导学案数学第六章64643第4课时余弦定理正弦定理应用举例

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例【学习目标】1.理解测量中的基线、视角、方向角、方位角、俯角、仰角等专业术语.2.能将实际问题转化为数学中的解三角形问题.3.能够利用正、余弦定理解决与距离、高度、角度等有关的实际问题.【素养达成】数学抽象数学建模逻辑推理、数学运算测量中的相关名称、术语1.基线:在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2.视角:指观察物体的两端视线张开的角度.如图所示,视角60°指的是观察该物体上下两端点时,视线的张角.3.方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°.4.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示.5.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:0°~360°.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)测量的精确度与基线的长度有关.(√)提示:基线越长,测量的精确度越高.(2)方位角和方向角是一样的.(×)提示:方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角);方位角指的是从标准方向的北端起,顺时针方向到目标直线的水平角,范围为0°~360°.所以方位角和方向角是不一样的.(3)如图所示,甲看物体AB的视角为30°.(√)提示:设甲所在位置为点C,则∠ACB=180°75°×2=30°,即甲看物体AB的视角为30°,故正确.(4)在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√)提示:在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影,仰角或俯角,也即斜线和斜线在水平面内的射影的夹角,故正确.类型一测量距离问题(数学运算)【典例1】(2024·北京高一检测)如图,为了测量湖两侧的A,B两点之间的距离,某观测小组的三位同学分别在B点,距离A点30km处的C点,以及距离C点10km处的D点进行观测.甲同学在B点测得∠DBC=30°,乙同学在C点测得∠ACB=45°,丙同学在D点测得∠BDC=45°,试求A,B两点间的距离.【解析】∠DBC=30°,∠ACB=45°,∠BDC=45°,AC=30,CD=10,在△BCD中,由正弦定理,有CDsin∠DBC=则BC=CDsin∠BDCsin∠DBC=在△ABC中,由余弦定理可知,有AB2=BC2+AC22BC·AC·cos∠ACB=(102)2+3022×10所以AB=105,即A,B两点间的距离为105km.【总结升华】测量距离问题的解题策略(1)根据题意,作出对应图形,根据已知条件和图形特点寻找可解的三角形;(2)将实际问题中的长度和角度转化为三角形的边与角,结合正、余弦定理求解.【补偿训练】如图所示,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α,β,γ.计划沿直线AC开通穿山隧道,请根据表格中的数据,计算隧道DE的长度.αβcosγADEBBC45°60°4531233【解析】由cosγ=45,γ为锐角可得,sinγ=3则sin(60°γ)=sin60°cosγcos60°sinγ=43在△PBC中,∠BPC=60°γ,∠PCB=γ,BC=1233.由正弦定理可得,PB=BCsinγsin(60在△PAB中,∠PAB=α=45°,∠APB=75°,PB=63.由正弦定理可得,AB=PB·sin75°sin45°即DE=ABADEB=9,所以隧道DE的长度为9.类型二测量高度问题(数学运算)【典例2】某同学为了测量学校天文台CD的高度,选择学校宿舍楼三楼一阳台A,A到地面的距离AB为30(23)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得阳台A,天文台顶C的仰角分别是15°和30°,在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则学校天文台CD的高度为________m.

答案:30【解析】在Rt△ABM中,AM=ABsin在△ACM中,∠CAM=15°+15°=30°,∠AMC=180°15°30°=135°,∠ACM=180°135°30°=15°,由正弦定理得AMsin∠ACM=故MC=sin∠CAMsin∠ACM·AM=sin30°sin15在Rt△CDM中,CD=MC·sin30°=AB2故学校天文台CD的高度为30m.【总结升华】测量高度问题的解题策略(1)底部三点共线:首先用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部与一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形问题;(2)底部三点不共线:将目标高度转化为地平面内的某个量,将空间问题转化为平面内解三角形问题.【补偿训练】(2024·青岛高一检测)如图,为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高,选与塔底B同在水平面内的两个测量点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向,然后向正东方向前进20米到达D点,测得此时塔底B在北偏东15°方向.(1)求点D到塔底B的距离BD;(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°,求铁塔高AB.【解析】(1)由题意可知,∠BCD=45°,∠BDC=105°,故∠CBD=30°,在△BCD中,由正弦定理,得BDsin∠BCD=即BDsin45所以,BD=20sin45°sin因此点D到塔底B的距离BD为202米.(2)在△BCD中,由正弦定理,得BCsin∠BDC=所以BC=202=40·(sin60°cos45°+cos60°sin45°)=40×6+24=10(6+在Rt△ABC中,AB=BC×tan∠ACB=10(6+2)×33=102+10所以,铁塔高AB为(102+1063类型三测量角度问题(数学运算)【典例3】(教材提升·例11)如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=____________.

答案:21【解析】在△CBA中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=402+2022×40×20×cos120°=2800⇒BC=207.由正弦定理得,207sin120°=40sin∠ACB⇒sin∠ACB=217,cos∠所以cosθ=cos(30°+∠ACB)=32×27712×【总结升华】测量角度问题的解题策略(1)根据题意作出表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离;(2)用正弦定理或余弦定理解三角形,求出对应角的正弦或余弦,最后将所得结果转化为实际问题的解.【补偿训练】(多选)(2024·洛阳高一检测)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上,距离为123海里,灯塔C在A的北偏西30°方向上,距离为66海里,该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上,下面结论正确的有()A.AD=122海里B.CD=62海里C.∠CDA=60°或∠CDA=120°D.灯塔C在D的南偏西60°方向上【解析】选ABD.由题意知,∠DAB=75°,∠ADB=60°,∠DAC=30°,AB=123,AC=66,则B=45°,所以在△ADB中,ADsinB=则AD=ABsinBsin∠ADB=所以CD=AC2+AD由AC2+CD2=AD2,则AC⊥CD,故∠CDA=60°,灯塔C在D的南偏西60°方向上,故C错误,D正确.教材深一度三角形特殊线段的求法(内切圆半径、中线、高线)(源于教材习题6.4T15,T20)【常用结论】1.△ABC的三边分别是a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,则ma=12mb=122(a2+2.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p=12(a+b+c)(1)若r为三角形的内切圆半径,则r=(p(2)把边BC,AC,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则