二项式展开定理二轮复习解析版

知识点一1.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.2．有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).3.二项式定理;(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．4.二项展开式的通项公式.【常用结论】求二项展开式中的常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．5.二项式的展开式的特点：（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；知识点二、二项展开式的通顶公式二项展开式的通项：公式特点：（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；（2）字母的次数和组合数的上标相同；知识点三：二顶式系数及其性质1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．（3）各二项式系数之和为，即；（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．知识点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．2、展开式中的系数求法的整数且知识点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．3二项式系数表(杨辉三角)a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和【知识点讲解一】二项式定理的正用、逆用【例题解析】1.求的二项展开式．【解析】由二项式定理，得，所以的二项展开式是．【巩固练习】1.用二项式定理展开下列各式：(1)；【解析】（1）.【知识点讲解二】求二项展开式的某一项【例题解析】1．在的展开式中，第四项为（

）A．160 B． C． D．【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在的展开式中，第四项为.故选：D.2．在的展开式中，常数项为（

）A． B．24 C． D．48【答案】B【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为故选：B【巩固练习】1.（x－）的展开式中的系数为__________(用数字作答).【解析】展开式通项为.令，得，所以的系数为．【知识点讲解三】根据二项展开式的某一项求值【例题解析】1．在的展开式中，含项的系数为（

）A．160 B．192 C．184 D．186【答案】B【分析】本题可根据二项式的展开式的通项求出结果.【详解】二项式的展开式的通项，当时，，项的系数为192.故选：B.【巩固练习】1．展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.2.已知，则．【答案】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为，取得到.故答案为：.3.若，则．【答案】【分析】采用赋值法，令即可求得结果.【详解】令，则，所以，故答案为：.4.的展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】10【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由的展开式的通项公式为，，令，得，所以展开式中的系数为．故答案为：10．【知识点讲解四】二项式系数【例题解析】1．若的展开式中的第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得的系数.【详解】展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，展开式通项公式为：，令，解得：，的系数为.故选：B.【巩固练习】1．在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得展开式中含的项的二项式系数.【详解】∵二项式的展开式中，通项公式为，令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.2．的展开式中含项的系数是（

）A．－112 B．112 C．－28 D．28【答案】B【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为，令，可得，所以含项的系数是故选:B3．的展开式中，的系数是（

）A．10 B．40 C．60 D．80【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数是.故选：D【知识点讲解五】二项展开式各项的系数和【例题解析】1．展开式中各项系数的和为（

）A． B．1 C．256 D．【答案】B【分析】利用赋值，令代入二项式中，即可求得答案.【详解】由题意可知的展开式的通项为，由此可知令，即可得展开式中各项系数的和为，故选：B【巩固练习】1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】赋值法求解展开式的各项系数和，列出方程，求出.【详解】由题意，令得：，解得：．故选：B2．若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．10 B．15 C．25 D．30【答案】B【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令，则所有的项的系数和为，由于，所以，展开式的通项为，故当时，即，此时展开式中的常数项为,故选：B3.的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开中各二项式系数的和为(

)A．64 B．128 C． D．256【答案】D【分析】根据二项式展开式可知，求得，进而根据二项式系数和公式即可求解.【详解】由二项式定理可知展开式中的第6、7项分别为，其系数分别为，由题设可得，解得，故展开式中各二项式系数为，故选：D．【知识点讲解六】二项式系数与项的系数的性质【例题解析】1.若，则__________．【解析】令，则，为的系数，其中展开式中的系数为，展开式中的系数为，则.【巩固练习】1在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（）A．15B．45C．135D．405【解析】由题意，n=6，，令6-＝3，r＝2,则＝135.故选C.2.二项式()n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为()A．7B．5C．4D．3【解析】二项式()n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n=20，()20展开式的通项公式为：（）20-r（）r＝，展开式的有理项满足：20－为整数，则：r可能的取值为0,3,6,9,12,15,18.共有7个.故本题选择A选项.3.在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（

）A．114. B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n的值即可.【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，即，解得，故答案为：12.4.的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.【答案】/【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以，所以.故答案为：5.在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为（用数字填写答案）；【答案】280【解析】依题意可得，则，所以展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以展开式中的系数为.故答案为：【知识点讲解七】两个二项式乘积展开式的系数【例题解析】1.的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即得.【详解】，又的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：.2．的展开式中的常数项为（

）A．－20 B．30 C．－10 D．10【答案】D【分析】先将展开写为,写出的通项,求出及的系数,代入中即可.【详解】解:因为的展开式的通项公式为,令,得;令,得,所以的展开式中的常数项为:.故选:D【巩固练习】1.在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．30【答案】C【分析】使用分配律后再由二项式定理的展开式的通项公式赋值计算可得结果.【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为.故选：C.2.若，则的值__________．【解析】令，得，令，得，则.3.已知的展开式中项的系数为42，则实数a的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项式开展式的通项公式求出含的项，进而列出方程，解方程即可.【详解】展开式的通项，，．，．项为：．故选：D．4.的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【解析】由题意得：展开式的通项为：，当时，即：，得：，当时；即：，得：，所以得：展开式中含项为：，所以的系数为：.故答案为：.5.的展开式中的系数是．（用数字填写答案）【答案】【解析】，所以展开式中含的项有和，所以的系数为，故答案为：6.在的展开式中，的系数为.（用数字作答）【答案】【解析】因为，又的展开通项公式为，所以的展开式中，含有的为，故的系数为.故答案为：【知识点讲解八】赋值法【例题解析】1.若，则的值是（）A． B．127 C．128 D．129【答案】D【分析】利用赋值法计算可得.【详解】解：因为，令，可得，令，可得，所以；故选：D【巩固练习】1.若，则的值为.【答案】-1【分析】对二项展开式用“赋值法”：可得令可得：，即可求出的值【详解】因为，令可得；令可得：；故．故答案为：-1【点睛】方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。2．，则（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取即得.【详解】因为，令，可得.故选：C.3．若，则的值为（

）A．0 B．32 C．64 D．128【答案】A【分析】先利用赋值法求得和的值，进而求得的值.【详解】，时，，时，，故选：A.4．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（

）A．B．展开式中各项系数的和为C．展开式中第项的系数为D．展开式中含项的系数为【答案】ABD【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D.【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；对于C，因为的展开式通项为，令可得第4项的系数为，故C不正确；对于D，在选项C中的通项公式中，令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.故选：ABD.【知识点讲解九】三项式及多项式展开问题【例题解析】1.若，且，则的值为.【答案】【解析】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，则，解得或0（舍去）.故答案为：【巩固练习】1.展开式中含项的系数为．【答案】【解析】展开式中，含的项是：.故答案为：2.中常数项是．（写出数字）【答案】11【解析】的展开式中当，，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为．故答案为：11．3.的展开式中，的系数为．【答案】【解析】的展开式通项为，的展开式通项为，其中，、，所以，的展开式通项为，由题意可得，解得，因此，的展开式中的系数为.故答案为：.3．展开式中常数项为（

）A． B． C．1 D．481【答案】C【分析】根据二项式定理直接求解即可.【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘，所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：①个中全部选项展开；②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开；③个中有2个选择项，4个选择项展开.所以，其常数项为：.故选：C.4．展开式的常数项为（

）A．1 B．15 C．60 D．76【答案】D【分析】将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解.【详解】由，其中含有常数项的有，，，所以常数项为，故选：.1．展开式中的常数项是（

）A．-160 B．-140 C．160 D．140【答案】A【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为确定常数项的项数，代入通项公式可得常数项.【详解】展开式通项为，令，所以，所以常数项为，故选：A.2．利用二项式定理展开下列各式：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.3.式子二项式定理展开中的第6项为．【答案】【解析】由，所以二项展开式的通项公式，，，令，可得展开式的第六项为.故答案为：.4.二项式的展开式中，含项的系数为.【答案】40【解析】二项展开式的通项为，令，则.故答案为：40.5.展开式中的常数项是.（用数字作答）【答案】【解析】展开式的通项公式为，令，即，得展开式中的常数项是.故答案为：6.(x2+1)(x-1)的展开式中的x的系数为（）A．1B．－9C．11D．21【解析】由题可得(x﹣1)的x3项为：Cx(﹣1)＝10x，x5项为：Cx(﹣1)＝x，然后和（x＋1）相乘去括号得x项为：10x﹢x＝11x，故(x﹢1)(x﹣1)的展开式中的x的系数为11，选C.7．的展开式中的系数为（）A．4B．－4C．6D．-6【解析】，所以的项为，故的系数为，故选B.8．的展开式中常数项为（

）A．-160 B．60 C．240 D．-192【答案】B【分析】由题意可得要得的展开式中常数，只需求出的展式中项，根据二项定理求出出的展式中项即可得答案.【详解】解：因为的展式为:，要得的展开式中常数，只需求出的展式中项即可.所以令，解得，所以的展式中项的系数为，所以的展开式中常数项为60.故选：B.9.的展开式中的系数为（

）A． B． C．10 D．15【答案】A【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】的通项公式为，当时，，当时，，故的展开式中的系数为.故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于