A点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.5.直线和直线垂直，则实数的值为（）A.1B.0C.2D.或0【答案】D【解析】【分析】由两直线垂直建立m的方程，解得m，即可得出．第4页/共19页【详解】由两直线垂直可得：，解得或1．故选D．【点睛】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知数列{a}的通项公式为a＝，若数列{a}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A.(3，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)【答案】D【解析】【分析】依题意对任意对任意的取值范围；，，所以对任意恒成立，所以．故选：D．【点睛】本题考查数列的单调性的应用，属于基础题.7.设等差数列的前n项和为，若，则()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列第5页/共19页又，公差，，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.已知，设数列的前项和为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由裂项相消求和法求和即可；【详解】因为，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得12=k，或1+2=k，求得k=1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．第6页/共19页故选：ABC．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．10.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解.【详解】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况，若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程，有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确；若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程，有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确.故选：AC（多选题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列所有说法中正确的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】第7页/共19页可得AB等差数列求和公式可得C正确；由列项相消可得D正确；【详解】对于A，由题意，得，故A错误；对于B，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，，故B正确；对于C，由，可得=84，故C正确；对于D，由，得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共分12.若直线的方向向量的一个法向量_____.【答案】2【解析】【分析】由线面垂直得到方向向量与法向量共线即可求解；【详解】因为，所以的方向向量与平面的法向量共线，所以存在实数λ，使，即故答案为：213.曲线上点到直线距离的最小值为______．第8页/共19页【答案】##【解析】【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离.【详解】令与相切，联立整理可得，所以，可得，当，此时与的距离，当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.故答案为：14.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为_______.【答案】##0.5【解析】【分析】由和两类情况，结合前项的和求解即可；【详解】当时，，所以.当时，，所以.故答案：四、解答题：本题共5小题，共分15.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，.第9页/共19页（1）求线段的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1为起点的三个向量作为基底，利用基向量表示行求解；（2）设异面直线与所成的角为，则，再利用空间向量的模长公式、数量积公式进行求解；（3）利用空间向量的数量积为0进行证明.【小问1详解】设，，，则，，，.因为，所以第10页/共19页，所以线段的长为.【小问2详解】设异面直线与所成的角为，则，因为，，所以，，则，即异面直线与所成的角的余弦值为.【小问3详解】证明：因为，，所以，所以，即.16.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，第11页/共19页．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，第12页/共19页所以平面.【小问2详解】中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则取，则.设二面角大小为，则，所以二面角的正弦值为.O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，，，，，，，．设是平面的法向量，第13页/共19页则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．所以．因此二面角的正弦值为．17.上的椭圆:经过点为椭圆的离心率.过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）.（1）求椭圆的方程;（2）过原点且平行于的直线交椭圆于点，求的值;（3）记直线与轴的交点为，若，求直线的斜率.【答案】（1）.（2）.第14页/共19页（3）.【解析】1）根据椭圆过点以及之间的关系式，即可待定系数法求解；（2的方程为，示出，设直线的方程为代入椭圆的方程，可表示出，即可求出结果；（3）由（2）知，，，则，，结合，即可联立得到关于的方程，求解即可.【小问1详解】由椭圆过点，得，又，所以，解得或所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程可得，整理可得，所以，又，第15页/共19页所以，由题意设直线的方程为，代入椭圆的方程可得，所以，所以，所以，所以，即的值为.【小问3详解】由（2）知，，，则，，因为，所以，所以，由（2）得，故，故，故，故，所以得，解得，又，所以.所以直线的斜率为.18.已知等差数列的前n项和记为（．（1）若数列为单调递减数列，求的取值范围；第16页/共19页（2第n项与第项之间插入首项为12的等比数列的前n新数列，记数列的前n项和为，求．【答案】（1）（2）【解析】1的公差为的取值范围；（21项求和公式即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由于，所以，解得，所以，若数列为单调递减数列，则对于恒成立，所以在上恒成立，则，所以，又数列为递增数列，所以，即，故的取值范围为；【小问2详解】若，则，根据题意数列为：第一组为：1，；第二组为：，，；第三组为：，，，；第17页/共19页第组为：，，，；则前组一共有项，当时，项数为.故相当于是前组的和再加上这五项，即：设，则可看成是数列的前项和所以.19.已知等差数列满足，且是的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值.【答案】(1)(2)8【解析】1的公差为和和